求下列矩阵对应的\({\rm Im} A\):
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\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\)
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\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\)
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\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix},\)
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\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 4\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix}.\)
解答.
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\({\rm Im} A = \left\{\left.c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right| c\in \F \right\}\)。特别地当\(\F=\R\)时,\({\rm Im} A\)是坐标平面上1、3象限角分线。
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与1完全相同。
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\({\rm Im} A =\F^2\)。对一般的\((x,y)^T\in \F^2\),\begin{equation*} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \frac{x+y}{2}\cdot\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} +\frac{x-y}{4}\cdot\begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}\in {\rm Im} A. \end{equation*}
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\({\rm Im} A =\left\{\left.\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}\right|x,y\in \F\right\}\)。当\(\F=\R\)时,\({\rm Im} A\)是空间坐标系中的xoy平面。