主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

节 7.2 不变子空间

直观感觉：一个空间越简单，其上的线性变换也会越简单。根据定理 6.5.13，数域\(\F\)上有限维线性空间的结构由其维数决定，维数越小的空间越简单。由练习 6.3.3.5，1维线性空间上的线性变换都可以等同于数乘一个固定常数这种简单的操作（即数乘变换），部分验证了这种直观感觉。
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本节中，我们将尝试把一个大空间\(V\)上的线性变换\(\phi\)部分限制在\(V\)的子空间上去理解。可以这样的限制的子空间就是我们接下来要讲的不变子空间。
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子节 7.2.1 不变子空间的定义与举例

定义 7.2.1.

设\(U\)是\(V\)的子空间，\(\phi\in \mathcal{L}(V)\)，且满足\(\phi(U)\subseteq U\)，则称\(U\)是\(\phi\)-不变子空间 或\(\phi\)-子空间 。
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将\(\phi\)限制在不变子空间\(U\)上，导出\(U\)的线性变换，称为\(\phi\)在\(U\)上的限制变换 (或称为\(\phi\)在\(U\)上的导出变换)， 记为\({\color{red}\phi|_U}\)，即\(\phi|_U: U\to U \)是\(U\)上的线性变换，且满足
\begin{equation*} \phi|_U(\alpha)=\phi(\alpha),\ \forall \alpha\in U. \end{equation*}
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定义中的条件\(\phi(U)\subseteq U\)保证了：若初始向量\(\alpha\in U\)，则\(\phi(\alpha)\)仍落在\(U\)中，即这个变化过程可以限制在\(V\)的子空间\(U\)上去理解。
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\(\phi\)与\(\phi|_U\)的相同点是在\(U\)上对应法则一样，不同点是\(\phi\)是\(V\)的线性变换，而\(\phi|_U\)是\(U\)的线性变换。
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定义中\(U\)是\(\phi\)的不变子空间这个条件必不可少。否则，若\(\phi(U)\not\subseteq U\)，即存在\(\alpha\in U\)使得\(\phi(\alpha)\notin U\)，此时对应法则\(\phi\)无法限制成为\(U\to U\)的映射，相应地也无法导出\(U\)上的线性变换。
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先来举一些具有代表性的不变子空间例子。
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例 7.2.2. 4种普遍的不变子空间.

设\(\phi\in \mathcal{L}(V)\)，证明下面4种\(V\)的子空间（可以相同）都是\(\phi\)-不变子空间：
  1. 0空间；
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  2. \(V\)空间本身；
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  3. 像空间\({\rm Im}\phi\)；
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  4. 核空间\({\rm Ker}\phi\)。
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解答.
  1. 0空间是\(V\)的子空间，又\(\phi(0)=0\)，所以0空间是\(\phi\)-不变子空间。
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  2. 因为\(\phi\)是\(V\)上线性变换，所以\(\forall\alpha\in V,\phi(\alpha)\in V\)，由此推出\(V\)是\(\phi\)-不变子空间。
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  3. \({\rm Im}\phi\)是\(V\)的子空间，又\(\forall\beta\in{\rm Im}\phi\)，
    \begin{equation*} \phi(\beta)\in {\rm Im}\phi, \end{equation*}
    因此\({\rm Im}\phi\)是\(\phi\)-不变子空间。
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  4. \({\rm Ker}\phi\)是\(V\)的子空间，又\(\forall\alpha\in{\rm Ker}\phi\)，
    \begin{equation*} \phi(\alpha)=0\in {\rm Ker}\phi, \end{equation*}
    因此\({\rm Ker}\phi\)是\(\phi\)-不变子空间。
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下面的命题从基的角度讨论不变子空间，是一个判断子空间是否是不变子空间的常用方法。
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证明.
必要性：因为\(\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle\)是\(\phi\)-不变子空间且\(\xi_i\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle\)，所以根据定义
\begin{equation*} \phi(\xi_i)\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle,i=1,\ldots ,s. \end{equation*}
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充分性：对任意\(\alpha\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle\)，存在\(a_1,\ldots,a_s\in\F\)，使得
\begin{equation*} \alpha=a_1\xi_1+\cdots+a_s\xi_s, \end{equation*}
则
\begin{equation*} \phi(\alpha)=a_1\phi(\xi_1)+\cdots+a_s\phi(\xi_s). \end{equation*}
由于\(\phi(\xi_i)\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle,i=1,\ldots ,s\)，所以
\begin{equation*} a_1\phi(\xi_1)+\cdots+a_s\phi(\xi_s)\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle, \end{equation*}
即\(\phi(\alpha)\in\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle\)，由此推出\(\langle\xi_1,\ldots,\xi_s\rangle\)是\(\phi\)-不变子空间。
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来看一例子。
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例 7.2.4.

设\(V\)是3维线性空间，\(V\)的线性变换\(\phi\)在基\(\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}\)下的矩阵是
\begin{equation*} \begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -1\\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix} \end{equation*}
求证: \(\langle \xi_{3},\xi_{1}+\xi_{2}+2 \xi_{3}\rangle\)是\(\phi\)-子空间。
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解答.
记\(\eta_1 =\xi_{3},\eta_2 = \xi_{1}+\xi_{2}+2 \xi_{3} \)，则
\begin{align*} \phi(\eta_1)\amp= \phi\left((\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right) \\ \amp = (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -1\\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ \amp= (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \\ \amp= 2\eta_1- \eta_2 \in \langle \eta_1, \eta_2 \rangle. \end{align*}
同理可知，
\begin{align*} \phi(\eta_2)\amp= \phi\left((\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right) \\ \amp = (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -1\\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \amp= (\xi_1,\xi_2,\xi_3)\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} \\ \amp= 2\eta_2 \in \langle \eta_1, \eta_2 \rangle. \end{align*}
根据命题 7.2.3可知\(\langle \xi_{3},\xi_{1}+\xi_{2}+2 \xi_{3}\rangle\)是\(\phi\)-子空间。
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不变子空间作为特殊的子空间，对于空间的运算也有很好的性质。
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证明.
首先证明\(V_{1}+V_{2}\)是\(\phi\)-不变子空间：对\(\forall \alpha\in V_1+V_2\)，存在\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)，使得\(\alpha= \alpha_1+\alpha_2\)，则
\begin{equation*} \phi(\alpha) =\phi(\alpha_1+\alpha_2) = \phi(\alpha_1)+\phi(\alpha_2). \end{equation*}
由于\(V_1\)和\(V_2\)都是\(\phi\)-不变子空间，所以\(\phi(\alpha_1)\in V_1 \)，\(\phi(\alpha_2)\in V_2 \)。于是，\(\phi(\alpha)\in V_1+V_2\)，结论成立。
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接下来证明\(V_{1}\cap V_{2}\)是\(\phi\)-不变子空间：对\(\forall \beta\in V_1\cap V_2\)，由于\(V_1\)和\(V_2\)都是\(\phi\)-不变子空间，所以\(\phi(\beta)\in V_1\)且\(\phi(\beta)\in V_2\)，即\(\phi(\beta)\in V_1\cap V_2\)，结论成立。
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子节 7.2.2 不变子空间与表示矩阵化简

接下来我们从表示矩阵的角度来理解不变子空间及利用这个概念可以带来的好处。
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设\(\phi\in\mathcal{L}(V)\)，\(U\)是\(\phi\)-不变子空间。取\(U\)的一个基\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)，将其扩充为\(V\)的一个基\((\xi_1,\ldots,\xi_r,\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)。注意到\(U\)是\(\phi\)-不变子空间，对任意的 \(i=1,\dots, r \)， \(\phi(\xi_i)\in U\)，则\(\phi(\xi_i)\)在\(V\)空间基\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)下坐标的后 \(n-r\)个分量必定为0， 于是\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)下的矩阵有如下的形式：
\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,r} & a_{1,r+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r,1} & \cdots & a_{r,r} & a_{r,r+1} & \cdots & a_{r,n}\\ {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & a_{r+1,r+1} & \cdots & a_{r+1,n}\\ {\color{red}\vdots} &{\color{red}\ddots} & {\color{red}\vdots} & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0} & a_{n,r+1} & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}.\tag{7.2.1} \end{equation}
反之，若\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r,\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)下的矩阵形式为(7.2.1)，则\(\langle \xi_1,\ldots,\xi_r\rangle\)也一定是一个\(\phi\)-不变子空间。
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进一步地，设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(V=V_1\oplus V_2\)，且\(V_1\)与\(V_2\)均是\(\phi\)-不变子空间，取\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)是\(V_1\)的基，\((\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)是\(V_2\)的基，则\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r,\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)下的矩阵必定形如
\begin{equation} \begin{pmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}\tag{7.2.2} \end{equation}
其中\(A_1\)是\(r\)阶方阵，\(A_2\)是\(n-r\)阶方阵。
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反之，若\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r,\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)下的表示矩阵是(7.2.2)，令
\begin{equation*} V_1=\langle \xi_1,\ldots,\xi_r\rangle,\ \ V_2=\langle \xi_{r+1},\ldots,\xi_n\rangle , \end{equation*}
则\(V_1\)、\(V_2\)都是\(\phi\)-子空间，且
\begin{equation*} V = V_1\oplus V_2. \end{equation*}
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综合上述讨论，我们有下面一个一般结论。
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借助不变子空间与表示矩阵的关系，我们有如下的一个常用结论。
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证明.
取\(U\)的一个基\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)，将其扩充为\(V\)的一个基\((\xi_1,\ldots,\xi_r,\xi_{r+1},\ldots,\xi_n)\)。由于\(U\)是\(\phi\)-子空间，所以\(\phi\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)下的矩阵形如(7.2.1)，记为
\begin{equation*} \phi(\xi_1,\ldots,\xi_n) = (\xi_1,\ldots,\xi_n)\begin{pmatrix} A_1 & *\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中\(A_1\)是一个\(r\)阶方阵，\(A_2\)是一个\(n-r\)阶方阵。
  1. 根据推论 7.1.16，可知：\(\phi\)可逆等价于其表示矩阵\(\begin{pmatrix} A_1 & *\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}\)可逆，而\(\begin{pmatrix} A_1 & *\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}\)可逆当且仅当\(A_1,A_2\)均可逆。又因为\(\phi|_U\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)下的表示矩阵为\(A_1\)，所以\(\phi|_U\)可逆。
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  2. 根据推论 7.1.16，\(\phi^{-1}\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)下表示矩阵为\(\phi\)表示矩阵的逆矩阵，即
    \begin{align} \phi^{-1}(\xi_1,\ldots,\xi_n) \amp = (\xi_1,\ldots,\xi_n)\begin{pmatrix} A_1 & *\\ 0 & A_2 \end{pmatrix}^{-1} \notag\\ \amp = (\xi_1,\ldots,\xi_n)\begin{pmatrix} A_1^{-1} & *\\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix}, \tag{7.2.3} \end{align}
    于是，\(U\)是\(\phi^{-1}\)-子空间。
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  3. 根据(7.2.3)，\(\phi^{-1}|_U\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)下的表示矩阵为\(A_1^{-1}\)。又因为\(\phi|_U\)在基\((\xi_1,\ldots,\xi_r)\)下的表示矩阵为\(A_1\)，所以\((\phi|_{U})^{-1}=\phi^{-1}|_{U}\)。
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最后来看一个有代表性的重要例子。
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例 7.2.8. 最小不变子空间.

设\(\phi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，\(0\ne \alpha\in V\)，\(k\)为满足 \(\alpha,\phi(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\)线性无关的最大整数。记
\begin{equation*} W = \langle \alpha,\phi(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\rangle. \end{equation*}
证明\(W\)是包含\(\alpha\)的最小不变子空间，并给出\(\phi|_W\)的一个表示矩阵。
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解答.
根据不变子空间的定义，包含\(\alpha\)的不变子空间必然包含\(\alpha,\phi(\alpha),\phi^2(\alpha),\dots\)。根据练习 7.1.4.10的结论，\(\alpha,\phi(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha)\)可以线性表出所有的\(\phi^j(\alpha)\)，所以\(W\)是包含\(\alpha\)的最小\(\phi\)-不变子空间。
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记
\begin{equation*} \phi^k(\alpha) = c_0 \alpha + c_1\phi(\alpha)+\cdots+ c_{k-1}\phi^{k-1}(\alpha), \end{equation*}
则\(\phi|_W\)在基\((\alpha,\phi(\alpha),\dots,\phi^{k-1}(\alpha))\)下的表示矩阵为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & c_0\\ 1 & \ddots &\vdots & c_1\\ & \ddots &0 & \vdots\\ 0 & & 1 & c_{k-1} \end{pmatrix}. \end{equation*}
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练习 7.2.3 练习

基础题.

1.
设\(\phi:\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^2,\ (a,b)^T\mapsto (b,a)^T\)，试求所有非平凡的\(\phi\)-不变子空间。
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2.
设\(V\)是4维线性空间，\(V\)上线性变换\(\phi\)在基\((\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\)下的矩阵为
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&0&2&-1\\ 0&1&4&-2\\ 2&-1&0&1\\ 2&-1&-1&2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
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  1. 证明：\(U=\langle \xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4\rangle\)是\(\phi\)-不变子空间；
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  2. 求\(\phi|_U\)在基\((\xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4)\)下的矩阵。
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提高题.

3.
设\(\phi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，取定\(\lambda\in\mathbb{F}\)，记
\begin{equation*} V_ \lambda^{(\phi)}=\{\alpha\in V\ |\ \phi (\alpha)=\lambda \alpha\}, \end{equation*}
证明：\(V_ \lambda^{(\phi)}\)是\(\phi\)-不变子空间。
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4.
设\(\phi ,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换，
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  1. 若\(\phi\psi=\psi\phi\)，证明：\({\rm Ker}\phi\)与\({\rm Im}\phi\)都是\(\psi\)-不变子空间；
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  2. 若\(\phi^2=\phi\)，证明：\({\rm Ker}\phi\)与\({\rm Im}\phi\)都是\(\psi\)-不变子空间的充分必要条件是\(\phi\psi=\psi\phi\)。
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5.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换。证明：\(\phi\)是数乘变换当且仅当\(V\)的任意一维子空间均为\(\phi\)-不变子空间。
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7.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\phi\)在基\((\xi_1,\dots ,\xi_n)\)下的矩阵是
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a&0&0&\cdots&0&0\\ 1&a&0&\cdots&0&0\\ 0&1&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&0\\ 0&0&0&\cdots&1&a \end{pmatrix}, \end{equation*}
证明：
  1. 设\(U\)是\(\phi\)-子空间，且\(\xi_1\in U\)，则\(U=V\)；
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  2. 对于任意非零\(\phi\)-子空间\(U\)，总有\(\xi_n\in U\)；
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  3. \(V\)不能分解为两个非平凡的\(\phi\)-子空间的直和。
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8.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
  1. \({\rm Ker}\phi\subseteq{\rm Ker}\phi^2\subseteq{\rm Ker}\phi^3\subseteq\cdots\subseteq{\rm Ker}\phi^n\subseteq\cdots\)；
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  2. \({\rm Im}\phi\supseteq{\rm Im}\phi^2\supseteq{\rm Im}\phi^3\supseteq\cdots\supseteq{\rm Im}\phi^n\supseteq\cdots\)；
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  3. 存在正整数\(s\)，使得\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)；
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  4. 存在正整数\(t\)，使得\({\rm Im}\phi^t={\rm Im}\phi^{t+1}\)；
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  5. 若\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+i}\)；
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  6. 若\({\rm Im}\phi^t={\rm Im}\phi^{t+1}\)，则对于任意正整数\(i\)，有\({\rm Im}\phi^t={\rm Im}\phi^{t+i}\)；
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  7. \({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)的充分必要条件是\({\rm Im}\phi^s={\rm Im}\phi^{s+1}\)；
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  8. 若\({\rm Ker}\phi^s={\rm Ker}\phi^{s+1}\)，那么\(V={\rm Ker}\phi^s\oplus{\rm Im}\phi^s\)。
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9.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，满足\(\dim {\rm Im}\phi^2=\dim{\rm Im}\phi\)，证明：\({\rm Im}\phi\bigcap{\rm Ker}\phi=0\)。
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挑战题.

10.
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\phi\)在基\((\xi_1,\dots ,\xi_n)\)下的矩阵是
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a&0&0&\cdots&0&0\\ 1&a&0&\cdots&0&0\\ 0&1&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&0\\ 0&0&0&\cdots&1&a \end{pmatrix}, \end{equation*}
求\(\phi\)的所有不变子空间。
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