定义 7.7.1.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda )\)实行的下列变换称为\(\lambda\)-矩阵行初等变换，或者也直接简称为初等行变换：
-
互换变换：将\(A(\lambda)\)两行对换；
相应地，初等列变换可以类似定义。
节 7.7 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
子节 7.7.1 \(\lambda\)-矩阵的初等变换
定义 7.7.2.
对单位矩阵作一次\(\lambda\)-矩阵初等行变换所得到的矩阵称初等\(\lambda\)-矩阵，或简称为初等矩阵，特别地：
数字矩阵的互换变换和倍法变换与\(\lambda\)-矩阵的互换变换和倍法变换没有区别，需要注意\(\lambda\)-矩阵的倍法变换只允许乘以非零常数，不允许乘以非常数的多项式。 数字矩阵的互换矩阵和倍法矩阵与\(\lambda\)-矩阵的互换矩阵和倍法矩阵是完全一样的。
数字矩阵的消法变换/矩阵与\(\lambda\)-矩阵的消法变换/矩阵稍有不同，\(\lambda\)-矩阵的消法变换中可以乘以任意多项式，不需要局限于常数，相应的\(\lambda\)-矩阵的消法矩阵可能不是数字矩阵。
例 7.7.3. \(\lambda\)-矩阵的消法矩阵.
对\(\lambda\)矩阵
\begin{equation*}
A(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda&\lambda + 1 \\ \lambda^{2}&\lambda^{2} + 2\lambda\end{pmatrix}
\end{equation*}
通过初等行变换消去第二行第一列的项，并写出对应的消法矩阵。
解答.
对第二行施加操作：
\begin{equation*}
R_{2} \leftarrow R_{2} - \lambda R_{1},
\end{equation*}
即用第二行减去 \(\lambda\) 倍的第一行。
该行变换对应的初等矩阵（消法矩阵）为：
\begin{equation*}
E(2,1(-\lambda)) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\
-\lambda & 1\end{pmatrix}
\end{equation*}
矩阵中非对角线元素 \(-\lambda\) 表示行操作中乘以的倍式。
计算 \(E(2,1(-\lambda)) A(\lambda)\)可知：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -\lambda & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda&\lambda + 1 \\ \lambda^{2}&\lambda^{2} + 2\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda & \lambda + 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}
\end{equation*}
下面定理的结论与数字矩阵的结论完全类似，验证方式也一样，请有兴趣的读者自行证明。
定理 7.7.4.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)的\(\lambda\)-矩阵，则对\(A(\lambda)\)施行行（列）的初等变换相当于左（右）乘一个相应的初等\(\lambda\)-矩阵。
定理 7.7.5.
证明.
因
\begin{equation*}
\det E(i,j)=1,\ \det E(i(c))=c,\ \det E(i,j(f(\lambda)))=1
\end{equation*}
推论 7.7.6.
子节 7.7.2 \(\lambda\)-矩阵的相抵标准型
引理 7.7.7.
设\(A(\lambda)= (a_{ij}(\lambda))_{m\times n} \)是一个非零\(\lambda\)-矩阵，则\(A(\lambda)\)必定相抵于一个\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda) =(b_{ij}(\lambda))_{m\times n} \)，满足\(b_{11}(\lambda)\ne 0\)且\(b_{11}(\lambda)\)整除\(B(\lambda)\)的任一元素\(b_{ij}(\lambda)\)。
证明.
因为\(A(\lambda)\)是非零\(\lambda\)-矩阵，我们总可以经过互换变换使得第1行第1列元素非零。不妨设\(a_{11}(\lambda)\neq 0\)。现对\({\rm deg\, } a_{11}(\lambda)\)使用归纳法。
若\(a_{11}(\lambda)\)整除\(A(\lambda)\)的所有元素，则结论成立。否则，存在\(a_{ij}(\lambda)\)使得\(a_{11}(\lambda)\nmid a_{ij}(\lambda)\)。以下分三类情形分别讨论。
-
若\(j=1\)，则存在\(q(\lambda),r(\lambda)\)，使得\begin{equation*} a_{i1}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda), \end{equation*}其中\(r(\lambda)\neq 0\)且\({\rm deg\, } r(\lambda)<{\rm deg\, } a_{11}(\lambda)=k\)。将\(A(\lambda)\)的第一行乘以\(-q(\lambda)\)加到第\(i\)行，再将第1行和第\(i\)行互换，得到的\(\lambda\)-矩阵的第1行第1列元素为\(r(\lambda)\)，满足\({\rm deg\, } r(\lambda)< k\)。根据归纳假设，结论成立。
-
若\(i=1\)，与上述情形类似，同理可证。
-
若\(a_{11}(\lambda)\)整除第1行和第1列的所有元素，则此时利用\(a_{11}(\lambda)\)和行、列消法变换，我们可以把第1行和第1列除外的所有元素都变成0，即\(A(\lambda)\)经初等变换可以变成如下形式：\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & 0 &\cdots & 0\\ 0 & a'_{22}(\lambda) & \cdots & a'_{2n}(\lambda)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a'_{m2}(\lambda) & \cdots & a'_{mn}(\lambda) \end{pmatrix}\tag{7.7.1} \end{equation}
定理 7.7.8.
设\(A(\lambda)\)是\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵，则
\begin{equation}
A(\lambda)\simeq \begin{pmatrix}
g_1(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&g_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}\triangleq \Lambda_{A(\lambda)},\tag{7.7.2}
\end{equation}
其中\(g_i(\lambda)\)是首一多项式\((i=1,\dots ,r)\)，且\(g_i(\lambda)|g_{i+1}(\lambda)\)，\(i=1,\dots,r-1\)。
证明.
当\(m\ge 2\)(且\(n\ge 2\))时，根据引理 7.7.7，\(A(\lambda)\)相抵于一个\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda) =(b_{ij}(\lambda))_{m\times n} \)，满足\(b_{11}(\lambda)\ne 0\)且\(b_{11}(\lambda)\)整除\(B(\lambda)\)的任一元素\(b_{ij}(\lambda)\)。利用\(b_{11}(\lambda)\)和消法变换，可以将\(B(\lambda)\)的第一行、第一列中所有其余元素都消成0，即\(A(\lambda)\)可以相抵于如下形式的矩阵：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
b_{11}(\lambda) & 0 &\cdots & 0\\
0 & b'_{22}(\lambda) & \cdots & b'_{2n}(\lambda)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & b'_{m2}(\lambda) & \cdots & b'_{mn}(\lambda)
\end{pmatrix}\tag{7.7.3}
\end{equation}
则此时\(b_{11}(\lambda)\)仍可整除所有的\(b'_{ij}(\lambda)\)。
通过第一行数乘\(b_{11}(\lambda)\)首相系数的倒数，我们可以把左上角位置的元素变成首1多项式，为了记号的简单，不妨假设\(b_{11}(\lambda)\)已经是一个首1多项式。此时，记\(g_1(\lambda)=b_{11}(\lambda)\)，即\(g_1(\lambda)\)整除所有的\(b'_{ij}(\lambda)\)。
记(7.7.3)中的矩阵删除第一行、第一列后的余子阵为\(B'(\lambda)\)，则\(B'(\lambda)\)的行数\(m-1\)(或列数\(n-1\))严格小于\(A(\lambda)\)的相应阶数，所以根据归纳假设，\(B'(\lambda)\)经过初等变换可以变成矩阵：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
g_2(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&g_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}\tag{7.7.4}
\end{equation}
现在把\(B'(\lambda)\)嵌回到(7.7.3)中的矩阵，注意到对大矩阵的后\(m-1\)行（后\(n-1\)列）做初等变换等价于对\(B'(\lambda)\)做相应的行（列）初等变换。由于除\(b_{11}(\lambda)\)外，第一列（行）的其它元素都是0，所以这些元素在上述初等变换中保持不变。所以\(B(\lambda)\)，也即\(A(\lambda)\)，经过适当的初等变换可以变成(7.7.2)中的对角形矩阵。
最后还需验证的是\(g_i(\lambda)|g_{i+1}(\lambda)\)，\(i=1,\dots,r-1\)。 当\(i\ge 2\)时，整除性可以由归纳假设保证。当\(i=1\)时，注意到\(g_2(\lambda)\)是在\(B'(\lambda)\)做初等变换过程中产生的，也即\(g_2(\lambda)\)是通过\(B'(\lambda)\)中的元素进行多项式组合获得的，而\(g_1(\lambda)\)整除\(B'(\lambda)\)中的所有元素，所以\(g_1(\lambda)|g_2(\lambda)\)。结论成立。
需要注意的是定理 7.7.8只保证了法式的存在性，其证明过程也可看成是求法式的一个算法。由于计算过程不唯一，产生的结果（即法式）也不能保证唯一。事实上法式是唯一的，其唯一性的证明将在下个小节中给出。
推论 7.7.9.
证明.
-
设\(A(\lambda)\)的一个法式\begin{equation*} \Lambda_{A(\lambda)}={\rm diag}\left(g_1(\lambda),\dots,g_n(\lambda)\right), \end{equation*}其中\(n\)为\(A(\lambda)\)的阶数。则存在一些初等\(\lambda\)-矩阵\(P_j(\lambda)\)和\(Q_k(\lambda)\)，使得\begin{equation*} A(\lambda) = P_s(\lambda)\cdots P_1(\lambda) \Lambda_{A(\lambda)}Q_1(\lambda)\cdots Q_t(\lambda). \end{equation*}等式两端同时取行列式，也注意到初等矩阵的行列式都是非0常数，可知\begin{align*} A(\lambda) {\text 可逆}\Leftrightarrow\amp \det A(\lambda) {\text 是非0常数} \\ \Leftrightarrow \amp \det \Lambda_{A(\lambda)} {\text 是非0常数}\\ \Leftrightarrow \amp g_1(\lambda)\cdots g_n(\lambda){\text 是非0常数}\\ \Leftrightarrow \amp g_1(\lambda)=\cdots= g_n(\lambda)=1 \\ \Leftrightarrow \amp \Lambda_{A(\lambda)} = E \\ \Leftrightarrow \amp A(\lambda) {\text 是初等}\lambda{\text -矩阵的乘积}. \end{align*}
-
利用1，易知结论2成立。
下面来看一个具体的例子。
例 7.7.10. 求法式/Smith标准型.
用初等变换化下列\(\lambda\)-矩阵为Smith标准形。
-
\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}1-\lambda&2\lambda-1&\lambda\\ \lambda&\lambda^{2}&-\lambda\\ 1+\lambda^{2}&\lambda^{3}+\lambda-1&-\lambda^{2}\end{pmatrix}\)；
-
\(B(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\ \lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\)。
解答.
-
将第3列加到第1列：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 &2\lambda-1 &\lambda \\ 0 &\lambda^{2} &-\lambda \\ 1 &\lambda^{3}+\lambda-1 &-\lambda^{2} \end{pmatrix}. \end{equation*}利用左上角的\(1\)消去第1列其余非\(0\)元素。将第1行乘以\(-1\)加到第3行：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 &2\lambda-1 &\lambda \\ 0 &\lambda^{2} &-\lambda \\ 0 &\lambda^{3}-\lambda &-\lambda^{2}-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}再利用左上角的1消去第一行的其余非\(0\)元素：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 &\lambda^{2} &-\lambda \\ 0 &\lambda^{3}-\lambda &-\lambda^{2}-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}交换第2列和第3列：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & \lambda^{2} \\ 0 &-\lambda^{2}-\lambda & \lambda^{3}-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}消去\((2,3)\)位置的元素。将第2列的\(\lambda\)倍加到第3列：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 \\ 0 &-\lambda^{2}-\lambda & -\lambda^{2}-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}消去\((3,2)\)位置的元素：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda^{2}-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}将第2列、第3列乘以\(-1\)：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^{2}+\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}因此，矩阵\(A(\lambda)\)的Smith标准型为\begin{equation*} \operatorname{diag}(1,\ \lambda,\ \lambda(\lambda+1)). \end{equation*}
-
将第3列的\(-1\)倍加到第1列：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & \lambda(\lambda-1) & 0\\ -1 & 0 &\lambda+1\\ \lambda-2 & 0 &2-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}交换第1行和第2行：\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 0 &\lambda+1\\ 0 & \lambda(\lambda-1) & 0\\ \lambda-2 & 0 &2-\lambda \end{pmatrix}. \end{equation*}用左上角的\(-1\)消掉第1列的其它非0元素：\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & 0 &\lambda+1\\ 0 & \lambda(\lambda-1) & 0\\ 0 & 0 &\lambda(\lambda-2) \end{pmatrix}. \end{equation*}用左上角的\(-1\)消掉第1行的其它非0元素，然后乘以\(-1\)，得到：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda(\lambda-1) & 0\\ 0 & 0 &\lambda(\lambda-2) \end{pmatrix}. \end{equation*}注意：虽然上面的矩阵是一个对角矩阵，但它还不是\(B(\lambda)\)的Smith标准型，因为对角线元素之间没有满足整除关系。下面继续化简。将矩阵的第3行加到第2行：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda(\lambda-1) &\lambda(\lambda-2)\\ 0 & 0 &\lambda(\lambda-2) \end{pmatrix}. \end{equation*}将第3列的\(-1\)倍加到第2列：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda &\lambda(\lambda-2)\\ 0 & \lambda(2-\lambda) &\lambda(\lambda-2) \end{pmatrix}. \end{equation*}此时\(\lambda\)整除右下角矩阵块中的所有元素。用对角元\(\lambda\)消掉第2列的其它非0元素，即将第2行的\(\lambda-2\)倍加到第3行：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda &\lambda(\lambda-2)\\ 0 & 0 &\lambda(\lambda-2)(\lambda-1) \end{pmatrix}. \end{equation*}用对角元\(\lambda\)消掉第2行的其它非0元素，得到\(B(\lambda)\)的Smith标准型：\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 &\lambda(\lambda-2)(\lambda-1) \end{pmatrix}. \end{equation*}
借助Sage，可以使用下面的程序片段求法式：
子节 7.7.3 法式唯一性与行列式因子
注意到初等\(\lambda\)-矩阵的行列式都是非0常数，所以\(A(\lambda)\)的行列式与其法式的行列式仅差一个非零常数。利用这个性质，我们来证明法式的唯一性。作为工具，可以引入下面的概念。
定义 7.7.11.
设\(A(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵，\(k(\le \min\{m,n\})\)是一个自然数。如果\(A(\lambda)\)的所有\(k\) 阶子式的最大公因式不等于零，则称首项系数为\(1\)的最大公因式为\(A(\lambda)\)的 \(k\)阶行列式因子，记为\(D_k(\lambda)\)。
不同于法式的定义，\(k\)阶行列式因子的定义本身确保了其存在唯一性。接下来我们将利用行列式因子的唯一性来证明法式的唯一性。先通过一个具体的例子来熟悉一下这个概念。
例 7.7.12. 行列式因子举例.
设\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}0&\lambda(\lambda-1)&0\\
\lambda&0&\lambda+1\\ 0&0&2-\lambda\end{pmatrix}\)，求其行列式因子。
解答.
-
\(1\)阶行列式因子：\(A(\lambda)\)有4个非0的1阶子式，分别是\(\lambda(\lambda-1)\)、\(\lambda\)、\(\lambda+1\)和\(2-\lambda\)。注意到\(\lambda\)与\(\lambda+1\)互素，所以不需要考虑其它1阶子式，可以直接判断出\(A(\lambda)\)的\(1\)阶行列式因子\(D_1(\lambda)=1\)。
-
2阶行列式因子：\(A(\lambda)\)有4个非0的2阶子式，分别是
-
第1-2行, 第1-2列:\begin{equation*} \begin{vmatrix}0 & \lambda(\lambda-1) \\ \lambda & 0\end{vmatrix} = -\lambda^{2}(\lambda-1) \end{equation*}
-
第1-2行, 第2-3列:\begin{equation*} \begin{vmatrix}\lambda(\lambda-1) & 0 \\ 0 & \lambda+1\end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)(\lambda+1) \end{equation*}
-
第1-3行, 第2-3列:\begin{equation*} \begin{vmatrix}\lambda(\lambda-1) & 0 \\ 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)(2-\lambda) \end{equation*}
-
第2-3行, 第1-3列:\begin{equation*} \begin{vmatrix}\lambda & \lambda+1 \\ 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = \lambda(2-\lambda) \end{equation*}
-
-
3阶行列式因子：\(A(\lambda)\)有一个非0的3阶子式，即\(A(\lambda)\)本身的行列式，\begin{equation*} \det A(\lambda) = \begin{vmatrix}0 & \lambda(\lambda-1) & 0 \\ \lambda & 0 & \lambda+1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda\end{vmatrix} = -\lambda^{2}(\lambda-1)(2-\lambda). \end{equation*}所以\(D_3(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)(\lambda-2)\)。
上述例子提示我们，求行列式因子时并不一定需要计算所有的非0子式，当我们发现一部分同阶子式的最大公因式是1时，就可以直接得出相应的行列式因子为1。特别地，若可以找到\(A(\lambda)\)的一个\(k\)阶子式是一个非0常数，则可以直接得出结论\(D_k(\lambda)=1\)。
行列式因子定义本身要求其不是0，同时注意到矩阵的秩等于其非0子式的最大阶数，所以\(r(A(\lambda))=r\)意味着\(A(\lambda)\)有\(r\)个行列式因子。对于一个秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)，称
\begin{equation*}
\left( D_1(\lambda),\dots,D_r(\lambda) \right)
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的行列式因子组。
这里使用圆括号记号是为了强调行列式因子是有顺序的，其顺序就是按照其阶数从小到大排列的。事实上，我们有下面的结论。
命题 7.7.13.
设\(r(A(\lambda))=r\)，\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子组，则
\begin{equation*}
D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,r-1).
\end{equation*}
证明.
任给一个\(i=1,\dots ,r-1\)，同时任取\(A_{i+1}\)是\(A(\lambda)\)的一个\(i+1\)阶子式。将\(A_{i+1}\)按照一行进行展开，则它的每一个展开项都是一个多项式与一个\(i\)阶子式的乘积。由于\(D_i(\lambda)\)是所有\(i\)阶子式的最大公因式，因此\(D_i(\lambda)|A_{i+1}\)。另一方面，\(D_{i+1}(\lambda)\)是所有\(i+1\)阶子式的最大公因式，由\(i\)和\(A_{i+1}\)的任意性可知\(D_i(\lambda)|D_{i+1}(\lambda)\)对\(i=1,\dots ,r-1\)均成立。
接下来开始证明法式的唯一性。我们先说明行列式因子组是相抵关系的不变量。
定理 7.7.14.
相抵\(\lambda\)-矩阵有相同的行列式因子组。
提示.
只需证明行列式因子在一次初等变换前后保持不变。
用\(A(\lambda)\)表示一个一般的\(\lambda\)-矩阵，\(A(\lambda)\)做一次初等变换后获得的矩阵记为\(B(\lambda)\)。分别记\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)的\(k\)阶行列式因子为\(D_k^{(A)}(\lambda)\)和\(D_k^{(B)}(\lambda)\)，若要证明\(D_k^{(A)}(\lambda)=D_k^{(B)}(\lambda)\)，则只需证明\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid D_k^{(B)}(\lambda)\)且\(D_k^{(B)}(\lambda)\mid D_k^{(A)}(\lambda)\)。要证明\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid D_k^{(B)}(\lambda)\)，则只需证明任给一个\(B(\lambda)\)的\(k\)阶子式\(B_k\)，\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid B_k\)。
证明.
只需验证行列式因子在三类初等变换下保持不变即可。我们这里只讨论行初等变换，列初等变换的讨论完全类似。
-
倍法变换：变换前后的\(k\)阶子式最多只差一个非0常数，所以也不会改变行列式因子。
-
消法变换：设\(A(\lambda)\)的第\(j\)行乘\(f(\lambda)\)加到第\(i\)行得到\(B(\lambda)\)。此时\(B(\lambda)\)与\(A(\lambda)\)只有第\(i\)行不同。任给一个\(B(\lambda)\)的\(k\)阶子式\(B_k\)，考虑它是否含第\(i\)行和第\(j\)行，分为下述3种情况进行讨论：
-
在\(A(\lambda)\)中取\(B_k\)一样的行和列，获得\(A(\lambda)\)的一个\(k\)阶子式\(A_k\)，则\(B_k\)也可以看作是\(A_k\)做一次消法变换得到的，于是\(B_k=A_k\)。又因为\(D_k^{(A)}(\lambda)\)是所有\(k\)阶子式的最大公因式，所以\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid A_k\)，从而\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid B_k\)。
-
此时，\(B_k\)中与\(B(\lambda)\)的第\(i\)行对应的行可以拆成两行的和，其中一行是\(A(\lambda)\)的第\(i\)行，另一行是第\(j\)行的\(f(\lambda)\)倍。利用定理 3.2.9，\begin{equation*} B_k = A_k+f(\lambda)\cdot A_k', \end{equation*}其中\(A_k\)和\(A_k'\)都是\(A(\lambda)\)的\(k\)阶子式。由于\(D_k^{(A)}(\lambda)\)是所有\(k\)阶子式的最大公因式，所以\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid A_k\)且\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid A_k'\)，从而\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid B_k\)。
于是\(D_k^{(A)}(\lambda)\mid D_k^{(B)}(\lambda)\)。同理可证\(D_k^{(B)}(\lambda)\mid D_k^{(A)}(\lambda)\)，从而得出\(D_k^{(A)}(\lambda)=D_k^{(B)}(\lambda)\)，即消法变换不改变行列式因子。
推论 7.7.15.
\(\lambda\)-矩阵的法式是唯一的。
证明.
设
\begin{equation*}
\Lambda_{A(\lambda)}=\begin{pmatrix}
g_1(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&g_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
B(\lambda)=\begin{pmatrix}
b_1(\lambda)&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&b_r(\lambda)&&\\
&&&0&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}
\end{equation*}
都是\(A(\lambda)\)的法式，则\(\Lambda_{A(\lambda)}\)与\(B(\lambda)\)相抵。根据定理 7.7.14，\(\Lambda_{A(\lambda)}\)与\(B(\lambda)\)有相同的行列式因子，则
\begin{equation*}
\begin{array}{c}
D_1(\lambda)=g_1(\lambda)=b_1(\lambda),\\
D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda)=b_1(\lambda)b_2(\lambda),\\
\vdots\\
D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda)=b_1(\lambda)\cdots b_r(\lambda).
\end{array}
\end{equation*}
从而
\begin{equation*}
g_1(\lambda_1)=b_1(\lambda_1)=D_1(\lambda),
\end{equation*}
\begin{equation*}
g_i(\lambda)=b_i(\lambda)=\frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)},i=2,\ldots ,r.
\end{equation*}
进一步地，行列式因子组可以作为\(\lambda\)-矩阵是否相抵的判断依据。
推论 7.7.16.
证明.
\begin{equation*}
A(\lambda)\simeq\begin{pmatrix}
D_1(\lambda)&&&&&\\
&\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}&&&&\\
&&\ddots&&&\\
&&&\frac{D_r(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}&&\\
&&&&0&\\
&&&&&\ddots
\end{pmatrix}\simeq B(\lambda).
\end{equation*}
现在回到数字矩阵。
推论 7.7.17.
设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\) ，则\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)必相抵于
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\dots ,1,d_1(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
其中\(d_i(\lambda)\)是\(\mathbb{F}\)上首一多项式，\({\rm deg\, } d_i(\lambda)\geq 1,\ (i=1,\dots ,k)\)，且\(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),\ (i=1,\dots ,k-1)\)。
子节 7.7.4 不变因子
定义 7.7.18.
设秩为\(r\)的\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}\left( g_1(\lambda),\dots, g_r(\lambda),0,\dots,0 \right),
\end{equation*}
其中首一多项式\(g_{i}(\lambda)|g_{i+1}(\lambda), i=1,\dots ,r-1\)。 称\(g_{i}(\lambda)\)为\(A(\lambda)\)的第\(i\)个不变因子，称
\begin{equation*}
(g_1(\lambda),\dots,g_r(\lambda) )
\end{equation*}
为\(A(\lambda)\)的不变因子组。
由 命题 7.7.13 知：若\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_r(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的行列式因子，则\(D_{i-1}(\lambda)|D_{i}(\lambda)\)，即
\begin{equation*}
\frac{D_{i}(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}\in\mathbb{F} [\lambda ],\ (i=2,3,\cdots ,r).
\end{equation*}
\(A(\lambda)\)的不变因子是其法式的非零对角元。从法式的角度易知\(A(\lambda)\)的行列式因子组和不变因子组可以相互决定：
-
若\(A(\lambda)\)的行列式因子组为\((D_1(\lambda),\dots ,D_r(\lambda))\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} g_1(\lambda)=D_1(\lambda),\ g_2(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\dots ,\ g_r(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}; \end{equation*}
-
若\(A(\lambda)\)的不变因子组为\((g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda))\)，则\(A(\lambda)\)的不变因子为\begin{equation*} D_1(\lambda)=g_1(\lambda),D_2(\lambda)=g_1(\lambda)g_2(\lambda),\dots ,D_r(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_r(\lambda). \end{equation*}
注意到特征矩阵\(\lambda E_n -A \)的秩必定为矩阵的阶数\(n\)，所以数字方阵\(A\)的不变因子组必定形如
\begin{equation*}
(1,\dots,1,d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)),
\end{equation*}
这里\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)都是次数大于等于1的首一多项式且 \(d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\)，1的个数为\(n-k\)。\(d_1(\lambda),\dots,d_{k}(\lambda)\)也称为\(A\)的非平凡不变因子。
当计算行列式因子/不变因子时，并不一定需要逐个来求。若我们可以知道一个行列式因子\(D_t(\lambda) =1\)时，由于有整除的限制，对任意正整数\(j\le t\)，\(D_j(\lambda) =1\)均成立；相应地，\(g_j(\lambda) =1\)也成立。下面的例子是一个典型例子，例子中的矩阵称为 Frobenius块矩阵。
例 7.7.19. Frobenius块矩阵的不变因子.
求\(n\)阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&-a_{0}\\
1&0&\ddots &\vdots &-a_{1}\\
0 &\ddots &\ddots& 0 &\vdots\\
\vdots &\ddots&1&0&-a_{n-2}\\0&\cdots&0&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}\)的不变因子。
解答.
因
\begin{equation*}
\lambda E-A=\begin{pmatrix}
\lambda&0 &\cdots &0&a_{0}\\
-1&\lambda &\ddots &\vdots &a_{1}\\
0 &\ddots&\ddots&0&\vdots\\
\vdots &\ddots&-1&\lambda&a_{n-2}\\
0&\cdots&0&-1&\lambda+a_{n-1}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
存在\(n-1\)阶子式 \(\begin{vmatrix}
-1&\lambda &\cdots &0\\
0 &\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&-1&\lambda\\
0&\cdots&0&-1
\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}\)，而行列式因子是所有同阶行列子式的最大公因式，所以\(D_{n-1}(\lambda) =1\)，进而可推知
\begin{equation*}
D_1(\lambda)=\cdots = D_{n-1}(\lambda) = 1,
\end{equation*}
\begin{equation*}
g_1(\lambda)=\cdots = g_{n-1}(\lambda) = 1.
\end{equation*}
最后，结合例 3.3.7，可知
\begin{equation*}
D_n(\lambda) = g_n(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0.
\end{equation*}
另一个有意思的事实是数字方阵\(A\)的最后一个行列式因子就是\(A\)的特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。相应的，\(A\)的所有不变因子乘积为特征多项式\(\chi_A(\lambda)\)。
综上所述，下面的结论成立。
定理 7.7.20.
对\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\)，下列叙述等价：
-
\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)；
回到数字矩阵相似的问题，有下面一个总结性结论。
推论 7.7.21.
对于\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\)，下列叙述是等价的。
例 7.7.22.
判断下列两个矩阵是否相似：
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix},\ B =\begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&1&1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
注意到矩阵的行列式因子和不变因子与数域无关。所以两个矩阵是否相似也与数域无关。
推论 7.7.23.
设\(\mathbb{F},\mathbb{K}\)是数域且\(\mathbb{F}\subseteq \mathbb{K}\)，\(A,\ B\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，则\(A,B\)在\(\mathbb{F}\)上相似的充分必要条件是\(A,B\)在\(\mathbb{K}\)上相似。
特别地，设\(A,B\in \R^{n\times n}\)均为实方阵，若\(A,B\)在复数域\(\C\)上相似，则必存在实矩阵\(P\in \R^{n\times n}\)，使得
\begin{equation*}
P^{-1}AP = B.
\end{equation*}
练习 7.7.5 练习
基础题.
1.
用初等变换的方法求下列矩阵的法式。
(1)\(\begin{pmatrix}
1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\
\lambda&\lambda&-\lambda\\
1+\lambda^2&\lambda^2&-\lambda^2
\end{pmatrix}\)； (2)\(\begin{pmatrix}
0&0&0&\lambda^2\\
0&0&\lambda^2-\lambda&0\\
0&(\lambda-1)^2&0&0\\
\lambda^2-\lambda&0&0&0
\end{pmatrix}\)。
2.
求\(A\)的特征矩阵的法式，其中 (1)\(A=\begin{pmatrix}
-1&0&1\\3&2&-2\\-5&1&4
\end{pmatrix}\)，(2)\(A=\begin{pmatrix}
3&1&1\\0&4&0\\-1&1&5
\end{pmatrix}\)。
3.
设\(n\)阶矩阵\(A\)的特征矩阵的法式为
\begin{equation*}
{\rm diag}(1,\dots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)),
\end{equation*}
证明：\(A\)的特征多项式
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
\end{equation*}
4.
求下列矩阵的行列式因子与不变因子： (1)\(\begin{pmatrix}
\lambda &1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
0&4&3&\lambda+2
\end{pmatrix}\)； (2) \(\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1
\end{pmatrix}\)；(3)\(\begin{pmatrix}
3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3
\end{pmatrix}\)。
5.
6.
判断下列矩阵是否相似。
-
\(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&0\\0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)；
-
\(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\)。
提高题.
7.
设\((f(\lambda),g(\lambda))=1\)，证明下列3个\(\lambda\)-矩阵相抵：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
f(\lambda)&0\\0&g(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
1&0\\0&f(\lambda)g(\lambda)
\end{pmatrix}.\
\end{equation*}
8.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，\(D_1(\lambda),D_2(\lambda),\cdots ,D_n(\lambda)\)是\(A\)的行列式因子，证明：存在\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(B(\lambda)\)，使得\({\rm adj}(\lambda E-A)=D_{n-1}(\lambda)B(\lambda)\)且\(B(\lambda)\)的一阶行列式因子为\(1\)。
