存在性：设 \(f(x_1,\ldots ,x_n)\)按字典排列法的首项为
\begin{equation*}
ax_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n},
\end{equation*}
其中
\(a\neq 0\)，由
引理 1.8.8知
\(i_1\geq i_2\geq \cdots\geq i_n\)。 作多项式
\begin{equation*}
g_1(x_1,\ldots ,x_n)=a\sigma_1^{i_1-i_2}\cdots \sigma_{n-1}^{i_{n-1}-i_n}\sigma_n^{i_n}.
\end{equation*}
根据
定理 1.8.5 ，
\(g_1(x_1,\ldots ,x_n)\)的首项为
\begin{equation*}
ax_1^{i_1-i_2}(x_1x_2)^{i_2-i_3}\cdots (x_1x_2\cdots x_{n-1})^{i_{n-1}-i_n}(x_1x_2\cdots x_n)^{i_n}=ax_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n},
\end{equation*}
与 \(f(x_1,\ldots,x_n) \)的首项相同。因此
\begin{equation*}
f_1(x_1,\ldots ,x_n)=f(x_1,\ldots ,x_n)-g_1(x_1,\ldots ,x_n)
\end{equation*}
是一个对称多项式，其首项后于 \(f(x_1,\ldots ,x_n)\)的首项。对 \(f_1(x_1,\ldots ,x_n)\)重复上述做法，这样我们得到一系列对称多项式：
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_n),f_1(x_1,\ldots ,x_n),f_2(x_1,\ldots ,x_n),\ldots ,
\end{equation*}
后一个多项式的首项都后于前一个多项式。 注意到排在给定单项式之后的不同类项的单项式只有有限个，故必有某个 \(f_s(x_1,\ldots ,x_n)=0\) 。于是
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_n)=g_1(x_1,\ldots ,x_n)+\cdots +g_s(x_1,\ldots ,x_n).
\end{equation*}
由于每个 \(g_i(x_1,\cdots x_n)\)都可表示为 \(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n\)的多项式，故 \(f(x_1,\ldots ,x_n)\)也可表示成\(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n\)的多项式。
唯一性：假设存在数域\(\F\)上的\(n\)元多项式\(g(y_1,\dots,y_n),h(y_1,\ldots ,y_n)\)使得
\begin{equation*}
f(x_1,\ldots ,x_n)=g(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=h(\sigma_1,\ldots,\sigma_n).
\end{equation*}
令
\begin{equation*}
F(y_1,\ldots ,y_n)=g(y_1,\dots,y_n)-h(y_1,\ldots ,y_n),
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
F(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n)=0.
\end{equation*}
假设
\begin{equation*}
F(y_1,\ldots ,y_n)=\sum\limits_{(i_1,\dots ,i_n)\in T} a_{i_1,\dots, i_n} y_1^{i_1}\cdots y_n^{i_n}\neq 0,
\end{equation*}
考虑其中任意两个不同的非零单项式 \(a_{i_1,\dots, i_n} y_1^{i_1}\cdots y_n^{i_n}\)与\(a_{j_1,\dots, j_n} y_1^{j_1}\cdots y_n^{j_n}\)，代入 \(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n\)得
\begin{equation*}
a_{i_1,\dots, i_n} \sigma_1^{i_1}\cdots \sigma_n^{i_n},\ a_{j_1,\dots, j_n} \sigma_1^{j_1}\cdots \sigma_n^{j_n} ,
\end{equation*}
\begin{equation*}
a_{i_1,\dots, i_n} x_1^{i_1}(x_1x_2)^{i_2}\cdots (x_1x_2\cdots x_n)^{i_n}= a_{i_1,\dots, i_n} x_1^{i_1+\cdots+i_n}x_2^{i_2+\cdots+i_n} \cdots x_n^{i_n} ,
\end{equation*}
\begin{equation*}
a_{j_1,\dots, j_n} x_1^{j_1}(x_1x_2)^{j_2}\cdots (x_1x_2\cdots x_n)^{j_n}= a_{j_1,\dots, j_n} x_1^{j_1+\cdots+j_n}x_2^{j_2+\cdots+j_n} \cdots x_n^{j_n},
\end{equation*}
注意到当 \((i_1,\ldots ,i_n)\neq (j_1,\ldots,j_n)\)时，
\begin{equation*}
a_{i_1,\dots, i_n} x_1^{i_1+\cdots+i_n}x_2^{i_2+\cdots+i_n} \cdots x_n^{i_n},\ a_{j_1,\dots, j_n} x_1^{j_1+\cdots+j_n}x_2^{j_2+\cdots+j_n} \cdots x_n^{j_n}
\end{equation*}
不是同类项，即将\(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n\)代入\(F(y_1,\ldots ,y_n)\)不同的单项式得到的首项都不是同类项，因此\(F(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n)\)的首项一定是这些首项中排在最前的一个，从而\(F(\sigma_1,\ldots ,\sigma_n)\neq 0\)，矛盾。由此推出 \(F(y_1,\ldots ,y_n)=0\)，即
\begin{equation*}
g(y_1,\dots,y_n)=h(y_1,\ldots ,y_n).
\end{equation*}
