定义 1.5.1.
设不可约多项式\(p(x)\)是\(f(x)\)的因式，如果满足
\begin{equation*}
p^k(x)|f(x)\text{ 并且 }p^{k+1}(x)\nmid f(x),
\end{equation*}
则称\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(k\)重因式。 特别的，
- 当\(k=1\)时，\(p(x)\)称为\(f(x)\)的单因式；
- 当\(k>1\)时，\(p(x)\)称为\(f(x)\)的重因式。
节 1.5 不可约因式的重数
想要获得一个多项式的标准分解式，我们需要一方面获得此多项式的所有不可约因式，另一方面求出这些不可约因式的指数。获得全部不可约因式目前还没有看到一般方法，而在已知不可约因式的前提下求出其指数是相对简单的。本节中我们主要介绍与标准分解式中不可约因式指数相关的主要结论。
子节 1.5.1 单因式与重因式
后续课程内容中，单因式和重因式的性质存在一些本质区别，因此需要区别定义。为了更具一般性，我们允许上述定义中的\(k\)等于0。 当\(k=0\)时，定义中的条件等价于\(p(x)\)不是\(f(x)\)的因式。
根据定义容易看出： 不可约多项式\(p(x)\)为\(f(x)\)的\(k\)重因式
\begin{equation*}
\Leftrightarrow f(x)=p^k(x)h(x)\text{，且} (p(x),h(x))=1\text{。}
\end{equation*}
需要强调的是我们只关心不可约因式的重数，对于可约多项式，我们一般不讨论其是否是单因式/重因式。
例 1.5.2. 不同数域上的不可约因式重数.
分别在\(\C\)、\(\R\)和\(\Q\)上求\(f(x)=(x^4-2)^3\)的所有重因式，并说明其重数。
解答.
在\(\C\)上，
\begin{equation*}
f(x)=(x-\sqrt[4]{2})^3(x+\sqrt[4]{2})^3(x-\sqrt[4]{2}i)^3(x+\sqrt[4]{2}i)^3,
\end{equation*}
所以\(x-\sqrt[4]{2},x+\sqrt[4]{2},x-\sqrt[4]{2}i,x+\sqrt[4]{2}i\)为\(f(x)\)在\(\C\)上的全部重因式，其重数均为\(3\)。
在\(\R\)上，
\begin{equation*}
f(x)=(x-\sqrt[4]{2})^3(x+\sqrt[4]{2})^3(x^2+\sqrt{2})^3,
\end{equation*}
所以\(x-\sqrt[4]{2},x+\sqrt[4]{2},x^2+\sqrt{2}\)为\(f(x)\)在\(\R\)上的全部重因式，其重数均为\(3\)。
在\(\Q\)上，
\begin{equation*}
f(x)=(x^4-2)^3,
\end{equation*}
所以\(x^4-2\)为\(f(x)\)在\(\Q\)上的全部重因式，其重数也为\(3\)。
子节 1.5.2 重因式与导数
下面我们给出判断多项式是否有重因式的一个有效方法，此方法需要借助分析学中的导数，因此我们先来介绍导数的概念和基本性质。
定义 1.5.3.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，则其导数\(f'(x)\) 定义为
\begin{equation*}
f'(x)=na_nx^{n-1}+{(n-1)}a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1.
\end{equation*}
这里定义的导数只针对多项式，是一种形式表达式方式的定义，可以对任意数域上的多项式进行；在《数学分析》课程中学到的导数则是针对实函数给出的，需要使用极限和实数系完备性。虽然内涵不同，但两种定义方式获得的结果形式上是一样的，因此也具有相同的运算规律。我们不加证明地给出一些常用导数运算性质，这些性质可以直接验证，也可参考《数学分析》中导数运算性质的证明。
- \((f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \)；
- \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)；
- \((cf(x))'=cf'(x)\)；
- \((f^m(x))'=mf^{m-1}(x)f'(x) \)。
下面的定理是本小节的主要定理，此定理说明了不可约因式的重数在求导运算下的变换规律。
定理 1.5.4.
若不可约多项式\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(k\)重因式（\(k\geq 1\)），则\(p(x)\)是\(f'(x)\)的\(k- 1\)重因式。
证明.
因为\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(k\)重因式，所以存在\(g(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=p^k(x)g(x),
\end{equation*}
其中\(\left(p(x),g(x)\right)=1\)。则
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
f'(x)&=&kp^{k-1}(x)p'(x)g(x)+p^k(x)g'(x)\\
&=&p^{k-1}(x)\left[kp'(x)g(x)+p(x)g'(x)\right],
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
p^k(x)| f'(x)-p^k(x)g'(x),
\end{equation*}
\begin{equation*}
p(x)| p'(x),
\end{equation*}
这与\(p'(x)\)非零且次数小于\(p(x)\)的次数相矛盾。因此\(p^k(x)\nmid f'(x)\)。从而\(p(x)\)是\(f'(x)\)的\(k- 1\)重因式。
对\(k\)使用归纳法，可得下面的推论。
推论 1.5.5.
不可约多项式\(p(x)\)是\(f (x)\)的\(k\)重因式\((k\geq 1)\) \(\Leftrightarrow p(x)\)是\(f (x), f'(x),f''(x),\ldots,\) \(f^{ (k-1)} (x)\)的因式，但不是\(f^{ (k)} (x)\)的因式。
推论 1.5.6.
不可约多项式\(p(x)\)是\(f (x)\) 的\(k \)重因式\((k> 1)\) \(\Leftrightarrow\ p(x)\)是\((f(x), f'(x))\)的\(k - 1\)重因式。
证明.
必要性：若\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(k\)重因式，则它是\(f'(x)\)的\(k-1\)重因式，因而是\((f(x), f'(x))\)的\(k - 1\)重因式。
充分性：若\(p(x)\)为\((f(x), f'(x))\)的\(k - 1\)重因式\((k> 1)\)，则\(p(x)\)是\(f(x)\)的因式。假设\(p(x)\)是\(f(x)\)的\(l\)重因式，则\(l\geq 1\)。由必要性可知\(p(x)\)为\((f(x), f'(x))\)的\(l - 1\)重因式。因此\(l-1=k-1\)，即\(l=k\)。
当我们不关心具体重数，只关心是否存在重因式时，可以使用下面的推论。
推论 1.5.7.
多项式\(f (x)\)没有重因式的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(f(x),f'(x)\right)=1.
\end{equation*}
注意到最大公因式可以通过辗转相除法获得，不需要进行因式分解，因此判断多项式是否有重因式是相对容易的。同时注意到辗转相除法的结果和数域的变化无关，所以多项式是否有重因式与考虑问题的数域无关。
推论 1.5.8.
设\(p(x)\)是不可约多项式。则\(p(x)\)是\(f (x)\)的重因式\(\Leftrightarrow p(x)\)是\(f (x)\)和 \(f'(x)\) 的公因式。
例 1.5.9. 无重因式证明举例.
证明：有理数域上多项式\(f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}\)没有重因式。
解答.
因为
\begin{equation*}
f'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{n-1}}{(n-1)!},
\end{equation*}
所以由 引理 1.3.2 得
\begin{equation*}
\left(f(x),f'(x)\right)=\left(f'(x)+\frac{x^n}{n!},f'(x)\right)=\left(\frac{x^n}{n!},f'(x)\right).
\end{equation*}
注意到\(\frac{x^n}{n!}\)的首一不可约因式只能是\(x\)，但其非\(f'(x)\)的因式，因此\(\left(f(x),f'(x)\right)=1\)。从而\(f(x)\)没有重因式。
下面介绍应用导数去除多项式因子重数的有效方法，这种方法在求因式分解时可以一定程度上降低多项式次数，从而降低因式分解的难度。
推论 1.5.10.
设\(d(x)=(f(x), f'(x))\)，\(f(x) = f_1(x)d(x)\)，则\(f_1(x)\)是一个无重因式的多项式， 且此多项式的每一个不可约因式与\(f(x)\)的不可约因式相同。
根据上面的结论，对于一个给定的多项式\(f(x)\)，我们可以应用辗转相除法求出\(d(x)=(f(x), f'(x))\)，再利用欧几里得除法求出商式
\begin{equation*}
f_1(x) = \frac{f(x)}{(f(x),f'(x))},
\end{equation*}
只要我们可以获得 \(f_1(x)\)的标准分解式（在给定数域上），即获得\(f_1(x)\)的所有不可约因子，则此时我们也获得了\(f(x)\)的全部不可约因子。再利用前面关于不可约因子重数的结论，我们可以获得\(f(x)\)的标准分解式。
例 1.5.11. 去重因子方法举例.
求\(f(x)=x^5-15x^3+10x^2+60x-72\)的实数域上的标准分解式。
解答.
注意到\(f'(x)=5x^4-45x^2+20x+60\)，利用辗转相除法，得
\begin{equation*}
\left(f(x),f'(x)\right)=x^3-x^2-8x+12.
\end{equation*}
由欧几里得除法，得
\begin{equation*}
\frac{f(x)}{\left(f(x),f'(x)\right)}=x^2+x-6=(x+3)(x-2),
\end{equation*}
故\(f(x)\)在实数域上的所有不可约因子为\(x+3,x-2\)。 设
\begin{equation*}
f(x)=(x+3)^a(x-2)^b,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
a+b=5,\\
3^a\cdot (-2)^b=-72,
\end{array}\right.
\end{equation*}
解得\(a=2,b=3\)。因此\(f(x)\)在实数域上的标准分解式为\((x+3)^2(x-2)^3\)。
子节 1.5.3 一次因式重数与多项式函数的根
大家知道一次多项式都是不可约多项式。一次多项式重数的问题也可以从其它角度，即函数零点或方程根的角度来进行理解。下面我们来介绍相关的结论。
首先来说明如何从函数的角度理解一次因式的重数。
定义 1.5.12.
设\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，\(b\in\mathbb{F}\)，且\(f(b)=0\)，则称\(b\)为\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内的一个根 或零点 。
推论 1.5.13.
\(b\)是\(f(x)\)的根当且仅当\((x - b)| f(x)\)。
例 1.5.14.
设\(f(x)\in\F[x]\)。证明：\(x| f(x)\)的充分必要条件是\(x| f^2(x)\)。
解答.
必要性：因为\(x| f(x)\)，所以存在\(g(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=xg(x).
\end{equation*}
两边同时平方，得
\begin{equation*}
f^2(x)=x\left(xg^2(x)\right).
\end{equation*}
故\(x| f^2(x)\)。
根据 推论 1.5.13 ，多项式的一次不可约因式与它的根是对应的。
定义 1.5.15.
设\(b\in\mathbb{F}\)。若\((x - b)^k | f(x)\)，但\((x-b)^{k+1}\nmid f(x)\)，则称\(b\)为\(f(x)\)的一个\(k\)重根。若\(k = 1\)， 则称\(b\)为单根。若\(k > 1\)， 则称\(b\)为重根。
上述定义也就是说明根的重数和一次因式的重数两个概念是等价的。
（按重数累加的）根的个数与多项式次数有直接联系。
引理 1.5.16.
设\(f(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)=n>0\)，则\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内至多有\(n\)个不同的根。
证明.
设\(b_1,\ldots ,b_r\)是\(f(x)\)在\(\F\)上所有不同的根。令
\begin{equation*}
g(x)=(x-b_1)\cdots (x-b_r).
\end{equation*}
因为\(b_i(i=1,\ldots ,r)\)是\(f(x)\)的根，所以\((x-b_i)| f(x)\)。由\(b_1,\ldots ,b_r\)两两不同可知，\(x-b_1,\ldots ,x-b_r\)两两互素。由 命题 1.3.12得，\(g(x)| f(x)\)。因此\(\deg g(x)\leq \deg f(x)\)，即\(r\leq n\)。
推论 1.5.17.
设\(f(x), g(x)\in\mathbb{F} [x]\)，且\(\deg f(x) \le n\)，\(\deg g(x)\le n\)。 若存在\(n+1\)个不同的数 \(b_1,\ldots, b_{n+1}\in\mathbb{F}\)， 使得 \(f( b_i ) = g( b_i ), i =1,\ldots, n+1\)， 则 \(f(x)\)，\(g(x)\)作为多项式相等。
证明.
令\(h(x)=f(x)-g(x)\)，则\(\deg h(x)\le n\)且\(h(x)\)至少存在\(n+1\)个不同的根。由 引理 1.5.16知，\(h(x)=0\)。因此\(f(x)=g(x)\)。
结合标准分解式，可知下面的结论成立。
定理 1.5.18.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)=n>0\)，则\(f(x)\)在\(\mathbb{F}\)内至多有\(n\)个根（重根按重数计）。
例 1.5.19.
设\(f(x)\in\F[x]\)，若存在非零常数\(a\in\F\)，使得\(f(x+a)=f(x)\)。证明：\(f(x)\)必是常数多项式。
解答.
假设\(f(x)\)不是常数多项式。令
\begin{equation*}
g(x)=f(x+a)-f(a),
\end{equation*}
则\(\deg g(x)\geq 1\)。由 定理 1.5.18 ，\(g(x)\)只有有限个根。而由\(f(x+a)=f(x)\)可知，\(ka(k\in\Z)\)是\(g(x)\)的无穷多个根，矛盾。
练习 1.5.4 练习
基础题.
1.
判断下列有理数域上的多项式有无重因式。如果有重因式，试求出一个多项式与它有完全相同的不可约因式（不计重数），且这个多项式没有重因式。
- \(x^4+4x^2-4x-3\)；
- \(x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8\)。
2.
设\(f(x)=x^3+3ax+b\)，当且仅当\(a,b\)满足什么条件时，\(f(x)\)有重因式。
3.
若\(x^2+x+1\left|f_1(x^3)+xf_2(x^3)\right.\)，则\(x-1\left|f_1(x)\right.\)且\(x-1\left|f_2(x)\right.\)。
4.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)=n>0\)。证明：\(a\)是\(f(x)\)的\(k\)重根\((k\geq 1)\)的充分必要条件是\(f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0,f^{(k)}(a)\neq 0\)。
5.
设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)。证明：如果\(p(x)\)在\(\mathbb{Q}\)上不可约，那么\(p(x)\)在\(\mathbb{C}\)上没有重根。
提高题.
6.
设\(f(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)次多项式，证明：\(f'(x)| f(x)\)的充分必要条件是
\begin{equation*}
f(x)=a(x-b)^n,
\end{equation*}
这里\(a,b\in\mathbb{F}\)。
7.
设\(f(x), p(x)\in\F[x]\)。证明：若\(p(x)\)在\(\F\)上不可约，且\(f(x)\)与\(p(x)\)在\(\C\)上存在公共根，则\(p(x)| f(x)\)。
8.
设 \(p(x)\)是数域 \(\F\)上 \(n\)次不可约多项式， \(n\)为大于 \(1\)的奇数。证明：若 \(c_1,c_2\)是 \(p(x)\)的两个不同复根，则 \(c_1+c_2\not\in\F\)。
9.
设\(p(x)\)是数域\(\F\)上的不可约多项式， \(f(x)\in\F[x]\)，\(x_1,\ldots ,x_s\)是\(f(x)\)在\(\C\)上的根。证明：若\(p(x)\nmid f(x)\)，则存在\(g(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
\frac{1}{p(x_i)}=g(x_i),\ i=1,\ldots s.
\end{equation*}
10.
当且仅当正整数\(n\)满足何条件时，\(x^2+x+1|x^{2n}+x^n+1\)，请加以证明。
11.
设\(f(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)次多项式，且\(f(0)=0\)。令\(g(x)=xf(x)\)，证明：如果\(f'(x)\left|g'(x)\right.\)，那么\(g(x)\)有\(n+1\)重零根。
12.
设\(f(x)\in\F [x],\ \deg f(x)>0\)，\(m\)是大于1的正整数。证明：若\(f(x)|f(x^m)\)， 则\(f(x)\)的根或为0或为\(1\)的某个方根。
13.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x],\deg f(x)=n\)，且\(f(k)=\frac{k}{k+1},k=0,1,\ldots ,n\)，求\(f(n+1)\)。
