主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
上一节的结论说明数字矩阵相似的问题可以转化为其特征矩阵的\(\lambda\)-矩阵相抵问题。本节中我们来研究\(\lambda\)-矩阵的相抵标准型,这个问题与数字矩阵相抵的研究思路是类似的。
子节 7.7.3 法式唯一性与行列式因子
注意到初等\(\lambda\)-矩阵的行列式都是非0常数,所以\(A(\lambda)\)的行列式与其法式的行列式仅差一非零常数倍。利用这个性质,我们来证明法式的唯一性。作为工具,可以引入下面的概念。
定义 7.7.11.
设\(A(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵,\(k(\le \min\{m,n\})\)是一个自然数。如果\(A(\lambda)\)的所有\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零,则称首项系数为\(1\)的最大公因式为\(A(\lambda)\)的 \(k\)阶行列式因子,记为\(D_k(\lambda)\)。
特别地,对于一个数字方阵\(A\),其特征矩阵\(\lambda E_n- A\)的行列式因子也称为\(A\)的行列式因子。
不同于法式的定义,\(k\)阶行列式因子的定义本身确保了其存在唯一性。接下来我们将利用行列式因子的唯一性来证明法式的唯一性。先通过一个具体的例子来熟悉一下这个概念。
例 7.7.12.
设\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\
\lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\),求其行列式因子。
行列式因子定义本身要求其不是0,同时注意到矩阵的秩等于其非0子式的最大阶数,所以\(r(A(\lambda))=r\)意味着\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。对于一个秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\),称
\begin{equation*}
\left( D_1(\lambda),\dots,D_r(\lambda) \right)
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的行列式因子组。
这里使用圆括号记号是为了强调行列式因子是有顺序的,其顺序就是按照其阶数从小到大排列的。事实上,我们有下面的结论。
命题 7.7.13.
设\(r(A(\lambda))=r\),\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子组,则
\begin{equation*}
D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,r-1).
\end{equation*}
证明.
任给一个\(i=1,\dots ,r-1\),同时任取\(A_{i+1}\)是\(A(\lambda)\)的一个\(i+1\)阶子式。将\(A_{i+1}\)按照一行进行展开,则它的每一个展开项都是一个多项式与一个\(i\)阶子式的乘积。由于\(D_i(\lambda)\)是所有\(i\)阶子式的最大公因式,因此\(D_i(\lambda)|A_{i+1}\)。另一方面,\(D_{i+1}(\lambda)\)是所有\(i+1\)阶子式的最大公因式,由\(i\)和\(A_{i+1}\)的任意性可知\(D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda)\)对\(i=1,\dots ,r-1\)均成立。
接下来开始证明法式的唯一性。我们先说明行列式因子组是相抵关系的不变量。
定理 7.7.14.
相抵\(\lambda\)-矩阵有相同的行列式因子组。
证明.
只需验证行列式因子在三类初等变换下保持不变即可。我们这里只讨论行初等变换,列初等变换的讨论完全类似。
互换变换:交换\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的两行最多只改变了\(i\)阶子式的符号,不会改变其最大公因式,即不会改变行列式因子。
倍法变换:变换前后的\(i\)阶子式最多只差一个非0常数,所以也不会改变行列式因子。
消法变换:设\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行得到\(B(\lambda)\)。若\(B(\lambda)\)的\(s\)阶子式不含第\(i\)行,或同时含第\(i\)行和第\(j\)行,则它等于\(A(\lambda)\)的相应的一个\(s\)阶子式。若\(B(\lambda)\)的\(s\)阶子式含第\(i\)行但不含第\(j\)行,则它等于\(A(\lambda)\)的相应的一个\(s\)阶子式加减\(f(\lambda)\)乘\(A(\lambda)\)的另一个\(s\)阶子式。所以\(A(\lambda)\)的\(s\)阶行列式因子整除\(B(\lambda)\)的任意\(s\)阶子式,从而整除\(B(\lambda)\)的\(s\)阶行列式因子。由于\(A(\lambda)\)也可以通过对\(B(\lambda)\)施行相应的消法变换得到,同理可得\(B(\lambda)\)的\(s\)阶行列式因子整除\(A(\lambda)\)的\(s\)阶行列式因子。因为行列式因子首项系数为\(1\),所以\(A(\lambda),B(\lambda)\)的行列式因子相同。
推论 7.7.15.
\(\lambda\)-矩阵的法式是唯一的。
证明.
进一步地,行列式因子组可以作为\(\lambda\)-矩阵是否相抵的判断依据。
推论 7.7.16.
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\Leftrightarrow A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
证明.
若
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\),则根据
定理 7.7.14,
\(A(\lambda)\)与
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子。
反之,若
\(A(\lambda)\)与
\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子,则根据
推论 7.7.15,
\begin{equation*}
A(\lambda)\simeq\begin{pmatrix}
D_1(\lambda)&&&&&\\
&\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}&&&&\\
&&\ddots&&&\\
&&&\frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}&&\\
&&&&0&\\
&&&&&\ddots
\end{pmatrix}\simeq B(\lambda).
\end{equation*}
现在回到数字矩阵。
推论 7.7.17.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ,则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\dots ,1,d_1(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式,\(\deg d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,\dots ,k)\),且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,k-1)\)。
子节 7.7.4 不变因子
对于给定的
\(\lambda\)-矩阵
\(A(\lambda)\),
推论 7.7.15保证了法式的唯一性,即法式中的对角元是确定的,可以作为是否相抵的判断依据。
定义 7.7.18.
设秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}\left( g_1(\lambda),\dots, g_r(\lambda),0,\dots,0 \right),
\end{equation*}
其中首一多项式\(g_{i}(\lambda)|g_{i+1}(\lambda), i=1,\dots ,r-1\)。 称\(g_{i}(\lambda)\)为\(A(\lambda)\)的第\(i\)个不变因子,称
\begin{equation*}
(g_1(\lambda),\dots,g_r(\lambda) )
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的不变因子组。
特别地,数字方阵\(A\)的不变因子和不变因子组定义为其特征矩阵\(\lambda E-A\)的不变因子和不变因子组。
由
命题 7.7.13 知:若
\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是
\(A(\lambda)\)的行列式因子,则
\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\),即
\begin{equation*}
\frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r).
\end{equation*}
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。从法式的角度易知\(A(\lambda)\)的行列式因子组和不变因子组可以相互决定:
若\(A(\lambda)\)的行列式因子组为\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\dots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)};
\end{equation*}
若\(A(\lambda)\)的不变因子组为\((g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda))\),则\(A(\lambda)\)的不变因子为
\begin{equation*}
D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\dots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda).
\end{equation*}
例 7.7.19.
不变因子组和行列式因子组相互决定的例子。
注意到特征矩阵\(\lambda E_n -A \)的秩必定为矩阵的阶数\(n\),所以数字方阵\(A\)的不变因子组必定形如
\begin{equation*}
(1,\dots,1,d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)),
\end{equation*}
这里\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)都是次数大于等于1的首一多项式且 \(d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\),1的个数为\(n-k\)。\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)也称为\(A\)的非平凡不变因子。
当计算行列式因子/不变因子时,并不一定需要逐个来求。若我们可以知道一个行列式因子\(D_t(\lambda) =1\)时,由于有整除的限制,对任意正整数\(j\le t\),\(D_j(\lambda) =1\)均成立;相应地,\(g_j(\lambda) =1\)也成立。下面的例子是一个典型例子,例子中的矩阵称为 Frobenius块矩阵。
例 7.7.20. Frobenius块矩阵的不变因子.
求\(n\)阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_{0}\\
1&0&\ddots &\vdots &-a_{1}\\
0 &\ddots &\ddots& 0 &\vdots\\
\vdots &\ddots&1&0&-a_{n-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}\)的不变因子。
解答.
因
\begin{equation*}
\lambda E-A=\begin{pmatrix}
\lambda&0 &\cdots &0&a_{0}\\
-1&\lambda &\ddots &\vdots &a_{1}\\
0 &\ddots&\ddots&0&\vdots\\
\vdots &\ddots&-1&\lambda&a_{n-2}\\
0&\cdots&0&-1&\lambda+a_{n-1}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
存在\(n-1\)阶子式 \(\begin{vmatrix}
-1&\cdots&0&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\cdots&-1&\lambda\\
0&\cdots&0&-1
\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}\),而行列式因子是所有同阶行列子式的最大公因式,所以\(D_{n-1}(\lambda) =1\),进而可推知
\begin{equation*}
D_1(\lambda)=\cdots = D_{n-1}(\lambda) = 1,
\end{equation*}
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=\cdots = g_{n-1}(\lambda) = 1.
\end{equation*}
\begin{equation*}
D_n(\lambda) = g_n(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0.
\end{equation*}
另一个有意思的事实是数字方阵\(A\)的最后一个行列式因子就是\(A\)的特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。相应的,\(A\)的所有不变因子乘积为特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。
综上所述,下面的结论成立。
定理 7.7.21.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\),下列叙述等价:
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\);
\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子;
\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的不变因子;
\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)有相同的法式。
回到数字矩阵相似的问题,有下面一个总结性结论。
推论 7.7.22.
对于\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\),下列叙述是等价的。
\(A\)相似于\(B\);
\(A\)和\(B\)有相同的行列式因子组;
\(A\)和\(B\)有相同的不变因子组。
例 7.7.23.
判断下列两个矩阵是否相似:
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix},\ B =\begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&1&1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答.
简单计算可知矩阵\(A\)的不变因子组为:
\begin{equation*}
\left(1,\ \lambda-1,\ (\lambda-1)(\lambda+1)\right),
\end{equation*}
矩阵\(B\)的不变因子组为:
\begin{equation*}
\left(1,\ 1,\ (\lambda-1)^2(\lambda+1)\right),
\end{equation*}
所以\(A\)与\(B\)不相似。
注意到矩阵的行列式因子和不变因子与数域无关。所以两个矩阵是否相似也与数域无关。
推论 7.7.24.
设\(\mathbb{F},\mathbb{K}\)是数域且\(\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}\),\(A,\ B\in\mathbb{F}^{n\times n}\),则\(A,B\)在\(\mathbb{F}\)上相似的充分必要条件是\(A,B\)在\(\mathbb{K}\)上相似。
特别地,设\(A,B\in \R^{n\times n}\)均为实方阵,若\(A,B\)在复数域\(\C\)上相似,则必存在实矩阵\(P\in \R^{n\times n}\),使得
\begin{equation*}
P^{-1}AP = B.
\end{equation*}
练习 7.7.5 练习
基础题.
1.
用初等变换的方法求下列矩阵的法式。
(1)\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\); (2)\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
2.
求\(A\)的特征矩阵的法式,其中 (1)\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\),(2)\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\cdots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明:\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
\end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子: (1)\(\begin{pmatrix}
\lambda &1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\); (2) \(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\);(3)\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
5.
设\(A=\begin{pmatrix}
0&2&0&0\\
1&-1&0&0\\
0&0&0&-2\\
0&0&1&3
\end{pmatrix}\),求\(A\)的不变因子、特征多项式和极小多项式。
6.
判断下列矩阵是否相似。
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}\);
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&1\\0&1
\end{pmatrix}\);
\(\begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&0\\0&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\);
\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
2&1&0\\0&2&0\\0&0&2
\end{pmatrix}\)。
7.
设\(A\)为\(2n\)阶实方阵,且\(A^2+E=0\),证明:\(A\)相似于\(\begin{pmatrix}
0&-E_n\\
E_n&0
\end{pmatrix}\)。
提高题.
8.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\),证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
9.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是\(A\)的行列式因子,证明:存在\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\),使得\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。
10.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵,即有大于\(1\)的整数\(k\),使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
11.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(A\)的行列式因子是\(1,\cdots ,1,f(\lambda)\),证明:\(f_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
12.
对于任意\(n\)阶方阵\(A\),证明:\(A\)相似于\(A^T\)。
13.
若\(n\)阶方阵\(A\)是幂零矩阵,即有大于\(1\)的整数\(k\),使得\(A^k=0,A^{k-1}\neq 0\)。求\(A\)的最后一个不变因子。
14.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(A\)的行列式因子是\(1,\dots,1,f(\lambda)\),证明:\(\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)\)。
15.
设\(A,B\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(3\)阶方阵,证明:\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(m_A(\lambda)=m_B(\lambda)\)且\(\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)\)。当\(A,B\)为\(4\)阶方阵时,情况如何?
挑战题.
16.
设\(\varphi,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换,且\(\deg m_\varphi(\lambda)=n\)。证明:\(\varphi\psi=\psi\varphi\)的充分必要条件是\(\psi=h(\varphi)\),其中\(\deg h(\lambda)<n\)。