生成子空间是直线和平面。同时有向量个数不同、但生成同一个子空间的例子。
节 4.3 生成子空间与极大无关组
本节中我们从列向量的角度来进一步理解线性方程组何时有解。设\(Ax=\beta\)是一个线性方程组，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)是\(A\)的列向量组，可知线性方程组有解的充分必要条件是 \(\beta\)是\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)的一个线性组合。若我们可以对列向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)的所有线性组合构成的集合有一个整体性的理解，则只需判断\(\beta\)是否落在这个集合内就可以判断线性方程组是否有解了。接下来我们就沿着这个思路来展开讨论。
子节 4.3.1 生成子空间
我们来考察下面的集合：
\begin{equation*}
{\rm Im} A:= \{c_1\alpha_1+\dots+c_n\alpha_n| c_1,\ldots,c_n\in \F \},
\end{equation*}
即列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的所有线性组合所构成的集合。接下来先通过几个具体的例子来熟悉一下这个集合。
例 4.3.1.
有如下一个简单但重要的观察。
观察 4.3.2.
集合\({\rm Im} A\) 对列向量的加法和数乘封闭。
注意到列向量空间本质上重要的是其由加法和数乘引入的结构，即列向量间的线性关系。而由于有封闭性，向量的加法和数乘也可以局限定义在\({\rm Im} A\)上。于是我们可以引入如下定义。
定义 4.3.3.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组。称集合
\begin{equation*}
\{c_1\alpha_1+\dots+c_n\alpha_n| c_1,\ldots,c_n\in \F \}
\end{equation*}
为由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) 生成的子空间，或也称为向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的 生成子空间，记做 \(\langle \alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\)。
特别地，一个矩阵\(A\)的列向量组生成的子空间也称为\(A\)的列空间，记做\({\rm Im} A\)。
备注 4.3.4.
记号\({\rm Im} A\)在章 6中将做进一步解释。
有了上述定义后，线性方程组解的存在性问题可以做如下转化。
命题 4.3.5.
\(Ax=\beta\)有解的充分必要条件是\(\beta\in {\rm Im} A \)。
子节 4.3.2 极大无关组
在 例 4.3.1中我们看到：生成 \(\langle \alpha_1,\ldots,\alpha_n \rangle\) 时并不一定需要这个向量组中的所有列向量。一个自然的问题：如何用最少的列向量生成相同的生成子空间？这些向量需要满足什么条件？
若向量组中的某一个向量可以被其它向量线性表出，比方说
\begin{equation}
\alpha_n = d_1\alpha_1+\dots+ d_{n-1}\alpha_{n-1},\tag{4.3.1}
\end{equation}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n c_i\alpha_i = \sum_{i=1}^{n-1}(c_i+c_nd_i)\alpha_i,
\end{equation*}
即任意\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)的线性组合都可以被\(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}\)线性表出，也就是说这个可被线性表出的 \(\alpha_n\)不是必要的。注意到线性相关的向量组中都有向量可以被其余向量线性表出，所以选择最少向量生成\(\langle \alpha_1,\ldots,\alpha_n \rangle\)时，我们需要的是线性无关的向量组。于是可以引入下面的术语。
定义 4.3.6.
若向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)的子组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots ,\alpha_{i_r}\)满足：
- \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots ,\alpha_{i_r}\)线性无关；
- 将原向量组中任意向量添加到\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots ,\alpha_{i_r}\)得到的\(r +1\)个向量线性相关，
则称\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots ,\alpha_{i_r}\)是向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
例 4.3.7.
- 约定：只有零向量组成的向量组没有极大线性无关组。
- 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)线性无关，则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的极大无关组就是其自身。
- \(\mathbb{R}^2\)中，\(\alpha_1=(1,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1)^T\)，\(\alpha_3=(1,1)^T\)， 则
- \(\alpha_1,\alpha_2\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组；
- \(\alpha_1,\alpha_3\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组；
- \(\alpha_2,\alpha_3\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个极大无关组。
关于极大无关组有下面的结论。
定理 4.3.8.
若 \(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\)是 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)的极大无关组，则
\begin{equation*}
\langle \alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\rangle=\langle \alpha_1,\dots,\alpha_n\rangle.
\end{equation*}
证明.
接下来的问题是如何求一个向量组的极大无关组。注意到初等行变换不改变列向量组的线性关系，因此我们可以先通过初等行变换化简，然后再来求极大无关组，我们通过一个具体例子来说明。
例 4.3.9.
求给定矩阵列向量组的极大无关组。
解答.
子节 4.3.3 向量组的秩与线性表出
上一小节中的定理 4.3.8说明向量组和其极大无关组生成的子空间是一样的，一定程度上提醒我们不同的向量组可以生成相同的子空间。本小节中我们讨论：生成相同子空间的两个向量组需要满足什么条件。
结合 定理 4.2.12， 极大无关组定义中的第二个条件 项 2也可表述为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)中的任意一个向量都可以被 \(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\)线性表出。我们来扩展研究一下这种性质。
定义 4.3.10.
设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)和\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)都是\(\mathbb{F}^m\)中的向量组。 若\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)中的每个向量都可由\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)线性表出，则称向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)可由向量组\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)线性表出；若向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)和向量组\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)可以互相线性表出， 则称向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)和\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)等价。
定理 4.3.11.
设\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)和\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)都是\(\mathbb{F}^m\)中的向量组。则
- \(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)可由\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)线性表出的充分必要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\dots ,\alpha_s\rangle \subseteq \langle \beta_1,\dots ,\beta_t\rangle. \end{equation*}
- 向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)和\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)等价的充分必要条件是\begin{equation*} \langle \alpha_1,\dots ,\alpha_s\rangle=\langle \beta_1,\dots ,\beta_t\rangle. \end{equation*}
例 4.3.12.
举例。
容易验证向量组等价这种关系满足下面的性质：
- 反身性：\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)与\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)等价；
- 对称性：若\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)与\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)等价，则\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)与\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)等价；
- 传递性： 若\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)与\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)等价，\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)与\(\gamma_1,\dots ,\gamma_r\)等价，则\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)与\(\gamma_1,\dots ,\gamma_r\)等价。
定理 4.3.13.
向量组和其极大线性无关组等价。
证明.
根据传递性，我们只需要关心线性无关向量组之间的线性表出。
引理 4.3.14.
如果向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)线性表出，且\(s>t\)，则\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)必线性相关。
等价的，如果向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\dots ,\beta_t\)线性表出，且向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_s\)线性无关， 则\(s\leq t\)。
证明.
定理 4.3.15.
两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等。
证明.
由于一个向量组的所有极大无关组都是相互等价的，所以这些极大无关组含有的向量个数都是一样的，我们给这个公共的个数一个特别的称呼。
定义 4.3.16.
向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)的极大无关组所含向量个数称为该向量组的秩，记为\(r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)\)。
备注 4.3.17.
约定只有零向量组成的向量组的秩为零。
我们通过下面的例子说明如何求一个向量组的秩。
例 4.3.18.
解答.
定理 4.3.19.
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)可以由向量组\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t\)线性表出， 则
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)\leq r(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t).
\end{equation*}
推论 4.3.20.
等价的向量组的秩相等。
若\(r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)= r(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t)\) ，则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t\)是否一定等价呢？答案是不一定。
定理 4.3.21.
- 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)可以由\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t\)线性表出的充要条件是\begin{equation*} r(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t). \end{equation*}
- 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)与\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t\)等价的充要条件是\begin{equation*} r(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots ,\beta_t)=r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s). \end{equation*}
证明.
例 4.3.22.
已知向量组
\begin{equation*}
I:{\alpha _1} = {\left( {0,1,1} \right)^T},{\alpha _2} = {\left( {1,1,0} \right)^T};
\end{equation*}
\begin{equation*}
II:{\beta _1} = {\left( { - 1,0,1} \right)^T},{\beta _2} = {\left( {1,2,1} \right)^T},{\beta _3} = {\left( {3,2, - 1} \right)^T}.
\end{equation*}
求证：向量组I和II等价。
解答.
子节 4.3.4 矩阵的列秩
在第二章中，我们按照线性方程组中有效方程的个数给出了矩阵秩的概念，即从行的角度理解矩阵秩这重要参数。矩阵按列分块后即可获得一个列向量组，一个列向量组也可以自然的拼成一个矩阵。接下来，我们在从列的角度重新理解矩阵的秩。
定义 4.3.23.
矩阵\(A\)列向量组的秩称为\(A\)的列秩。
注意到初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，我们有下面的结论。
定理 4.3.24.
任一\(m\times n\)矩阵\(A\)的列秩等于矩阵的秩\(r(A)\)。
推论 4.3.25.
设\(A\)是\(n\)阶方阵， 则下列命题等价:
- \(r(A)=n\)；
- \(\det A\neq 0\)；
- \(A\)的行（列）向量组线性无关；
- \(A\)的行（列）向量组的秩为\(n\)。
矩阵的秩还有一种理解（定义）方式与行列式有关。注意到一个方阵满秩当且其行列式不为0，我们有下面一个结论。
定理 4.3.26.
矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)等于其非0子式的最大阶数。即若\(r(A)=r\)，则
- 存在\(A\)的\(r\)阶子式不为0；
- \(A\)的任意\(r+1\)阶子式(若存在)都为0。
证明.
行列式在转置运算下是保持不变的。注意到 \(A^T\)的列向量组也就是转置后的 \(A\)的行向量组，我们定义：矩阵的行秩为其行向量组极大无关组中含有的向量个数。
定理 4.3.27.
设 \(A\in \mathbb{F}^{m\times n}\)，则
\begin{equation*}
r(A) = r(A^T) = A \text{的行秩。}
\end{equation*}
秩是矩阵的重要参数，有多种意义，在这里我们总结一下已经涉及到的秩的含义。
命题 4.3.28.
设 \(A\in \mathbb{F}^{m\times n}\)，则下述均可作为 \(r(A)\)的等价定义：
- 线性方程组\(AX=0\)中的有效方程个数，即 \(A\)的简化阶梯形中非0行行数；
- \(A\)的列向量组的秩，即列向量组极大无关组中含有的向量个数；
- \(A\)的行向量组的秩，即行向量组极大无关组中含有的向量个数；
- \(A\)非0子式的最大阶数 。
下面我们从列向量组角度证明关于矩阵秩的一些常用不等式。
例 4.3.29. 矩阵秩与阶数.
设\(A\in \mathbb{F}^{m\times n}\)，证明：\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)。
称满足\(r(A)= m\)的矩阵\(A\)为行满秩矩阵，满足\(r(A)= n\)的矩阵\(A\)为列满秩矩阵。
例 4.3.30. 拼接矩阵的秩.
证明：\(\max\{r(A),r(B)\}\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B)\)。
在上例中，若特取\(B\)是只有一列的矩阵（即列向量），则结论也可以总结为： 矩阵增加一列，则秩不变或加一；若矩阵减去一列，则秩不变或减一。此结论可以帮我们从另一个角度理解增广矩阵的秩与系数矩阵秩的关系。
在讨论秩的不等式时，分块矩阵是强有力的工具。
例 4.3.31. 分块矩阵的秩.
证明：\(r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\0&B
\end{array}\right)=r(A)+r(B);\quad r\left(\begin{array}{cc}
A&0\\ C &B
\end{array}\right) \geq r(A)+r(B)\)。
下面是矩阵乘法运算和加法运算对矩阵秩的影响，这里给出的是上界。
例 4.3.32. 乘积矩阵秩的上界.
证明：\(r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\}\)。
例 4.3.33. 和矩阵秩的上界.
证明：\(r(A+B)\leq r(A)+r(B)\)。
练习 4.3.5 练习
基础题.
1.
设向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，但不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示。证明：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价。
解答.
因为\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，所以存在\(a_1,a_2,\cdots ,a_s\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_s+\cdots +a_s\alpha_s.
\end{equation*}
若\(a_s=0\)，则\(\beta=a_1\alpha_1+a_2\alpha_s+\cdots +a_{s-1}\alpha_{s-1}\)，与条件\(\beta\)不能由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表出相矛盾。故\(a_s\neq 0\)。于是
\begin{equation*}
\alpha_s=-\frac{a_1}{a_s}\alpha_1-\frac{a_2}{a_s}\alpha_2-\cdots -\frac{a_{s-1}}{a_{s}}\alpha_{s-1}+\frac{1}{a_{s-1}}\beta,
\end{equation*}
则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)线性表出。又\(\beta\)可以由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出，故\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表出。从而，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价。
2.
设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)与向量组\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)等价，且\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关，试问\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_s\)是否一定线性无关？如果结论成立，证明；如果不成立，举出反例。
解答.
不一定成立。比如，向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T
\end{equation*}
与向量组
\begin{equation*}
\beta_1=(1,0)^T,\beta_2=(0,1)^T,\beta_3=(1,1)^T
\end{equation*}
等价，\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，但\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关。
3.
证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大无关组，即若\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中一个线性无关向量组，那么向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)一定可以扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+1}},\cdots ,\alpha_{i_r}\)。
解答.
- 若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)线性表出，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)已是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
- 若存在\(1\leq i_{p+1}\leq s\)使得\(\alpha_{i_{p+1}}\)不能由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)线性表出，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+1}}\)线性无关。
- 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)线性表出，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大线性无关组。
- 否则，存在\(1\leq i_{p+2}\leq s\)使得\(\alpha_{i_{p+2}}\)不能由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_{p+1}}\)线性表出，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+2}}\)线性无关。
继续以上过程，总可找到一个包含\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)的线性无关组，使得\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可由它线性表出，即找到包含\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p}\)的一个极大线性无关组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_p},\alpha_{i_{p+1}},\cdots ,\alpha_{i_r}\)。
4.
设
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,0,2,-1)^T,\alpha_2=(-2,1,-4,6)^T,\alpha_3=(3,2,7,5)^T,\alpha_4=(1,-2,6,-9)^T,
\end{equation*}
- 证明：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关；
- 求\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)；
- 把\(\alpha_1,\alpha_2\) 扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大无关组，并将其余向量表示 为这个极大无关组的线性组合。
解答.
- 因为\(\alpha_1,\alpha_2\)不成比例，所以\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关。
- 令\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\)，对\(A\)作行初等变换\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&-2&3&1\\ 0&1&2&-2\\ 2&-4&7&6\\ -1&6&5&-9 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&0&0&-31\\ 0&1&0&-10\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=B, \end{equation*}所以\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=3\)。
- 设\(B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4)\)。因为行初等变换不改变列向量组的线性关系，\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)（或\(\beta_1,\beta_2,\beta_4\)）是\(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4\)的一个极大线性无关组，所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)（或\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)）是\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大线性无关组。因此\(\alpha_1,\alpha_2\) 扩充为向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的一个极大无关组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)（或\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)）。
5.
设向量\(\beta\)可以由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s\)线性表示，但不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1}\)线性表示。证明：\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta)\)。
解答.
由作业 练习 4.3.5.1 知：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s\)与\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta\)等价，因此
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_{s-1},\beta).
\end{equation*}
6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维向量，已知单位向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可被它们线性表示，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
解答.
因为\(n\)维列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)必可由\(n\)维标准单位列向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)线性表出，而由题设\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出，因而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)与\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)等价。由此得
\begin{equation*}
r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)=r(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n).
\end{equation*}
注意到\(r(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n)=n\)，故 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)=n\)。从而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
7.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是一组\(n\)维向量，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关的充要条件是任一\(n\)维向量都可被它们线性表示。
解答.
充分性：由题设，\(n\)维标准单位列向量\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots ,\varepsilon_n\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出，由上题知，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关。
必要性：设\(\beta\)为任一\(n\)维列向量，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_s,\beta\)是\(n+1\)个\(n\)维列向量，必线性相关。而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关，故\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出。
8.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，证明：\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)个线性无关的向量都构成它的一极大无关组。
解答.
设\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意\(r\)个线性无关向量，则\(\forall 1\leq j\leq s\)，向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},\alpha_j\)必线性相关（否则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩不小于\(r+1\)。）因此，\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
9.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩为\(r\)，\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中\(r\)个向量，使得\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每个向量都可被它们线性表示，证明：\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
解答.
由于向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)可由\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性表出，而显然\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表出，所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)与向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)等价。从而\(r(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r})=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r \)，则\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)线性无关。 故\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的一个极大无关组。
10.
已知两个向量组\(\alpha_1=(1,0,2)^T,\alpha_2=(1,1,3)^T,\alpha_3=(1,-1,a+2)^T\)和\(\beta_1=(1,2,a+3)^T,\beta_2=(2,1,a+6)^T,\beta_3=(2,1,a+4)^T\)，问\(a\)为何值时，两个向量组等价；当\(a\)为何值时，两向量组不等价。
解答.
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc}
1&1&1&1&2&2\\0&1&-1&2&1&1\\0&0&a+1&a-1&a+1&a-1
\end{array}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&2\\2&1&1\\a+3&a+6&a+4
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1&2&2\\0&1&1\\0&0&-2
\end{array}\right)
\end{equation*}
则\(r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\)。故两个向量组等价\(\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=3\Leftrightarrow a\neq -1\)；两个向量组不等价\(\Leftrightarrow a=-1\)。
11.
证明：数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)个方程的\(n\)元线性方程组
\begin{equation*}
x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n=\beta
\end{equation*}
对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)都有解的充分必要条件是\(\det (\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\neq 0\)。
解答.
线性方程组\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n=\beta\)对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)都有解当且仅当任一\(n\)维向量\(\beta\)都可由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性表出。由作业 练习 4.3.5.7 可知，其充分必要条件为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)线性无关，即\(\det (\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n)\neq 0\)。
12.
设\(A\)是秩为\(r\)的\(m\times n\)矩阵，从\(A\)中任意取\(s\)行作一个\(s\times n\)矩阵\(B\)。证明：\(r(B)\geq r+s-m\)。
解答.
设\(A\)的行向量组为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)，\(B\)的行向量组为\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)。若\(r(B)=t\)，则向量组\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的秩为\(t\)。因为\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的极大无关组为向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)的线性无关组，故可将\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)的一个极大无关组（含\(t\)个向量）扩充为\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)的一个极大线性无关组（扩充了\(r-t\)个向量）。注意到上述扩充过程中，扩充的向量均取自\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)以外的向量，而\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)中除\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots ,\alpha_{i_s}\)外的向量个数为\(m-s\)，故\(r-t\leq m-s\)。因此\(r(B)=t\geq r+s-m\)。
13.
设\(A\)是秩为\(r\)的\(m\times n\)矩阵，从\(A\)中任意划去\(m-s\)行与\(n-t\)列，其余元素按原来位置排成一个\(s\times t\)矩阵\(C\)。证明：\(r(C)\geq r+s+t-m-n\)。
解答.
设\(A\)划去\(m-s\)行后的矩阵为\(B\)，则\(B\)划去\(n-t\)列后得到矩阵\(C\)。由上题知，\(r(B)\geq r+s-m\)。同理，\(r(C)\geq r(B)+t-n\)。因此
\begin{equation*}
r(C)\geq r+s+t-m-n.
\end{equation*}
14.
设\(n\)维实列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关，其中\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})^T,i=1,2,\cdots ,r\)。已知\(\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)是齐次线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0,\\
\vdots\\
a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+\cdots +a_{rn}x_n=0
\end{array}\right.
\end{equation*}
的一个非零实解向量。试判断向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r,\beta\)的线性相关性。
解答.
令\(A=\begin{pmatrix}
\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_r^T
\end{pmatrix}\)，由题设\(\beta\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的解，即\(A\beta=0\)，得对任意\(1\leq i\leq r\)，有\(\alpha_i^T\beta=0\)。
假设
\begin{equation}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_r\alpha_r+a_{r+1}\beta=0,\tag{4.3.2}
\end{equation}
则
\begin{equation*}
a_1\alpha_1^T+a_2\alpha_2^T+\cdots +a_r\alpha_r^T+a_{r+1}\beta^T=0,
\end{equation*}
两边同时右乘\(\beta\)得
\begin{equation*}
a_1(\alpha_1^T\beta)+a_2(\alpha_2^T\beta)+\cdots +a_r(\alpha_r^T\beta)+a_{r+1}(\beta^T\beta)=0,
\end{equation*}
即\(a_{r+1}(\beta^T\beta)=0\)。注意到\(\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\)为非零向量，
\begin{equation*}
\beta^T\beta=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\neq 0,
\end{equation*}
故\(a_{r+1}=0\)。代入 (4.3.2) ，得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_r\alpha_r=0,
\end{equation*}
由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)线性无关知\(a_1=a_2=\cdots =a_r=0\)。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r,\beta\)线性无关。
15.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，证明：\(A^2=E\)的充要条件是\(r(A+E)+r(A-E)=n\)。
解答.
作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A+E_n&0\\0&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A+E_n&A-E_n\\0&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
2E_n&A-E_n\\E_n-A&A-E_n
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
2E_n&0\\0&\frac{1}{2}(A^2-E_n)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
r(A+E_n)+r(A-E_n)=n+r(A^2-E).
\end{equation*}
因此\(A^2=E\)的充要条件是\(r(A+E)+r(A-E)=n\)。
16.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times s\)矩阵。证明：\(r(AB)\geq r(A)+r(B)-n\)。
解答.
证法一：作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_n&0\\0&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
E_n&0\\A&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
E_n&-B\\A&0
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A&0\\E_n&-B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(E_n)+r(AB)=r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix}),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
r(AB)=r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix})-n.
\end{equation*}
注意到\(r(\begin{pmatrix}
A&0\\-E_n&B
\end{pmatrix})\geq r(A)+r(B)\)，故
\begin{equation*}
r(AB)\geq r(A)+r(B)-n.
\end{equation*}
证法二：设\(r(A)=r\)，则存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)与\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)使得
\begin{equation*}
A=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q.
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(AB)=r(P\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB)=r(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB).
\end{equation*}
设\(QB=\begin{pmatrix}
B_1\\B_2{}
\end{pmatrix}\)，其中\(B_1\in\mathbb{F}^{r\times s},B_2\in\mathbb{F}^{(n-r)\times s}\)，则\(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QB= \begin{pmatrix}
B_1\\0
\end{pmatrix}\)。从而
\begin{equation*}
r(AB)=r(\begin{pmatrix}
B_1\\0
\end{pmatrix})=r(B_1).
\end{equation*}
证法三： 记\(S = \{X|ABX = 0\}\)，则\(r(S) = s - r(AB) \)。
记\(S_1 =\{X|BX= 0 \}\)，取\(S_1\)的一个极大无关组为\(\eta_1,\ldots,\eta_k\)，其中\(k = s - r(B)\)。
注意到\(S\)也可以表示为\(S = \{X| BX=Y,\ AY=0\}\)。记 \(T = \{Y|AY = 0, \mbox{ 且}BX=Y\mbox{有解}\} \)，取\(T\)的一个极大无关组为\(Y_1,\ldots, Y_t\)。因为 \(T\subseteq \{Y|AY=0\}\)，所以\(t = r(T)\leq n - r(A)\)。
取\(\gamma_i\)为非齐次方程组\(BX = Y_i\)的一个特解，\(i=1,\ldots,t\)。下证向量组\(S\)可以由向量组\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。任取\(X\in S\)。若\(BX=0\)，根据齐次线性方程组解的结构定理，\(X\)可以由\(\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出；若\(BX=Y_0\ne 0\)，记\(Y_0 = \sum_{j=1}^t c_jY_j\)，则\(B(\sum_{j=1}^t c_j \gamma_j) = Y_0\)，即\(\sum_{j=1}^t c_j \gamma_j\)是\(BX=Y_0\)的一个特解，根据非齐次线性方程组解的结构定理，\(X\)可以由\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。综上，\(T\)可以由向量组\(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k\)线性表出。
于是，我们有
\begin{equation*}
s- r(AB) = r(S)\le r(\gamma_1,\ldots, \gamma_t,\eta_1,\ldots,\eta_k)\le t+k\le s-r(B)+n-r(A),
\end{equation*}
整理可得\(r(AB)\geq r(A)+r(B)-n\)。
17.
证明Frobenius不等式：\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)。
解答.
证法一：作分块矩阵的初等变换，
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
ABC&0\\0&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
ABC&AB\\0&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
0&AB\\-BC&B
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
-BC&B\\0&AB
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
r(ABC)+r(B)=r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix}),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
r(ABC)=r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix})-r(B).
\end{equation*}
注意到\(r(\begin{pmatrix}
BC&-B\\0&AB
\end{pmatrix})\geq r(AB)+r(BC)\)，故
\begin{equation*}
r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B).
\end{equation*}
证法二：设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times s},C\in\mathbb{F}^{s\times t}\)且\(r(B)=r\)，则存在\(n\)阶可逆矩阵\(P\)与\(s\)阶可逆矩阵\(Q\)，使得\(B=P \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q\)。所以
\begin{equation*}
r(ABC)=r(AP\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r([AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix}]\cdot [\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC]),
\end{equation*}
这里\(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix}\)是\(m\times r\)矩阵，\(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC\)是\(r\times t\)矩阵。根据上题结论，
\begin{equation*}
r(ABC)\geq r(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix})+r(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC)-r.
\end{equation*}
注意到
\begin{equation*}
r(AP \begin{pmatrix}
E_r\\0
\end{pmatrix})=r(AP \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix})=r(AP \begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}Q)=r(AB),
\end{equation*}
\begin{equation*}
r(\begin{pmatrix}
E_r&0
\end{pmatrix}QC)=r(\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r(P\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}QC)=r(BC),
\end{equation*}
故\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)。
