高等代数: 多项式与线性代数

在自然科学与工程领域，我们常常需要从大量观测数据中建立数学模型，并通过求解线性方程组来描述现象或预测规律。然而，现实问题中由于测量误差、模型复杂性或数据冗余，线性方程组往往无解。例如，试图用低次多项式拟合散点图中的所有观测点，或通过有限传感器数据重构物理场的分布时，严格满足所有条件的解可能不存在。这种“无解性”并不意味问题本身失去意义，而是要求我们以更灵活的方式，寻找最接近“解”的近似。

本章将基于标准内积空间的理论框架，探讨无解线性方程组的最优近似解——最小二乘解。标准内积空间不仅为向量赋予了长度与夹角的概念，还提供了正交投影这一关键工具。通过正交投影，我们能够将无解方程组的问题转化为在某个子空间上寻找最佳逼近的过程。这一思想不仅具有直观的几何意义（如三维空间中点到平面的最短距离），还能通过代数方法严格化，导出一类重要的方程——正规方程。