定义 7.7.1.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda )\)实行的下列变换称为\(\lambda\)-矩阵行初等变换，或者也直接简称为行初等变换：
- 互换变换：将\(A(\lambda)\)两行对换；
- 倍法变换：将\(A(\lambda )\)的第\(i \)行乘以 非零常数 \(c\)；
- 消法变换：将\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)后加到第\(i\)行上去。
相应地，列初等变换可以类似定义。
节 7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
上一节的结论说明数字矩阵相似的问题可以转化为其特征矩阵的\(\lambda\)-矩阵相抵问题。本节中我们来研究\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型，这个问题与数字矩阵相抵的研究思路是类似的。
子节 7.7.1 \(\lambda\)-矩阵的初等变换
类似于数字矩阵是否可逆可以用初等变换来进行研究，\(\lambda\)-矩阵也有相应的初等变换和初等矩阵，并且也可以用来研究\(\lambda\)-矩阵的可逆性。
定义 7.7.2.
对单位矩阵作一次\(\lambda\)-矩阵初等行变换所得到的矩阵称初等\(\lambda\)-矩阵，或简称为初等矩阵，特别地：
- 互换矩阵：将\(E_n\) 的第\(i\)行与第\(j\)行互换，记为\(E(i,j)\)；
- 倍法矩阵：将\(E_n\)的第\(i\)行乘非零常数\(c\) ，记为\(E(i(c))\)；
- 消法矩阵：将\(E_n\)的第\(j\)行乘以\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行，记为\(E(i,j(f(\lambda)))\)。
数字矩阵的互换变换和倍法变换与\(\lambda\)-矩阵的互换变换和倍法变换没有区别，需要注意\(\lambda\)-矩阵的倍法变换只允许乘以非零常数，不允许乘以非常数的多项式。 数字矩阵的互换矩阵和倍法矩阵与\(\lambda\)-矩阵的互换矩阵和倍法矩阵是完全一样的。
数字矩阵的消法变换/矩阵与\(\lambda\)-矩阵的消法变换/矩阵稍有不同，\(\lambda\)-矩阵的消法变换中可以乘以任意多项式，不需要局限于常数，相应的\(\lambda\)-矩阵的消法矩阵可能不是数字矩阵。
例 7.7.3. \(\lambda\)-矩阵的消法矩阵.
下面定理的结论与数字矩阵的结论完全类似，验证方式也一样，请有兴趣的读者自行证明。
定理 7.7.4.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)的\(\lambda\)-矩阵，则对\(A(\lambda)\)施行行（列）的初等变换相当于左（右）乘一个相应的初等\(\lambda\)-矩阵。
定理 7.7.5.
若\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)是初等\(\lambda\)-矩阵的乘积，则\(A(\lambda)\)可逆 。
证明.
推论 7.7.6.
若\(A(\lambda)\)经有限次\(\lambda\)-矩阵初等变换可以变成\(B(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)相抵。
子节 7.7.2 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
接下来用\(\lambda\)-矩阵的初等变换/矩阵来研究\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型。我们先来利用初等变换来化简\(\lambda\)-矩阵。
引理 7.7.7.
设\(A(\lambda)= (a_{ij}(\lambda))_{m\times n} \)是一个非零\(\lambda\)-矩阵，则\(A(\lambda)\simeq B(\lambda) =(b_{ij}(\lambda))_{m\times n} \)，其中\(b_{11}(\lambda)\ne 0\)且\(b_{11}(\lambda)\)整除\(B(\lambda)\)的任一元素\(b_{ij}(\lambda)\)。
证明.
定理 7.7.8.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵且\(r (A(\lambda))=r\)，则
\begin{equation*}
A(\lambda)\simeq \begin{pmatrix}
d_1(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&d_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}\triangleq \Lambda_{A(\lambda)},
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是首一多项式\((i=1,\dots ,r)\)，且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ i=1,\dots,r-1\)。
证明.
需要注意的是定理 7.7.8只保证了法式的存在性，其证明过程也可看成是求法式的一个算法。由于计算过程不唯一，产生的结果（即法式）也不能保证唯一。事实上法式是唯一的，其唯一性的证明将在下个小节中给出。
推论 7.7.9.
- \(A(\lambda)\)可逆的充要条件是\(A(\lambda)\)是初等\(\lambda\)-矩阵的乘积；
- \(A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)相抵的充要条件为\(A(\lambda)\)经有限次\(\lambda\)-矩阵初等变换可以变成\(B(\lambda)\)。
例 7.7.10.
给一个 \(\lambda\)-矩阵，求法式。
子节 7.7.3 法式唯一性与行列式因子
注意到初等\(\lambda\)-矩阵的行列式都是非0常数，所以\(A(\lambda)\)的行列式与其法式的行列式仅差一非零常数倍。利用这个性质，我们来证明法式的唯一性。作为工具，可以引入下面的概念。
定义 7.7.11.
设\(A(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上\(m\times n\)阶\(\lambda-\)矩阵，\(k(\le \min\{m,n\})\)是一个自然数。如果\(A(\lambda)\)的所有\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零，则称首项系数为\(1\)的最大公因式为\(A(\lambda)\)的 \(k\)阶行列式因子，记为\(D_k(\lambda)\)。
特别地，对于一个数字方阵\(A\)，其特征矩阵\(\lambda E_n- A\)的行列式因子也称为\(A\)的行列式因子。
不同于法式的定义，\(k\)阶行列式因子的定义本身确保了其存在唯一性。接下来我们将利用行列式因子的唯一性来证明法式的唯一性。先通过一个具体的例子来熟悉一下这个概念。
例 7.7.12.
给一些对角矩阵，求行列式因子。
行列式因子定义本身要求其不是0，同时注意到矩阵的秩等于其非0子式的最大阶数，所以\(r(A(\lambda))=r\)意味着\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。对于一个秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)，称
\begin{equation*}
\left( D_1(\lambda),\dots,D_r(\lambda) \right)
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的行列式因子组。
这里使用圆括号记号是为了强调行列式因子是有顺序的，其顺序就是按照其阶数从小到大排列的。事实上，我们有下面的结论。
命题 7.7.13.
设\(r(A(\lambda))=r\)，\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子组，则
\begin{equation*}
D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,r-1).
\end{equation*}
接下来开始证明法式的唯一性。我们先说明行列式因子组是相抵关系的不变量。
定理 7.7.14.
相抵\(\lambda\)-矩阵有相同的行列式因子组。
证明.
推论 7.7.15.
\(\lambda\)-矩阵的法式是唯一的。
证明.
进一步地，行列式因子组可以作为\(\lambda\)-矩阵是否相抵的判断依据。
推论 7.7.16.
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\Leftrightarrow A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
现在回到数字矩阵。
推论 7.7.17.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ，则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\dots ,1,d_1(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式，\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,\dots ,k)\)，且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,k-1)\)。
子节 7.7.4 不变因子
定义 7.7.18.
设秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}\left( g_1(\lambda),\dots, g_r(\lambda),0,\dots,0 \right),
\end{equation*}
其中首一多项式\(g_{i}(\lambda)|g_{i+1}(\lambda), i=1,\dots ,r-1\)。 称为 \(g_{i}(\lambda)\)为\(A(\lambda)\)的第\(i\)个不变因子，称
\begin{equation*}
(g_1(\lambda),\dots,g_r(\lambda) )
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的不变因子组。
特别地，数字方阵\(A\)的不变因子和不变因子组定义为其特征矩阵\(\lambda E-A\)的不变因子和不变因子组。
由 命题 7.7.13 知：若\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\)，即
\begin{equation*}
\frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r).
\end{equation*}
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。从法式的角度易知\(A(\lambda)\)的行列式因子组和不变因子组可以相互决定：
- 若\(A(\lambda)\)的行列式因子组为\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\dots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}; \end{equation*}
- 若\(A(\lambda)\)的不变因子组为\((g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda))\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\dots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda). \end{equation*}
例 7.7.19.
不变因子组和行列式因子组相互决定的例子。
注意到特征矩阵\(\lambda E_n -A \)的秩必定为矩阵的阶数\(n\)，所以数字方阵\(A\)的不变因子组必定形如
\begin{equation*}
(1,\dots,1,d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)),
\end{equation*}
这里\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)都是次数大于等于1的首一多项式且 \(d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\)，1的个数为\(n-k\)。\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)也称为\(A\)的非平凡不变因子。
另一个有意思的事实是数字方阵\(A\)的最后一个行列式因子就是\(A\)的特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。相应的，\(A\)的所有不变因子乘积为特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。
综上所述，下面的结论成立。
定理 7.7.20.
对\(\lambda-\)矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)，下列叙述等价：
- \(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的不变因子；
- \(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的法式。
回到数字矩阵相似的问题，有下面一个总结性结论。
推论 7.7.21.
对于\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\)，下列叙述是等价的。
- \(A\)相似于\(B\)；
- \(A\)和\(B\)有相同的行列式因子组；
- \(A\)和\(B\)有相同的不变因子组。
注意到矩阵的行列式因子和不变因子与数域无关。所以两个矩阵是否相似也与数域无关。
推论 7.7.22.
设\(\mathbb{F},\mathbb{K}\)是数域且\(\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}\)。\(A,\ B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。则\(A,B\)在\(\mathbb{F}\)上相似的充分必要条件是\(A,B\)在\(\mathbb{K}\)上相似。
练习 7.7.5 练习
基础题.
1.
用初等变换的方法求下列矩阵的法式。
(1)\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\)； (2)\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
2.
求\(A\)的特征矩阵的法式，其中 (1)\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\)，(2)\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
diag (1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明：\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
f_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
\end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子： (1)\(\begin{pmatrix}
\lambda &1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\)； (2) \(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\)；(3)\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
5.
设\(A=\begin{pmatrix}
0&2&0&0\\
1&-1&0&0\\
0&0&0&-2\\
0&0&1&3
\end{pmatrix}\)，求\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
6.
判断下列矩阵是否相似。
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&0\\0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)；
- \(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\)。
7.
设\(A\)为\(2n\)阶实方阵，且\(A^2+E=0\)，证明：\(A\)相似于\(\begin{pmatrix}
0&-E_n\\
E_n&0
\end{pmatrix}\)。
提高题.
8.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\)，证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
9.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是\(A\)的行列式因子，证明：存在\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，使得\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。
10.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
11.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\)，证明：\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
12.
对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，证明：\(A\)相似于\(A^T\)。
13.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵，即有大于\(1\)的整数\(k\)，使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
14.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(A\)的行列式因子是\(1,\dots,1,f(\lambda)\)，证明：\(\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
15.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(3\)阶方阵，证明：\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且\(\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\)。当\(A,B\)为\(4\)阶方阵时，情况如何？
挑战题.
16.
设\(\varphi,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，且\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明：\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是\(\psi=h(\varphi)\)，其中\(\deg h(\lambda)<n\)。
