主要内容

高等代数: 多项式与线性代数

7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型

上一节的结论说明数字矩阵相似的问题可以转化为其特征矩阵的\(\lambda\)-矩阵相抵问题。本节中我们来研究\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型,这个问题与数字矩阵相抵的研究思路是类似的。

子节 7.7.1 \(\lambda\)-矩阵的初等变换

类似于数字矩阵是否可逆可以用初等变换来进行研究,\(\lambda\)-矩阵也有相应的初等变换和初等矩阵,并且也可以用来研究\(\lambda\)-矩阵的可逆性。

定义 7.7.1.

\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda )\)实行的下列变换称为\(\lambda\)-矩阵行初等变换,或者也直接简称为行初等变换
  • 互换变换:将\(A(\lambda)\)两行对换;
  • 倍法变换:将\(A(\lambda )\)的第\(i \)行乘以 非零常数 \(c\)
  • 消法变换:将\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)后加到第\(i\)行上去。
相应地,列初等变换可以类似定义。

定义 7.7.2.

对单位矩阵作一次\(\lambda\)-矩阵初等行变换所得到的矩阵称初等\(\lambda\)-矩阵,或简称为初等矩阵,特别地:
  • 互换矩阵:将\(E_n\) 的第\(i\)行与第\(j\)行互换,记为\(E(i,j)\)
  • 倍法矩阵:将\(E_n\)的第\(i\)行乘非零常数\(c\) ,记为\(E(i(c))\)
  • 消法矩阵:将\(E_n\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行,记为\(E(i,j(f(\lambda)))\)
数字矩阵的互换变换和倍法变换与\(\lambda\)-矩阵的互换变换和倍法变换没有区别,需要注意\(\lambda\)-矩阵的倍法变换只允许乘以非零常数,不允许乘以非常数的多项式。 数字矩阵的互换矩阵和倍法矩阵与\(\lambda\)-矩阵的互换矩阵和倍法矩阵是完全一样的。
数字矩阵的消法变换/矩阵与\(\lambda\)-矩阵的消法变换/矩阵稍有不同,\(\lambda\)-矩阵的消法变换中可以乘以任意多项式,不需要局限于常数,相应的\(\lambda\)-矩阵的消法矩阵可能不是数字矩阵。

7.7.3. \(\lambda\)-矩阵的消法矩阵.

\(\lambda\)矩阵
\begin{equation*} A(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda&\lambda + 1 \\ \lambda^{2}&\lambda^{2} + 2\lambda\end{pmatrix} \end{equation*}
通过初等行变换消去第二行第一列的项,并写出对应的消法矩阵。
解答.
对第二行施加操作:
\begin{equation*} R_{2} \leftarrow R_{2} - \lambda R_{1}, \end{equation*}
即用第二行减去 \(\lambda\) 倍的第一行。
该行变换对应的初等矩阵(消法矩阵)为:
\begin{equation*} E(2,1(-\lambda)) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -\lambda & 1\end{pmatrix} \end{equation*}
矩阵中非对角线元素 \(-\lambda\) 表示行操作中乘以的倍式。
计算 \(E(2,1(-\lambda)) A(\lambda)\)可知:
\begin{equation*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -\lambda & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda&\lambda + 1 \\ \lambda^{2}&\lambda^{2} + 2\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda & \lambda + 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix} \end{equation*}
下面定理的结论与数字矩阵的结论完全类似,验证方式也一样,请有兴趣的读者自行证明。

证明.

\begin{equation*} \det E(i,j)=1,\ \det E(i(c))=c,\ \det E(i,j(f(\lambda)))=1 \end{equation*}
都是非零常数,所以初等\(\lambda\)-矩阵都可逆。根据命题 7.6.5,初等\(\lambda\)-矩阵的乘积矩阵\(A(\lambda)\)仍可逆。
定理 7.7.5 的逆命题事实也是成立的,即\(A(\lambda)\)可逆的充要条件是\(A(\lambda)\)是初等\(\lambda\)-矩阵的乘积。相应的,推论 7.7.6的逆命题也是成立的。这两个结论逆命题的证明将放在介绍\(\lambda\)-矩阵相抵标准型之后。

子节 7.7.2 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型

接下来用\(\lambda\)-矩阵的初等变换/矩阵来研究\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型。我们先来利用初等变换来化简\(\lambda\)-矩阵。

证明.

因为\(A(\lambda)\)是非零\(\lambda\)-矩阵,我们总可以经过互换变换使得第1行第1列元素非零。不妨设\(a_{11}(\lambda)\neq 0\)。现对\(\deg a_{11}(\lambda)\)使用归纳法。
\(\deg a_{11}(\lambda)=0\)时,\(a_{11}(\lambda)\)为非零常数,必整除\(A(\lambda)\)的所有元素,结论成立。
假设当\(\deg a_{11}(\lambda)< k\)时,结论成立。下面考虑\(\deg a_{11}(\lambda) = k \)的一般情形。
\(a_{11}(\lambda)\)整除\(A(\lambda)\)的所有元素,则结论成立。否则,存在\(a_{ij}(\lambda)\)使得\(a_{11}(\lambda)\nmid a_{ij}(\lambda)\)。以下分三类情形分别讨论。
  1. \(j=1\),则存在\(q(\lambda),r(\lambda)\),使得
    \begin{equation*} a_{i1}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda), \end{equation*}
    其中\(r(\lambda)\neq 0\)\(\deg r(\lambda)<\deg a_{11}(\lambda)=k\)。将\(A(\lambda)\)的第一行乘以\(-q(\lambda)\)加到第\(i\)行,再将第1行和第\(i\)行互换,得到的\(\lambda\)-矩阵的第1行第1列元素为\(r(\lambda)\),满足\(\deg r(\lambda)< k\)。根据归纳假设,结论成立。
  2. \(i=1\),与上述情形类似,同理可证。
  3. \(a_{11}(\lambda)\)整除第1行和第1列的所有元素,则此时利用\(a_{11}(\lambda)\)和行、列消法变换,我们可以把第1行和第1列除外的所有元素都变成0,即\(A(\lambda)\)经初等变换可以变成如下形式:
    \begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & 0 &\cdots & 0\\ 0 & a'_{22}(\lambda) & \cdots & a'_{2n}(\lambda)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a'_{m2}(\lambda) & \cdots & a'_{mn}(\lambda) \end{pmatrix}\tag{7.7.1} \end{equation}
    此时,若\(a_{11}(\lambda)\)可整除所有元素,则(7.7.1)中的矩阵就可以作为矩阵\(B(\lambda)\)。下面主要处理另外的情况:此时存在\(a'_{ij}(\lambda)\)不能被\(a_{11}(\lambda)\)整除。此种情况下,将(7.7.1)中矩阵的第\(j\)列加到第1列去,这时新矩阵第1列中出现了不能被\(a_{11}(\lambda)\)整除的\(a'_{ij}(\lambda)\),于是回到了已经讨论过的情形1,利用情形1的讨论结果可知结论成立。

证明.

对矩阵的阶数\(m\)(或\(n\))使用归纳法进行证明。当\(m=1\)(或\(n=1\))时,利用引理 7.7.7,归纳法的初始条件很容易验证成立。
\(m\ge 2\)(且\(n\ge 2\))时,根据引理 7.7.7\(A(\lambda)\)相抵于一个\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda) =(b_{ij}(\lambda))_{m\times n} \),满足\(b_{11}(\lambda)\ne 0\)\(b_{11}(\lambda)\)整除\(B(\lambda)\)的任一元素\(b_{ij}(\lambda)\)。利用\(b_{11}(\lambda)\)和消法变换,可以将\(B(\lambda)\)的第一行、第一列中所有其余元素都消成0,即\(A(\lambda)\)可以相抵于如下形式的矩阵:
\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11}(\lambda) & 0 &\cdots & 0\\ 0 & b'_{22}(\lambda) & \cdots & b'_{2n}(\lambda)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b'_{m2}(\lambda) & \cdots & b'_{mn}(\lambda) \end{pmatrix}\tag{7.7.3} \end{equation}
则此时\(b_{11}(\lambda)\)仍可整除所有的\(b'_{ij}(\lambda)\)
通过第一行数乘\(b_{11}(\lambda)\)首相系数的倒数,我们可以把左上角位置的元素变成首1多项式,为了记号的简单,不妨假设\(b_{11}(\lambda)\)已经是一个首1多项式。此时,记\(g_1(\lambda)=b_{11}(\lambda)\),即\(g_1(\lambda)\)整除所有的\(b'_{ij}(\lambda)\)
(7.7.3)中的矩阵删除第一行、第一列后的余子阵为\(B'(\lambda)\),则\(B'(\lambda)\)的行数\(m-1\)(或列数\(n-1\))严格小于\(A(\lambda)\)的相应阶数,所以根据归纳假设,\(B'(\lambda)\)经过初等变换可以变成矩阵:
\begin{equation} \begin{pmatrix} g_2(\lambda)&&&&\\ &\ddots&&&\\ &&g_r(\lambda)&&\\ &&&0&\\ &&&&\ddots \end{pmatrix}\tag{7.7.4} \end{equation}
现在把\(B'(\lambda)\)嵌回到(7.7.3)中的矩阵,注意到对大矩阵的后\(m-1\)行(后\(n-1\)列)做初等变换等价于对\(B'(\lambda)\)做相应的行(列)初等变换。由于除\(b_{11}(\lambda)\)外,第一列(行)的其它元素都是0,所以这些元素在上述初等变换中保持不变。所以\(B(\lambda)\),也即\(A(\lambda)\),经过适当的初等变换可以变成(7.7.2)中的对角形矩阵。
最后还需验证的是\(g_i(\lambda)|g_{i+1}(\lambda)\)\(i=1,\dots,r-1\)。 当\(i\ge 2\)时,整除性可以由归纳假设保证。当\(i=1\)时,注意到\(g_2(\lambda)\)是在\(B'(\lambda)\)做初等变换过程中产生的,也即\(g_2(\lambda)\)是通过\(B'(\lambda)\)中的元素进行多项式组合获得的,而\(g_1(\lambda)\)整除\(B'(\lambda)\)中的所有元素,所以\(g_1(\lambda)|g_2(\lambda)\)。结论成立。
定理 7.7.8 中的矩阵\(\Lambda_{A(\lambda)}\)称为\(A(\lambda)\)相抵标准型法式,也称为Smith标准型
需要注意的是定理 7.7.8只保证了法式的存在性,其证明过程也可看成是求法式的一个算法。由于计算过程不唯一,产生的结果(即法式)也不能保证唯一。事实上法式是唯一的,其唯一性的证明将在下个小节中给出。

证明.

  1. \(A(\lambda)\)的一个法式
    \begin{equation*} \Lambda_{A(\lambda)}={\rm diag}\left(g_1(\lambda),\dots,g_n(\lambda)\right), \end{equation*}
    其中\(n\)\(A(\lambda)\)的阶数。则存在一些初等\(\lambda\)-矩阵\(P_j(\lambda)\)\(Q_k(\lambda)\),使得
    \begin{equation*} A(\lambda) = P_s(\lambda)\cdots P_1(\lambda) \Lambda_{A(\lambda)}Q_1(\lambda)\cdots Q_t(\lambda). \end{equation*}
    等式两端同时取行列式,也注意到初等矩阵的行列式都是非0常数,可知
    \begin{align*} A(\lambda) {\text 可逆}\Leftrightarrow\amp \det A(\lambda) {\text 是非0常数} \\ \Leftrightarrow \amp \det \Lambda_{A(\lambda)} {\text 是非0常数}\\ \Leftrightarrow \amp g_1(\lambda)\cdots g_n(\lambda){\text 是非0常数}\\ \Leftrightarrow \amp g_1(\lambda)=\cdots= g_n(\lambda)=1 \\ \Leftrightarrow \amp \Lambda_{A(\lambda)} = E \\ \Leftrightarrow \amp A(\lambda) {\text 是初等}\lambda{\text -矩阵的乘积}. \end{align*}
  2. 利用1,易知结论2成立。
下面来看一个具体的例子。

7.7.10. 求法式/Smith标准型.

用初等变换化下列\(\lambda\)-矩阵为标准形。
  1. \(A(\lambda)=\begin{pmatrix}1-\lambda&2\lambda-1&\lambda\\ \lambda&\lambda^{2}&-\lambda\\ 1+\lambda^{2}&\lambda^{3}+\lambda-1&-\lambda^{2}\end{pmatrix}\)
  2. \(B(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\ \lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\)
借助Sage,可以使用下面的程序片段求法式:

子节 7.7.3 法式唯一性与行列式因子

注意到初等\(\lambda\)-矩阵的行列式都是非0常数,所以\(A(\lambda)\)的行列式与其法式的行列式仅差一非零常数倍。利用这个性质,我们来证明法式的唯一性。作为工具,可以引入下面的概念。

定义 7.7.11.

\(A(\lambda)\)\(\mathbb{F}\)\(m\times n\)\(\lambda\)-矩阵,\(k(\le \min\{m,n\})\)是一个自然数。如果\(A(\lambda)\)的所有\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零,则称首项系数为\(1\)的最大公因式为\(A(\lambda)\)\(k\)阶行列式因子,记为\(D_k(\lambda)\)
特别地,对于一个数字方阵\(A\),其特征矩阵\(\lambda E_n- A\)的行列式因子也称为\(A\)的行列式因子
不同于法式的定义,\(k\)阶行列式因子的定义本身确保了其存在唯一性。接下来我们将利用行列式因子的唯一性来证明法式的唯一性。先通过一个具体的例子来熟悉一下这个概念。

7.7.12.

\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\ \lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\),求其行列式因子。
行列式因子定义本身要求其不是0,同时注意到矩阵的秩等于其非0子式的最大阶数,所以\(r(A(\lambda))=r\)意味着\(A(\lambda)\)\(r\)个行列式因子。对于一个秩为\(r\)\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\),称
\begin{equation*} \left( D_1(\lambda),\dots,D_r(\lambda) \right) \end{equation*}
\(A(\lambda)\)行列式因子组
这里使用圆括号记号是为了强调行列式因子是有顺序的,其顺序就是按照其阶数从小到大排列的。事实上,我们有下面的结论。

证明.

任给一个\(i=1,\dots ,r-1\),同时任取\(A_{i+1}\)\(A(\lambda)\)的一个\(i+1\)阶子式。将\(A_{i+1}\)按照一行进行展开,则它的每一个展开项都是一个多项式与一个\(i\)阶子式的乘积。由于\(D_i(\lambda)\)是所有\(i\)阶子式的最大公因式,因此\(D_i(\lambda)|A_{i+1}\)。另一方面,\(D_{i+1}(\lambda)\)是所有\(i+1\)阶子式的最大公因式,由\(i\)\(A_{i+1}\)的任意性可知\(D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda)\)\(i=1,\dots ,r-1\)均成立。
接下来开始证明法式的唯一性。我们先说明行列式因子组是相抵关系的不变量。

证明.

只需验证行列式因子在三类初等变换下保持不变即可。我们这里只讨论行初等变换,列初等变换的讨论完全类似。
  • 互换变换:交换\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的两行最多只改变了\(i\)阶子式的符号,不会改变其最大公因式,即不会改变行列式因子。
  • 倍法变换:变换前后的\(i\)阶子式最多只差一个非0常数,所以也不会改变行列式因子。
  • 消法变换:设\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行得到\(B(\lambda)\)。若\(B(\lambda)\)\(s\)阶子式不含第\(i\)行,或同时含第\(i\)行和第\(j\)行,则它等于\(A(\lambda)\)的相应的一个\(s\)阶子式。若\(B(\lambda)\)\(s\)阶子式含第\(i\)行但不含第\(j\)行,则它等于\(A(\lambda)\)的相应的一个\(s\)阶子式加减\(f(\lambda)\)\(A(\lambda)\)的另一个\(s\)阶子式。所以\(A(\lambda)\)\(s\)阶行列式因子整除\(B(\lambda)\)的任意\(s\)阶子式,从而整除\(B(\lambda)\)\(s\)阶行列式因子。由于\(A(\lambda)\)也可以通过对\(B(\lambda)\)施行相应的消法变换得到,同理可得\(B(\lambda)\)\(s\)阶行列式因子整除\(A(\lambda)\)\(s\)阶行列式因子。因为行列式因子首项系数为\(1\),所以\(A(\lambda),B(\lambda)\)的行列式因子相同。

证明.

\begin{equation*} \Lambda_{A(\lambda)}=\begin{pmatrix} g_1(\lambda)&&&&\\ &\ddots&&&\\ &&g_r(\lambda)&&\\ &&&0&\\ &&&&\ddots \end{pmatrix}, \end{equation*}
\begin{equation*} B(\lambda)=\begin{pmatrix} b_1(\lambda)&&&&\\ &\ddots&&&\\ &&b_r(\lambda)&&\\ &&&0&\\ &&&&\ddots \end{pmatrix} \end{equation*}
都是\(A(\lambda)\)的法式,则\(\Lambda_{A(\lambda)}\)\(B(\lambda)\)相抵。根据定理 7.7.14\(\Lambda_{A(\lambda)}\)\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子,则
\begin{equation*} \begin{array}{c} D_1(\lambda)=g_1(\lambda)=b_1(\lambda),\\ D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)=b_1(\lambda)b_2(\lambda),\\ \vdots\\ D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda)=b_1(\lambda)\cdots b_r(\lambda). \end{array} \end{equation*}
从而
\begin{equation*} g_1(\lambda_1)=b_1(\lambda_1)=D_1(\lambda), \end{equation*}
\begin{equation*} g_i(\lambda)=b_i(\lambda)=\frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)},i=2,\ldots ,r. \end{equation*}
进一步地,行列式因子组可以作为\(\lambda\)-矩阵是否相抵的判断依据。

证明.

\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\),则根据定理 7.7.14\(A(\lambda)\)\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
反之,若\(A(\lambda)\)\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子,则根据推论 7.7.15
\begin{equation*} A(\lambda)\simeq\begin{pmatrix} D_1(\lambda)&&&&&\\ &\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}&&&&\\ &&\ddots&&&\\ &&&\frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}&&\\ &&&&0&\\ &&&&&\ddots \end{pmatrix}\simeq B(\lambda). \end{equation*}
现在回到数字矩阵。

子节 7.7.4 不变因子

对于给定的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)推论 7.7.15保证了法式的唯一性,即法式中的对角元是确定的,可以作为是否相抵的判断依据。

定义 7.7.18.

设秩为\(r\)\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的法式为
\begin{equation*} {\rm diag}\left( g_1(\lambda),\dots, g_r(\lambda),0,\dots,0 \right), \end{equation*}
其中首一多项式\(g_{i}(\lambda)|g_{i+1}(\lambda), i=1,\dots ,r-1\)。 称\(g_{i}(\lambda)\)\(A(\lambda)\)的第\(i\)不变因子,称
\begin{equation*} (g_1(\lambda),\dots,g_r(\lambda) ) \end{equation*}
\(A(\lambda)\)不变因子组
特别地,数字方阵\(A\)的不变因子和不变因子组定义为其特征矩阵\(\lambda E-A\)的不变因子和不变因子组。
命题 7.7.13 知:若\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)\(A(\lambda)\)的行列式因子,则\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\),即
\begin{equation*} \frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r). \end{equation*}
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。从法式的角度易知\(A(\lambda)\)的行列式因子组和不变因子组可以相互决定:
  • \(A(\lambda)\)的行列式因子组为\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
    \begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\dots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}; \end{equation*}
  • \(A(\lambda)\)的不变因子组为\((g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
    \begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\dots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda). \end{equation*}

7.7.19.

不变因子组和行列式因子组相互决定的例子。
注意到特征矩阵\(\lambda E_n -A \)的秩必定为矩阵的阶数\(n\),所以数字方阵\(A\)的不变因子组必定形如
\begin{equation*} (1,\dots,1,d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)), \end{equation*}
这里\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)都是次数大于等于1的首一多项式且 \(d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\),1的个数为\(n-k\)\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)也称为\(A\)非平凡不变因子
当计算行列式因子/不变因子时,并不一定需要逐个来求。若我们可以知道一个行列式因子\(D_t(\lambda) =1\)时,由于有整除的限制,对任意正整数\(j\le t\)\(D_j(\lambda) =1\)均成立;相应地,\(g_j(\lambda) =1\)也成立。下面的例子是一个典型例子,例子中的矩阵称为 Frobenius块矩阵。

7.7.20. Frobenius块矩阵的不变因子.

\(n\)阶矩阵\(A=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_{0}\\ 1&0&\ddots &\vdots &-a_{1}\\ 0 &\ddots &\ddots& 0 &\vdots\\ \vdots &\ddots&1&0&-a_{n-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}\)的不变因子。
解答.
\begin{equation*} \lambda E-A=\begin{pmatrix} \lambda&0 &\cdots &0&a_{0}\\ -1&\lambda &\ddots &\vdots &a_{1}\\ 0 &\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots &\ddots&-1&\lambda&a_{n-2}\\ 0&\cdots&0&-1&\lambda+a_{n-1} \end{pmatrix} \end{equation*}
存在\(n-1\)阶子式 \(\begin{vmatrix} -1&\cdots&0&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&-1&\lambda\\ 0&\cdots&0&-1 \end{vmatrix}=(-1)^{n-1}\),而行列式因子是所有同阶行列子式的最大公因式,所以\(D_{n-1}(\lambda) =1\),进而可推知
\begin{equation*} D_1(\lambda)=\cdots = D_{n-1}(\lambda) = 1, \end{equation*}
\begin{equation*} g_1(\lambda)=\cdots = g_{n-1}(\lambda) = 1. \end{equation*}
最后,结合例 3.3.6,可知
\begin{equation*} D_n(\lambda) = g_n(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0. \end{equation*}
另一个有意思的事实是数字方阵\(A\)的最后一个行列式因子就是\(A\)的特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。相应的,\(A\)的所有不变因子乘积为特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)
综上所述,下面的结论成立。
回到数字矩阵相似的问题,有下面一个总结性结论。

7.7.23.

判断下列两个矩阵是否相似:
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix},\ B =\begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&1&1\end{pmatrix}. \end{equation*}
解答.
简单计算可知矩阵\(A\)的不变因子组为:
\begin{equation*} \left(1,\ \lambda-1,\ (\lambda-1)(\lambda+1)\right), \end{equation*}
矩阵\(B\)的不变因子组为:
\begin{equation*} \left(1,\ 1,\ (\lambda-1)^2(\lambda+1)\right), \end{equation*}
所以\(A\)\(B\)不相似。
注意到矩阵的行列式因子和不变因子与数域无关。所以两个矩阵是否相似也与数域无关。

练习 7.7.5 练习

基础题.

1.
用初等变换的方法求下列矩阵的法式。
(1)\(\begin{pmatrix} 1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\ \lambda&\lambda&-\lambda\\ 1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2 \end{pmatrix}\); (2)\(\begin{pmatrix} 0&0&0&\lambda^2\\ 0&0&\lambda^2-\lambda&0\\ 0&(\lambda-1)^2&0&0\\ \lambda^2-\lambda&0&0&0 \end{pmatrix}\)
2.
\(A\)的特征矩阵的法式,其中 (1)\(A=\begin{pmatrix} -1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4 \end{pmatrix}\),(2)\(A=\begin{pmatrix} 3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5 \end{pmatrix}\)
3.
\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*} {\rm diag}(1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)), \end{equation*}
证明:\(A\)的特征多项式
\begin{equation*} \chi_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda). \end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子: (1)\(\begin{pmatrix} \lambda &1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&1\\ 0&4&3&\lambda+2 \end{pmatrix}\); (2) \(\begin{pmatrix} 1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1 \end{pmatrix}\);(3)\(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)
5.
\(A=\begin{pmatrix} 0&2&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&1&3 \end{pmatrix}\),求\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
6.
判断下列矩阵是否相似。
  1. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\)
  3. \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&0\\0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\)
7.
\(A\)\(2n\)阶实方阵,且\(A^2+E=0\),证明:\(A\)相似于\(\begin{pmatrix} 0&-E_n\\ E_n&0 \end{pmatrix}\)

提高题.

8.
\((f(\lambda),g(\lambda))=1\),证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵:
\begin{equation*} \begin{pmatrix} f(\lambda)&0\\0&g(\lambda) \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} g(\lambda)&0\\0&f(\lambda) \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda) \end{pmatrix}.\ \end{equation*}
9.
\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)\(A\)的行列式因子,证明:存在\(n\)\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\),使得\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)
10.
\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵,即有大于\(1\)的整数\(k\),使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
11.
\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\),证明:\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)
12.
对于任意\(n\)阶方阵\(A\),证明:\(A\)相似于\(A^T\)
13.
\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵,即有大于\(1\)的整数\(k\),使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
14.
\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(A\)的行列式因子是\(1,\dots,1,f(\lambda)\),证明:\(\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)
15.
\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)\(3\)阶方阵,证明:\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)\(\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\)。当\(A,B\)\(4\)阶方阵时,情况如何?

挑战题.

16.
\(\varphi,\psi\)\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换,且\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明:\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是\(\psi=h(\varphi)\),其中\(\deg h(\lambda)<n\)