主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
上一节的结论说明数字矩阵相似的问题可以转化为其特征矩阵的
\(\lambda\)-矩阵相抵问题。本节中我们来研究
\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型,这个问题与数字矩阵相抵的研究思路是类似的。
子节 7.7.3 法式唯一性与行列式因子
注意到初等
\(\lambda\)-矩阵的行列式都是非0常数,所以
\(A(\lambda)\)的行列式与其法式的行列式仅差一非零常数倍。利用这个性质,我们来证明法式的唯一性。作为工具,可以引入下面的概念。
定义 7.7.11.
设
\(A(\lambda)\)是
\(\mathbb{F}\)上
\(m\times n\)阶
\(\lambda\)-矩阵,
\(k(\le \min\{m,n\})\)是一个自然数。如果
\(A(\lambda)\)的所有
\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零,则称首项系数为
\(1\)的最大公因式为
\(A(\lambda)\)的
\(k\)阶行列式因子,记为
\(D_k(\lambda)\)。
特别地,对于一个数字方阵
\(A\),其特征矩阵
\(\lambda E_n- A\)的行列式因子也称为
\(A\)的行列式因子。
不同于法式的定义,
\(k\)阶行列式因子的定义本身确保了其存在唯一性。接下来我们将利用行列式因子的唯一性来证明法式的唯一性。先通过一个具体的例子来熟悉一下这个概念。
例 7.7.12. 行列式因子举例.
设
\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\
\lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\),求其行列式因子。
解答.
-
\(1\)阶行列式因子:
\(A(\lambda)\)有4个非0的1阶子式,分别是
\(\lambda(\lambda-1)\)、
\(\lambda\)、
\(\lambda+1\)和
\(2-\lambda\)。注意到
\(\lambda\)与
\(\lambda+1\)互素,所以不需要考虑其它1阶子式,可以直接判断出
\(A(\lambda)\)的
\(1\)阶行列式因子
\(D_1(\lambda)=1\)。
-
2阶行列式因子:\(A(\lambda)\)有4个非0的2阶子式,分别是
-
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}0 & \lambda(\lambda-1) \\
\lambda & 0\end{vmatrix} = -\lambda^{2}(\lambda-1)
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}\lambda(\lambda-1) & 0 \\ 0 & \lambda+1\end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)(\lambda+1)
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}\lambda(\lambda-1) & 0 \\ 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)(2-\lambda)
\end{equation*}
-
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}\lambda & \lambda+1 \\ 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = \lambda(2-\lambda)
\end{equation*}
这4个非0子式的最大公因式为
\(\lambda\),所以
\(D_2(\lambda)=\lambda\)。
-
3阶行列式因子:\(A(\lambda)\)有一个非0的3阶子式,即\(A(\lambda)\)本身的行列式,
\begin{equation*}
\det A(\lambda) = \begin{vmatrix}0 & \lambda(\lambda-1) & 0 \\ \lambda & 0 & \lambda+1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = -\lambda^{2}(\lambda-1)(2-\lambda).
\end{equation*}
所以\(D_3(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)(\lambda-2)\)。
上述例子提示我们,求行列式因子时并不一定需要计算所有的非0子式,当我们发现一部分同阶子式的最大公因式是1时,就可以直接得出相应的行列式因子为1。特别地,若可以找到
\(A(\lambda)\)的一个
\(k\)阶子式是一个非0常数,则可以直接得出结论
\(D_k(\lambda)=1\)。
行列式因子定义本身要求其不是0,同时注意到矩阵的秩等于其非0子式的最大阶数,所以\(r(A(\lambda))=r\)意味着\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。对于一个秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\),称
\begin{equation*}
\left( D_1(\lambda),\dots,D_r(\lambda) \right)
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的行列式因子组。
这里使用圆括号记号是为了强调行列式因子是有顺序的,其顺序就是按照其阶数从小到大排列的。事实上,我们有下面的结论。
命题 7.7.13.
设\(r(A(\lambda))=r\),\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子组,则
\begin{equation*}
D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,r-1).
\end{equation*}
证明.
任给一个
\(i=1,\dots ,r-1\),同时任取
\(A_{i+1}\)是
\(A(\lambda)\)的一个
\(i+1\)阶子式。将
\(A_{i+1}\)按照一行进行展开,则它的每一个展开项都是一个多项式与一个
\(i\)阶子式的乘积。由于
\(D_i(\lambda)\)是所有
\(i\)阶子式的最大公因式,因此
\(D_i(\lambda)|A_{i+1}\)。另一方面,
\(D_{i+1}(\lambda)\)是所有
\(i+1\)阶子式的最大公因式,由
\(i\)和
\(A_{i+1}\)的任意性可知
\(D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda)\)对
\(i=1,\dots ,r-1\)均成立。
接下来开始证明法式的唯一性。我们先说明行列式因子组是相抵关系的不变量。
定理 7.7.14.
相抵
\(\lambda\)-矩阵有相同的行列式因子组。
证明.
只需验证行列式因子在三类初等变换下保持不变即可。我们这里只讨论行初等变换,列初等变换的讨论完全类似。
-
互换变换:交换
\(\lambda\)-矩阵
\(A(\lambda)\)的两行最多只改变了
\(i\)阶子式的符号,不会改变其最大公因式,即不会改变行列式因子。
-
倍法变换:变换前后的
\(i\)阶子式最多只差一个非0常数,所以也不会改变行列式因子。
-
消法变换:设
\(A(\lambda)\)的第
\(j\)行乘
\(f(\lambda)\)加到第
\(i\)行得到
\(B(\lambda)\)。若
\(B(\lambda)\)的
\(s\)阶子式不含第
\(i\)行,或同时含第
\(i\)行和第
\(j\)行,则它等于
\(A(\lambda)\)的相应的一个
\(s\)阶子式。若
\(B(\lambda)\)的
\(s\)阶子式含第
\(i\)行但不含第
\(j\)行,则它等于
\(A(\lambda)\)的相应的一个
\(s\)阶子式加减
\(f(\lambda)\)乘
\(A(\lambda)\)的另一个
\(s\)阶子式。所以
\(A(\lambda)\)的
\(s\)阶行列式因子整除
\(B(\lambda)\)的任意
\(s\)阶子式,从而整除
\(B(\lambda)\)的
\(s\)阶行列式因子。由于
\(A(\lambda)\)也可以通过对
\(B(\lambda)\)施行相应的消法变换得到,同理可得
\(B(\lambda)\)的
\(s\)阶行列式因子整除
\(A(\lambda)\)的
\(s\)阶行列式因子。因为行列式因子首项系数为
\(1\),所以
\(A(\lambda),B(\lambda)\)的行列式因子相同。
推论 7.7.15.
证明.
进一步地,行列式因子组可以作为
\(\lambda\)-矩阵是否相抵的判断依据。
推论 7.7.16.
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\Leftrightarrow A(\lambda)\)与
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
证明.
若
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\),则根据
定理 7.7.14,
\(A(\lambda)\)与
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
反之,若
\(A(\lambda)\)与
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子,则根据
推论 7.7.15,
\begin{equation*}
A(\lambda)\simeq\begin{pmatrix}
D_1(\lambda)&&&&&\\
&\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}&&&&\\
&&\ddots&&&\\
&&&\frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}&&\\
&&&&0&\\
&&&&&\ddots
\end{pmatrix}\simeq B(\lambda).
\end{equation*}
推论 7.7.17.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ,则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\dots ,1,d_1(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式,\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,\dots ,k)\),且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,k-1)\)。
子节 7.7.4 不变因子
对于给定的
\(\lambda\)-矩阵
\(A(\lambda)\),
推论 7.7.15保证了法式的唯一性,即法式中的对角元是确定的,可以作为是否相抵的判断依据。
定义 7.7.18.
设秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}\left( g_1(\lambda),\dots, g_r(\lambda),0,\dots,0 \right),
\end{equation*}
其中首一多项式\(g_{i}(\lambda)|g_{i+1}(\lambda), i=1,\dots ,r-1\)。 称\(g_{i}(\lambda)\)为\(A(\lambda)\)的第\(i\)个不变因子,称
\begin{equation*}
(g_1(\lambda),\dots,g_r(\lambda) )
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的不变因子组。
特别地,数字方阵
\(A\)的不变因子和不变因子组定义为其特征矩阵
\(\lambda E-A\)的不变因子和不变因子组。
由
命题 7.7.13 知:若
\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是
\(A(\lambda)\)的行列式因子,则
\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\),即
\begin{equation*}
\frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r).
\end{equation*}
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。从法式的角度易知\(A(\lambda)\)的行列式因子组和不变因子组可以相互决定:
-
若\(A(\lambda)\)的行列式因子组为\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\dots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)};
\end{equation*}
-
若\(A(\lambda)\)的不变因子组为\((g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
\begin{equation*}
D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\dots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda).
\end{equation*}
注意到特征矩阵\(\lambda E_n -A \)的秩必定为矩阵的阶数\(n\),所以数字方阵\(A\)的不变因子组必定形如
\begin{equation*}
(1,\dots,1,d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)),
\end{equation*}
这里\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)都是次数大于等于1的首一多项式且 \(d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\),1的个数为\(n-k\)。\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)也称为\(A\)的非平凡不变因子。
当计算行列式因子/不变因子时,并不一定需要逐个来求。若我们可以知道一个行列式因子
\(D_t(\lambda) =1\)时,由于有整除的限制,对任意正整数
\(j\le t\),
\(D_j(\lambda) =1\)均成立;相应地,
\(g_j(\lambda) =1\)也成立。下面的例子是一个典型例子,例子中的矩阵称为
Frobenius块矩阵。
例 7.7.19. Frobenius块矩阵的不变因子.
求
\(n\)阶矩阵
\(A=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_{0}\\
1&0&\ddots &\vdots &-a_{1}\\
0 &\ddots &\ddots& 0 &\vdots\\
\vdots &\ddots&1&0&-a_{n-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}\)的不变因子。
解答.
因
\begin{equation*}
\lambda E-A=\begin{pmatrix}
\lambda&0 &\cdots &0&a_{0}\\
-1&\lambda &\ddots &\vdots &a_{1}\\
0 &\ddots&\ddots&0&\vdots\\
\vdots &\ddots&-1&\lambda&a_{n-2}\\
0&\cdots&0&-1&\lambda+a_{n-1}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
存在\(n-1\)阶子式 \(\begin{vmatrix}
-1&\cdots&0&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\cdots&-1&\lambda\\
0&\cdots&0&-1
\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}\),而行列式因子是所有同阶行列子式的最大公因式,所以\(D_{n-1}(\lambda) =1\),进而可推知
\begin{equation*}
D_1(\lambda)=\cdots = D_{n-1}(\lambda) = 1,
\end{equation*}
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=\cdots = g_{n-1}(\lambda) = 1.
\end{equation*}
\begin{equation*}
D_n(\lambda) = g_n(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0.
\end{equation*}
另一个有意思的事实是数字方阵
\(A\)的最后一个行列式因子就是
\(A\)的特征多项式
\(\chi_A(\lambda)\)。相应的,
\(A\)的所有不变因子乘积为特征多项式
\(\chi_A(\lambda)\)。
定理 7.7.20.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\),下列叙述等价:
-
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\);
-
\(A(\lambda)\)和
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子;
-
\(A(\lambda)\)和
\(B(\lambda)\)有相同的不变因子;
-
\(A(\lambda)\)和
\(B(\lambda)\)有相同的法式。
推论 7.7.21.
对于\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\),下列叙述是等价的。
-
-
-
例 7.7.22.
判断下列两个矩阵是否相似:
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix},\ B =\begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&1&1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
简单计算可知矩阵\(A\)的不变因子组为:
\begin{equation*}
\left(1,\ \lambda-1,\ (\lambda-1)(\lambda+1)\right),
\end{equation*}
矩阵\(B\)的不变因子组为:
\begin{equation*}
\left(1,\ 1,\ (\lambda-1)^2(\lambda+1)\right),
\end{equation*}
所以\(A\)与\(B\)不相似。
注意到矩阵的行列式因子和不变因子与数域无关。所以两个矩阵是否相似也与数域无关。
推论 7.7.23.
设
\(\mathbb{F},\mathbb{K}\)是数域且
\(\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}\),
\(A,\ B\in\mathbb{F}^{n\times n}\),则
\(A,B\)在
\(\mathbb{F}\)上相似的充分必要条件是
\(A,B\)在
\(\mathbb{K}\)上相似。
特别地,设\(A,B\in \R^{n\times n}\)均为实方阵,若\(A,B\)在复数域\(\C\)上相似,则必存在实矩阵\(P\in \R^{n\times n}\),使得
\begin{equation*}
P^{-1}AP = B.
\end{equation*}
练习 7.7.5 练习
基础题.
1.
(1)
\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\); (2)
\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
2.
求
\(A\)的特征矩阵的法式,其中 (1)
\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\),(2)
\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明:\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
\end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子: (1)
\(\begin{pmatrix}
\lambda &1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\); (2)
\(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\);(3)
\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
5.
设
\(A=\begin{pmatrix}
0&2&0&0\\
1&-1&0&0\\
0&0&0&-2\\
0&0&1&3
\end{pmatrix}\),求
\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
6.
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}\);
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&1\\0&1
\end{pmatrix}\);
-
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&0\\0&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\);
-
\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&1&0\\0&2&0\\0&0&2
\end{pmatrix}\)。
7.
设
\(A\)为
\(2n\)阶实方阵,且
\(A^2+E=0\),证明:
\(A\)相似于
\(\begin{pmatrix}
0&-E_n\\
E_n&0
\end{pmatrix}\)。
提高题.
8.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\),证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
9.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵,
\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是
\(A\)的行列式因子,证明:存在
\(n\)阶
\(\lambda\)-矩阵
\(B(\lambda)\),使得
\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且
\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为
\(1\)。
10.
若
\(n\)阶方阵
\(A\)是幂零矩阵,即有大于
\(1\)的整数
\(k\),使得
\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求
\(A\)的最后一个不变因子。
11.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵,
\(A\)的行列式因子是
\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\),证明:
\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
12.
对于任意
\(n\)阶方阵
\(A\),证明:
\(A\)相似于
\(A^T\)。
13.
若
\(n\)阶方阵
\(A\)是幂零矩阵,即有大于
\(1\)的整数
\(k\),使得
\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求
\(A\)的最后一个不变因子。
14.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的
\(n\)阶方阵,
\(A\)的行列式因子是
\(1,\dots,1,f(\lambda)\),证明:
\(\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
15.
设
\(A,B\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(3\)阶方阵,证明:
\(A\)相似于
\(B\)的充分必要条件是
\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且
\(\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\)。当
\(A,B\)为
\(4\)阶方阵时,情况如何?
挑战题.
16.
设
\(\varphi,\psi\)是
\(n\)维线性空间
\(V\)上的线性变换,且
\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明:
\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是
\(\psi=h(\varphi)\),其中
\(\deg h(\lambda)<n\)。