主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

子节 B.2 映射

集合可以帮我们划定讨论问题的范围，即哪些元素是我们需要关心的。划定讨论问题的范围后，这些元素之间的联系则可以用映射来进行描述。
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定义 B.2.26.

设\(S\)、\(T\)是非空集合，用\(\phi\)表示一个\(S\)中元素与\(T\)中元素的对应关系（也称对应法则）。若对\(\forall s\in S\)，有且只有\(T\)中唯一元素\(t\)与之对应，则称\(\phi\)是\(S\)到\(T\)的映射，记为
\begin{equation*} \phi: S\to T \quad \text{或} \quad S \xrightarrow{\phi} T . \end{equation*}
用 \(t= \phi(s)\)或\(\phi: s\mapsto t\)表示在映射\(\phi\)下\(t\)与\(s\)相对应。称\(t\)为\(s\)在\(\phi\)下的像 ，\(s\)称为\(t\)的一个原像。当取遍\(S\)中所有\(s\)时，所有像的集合记为
\begin{equation*} {\rm Im}(\phi)=\phi(S)=\{\phi(s)| s\in S\}. \end{equation*}
元素\(t\)的所有原像的集合记为
\begin{equation*} \phi^{-1}(t)=\{s\in S|\phi(s)= t\}. \end{equation*}
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映射也可以被理解为描述了一个确定的变化过程\(\phi\)：变化之前是\(S\)中的元素\(s\)，变化之后是\(T\)中的元素\(t\)，映射的作用相当于\(s\)经历了变化过程\(\phi\)后变成了\(t\)。映射的概念是代数学中最重要的概念之一，几乎所有的代数结构都可以用映射来描述。
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映射是由它的三个要素\(S\)、\(T\)和映射法则\(\phi\)共同决定的。有时为了简便，通常用映射法则\(\phi\)作为整个映射的代表。假设现在有两个映射\(\phi: S\to T\)和\(\psi: U\to V\)。当且仅当\(S=U\)、\(T=V\)，且\(\forall s\in S\)、\(\phi(s) =\psi(s)\)时我们才认为这两个映射是一样的，并将其简记为\(\phi=\psi\)。
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下面几种映射有特殊重要意义。
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定义 B.2.27.

设\(\phi: S\to T\)。若\(\forall s_1\)、\(s_2\in S\)，\(s_1\ne s_2\)必有\(\phi(s_1)\ne \phi(s_2)\)，则称\(\phi\)是单射 。
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由定义可知：若\(\phi\)是单射，则\(\phi(s_1)=\phi(s_2)\)等价于\(s_1=s_2\)。
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定义 B.2.28.

若对\(\forall t\in T\)，存在\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)，则称\(\phi\)是满射。
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\(\phi\)是满射等价于\(\phi(S)=T\)。
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定义 B.2.29.

既单又满的映射称为双射，也称一一映射。
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映射\(\phi\)是双射可以等价于：\(\forall t\in T\)，存在唯一\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)。其中存在性保证了\(\phi\)是满射，唯一性保证了\(\phi\)是单射。
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对于有限集来说，两集合之间存在双射的充要条件是它们所含元素的个数相同。
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对于集合\(S\)及\(T\subsetneq S\)，（即\(T\) 为\(S\) 的真子集），若\(S\)是有限集，则 \(S\)、\(T\) 之间不可能存在双射；但若\(S\)是无限集，则可能存在。如取\(S=\Z\)，\(T=2\Z =\{2n|n\in \Z\} \)为所有偶数集，对应法则\(\phi: n\mapsto 2n\)，容易验证\(\phi: S\to T\)是一个双射。是否存在到真子集的双射是有限集和无限集的本质差别之一。
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一个映射建立了两个集合元素之间的联系，通过多个映射，我们也可以把这种联系链接起来。
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定义 B.2.30.

设\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)。\(\phi\)与\(\psi\)的合成（也称复合）定义为
\begin{equation*} \psi\phi: S\to U, s\mapsto \psi(\phi(s)). \end{equation*}
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注意在上述合成过程中，集合\(T\)起到了中间桥梁的作用。由于映射是一个单向的概念，这种合成通常也是单向的，即多数情况下，\(\psi\phi{\ne} \phi \psi\)。这里的不相等有3层含义：
  1. \(\phi \psi\)不一定存在。当\(U{\ne} S\)时，\(\psi\)与\(\phi\)不能合成，相应地\(\phi\psi\)就不存在。
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  2. 即便\(U=S\)，此时\(\phi\psi\)和\(\psi\phi\)都有意义，但也可能不相等。如\(T\ne S\)时，\(\phi \psi\)和\(\psi\phi\)就不可能相等。
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  3. 即便\(S=T=U\)，\(\phi \psi\)和\(\psi\phi\)都是相同集合上的映射，此时仍有可能\(\phi \psi\ne \psi\phi\)。
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例 B.2.31.

取\(S=T=U=\{1,2\}\)，\(\phi\)和\(\psi\)的对应法则如下表所示：
\begin{equation*} \begin{array}{c|c|c} s & 1 & 2\\ \hline \phi(s) & 1 & 1 \end{array},\qquad \begin{array}{c|c|c} s & 1 & 2\\ \hline \psi(s) & 2 & 2 \end{array}. \end{equation*}
则\((\phi\psi)(1)=\phi(\psi(1))=1\)，\((\psi\phi)(1)=\psi(\phi(1))=2\)，于是\(\phi\psi\ne \psi\phi\)。
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容易验证映射的合成运算满足结合律：设 \(\phi: S\to {T}\)、\(\psi: {T}\to {U}\)、 \(\rho: {U}\to V\)，则
\begin{equation*} \rho(\psi\phi)= (\rho\psi)\phi. \end{equation*}
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下面两种映射在合成运算的研讨中有重要作用。
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定义 B.2.32.

映射\({\rm id}_S: S\to S, s\mapsto s\)称为集合\(S\)上的恒等映射或单位映射。
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单位映射有复合不变性，类似于数字乘法中数字1的性质：设\(\phi: S\to T\)，则
\begin{equation*} {\rm id}_T\phi=\phi{\rm id}_S=\phi. \end{equation*}
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定义 B.2.33.

设\(\phi: S\to T\)是映射，若存在映射\(\psi: T\to S\)，使得\(\psi\phi={\rm id}_S \)，且\(\phi\psi={\rm id}_T\)，则称\(\phi\)是可逆映射，并称\(\psi\)为\(\phi\)的逆映射。
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证明.

充分性：设\(\phi\)是双射，则对\(\forall t\in T\)，存在唯一\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)。定义映射
\begin{equation*} \psi: T\to S, t\mapsto s, \end{equation*}
其中\(s\)为唯一满足\(\phi(s)=t\)的元素。则对\(\forall s\in S\)、\(t\in T\)，有
\begin{equation*} (\psi\phi)(s)=\psi(\phi(s))=s, \quad (\phi\psi)(t)=\phi(\psi(t))=t. \end{equation*}
于是
\begin{equation*} \psi\phi={\rm id}_S,\quad \phi\psi={\rm id}_T, \end{equation*}
即\(\phi\)是可逆映射。
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必要性：设\(\phi\)是可逆映射，\(\psi: T\to S\)为\(\phi\)的逆映射。则对\(\forall t\in T\)，存在\(s=\psi(t)\in S\)，使得\(\phi(s)=\phi(\psi(t))=t\)，即\(\phi\)是满射。又对\(\forall s_1,s_2\in S\)，若\(\phi(s_1)=\phi(s_2)\)，则
\begin{equation*} s_1=(\psi\phi)(s_1)=\psi(\phi(s_1))=\psi(\phi(s_2))=(\psi\phi)(s_2)=s_2. \end{equation*}
于是\(\phi\)是单射。综上所述，\(\phi\)是双射。
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可以验证：可逆映射的逆映射唯一，记\(\phi\)唯一的逆映射为\(\phi^{-1}\)。
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备注 B.2.35.

\(\phi^{-1}\)这记号有一定的迷惑性，我们在求原像时似乎也用到了这个记号。请注意，对于一般的映射\(\phi\)，当\(\phi^{-1}\)不存在时，\(\phi^{-1}(t)\)是一个整体记号，表示的是\(t\)的原像集。
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同样可以验证：若\(\phi: S\to T\)、\(\psi: T\to U\)均为可逆映射， 则\(\psi\phi\)可逆，且\((\psi\phi)^{-1}=\phi^{-1}\psi^{-1}\)。
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证明.

  1. 设\(u\in U\)，则由\(\psi\)的满性，存在\(t\in T\)，使得\(\psi(t)=u\)；由\(\phi\)的满性，存在\(s\in S\)，使得\(\phi(s)=t\)。于是
    \begin{equation*} (\psi\phi)(s)=\psi(\phi(s))=\psi(t)=u. \end{equation*}
    由此可知\(\psi\phi\)是满的。
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  2. 设\(s_1,s_2\in S\)，且\((\psi\phi)(s_1)=(\psi\phi)(s_2)\)，则
    \begin{equation*} \psi(\phi(s_1))=\psi(\phi(s_2)). \end{equation*}
    由\(\psi\)的单性，
    \begin{equation*} \phi(s_1)=\phi(s_2). \end{equation*}
    由\(\phi\)的单性，
    \begin{equation*} s_1=s_2. \end{equation*}
    由此可知\(\psi\phi\)是单的。
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  3. 由前2点可知\(\psi\phi\)是双射。
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