节 2.5 可逆矩阵
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换后，所对应的线性方程组与原方程组同解，这个事实该如何从矩阵的角度进行理解？本节中，我们将给出这个问题的一个答案。
子节 2.5.1 初等行变换与可逆
初等行变换是一个同解变形，一部分原因是由于初等行变换是一个“可逆”的变换。初等行变换的“可逆”性可以用下面的命题来进行具体表述。
证明.
只需证明若\(A\)经过一次初等行变换可以变成矩阵\(B\)，则矩阵\(B\)也可以经过一次初等行变换变成矩阵\(A\)。
上述证明中的一个关键点也可以用矩阵乘法描述为
\begin{equation*}
E(i,j)E(i,j)=E_n,
\end{equation*}
\begin{equation*}
E(i(c^{-1}))E(i(c)) = E_n,
\end{equation*}
\begin{equation*}
E(i,j(-c))E(i,j(c)) = E_n.
\end{equation*}
同时，容易验证
\begin{equation*}
E(i(c))E(i(c^{-1})) = E_n,
\end{equation*}
\begin{equation*}
E(i,j(c))E(i,j(-c)) = E_n.
\end{equation*}
把上述性质一般化，可以给出如下定义。
定义 2.5.2.
设\(A\)是\(n\)阶方阵。若存在矩阵\(B\)，使得
\begin{equation*}
AB=E_n, \quad BA = E_n,
\end{equation*}
则称\(A\)可逆（或非奇异、非异），\(B\)称为\(A\)的逆矩阵。若\(B\)不存在，则称\(A\)不可逆（或奇异）。
例 2.5.3.
设\(A=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
2 & -1
\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}\)。由于
\begin{equation*}
AB=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
2 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
且
\begin{equation*}
BA=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & -2\\
2 & -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
因此\(A\)可逆，且\(B=\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
-2 & 3
\end{pmatrix}\)是\(A\)的一个逆矩阵。
上述定义使用了两个等式\(AB=E_n\)和\(BA=E_n\)来共同要求可逆矩阵及其逆需要满足的性质，后续我们会证明只要\(AB=E_n\)（或\(BA=E\)）就可保证\(A\)可逆，且\(B\)是\(A\)的逆。
根据上述定义，只有方阵才有可逆性的定义（请思考原因）。
0方阵显然没有逆矩阵。对于一般的方阵，即便不是0方阵，其逆矩阵也不一定存在。举例来说，矩阵
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
就没有逆矩阵，也就是说\(A\)不可逆。这是因为对任意的\(B=(b_{ij})_{2\times 2}\)，
\begin{equation*}
AB= \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\0 & 0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
不可能等于单位矩阵，即满足条件的\(B\)不存在。
上述例子提示我们：根据矩阵乘法定义，当左乘的矩阵\(A\)有一个全0行时，无论右乘矩阵\(B\)是什么，乘积矩阵\(AB\)都会有一个全0行，不可能等于单位矩阵\(E\)，即\(A\)一定不可逆。这个事实将是后面我们说明一个矩阵不可逆时用到的主要工具。
在进一步讨论如何判断矩阵是否可逆的问题前，我们先来讨论一下逆的性质。首先讨论的是唯一性问题，即当假定\(A\)可逆时，满足可逆性定义中条件的\(B\)矩阵，也就是\(A\)的逆矩阵，是否唯一？我们有下面的结论。
定理 2.5.4.
可逆矩阵的逆矩阵必定唯一。
证明.
设\(n\)阶方阵\(A\)可逆。若\(B\)、\(C\)都是\(A\)的逆矩阵，即
\begin{equation*}
AB=BA=E_n, AC=CA=E_n,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
B=BE_n=B(AC)=(BA)C=E_nC=C.
\end{equation*}
例 2.5.5. 按定义求逆.
判断下面的矩阵是否可逆；若可逆，求出其逆矩阵。
-
\(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)，
-
\(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)。
解答.
-
若\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)可逆，设\(B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\)是\(A\)的逆矩阵，则\(AB=E_2\)，即\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}可得\begin{equation} b_{11}+2b_{21}=1, \tag{2.5.1} \end{equation}\begin{equation} b_{12}+2b_{22}=0, \tag{2.5.2} \end{equation}\begin{equation} 3b_{11}+6b_{21}=0, \tag{2.5.3} \end{equation}\begin{equation} 3b_{12}+6b_{22}=1. \tag{2.5.4} \end{equation}\begin{equation*} 0=-3, \end{equation*}矛盾。因此\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)不可逆。
-
记\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)。假设存在\(B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\)，使得\begin{equation*} AB=E_2,BA=E_2. \end{equation*}由\(AB=E_2\)知\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}则\begin{equation*} \left\{\begin{array}{cl} b_{11}+2b_{21}&=1,\\ b_{12}+2b_{22}&=0,\\ 3b_{11}+4b_{21}&=0,\\ 3b_{12}+4b_{22}&=1,\\ \end{array}\right. \end{equation*}解得 \(b_{11}=-2,b_{12}=1,b_{21}=\frac{3}{2},b_{22}=-\frac{1}{2}\)。不难验证\begin{equation*} \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}也成立，因此\(A\)可逆且\(A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)。
命题 2.5.6.
设\(A = \begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}\)。若\(ac-bd\ne 0\)，则\(A\)可逆，且
\begin{equation*}
A^{-1} =\frac{1}{ac-bd}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
证明.
因为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ad-bc & -ab+ba\\ cd-dc & -cb+da
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
da-bc & db-bd\\ -ca+ac & -cb+ad
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以当\(ac-bd\ne 0\)时，
\begin{equation*}
A\left(\frac{1}{ac-bd}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}\right)=E_n,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left(\frac{1}{ac-bd}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}\right)A=E_n,
\end{equation*}
由此推出\(A\)可逆，且\(A^{-1} =\frac{1}{ac-bd}\begin{pmatrix}
d & -b\\ -c & a
\end{pmatrix}\)。
例 2.5.7.
例 2.5.8.
解答.
由于
\begin{equation*}
x^3+x^2+x+1=(x-1)(x^2+2x+3)+4,
\end{equation*}
将\(x\)用\(A\)代入，得
\begin{equation*}
A^3+A^2+A+E_n=(A-E_n)(A^2+2A+3E_n)+4E_n,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
(A-E_n)(A^2+2A+3E_n)+4E_n=0,
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
(A-E_n)\left[-\frac{1}{4}(A^2+2A+3E_n)\right]=E_n.
\end{equation*}
不难验证
\begin{equation*}
\left[-\frac{1}{4}(A^2+2A+3E_n)\right](A-E_n)=E_n
\end{equation*}
也成立，因此\(A-E_n\)可逆。
命题 2.5.9.
每一个初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵是相同类型的初等矩阵，即
\begin{equation*}
E(i,j)^{-1}=E(i,j),
\end{equation*}
\begin{equation*}
E(i(c))^{-1}=E(i(c^{-1})),
\end{equation*}
\begin{equation*}
E(i,j(c))^{-1}=E(i,j(-c)).
\end{equation*}
以可逆矩阵为系数矩阵的线性方程组有很好的性质。
定理 2.5.10.
证明.
存在性：因为
\begin{equation*}
A(A^{-1}\beta)=(AA^{-1})\beta=E_n\beta=\beta,
\end{equation*}
所以\(x=A^{-1} \beta\)是线性方程组\(Ax= \beta\)的一个解。
唯一性：若\(\alpha_1,\alpha_2\)都是\(Ax=\beta\)的解，即
\begin{equation*}
A\alpha_1=\beta, A\alpha_2=\beta,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
A\alpha_1=A\alpha_2.
\end{equation*}
由于\(A\)可逆，所以
\begin{equation*}
A^{-1}(A\alpha_1)=A^{-1}(A\alpha_2),
\end{equation*}
由此推出\(\alpha_1=\alpha_2\)。
子节 2.5.2 可逆矩阵的基本性质
下面列出矩阵求逆的一些常用运算性质，这些性质按照定义都很好验证，相应的验证工作留给读者。
-
若\(A\)可逆，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)也可逆，且\begin{equation*} (A^{-1})^{-1} = A, \end{equation*}即\(A\)与\(A^{-1}\)互为逆矩阵。
-
若\(A\)可逆，\(c\)是一个非0常数，则\(cA\)可逆，且\begin{equation*} (cA)^{-1} =\frac{1}{c} A^{-1}. \end{equation*}
-
若矩阵\(A\)和\(B\)均可逆，则\(AB\)可逆，且\begin{equation} {\color{red}(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}}. \tag{2.5.5} \end{equation}
-
若复方阵\(A\)可逆，则\(\bar{A}\)也可逆，且\begin{equation*} (\bar{A})^{-1} =\overline{A^{-1}}. \end{equation*}
-
可逆矩阵参与的矩阵乘法消去律成立：若\(A\)可逆，且\(AB=AC\)，则在等式两端同时左乘\(A^{-1}\)，就可以推知\(B=C\)，也就是左消去律成立；同理可知右消去律也成立，即在\(A\)可逆的前提下，\(BA=CA\)可以推出\(B=C\)成立。
上述性质中第3条性质是最重要的性质，需要特别注意，同时这也是初学者容易出错的一条性质。请尝试给出具体的反例说明：存在矩阵\(A\)和\(B\)均可逆但
\begin{equation*}
{(AB)^{-1} \ne A^{-1} B^{-1}}.
\end{equation*}
利用数学归纳法，容易证明第3条性质可以推广到多个矩阵相乘：设\(A_1,\dots,A_k\)均是可逆的同阶方阵，则\(A_1\cdots A_k\)可逆，且
\begin{equation*}
{\color{red}(A_1\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}\cdots A_1^{-1}}.
\end{equation*}
特别地，若\(A_1=\cdots =A_k=A\)可逆，则上式可以用来定义可逆矩阵的负指数幂。
定义 2.5.11.
设\(A\)是一个可逆方阵，\(k\in \Z^+\)是一个正整数，则\(A^{-k}\)定义为：
\begin{equation*}
A^{-k}=(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k.
\end{equation*}
有了这个定义后，幂函数的性质\(A^rA^s=A^{r+s}\)，\((A^r)^s = A^{rs}\)对任意整数\(r,s\)都成立，当然，这要有一个前提，即\(A\)可逆。特别地，在\(A\)可逆的前提下，约定\(A^0 = E\)。
子节 2.5.3 可逆矩阵与初等矩阵
引理 2.5.12.
证明.
再证明充分性，即\(AB\)可逆可以推出\(B\)可逆。注意到\(A\)可逆，所以\(A^{-1}\)存在且\(A^{-1}\)也可逆。而
\begin{equation*}
B = A^{-1}(AB),
\end{equation*}
根据必要性的证明，\(B\)也可逆。由此证明了充分性。
上述引理也可表述为左乘可逆矩阵不改变矩阵的可逆性。（事实上，右乘可逆矩阵也不改变矩阵的可逆性。）
引理 2.5.13.
证明.
设\(B\)是一个与\(A\)同阶的方阵，记\(A\)的全0行为第\(i\)行。根据矩阵乘法的定义，容易验证\(AB\)的第\(i\)行也全为0，因此\(AB\)不可能等于单位矩阵\(E_n\)，即\(A\)不可逆。
引理 2.5.14.
证明.
因为\(B\)没有全0行，且是一个阶梯形方阵，所以\(B\)必定形如：
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\
0&b_{22}&\ddots &\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&b_{n-1,n}\\
0&\cdots&0&b_{nn}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中对角元\(b_{11},\ldots ,b_{nn}\)都非0。将\(B\)的第\(i\)行乘以\(\frac{1}{b_{ii}}(1\leq i\leq n)\)，得
\begin{equation*}
C=\begin{pmatrix}
1&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\
0&1&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&c_{n-1,n} \\
0&\cdots &0 &1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
用\(C\)最后一行的对角元1消去其上方的每一个非0元素，即对每一个\(i\ne n\)，将\(C\)最后一行乘以\(-c_{in}\)加到\(C\)的第\(i\)行上，可以使最后一列除对角元外其余元素都变成0；接着对倒数第二行进行类似初等行变换，可以使倒数第二列除对角元外其余元素都变成0；依此类推，自下而上依次进行初等行变换，可将矩阵\(C\)化为单位矩阵。所以结论成立，即\(B\)可经过初等行变换变成单位矩阵\(E_n\)。
下面我们给出可逆矩阵的第一个刻画性定理。
定理 2.5.15.
证明.
"2. \(\Rightarrow\) 3." 用初等矩阵的乘法来表示初等行变换，可知存在初等矩阵\(P_1,\dots, P_k\)，使得\(P_k\cdots P_1 A = E_n\)。 由于初等矩阵\(P_i\)的逆矩阵\(P_i^{-1}\)仍是初等矩阵，按顺序同时左乘这些逆矩阵，可得
\begin{equation*}
A = P_1^{-1}\cdots P_k^{-1}.
\end{equation*}
即\(A\)可以表示为初等矩阵的乘积。
"3. \(\Rightarrow\) 1." 根据3，存在初等矩阵\(P_1,\ldots ,P_k\)，使得
\begin{equation*}
A=P_1\cdots P_k.
\end{equation*}
因为初等矩阵都是可逆矩阵，根据可逆矩阵基本性质的第3条性质，可逆矩阵的乘积依然可逆，可知\(A\)可逆且
\begin{equation*}
A^{-1}=\left(P_1\cdots P_k\right)^{-1}=P_k^{-1}\cdots P_1^{-1}.
\end{equation*}
上述定理的证明过程中暗含了逆矩阵的计算方法：设\(A\)是一个可逆矩阵，则\(A\)可以经过初等行变换变成单位矩阵。记\(P_1,\dots,P_k\)是把\(A\)变成单位矩阵过程中按顺序使用的所有初等行变换对应的初等矩阵，则
\begin{equation*}
P_k\cdots P_1 A = E,
\end{equation*}
于是
\begin{equation*}
A^{-1} =P_k\cdots P_1,
\end{equation*}
所以只要我们能记录下将\(A\)变成单位矩阵过程中使用的初等矩阵的乘积即可。
我们可以用下面方法记录所使用的初等矩阵的乘积：构造分块矩阵
\begin{equation*}
(A|E),
\end{equation*}
对此分块矩阵作初等行变换，即按顺序左乘\(P_1,\dots,P_k\)，根据分块矩阵乘法公式可得
\begin{align*}
P_k\cdots P_1 (A|E) \amp = (P_k\cdots P_1A|P_k\cdots P_1E) \\
\amp= (E|P_k\cdots P_1) \\
\amp = (E| A^{-1}).
\end{align*}
也就是说当我们对分块矩阵\((A|E)\)作初等行变换，把左边一块变成单位矩阵时，右边一块剩下的就是\(A^{-1}\)。这种计算逆矩阵的方法通常被称之Gauss-Jordan消去法。来看一个具体的例子。
例 2.5.16. Gauss-Jordan消去法求逆矩阵的计算.
解答.
对分块矩阵\((A|E)\)作初等行变换
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
(A|E) = & \left(\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{c}r_2-2r_1\\r_3+r_2\end{array}}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 4 & 3 & 1 & -2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 4 & 3 & 1 & -2 & 0
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_3-4r_2}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1 & -6 & -4
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{-r_3}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 6 & 4
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_2-r_3}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & -5 & -3\\
0 & 0 & 1 & -1 & 6 & 4
\end{array}\right)\\
\xrightarrow{r_1+r_2}&\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -4 & -3\\
0 & 1 & 0 & 1 & -5 & -3\\
0 & 0 & 1 & -1 & 6 & 4
\end{array}\right),
\end{array}
\end{equation*}
所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & -4 & -3\\
1 & -5 & -3\\
-1 & 6 & 4
\end{pmatrix}\)。
子节 2.5.4 可逆与行等价
下面我们利用可逆矩阵来理解上一节中，利用初等行变换将增广矩阵化简为阶梯行矩阵的过程。先来引入一个术语。
定义 2.5.17.
命题 2.5.18.
下面的结论说明了“行等价”名称中“等价”的合理性。
定理 2.5.19.
行等价关系是一种等价关系，即：
证明.
-
对称性：若\(A\)与\(B\)行等价，则存在可逆矩阵\(P\)，使得\(PA=B\)。等式两端同时乘以\(P^{-1}\)知\(P^{-1}B=A\)，且\(P^{-1}\)也可逆，即\(B\)与\(A\)行等价；
-
传递性：若\(A\)与\(B\)行等价，且\(B\)与\(C\)行等价，则存在可逆矩阵\(P_1,P_2\)，使得\(P_1A=B\)和\(P_2B=C\)。将第一个等式两边同时左乘\(P_2\)，得\begin{equation*} P_2P_1A=P_2B=C. \end{equation*}记\(P= P_2P_1\)，则根据可逆的性质3，\(P\)是可逆矩阵。 由此知\(A\)与\(C\)行等价。
把矩阵都理解为某一个线性方程组的增广矩阵，矩阵行等价意味着对应的线性方程组同解；从分类的角度，行等价关系对应的分类中，落在同一类的线性方程组必然同解。
练习 2.5.5 练习
基础题.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
设\(B=P^{-1}AP\)，其中\(P=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 1
\end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\)，求\(A^{2025}\)。
提高题.
7.
8.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(E\)是\(n\)阶单位矩阵。
-
若存在正整数\(k\)使得\(A^k=0\)，证明：\(E-A\)，\(E+A+\cdots+A^{k-1}\)都可逆；并求\((E-A)^{-1}\)与\((E+A+\cdots+A^{k-1})^{-1}\)。
-
设\(B=\begin{pmatrix} 1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}&b^{n-1}\\ 0&1&b&b^2&\cdots&b^{n-2}\\ 0&0&1&b&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&b^2\\ 0&0&0&\cdots&1&b\\ 0&0&0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\)，求\(B^{-1}\)。
9.
10.
设\(A\)是\(n\times m\)矩阵，\(B\)是\(m\times n\)矩阵。证明：若\(E_n-AB\)可逆，则\(E_m-BA\)可逆，且
\begin{equation*}
(E_m-BA)^{-1}=E_m+B(E_n-AB)^{-1}A.
\end{equation*}
11.
12.
设\(A,B\)是数域\(\F\)上\(n\)阶方阵，\(f(x),g(x)\in\F[x]\)满足\(f(A)=0,g(B)=0\)。若\(f(x),g(x)\)在复数域上没有公共根，证明： \(f(B),g(A)\)都是可逆矩阵。
挑战题.
13. Cayley变换.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(E_n+A\)可逆，定义
\begin{equation*}
c(A)=(E_n-A)(E_n+A)^{-1},
\end{equation*}
证明：\(E_n+c(A)\)可逆，且\(c(c(A))=A\)。
