条件1与2的等价性在
定理 7.4.3中已经得到了证明。下面证明它们与其它条件的等价性。
设\(\lambda_1,\dots,\lambda_t\)是\(A\)在\(\mathbb{F}\)上的所有不同特征值，\(\lambda_i\)的代数重数记为\(n_i\)，几何重数记为\(s_i\)，\(i=1,\dots,t\)。则\(\sum_{i=1}^t n_i\le n\)，且当且仅当\(\chi_A(\lambda)\)的根全在\(\mathbb{F}\)上时，\(\sum_{i=1}^t n_i= n\)。
\(2\Rightarrow 3\)：矩阵的特征向量均来自于各自所在的特征子空间，每一个特征子空间\(V_{\lambda_i}\)可以最多提供几何重数\(s_i\)个线性无关的特征向量，于是线性无关的特征向量个数不会超过几何重数的和\(\sum_{i=1}^t s_i\)，即
\begin{equation*}
n\le \sum_{i=1}^t s_i.
\end{equation*}
另一方面，根据
引理 7.4.4，对每一个
\(i\)均有
\(s_i\le n_i\)，于是
\begin{equation*}
n\le \sum_{i=1}^t s_i\le \sum_{i=1}^t n_i= n,
\end{equation*}
故对每一个\(i\)，\(s_i= n_i\)，且\(\sum_{i=1}^t n_i= n\)，即条件3成立。
\(3\Rightarrow 4\)：\(\chi_A(\lambda)\)的根全在\(\mathbb{F}\)上，且每个特征值的代数重数等于几何重数，所以
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^t s_i\= \sum_{i=1}^t n_i= n.
\end{equation*}
\(4\Rightarrow 1\)：因为
\begin{equation*}
\F^n =V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_t},
\end{equation*}
根据直和的性质，在每一个\(V_{\lambda_i}\)中取基\((\eta_{i1},\dots,\eta_{is_i})\)，则这些基向量放在一起可以构成\(\F^n\)的基。记
\begin{equation*}
P=(\eta_{11},\dots,\eta_{1s_1},\dots,\eta_{t1},\dots,\eta_{ts_t}),
\end{equation*}
则\(P\)是可逆矩阵。注意到\(P\)的每一列向量都是特征向量，记
\begin{equation*}
AP =P B,
\end{equation*}
则\(B\)是对角阵，即条件1成立。
