主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
子节 A.2 映射
集合可以帮我们划定讨论问题的范围,即哪些元素是我们需要关心的。划定讨论问题的范围后,这些元素之间的联系则可以用映射来进行描述。
定义 A.2.20.
设\(S\)、\(T\)是非空集合, 用\(\phi\)表示一个\(S\)中元素与\(T\)中元素的对应关系(也称对应法则)。若对\(\forall s\in S\),有且只有\(T\)中唯一元素\(t\)与之对应,则称\(\phi\)是\(S\)到\(T\)的映射,记为
\begin{equation*}
\phi: S\to T.
\end{equation*}
用 \(t= \phi(s)\)或\(\phi: s\mapsto t\)表示在映射\(\phi\)下\(t\)与\(s\)相对应。称\(t\)为\(s\)在\(\phi\)下的像 ,\(s\)称为\(t\)的一个原像。当取遍\(S\)中所有\(s\)时,所有像的集合记为
\begin{equation*}
{\rm Im}(\phi)=\phi(S)=\{\phi(s)| s\in S\}.
\end{equation*}
元素\(t\)的所有原像的集合记为
\begin{equation*}
\phi^{-1}(t)=\{s\in S|\phi(s)= t\}.
\end{equation*}
映射也可以被理解为描述了一个确定的变化过程
\(\phi\):变化之前是
\(S\)中的元素
\(s\),变化之后是
\(T\)中的元素
\(t\),映射的作用相当于
\(s\)经历了变化过程
\(\phi\)后变成了
\(t\)。映射的概念是代数学中最重要的概念之一,几乎所有的代数结构都可以用映射来描述。
映射是由它的三个要素
\(S\)、
\(T\)和映射法则
\(\phi\)共同决定的。有时为了简便,我们通常用映射法则
\(\phi\)作为整个映射的代表。假设现在有两个映射
\(\phi: S\to T\)和
\(\psi: U\to V\)。当且仅当
\(S=U\)、
\(T=V\),且
\(\forall s\in S\)、
\(\phi(s) =\psi(s)\)时我们才认为这两个映射是一样的,并将其简记为
\(\phi=\psi\)。
定义 A.2.21.
设
\(\phi: S\to T\)。若
\(\forall s_1\)、
\(s_2\in S\),
\(s_1\ne s_2\)必有
\(\phi(s_1)\ne \phi(s_2)\),则称
\(\phi\)是
单射 。
由定义可知:若
\(\phi\)是单射,则
\(\phi(s_1)=\phi(s_2)\)等价于
\(s_1=s_2\)。
定义 A.2.22.
若对
\(\forall t\in T\),存在
\(s\in S\),使得
\(\phi(s)=t\),则称
\(\phi\)是
满射。
\(\phi\)是满射等价于
\(\phi(S)=T\)。
定义 A.2.23.
映射
\(\phi\)是双射可以等价于:
\(\forall t\in T\),存在唯一
\(s\in S\),使得
\(\phi(s)=t\)。其中存在性保证了
\(\phi\)是满射,唯一性保证了
\(\phi\)是单射。
对于有限集来说,两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同。
对于集合
\(S\)及
\(T\subsetneq S\),(即
\(T\) 为
\(S\) 的真子集),若
\(S\)是有限集,则
\(S\)、
\(T\) 之间不可能存在双射;但若
\(S\)是无限集,则可能存在。如取
\(S=\Z\),
\(T=2\Z =\{2n|n\in \Z\} \)为所有偶数集,对应法则
\(\phi: n\mapsto 2n\),容易验证
\(\phi: S\to T\)是一个双射。是否存在到真子集的双射是有限集和无限集的本质差别之一。
一个映射建立了两个集合元素之间的联系,通过多个映射,我们也可以把这种联系链接起来。
定义 A.2.24.
设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)。\(\phi\)与\(\psi\)的合成(也称复合)定义为
\begin{equation*}
\psi\phi: S\to U, s\mapsto \psi(\phi(s)).
\end{equation*}
注意在上述合成过程中,集合\(T\)起到了中间桥梁的作用。由于映射是一个单向的概念,这种合成通常也是单向的,即多数情况下,\(\psi\phi{\ne} \phi \psi\)。这里的不相等有3层含义:
-
\(\phi \psi\)不一定存在。当
\(U{\ne} S\)时,
\(\psi\)与
\(\phi\)不能合成,相应地
\(\phi\psi\)就不存在。
-
即便
\(U=S\),此时
\(\phi\psi\)和
\(\psi\phi\)都有意义,但也可能不相等。如
\(T\ne S\)时,
\(\phi \psi\)和
\(\psi\phi\)就不可能相等。
-
即便
\(S=T=U\),
\(\phi \psi\)和
\(\psi\phi\)都是相同集合上的映射,此时仍有可能
\(\phi \psi\ne \psi\phi\)。
例 A.2.25.
取\(S=T=U=\{1,2\}\),\(\phi\)和\(\psi\)的对应法则如下表所示:
\begin{equation*}
\begin{array}{c|c|c}
s & 1 & 2\\
\hline
\phi(s) & 1 & 1
\end{array},\qquad \begin{array}{c|c|c}
s & 1 & 2\\
\hline
\psi(s) & 2 & 2
\end{array}.
\end{equation*}
则\((\phi\psi)(1)=\phi(\psi(1))=1\),\((\psi\phi)(1)=\psi(\phi(1))=2\),于是\(\phi\psi\ne \psi\phi\)。
容易验证映射的合成运算满足结合律:设 \(\phi: S\to {T}\)、\(\psi: {T}\to {U}\)、 \(\rho: {U}\to V\),则
\begin{equation*}
\rho(\psi\phi)= (\rho\psi)\phi.
\end{equation*}
定义 A.2.26.
映射
\({\rm id}_S: S\to S, s\mapsto s\)称为集合
\(S\)上的
恒等映射或
单位映射。
单位映射有复合不变性,类似于数字乘法中数字1的性质:设\(\phi: S\to T\),则
\begin{equation*}
{\rm id}_T\phi=\phi{\rm id}_S=\phi.
\end{equation*}
定义 A.2.27.
设
\(\phi: S\to T\)是映射,若存在映射
\(\psi: T\to S\),使得
\(\psi\phi={\rm id}_S \),且
\(\phi\psi={\rm id}_T\),则称
\(\phi\)是
可逆映射,并称
\(\psi\)为
\(\phi\)的
逆映射。
定理 A.2.28.
映射
\(\phi: S\to T\)是可逆映射的充分必要条件是映射
\(\phi\)是双射。
可以验证:可逆映射的逆映射唯一,记
\(\phi\)唯一的逆映射为
\(\phi^{-1}\)。
同样可以验证:若
\(\phi: S\to T\)、
\(\psi: T\to U\)均为可逆映射, 则
\(\psi\phi\)可逆,且
\((\psi\phi)^{-1}=\phi^{-1}\psi^{-1}\)。
命题 A.2.30.
设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\),则
-
若
\(\phi\)、
\(\psi\)是满的, 则
\(\psi\phi\)也是满的;
-
若
\(\phi\)、
\(\psi\)是单的, 则
\(\psi\phi\)也是单的;
-
若
\(\phi\)、
\(\psi\)是双射, 则
\(\psi\phi\)也是双射。