命题 E.0.1.
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{ij}.
\end{equation*}
附录 E 连加号\(\sum\)与连乘号\(\prod\)
多个数相加和相乘是经常会出现的情况，如
\begin{equation*}
1+2+\cdots+100,\quad 1\times 2\times \cdots\times 100.
\end{equation*}
为了记号的简洁，同时也为了避免由省略号可能引起的歧义，我们引入连加号\(\sum\)和连乘号\(\prod\)。
给定\(n\)个数\(a_{1},\ a_{2},\ \ldots,\ a_{n}\)，记
\begin{equation*}
a_{1}+a_{2}+\cdots+ a_{n} =\blue{\sum_{i=1}^n a_i},\quad a_{1}\cdot a_{2}\cdot\cdots \cdot a_{n} =\blue{\prod_{i=1}^n a_i}
\end{equation*}
其中\(\sum\)称为连加号，\(\prod\) 称为连乘号。
以连加号为例，参与求和的项\(a_i\)称为一般项或通项，\(i\)称为求和指标，\(\sum\)的下方和上方共同标注了求和指标的变化范围，如上例中求和号\(\sum\)下标\(i=1\)表示求和指标为\(i\)，且\(i\)从1开始取值，上标\(n\)表示求和指标取到\(n\)为止，默认情况下需连续取遍介于下标和上标之间（包含上、下标）的所有整数。
需要特别注意的是求和指标本身只是一个中间符号，它并不影响表达式求和的结果。上例中的\(i\)可以换成其他字母，如\(j\)，而不影响求和的结果，即
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{j=1}^n a_j.
\end{equation*}
同时，求和指标的取值范围也可以不从1开始，比如
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^n a_i = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
\end{equation*}
也可以从其他整数开始，如
\begin{equation*}
\sum_{i=3}^n a_i = a_3 + a_4 + \cdots + a_n.
\end{equation*}
甚至可以从负整数开始，如
\begin{equation*}
\sum_{i=-2}^n a_i = a_{-2} + a_{-1} + a_0 + a_1 + \cdots + a_n.
\end{equation*}
除连续变化的整数外，求和指标的取值也可以由一些集合来指定，如取定集合\(T =\{1,3,5\}\)，则
\begin{equation*}
\sum_{i\in T} a_i = a_1 + a_3 + a_5.
\end{equation*}
类似的，我们也可以用一些与求和指标有关的条件表达式来指定求和指标的取值范围，如
\begin{equation*}
\sum_{\substack{1\le i \le n \\ i\ne 4}} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_5 + a_6 + \cdots + a_n,
\end{equation*}
其中下标中的条件表达式表示求和指标\(i\)在1到\(n\)之间取值，且不等于4。
下面形式的和式
\begin{align*}
\amp a_{11} + a_{12}+ \cdots +a_{1n} \\
+\amp a_{21} + a_{22}+ \cdots +a_{2n} \\
+\amp \cdots + \cdots + \cdots \\
+\amp a_{m1} + a_{m2}+ \cdots +a_{mn}
\end{align*}
也可以用连加号来化简表示，它常被简记为
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}.
\end{equation*}
注意，这里的求和指标\(i,j\)是两个独立变化的整数，\(i\)从1到\(m\)变化，\(j\)从1到\(n\)变化。上式表示的含义是：对于每一个固定的\(i\)，\(j\)从1到\(n\)变化并求和，然后再让\(i\)从1到\(m\)变化并求和，即
\begin{align*}
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} = \amp \sum_{i=1}^m \left( a_{i1}+ a_{i2} +\cdots +a_{in} \right) \\
= \amp \phantom{+} \left( a_{11}+ a_{12} +\cdots +a_{1n} \right)\\
\amp {+} \left( a_{21}+ a_{22} +\cdots +a_{2n} \right) \\
\amp + \cdots \\
\amp + \left( a_{m1}+ a_{m2} +\cdots +a_{mn} \right)\\
= \amp \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}\right),
\end{align*}
而
\begin{align*}
\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{ij} = \amp \sum_{j=1}^n\left( a_{1j}+ a_{2j} +\cdots +a_{mj} \right) \\
= \amp \phantom{+} \left( a_{11}+ a_{21} +\cdots +a_{m1} \right) \\
\amp {+} \left( a_{12}+ a_{22} +\cdots +a_{m2} \right) \\
\amp + \cdots \\
\amp + \left( a_{1n}+ a_{2n} +\cdots +a_{mn} \right)\\
= \amp \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^m a_{ij}\right).
\end{align*}
我们有一个常用的结论。
上述等式是在两个求和指标独立变化、且求和项数均有限的情况下成立。若求和项有无穷多个，或两个求和指标不独立变化，则该等式不一定成立。
来看一个两个求和指标不独立变化的例子。和式
\begin{align*}
\amp \phantom{+} a_{11} \\
\amp + a_{21} +a_{22} \\
\amp + \cdots \\
\amp + a_{i1} +\cdots+a_{ii} \\
\amp + \cdots \\
\amp + a_{m1}+\cdots+\cdots+\cdots +a_{mm}
\end{align*}
可以用连加号表示为
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^i a_{ij}.
\end{equation*}
注意，这里的求和指标\(i,j\)不是独立变化。请同学们自行验证：
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^i a_{ij} \ne \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^j a_{ij},
\end{equation*}
并请尝试写出交换求和顺序后的正确表达式。
连乘号与连加号有类似的解释，这里不再重复叙述。
