定义 7.8.1.
复方阵\(A\)所有非平凡不变因子在分解式(7.8.1)中满足\(e_{js}>0\)的\((\lambda -\lambda_s)^{e_{js}}\)称为\(A\)的一个初等因子， \(A\)的全体初等因子（相同的按出现次数计算）构成的多重集称为\(A\)的初等因子组。
节 7.8 初等因子组与Jordan标准型
定理 7.3.20表明在复数域上每一个方阵都相似于上三角矩阵，对角元为矩阵的所有特征值。本节中将进一步细化这个结论，给出一个矩阵在相似变换下能变成的最简形式，这种最简形式就是Jordan标准型。在讨论这个问题时，\(\lambda\)-矩阵是一个中间工具。
本节中需要使用复数域上多项式均可分解为一次因式的乘积这一重要性质，因此本节中的数域为复数域\(\C\)。
子节 7.8.1 初等因子组
设复数域\(\C\)上\(n\)阶方阵\(A\)的不变因子组为：
\begin{equation*}
\left( 1,\ldots,1,d_1(\lambda),\ldots,d_k(\lambda) \right),
\end{equation*}
其中1有\(n-k\)个。对所有的非平凡不变因子\(d_j(\lambda)(j=1,\ldots,k) \)在复数域上进行因式分解，记所获得的分解式为：
\begin{gather}
\begin{array}{c}
d_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{11}} \cdots (\lambda-\lambda_t)^{e_{1t}}, \\
d_2(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{21}} \cdots (\lambda-\lambda_t)^{e_{2t}}, \\
\vdots \\
d_k(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{k1}} \cdots (\lambda-\lambda_t)^{e_{kt}},\end{array} \tag{7.8.1}
\end{gather}
其中\(\lambda_1,\ldots,\lambda_t\)是\(A\)的所有互异特征值（这里为了有统一的书写方式，允许部分\(e_{js}=0\)）。由于有\(d_{j}(\lambda)|d_{j+1}(\lambda)\)的限制，所以分解式中的\(e_{js}\)满足
\begin{equation}
0\le e_{1s}\le \cdots \le e_{ks},\ s=1,\dots,t.\tag{7.8.2}
\end{equation}
例 7.8.2.
给定不变因子组，确定初等因子组。
由于有 (7.8.2) 的限制，若给定了初等因子组，则其不变因子组也是确定的。
命题 7.8.3.
方阵\(A\)的不变因子组和其初等因子组可以相互决定。
我们通过下面一个具体的例子来说明上述命题。
例 7.8.4.
给初等因子组，决定不变因子组。
根据上面的讨论，可知下面的结论成立。
定理 7.8.5.
复方阵\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(A \)与\(B\)有相同的初等因子组。
若按定义求初等因子组，则需要先求不变因子组。事实上，初等因子组有更简单的求法，特别是针对对角矩阵。我们先来看下面的引理。
引理 7.8.6.
若\((f_i(\lambda),g_j(\lambda))=1,\ (i,j=1,2)\)，则
\begin{equation*}
(f_1(\lambda)g_1(\lambda),f_2(\lambda)g_2(\lambda))=(f_1(\lambda),f_2(\lambda))(g_1(\lambda),g_2(\lambda)).
\end{equation*}
证明.
定理 7.8.7.
设\(\lambda E-A\simeq {\rm diag} (h_1(\lambda),\dots ,h_n(\lambda))\)且
\begin{equation*}
h_j(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{e_{j1}}\cdots (\lambda-\lambda_s)^{e_{js}},
\end{equation*}
其中\(e_{jk}\geq 0\)。则多重集
\begin{equation*}
\left\{(\lambda-\lambda_k)^{e_{jk}}|e_{jk}>0,j=1，\dots,n; k=1,\dots ,s\right\}
\end{equation*}
是\(A\)的初等因子组。
证明.
应用定理 7.8.7，初等因子组的计算可以得到简化，如下例所示。
例 7.8.8.
给一个分块对角阵\(A\)
\begin{equation*}
A=
\end{equation*}
求\(A\)的初等因子组。
子节 7.8.2 Jordan标准型
接下来介绍矩阵的Jordan标准型。理解Jordan标准型对理解线性变换和方阵的性质至关重要。一定程度上，Jordan标准型相关结论的提出标志着线性变换理论框架的成熟。
先来看Jordan块的定义，它是若当标准型矩阵的主要组成结构。
定义 7.8.9.
称\(k\)阶矩阵
\begin{equation*}
J(\lambda_0,k) = \begin{pmatrix}
\lambda_0 & & &\\
1 & \lambda_0 & &\\
&\ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda_0
\end{pmatrix}_{k\times k},
\end{equation*}
为\(\lambda_0\)的\(k\)阶Jordan块。
备注 7.8.10.
Jordan块也可以被定义为下三角矩阵，即
\begin{equation*}
J'(\lambda_0,k) = \begin{pmatrix}
\lambda_0 &1 & &\\
& \lambda_0 &\ddots &\\
& & \ddots & 1\\
& & & \lambda_0
\end{pmatrix}_{k\times k}
\end{equation*}
二者没有本质差别。
Jordan块和初等因子之间有着密切联系，一个Jordan块可以对应一个初等因子。
引理 7.8.11.
\(k\)阶Jordan块矩阵\(J(\lambda_0,k)\)的行列式因子与不变因子均为\((1,\ldots,1,(\lambda-\lambda_0)^k)\)，初等因子组中只有一个初等因子\((\lambda-\lambda_0)^k\)。
证明.
引理 7.8.12.
设
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,k_1)&&&\\
&J(\lambda_2,k_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_s,k_s)
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(J\)的初等因子组为
\begin{equation*}
\{(\lambda-\lambda_1)^{k_1},\cdots ,(\lambda-\lambda_k)^{e_k}\}.
\end{equation*}
定理 7.8.13.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，且\(A\)的初等因子组为\(\{(\lambda-\lambda_1)^{k_1},\ldots ,(\lambda-\lambda_s)^{k_s}\}\)，则\(A\)相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,k_1)&&&\\
&J(\lambda_2,k_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_s,k_s)
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
注意到初等因子组是一个（多重）集合，集合中的元素之间是没有顺序的；对应的，Jordan标准型矩阵中Jordan块的排列也是任意的。由于每一个初等因子唯一对应一个Jordan块，而给定矩阵的初等因子组是唯一确定的，故在不考虑对角块排列次序的意义下，矩阵的Jordan标准型是唯一确定的。
对于一个给定的线性变换\(\varphi\)，其表示矩阵越简单则越容易理解其作用规律。我们有如下结论。
定理 7.8.14.
设\(\varphi\)是复数域上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，则必存在\(V\)的一个基，使得\(\varphi\)在此基下的矩阵是Jordan标准型矩阵。
子节 7.8.3 Jordan标准型的性质与简单应用
Jordan标准型理论是矩阵基础理论中的制高点，有了Jordan标准型后，很多初始复杂的关系都可以梳理清楚。本节中我们来举例说明Jordan标准型的用途。
定理 7.8.15.
设\(\mathbb{C}\)上\(n\)阶方阵\(A\)的所有不同特征值为\(\lambda_1,\dots ,\lambda_t\)，则
- \(\chi_A(\lambda)=D_n(\lambda)=g_1(\lambda)\cdots g_n(\lambda)\)，且等于\(A\)的所有初等因子的乘积。记\begin{equation*} \chi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{n_t}, \end{equation*}则\(n_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块阶数之和，也等于初等因子组中\(\lambda-\lambda_i\)的次幂之和；
- \(A\)的极小多项式就是\(A\)的最后一个不变因子，即\begin{equation*} m_A(\lambda)=g_n(\lambda), \end{equation*}且等于\(A\)的初等因子组中含不同的\(\lambda-\lambda_i\)方幂中次幂最高项之积。记\begin{equation*} m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{s_1}\cdots (\lambda-\lambda_t)^{s_t}, \end{equation*}则\(s_i\)为所有特征值为\(\lambda_i\)的Jordan块的最大阶数，也等于初等因子组\(\lambda-\lambda_i\)的最高次幂项的次数。
证明.
推论 7.8.16.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
- \(A\)相似于对角矩阵；
- \(A\)的初等因子全是一次的；
- \(A\)的每个Jordan块全是一阶的；
- \(A\)的不变因子无重根；
- \(A\)的极小多项式无重根。
推论 7.8.17.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
- \(A\)相似于数量矩阵，即\(A=cE_n\)；
- \(A\)的极小多项式是一次多项式；
- \(A\)的初等因子全是一次的，且完全相同；
- \(A\)的不变因子完全相同（或者全是一次的）。
推论 7.8.18.
设\(A\)是复数域上\(n\)阶方阵，则下面的叙述是等价的：
- \(A\)的特征多项式等于极小多项式；
- \(A\)的不同特征值只含一个Jordan块；
- \(A\)的不同Jordan块对角元必互异。
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，且\(A\)的初等因子组为\((\lambda-\lambda_1)^{e_1},(\lambda-\lambda_2)^{e_2},\cdots ,\) \((\lambda-\lambda_k)^{e_k},\) 则\(A\)相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,e_1)&&&\\
&J(\lambda_2,e_2)&&\\
&&\ddots&\\
&&&J(\lambda_k,e_k)
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
于是，\(r(A)=r\left(J(\lambda_1,e_1)\right)+r\left(J(\lambda_2,e_2)\right)+\cdots +r\left(J(\lambda_k,e_k)\right)\)。而
\begin{equation*}
r\left(J(\lambda,e)\right)=\left\{\begin{array}{cl}
e,&\mbox{当}\lambda\neq 0\mbox{时，}\\
e-1,&\mbox{当}\lambda= 0\mbox{时。}\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
定理 7.8.19.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\)，则\(r(A)=r\)当且仅当\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于特征值\(0\)的Jordan块有\(n-r\)块。
定理 7.8.20.
设\(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) ，\(\lambda_0\)是\(A\)的一个特征值，则\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于\(\lambda_0\)的Jordan块有\(n-r(\lambda_0E-A)\)块，即\(A\)的Jordan标准形\(J\)中属于\(\lambda_0\)的Jordan块的个数等于\(\lambda_0\)的几何重数。
本节的最后，我们来介绍Jordan标准型的一个最重要应用：计算矩阵多项式。无论在理论分析还是实际应用中，将方阵带入一个给定多项式都是常见操作。当矩阵阶数很大，或多项式次数较高时，由于矩阵乘法的运算会消耗大量时间，因此按照表达式将矩阵直接带入计算是几乎不可能完成的事（耗时太久）。
设\(A\)是一个复方阵，\(f(x)\)是一个多项式。我们有一个常用的重要事实：若\(A = PJP^{-1}\)，则
\begin{equation*}
f(A) = Pf(J)P^{-1}.
\end{equation*}
于是\(f(A)\)的计算可以转化为\(f(J)\)和\(P\)矩阵的计算。注意到Jordan标准型矩阵是一个分块对角阵，所以只需要知道每一个对角块（即一个Jordan块）带入到\(f(x)\)的运算结果即可。下面的结论就是将Jordan块带入多项式的结果公式。
定理 7.8.21.
设 \(J = J(\lambda_0,k)\)是一个Jordan块矩阵， \(f(x)\)是一个多项式。则
\begin{equation*}
f(J) = \begin{pmatrix}
f(\lambda_0) & & &
& \\
\frac{f'(\lambda_0)}{1!} & f(\lambda_0) & & &\\
\frac{f''(\lambda_0)}{2!} &\frac{f'(\lambda_0)}{1!} & \ddots & & \\
\vdots &\ddots &\ddots &f(\lambda_0) &\\
\frac{f^{(k-1)}(\lambda_0)}{(k-1)!}&\cdots &\frac{f''(\lambda_0)}{2!} & \frac{f'(\lambda_0)}{1!}& f(\lambda_0)
\end{pmatrix}
\end{equation*}
从这个公式可知，只需知道\(A\)的Jordan标准型，我们就可以对\(f(A)\)这个矩阵有一个宏观的掌握。
子节 7.8.4 过渡矩阵的计算*
本节介绍两种计算Jordan标准型过度矩阵\(P\)的计算方法。
第一种方法为将\(P\)列分块，按列解方程\(AP=PJ\)。来看一个具体的例子。
例 7.8.22. 按列解过渡矩阵.
设
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
4 & -1 & 2\\
-9 & 4 & 6\\
-9 & 3 & -5
\end{pmatrix}
\end{equation*}
求过渡矩阵\(P\)使得\(P^{-1}AP=J\)，其中\(J\)是\(A\)的Jordan标准型。
解答.
例 7.8.23. 利用\(\lambda\)-矩阵求\(P\).
设
\begin{equation*}
A= \begin{pmatrix}
4 & -1 & 2\\
-9 & 4 & 6\\
-9 & 3 & -5
\end{pmatrix}
\end{equation*}
求过渡矩阵\(P\)使得\(P^{-1}AP=J\)，其中\(J\)是\(A\)的Jordan标准型。
