主要内容\(\renewcommand{\deg}{\rm deg\, }
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\)
节 3.1 行列式的展开式定义
本章中，我们把注意力局限在系数矩阵为方阵的线性方程组中。我们先推导系数矩阵为2阶或3阶方阵的线性方程组的公式解，引出2阶、3阶行列式的定义。通过观察其中的规律，引出一般
\(n\)阶行列式的定义。
为了简化，在推导公式解的过程中，我们先不考虑运算合理性（主要指除数是否为0）。有兴趣的同学请思考这种简化是否会导致错误？如果不会，为什么？如果会，会导致什么样的错误？
子节 3.1.1 二阶、三阶行列式的定义
例 3.1.1. 二阶线性方程组公式解推导.
求一般的二阶线性方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{rcl}
a_{11}x_1+a_{12}x_2 & = & b_1, \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2 & = & b_2
\end{array}\right.\tag{3.1.1}
\end{equation}
的公式解。
解答.
用消元法解线性方程组：第一个方程\(\times a_{22}\)减去第二个方程\(\times a_{12}\)，消去\(x_2\)，整理得 ：
\begin{equation*}
({a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}})x_1=b_1a_{22}-b_2a_{12};
\end{equation*}
同理，消去\(x_1\)后整理可得：
\begin{equation*}
({a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}})x_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}.
\end{equation*}
于是原方程的公式解为：
\begin{equation*}
x_1=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quad x_2=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}.
\end{equation*}
注意到公式解表达式中的分子、分母形式上的相似性，我们可以引入如下定义。
定义 3.1.2. 二阶行列式.
设\(A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}\)，称\({a_{11}a_{22}}{-a_{12}a_{21}}\)为矩阵\(A\)的行列式，记作 \(\det A\)， 或\(|A|\)， 或\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}\)。 即
\begin{equation*}
\det A = |A|= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
x_1 = \frac{\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}},\quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}.
\end{equation*}
这样的表达方式要比按第一种写法容易记忆，且更容易看出规律性。
例 3.1.3. 三阶线性方程组公式解推导.
求解一般三阶线性方程组：
\begin{align}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2 +a_{13}x_3\amp = b_1, \tag{3.1.2}\\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2 +a_{23}x_3\amp = b_2, \tag{3.1.3}\\
a_{31}x_1 +a_{32}x_2 +a_{33}x_3\amp = b_3. \tag{3.1.4}
\end{align}
解答.
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2 = b_1 - a_{13}x_3,\\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2 = b_2 - a_{23}x_3.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
利用二阶线性方程的公式解，整理后可得
\begin{align*}
x_1 = \frac{\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix} + x_3 \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}},\quad
x_2 =\frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix} - x_3 \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}.
\end{align*}
\begin{align*}
x_3= \amp \frac{a_{31}\begin{vmatrix}
a_{12} & b_{1}\\
a_{22} & b_{2}
\end{vmatrix} - a_{32}\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix} + b_{3}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}{a_{31}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix} - a_{32}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix} + a_{33}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}} \\
= \amp
\frac{-a_{22} a_{31} b_{1} + a_{21} a_{32} b_{1} + a_{12} a_{31} b_{2} - a_{11} a_{32} b_{2} - a_{12} a_{21} b_{3} + a_{11} a_{22} b_{3}}{-a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{22} a_{33}}.
\end{align*}
用类似的方式可以获得\(x_1,x_2\)的公式解，请大家自行完成。
定义 3.1.4. 三阶行列式.
定义三阶方阵\(A=(a_{ij})_{3\times 3}\)的行列式为
\begin{align*}
\amp \det A = |A| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}\\
=\amp -a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{22} a_{33}.
\end{align*}
例 3.1.5. 三阶行列式的图示算法.
求
\(\det A = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} \)。
解答.
三阶行列式展开式中的正负号可以用下图辅助记忆。图中红线与正号对应，蓝线与负号对应。每一条线都代表一个乘积项。
于是
\begin{align*}
\det A =\amp\phantom{-} 1\times 5\times 9 +2\times 6\times 7 + 3\times 4 \times 8\\
\amp - 1\times 6\times 8 - 2\times 4\times 9 - 3\times 5\times 7 \\
=\amp 0.
\end{align*}
有了这个定义后，三阶线性方程组的公式解也可以表示为
\begin{align*}
x_1= \frac{\begin{vmatrix}
{\color{red}b_{1}} & a_{12} & a_{13}\\
{\color{red}b_{2}} & a_{22} & a_{23}\\
{\color{red}b_{3}} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}},x_2 = \frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & {\color{red}b_{1}} & a_{13}\\
a_{21} & {\color{red}b_{2}} & a_{23}\\
a_{31} & {\color{red}b_{3}} & a_{33}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}},x_3=\frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & {\color{red}b_{1}}\\
a_{21} & a_{22} & {\color{red}b_{2}}\\
a_{31} & a_{32} & {\color{red}b_{3}}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}}.
\end{align*}
我们看到在引入行列式的概念后，二阶、三阶线性方程组的公式解规律非常明显，即每一个未知量的解都是两个行列式的商。如果我们定义一阶方阵，即一个数的行列式就是它本身的话，上述规律对一阶线性方程也成立。直觉告诉我们，这种规律可以推广到一般的
\(n\)阶线性方程中。问题的关键转化为该如何定义
\(n\)阶方阵的行列式。
观察已知的行列式定义可知：如果不考虑
\(+/-\)号，二阶、三阶行列式表达式中，参与求和的每一项都是矩阵中不同行不同列的元素乘积，并且表达式中包含所有这种乘积项。怎样确定每一项前的
\(+/-\)号呢？这是我们接下来要解决的问题。
很遗憾，
图 3.1.6中的规律只适用于3阶行列式，不能够推广到4阶及更高阶的行列式。经过前人的多方尝试，行列式表达式中每一个乘积项前的
\(+/-\)号可以使用“排列的逆序数”来帮助定义。因此，我们接下来先来介绍排列的逆序数。
子节 3.1.2 排列的逆序数
不考虑
\(+/-\)号时，三阶行列式求和式中的每一个求和项（这种求和项也称为一般项）都可以表示为
\(a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}\)，其中
\(j_1,j_2,j_3\)是
\(1,2,3\)的一个排列。为了便于观察，我们列一个表格。
表 3.1.7. 排列与行列式定义式中的符号
| \(a_{11}a_{22}a_{33}\) |
\(1,2,3\) |
\(+\) |
| \(a_{11}a_{23}a_{32}\) |
\(1,3,2\) |
\(-\) |
| \(a_{12}a_{21}a_{33}\) |
\(2,1,3\) |
\(-\) |
| \(a_{12}a_{23}a_{31}\) |
\(2,3,1\) |
\(+\) |
| \(a_{13}a_{21}a_{32}\) |
\(3,1,2\) |
\(+\) |
| \(a_{13}a_{22}a_{31}\) |
\(3,2,1\) |
\(-\) |
定义 3.1.8.
设整数
\(j_1,\ldots, j_m\)两两不同， 在排列
\(j_1,\ldots, j_m\)中，如果一对数中较大的数排在较小的数之前，则称这对数是一个
逆序。 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的
逆序数，记为
\(\tau(j_1,\ldots, j_m)\)。
若排列
\(j_1,\ldots, j_m\)的逆序数为偶数(含零)， 则称之为
偶排列； 若排列
\(j_1,\ldots, j_m\)的逆序数为奇数， 则称之为
奇排列。
我们以
\(1,2,3\)这三个数的所有排列为例说明上述概念，同时也把它们与行列式中的符号相联系。
表 3.1.9. 3个数排列的逆序数与展开式中的符号
| \(a_{11}a_{22}a_{33}\) |
\(1,2,3\) |
\(+\) |
无 |
\(0\) |
| \(a_{11}a_{23}a_{32}\) |
\(1,3,2\) |
\(-\) |
\((3,2)\) |
\(1\) |
| \(a_{12}a_{21}a_{33}\) |
\(2,1,3\) |
\(-\) |
\((2,1)\) |
\(1\) |
| \(a_{12}a_{23}a_{31}\) |
\(2,3,1\) |
\(+\) |
\((2,1);(3,1)\) |
\(2\) |
| \(a_{13}a_{21}a_{32}\) |
\(3,1,2\) |
\(+\) |
\((3,1);(3,2)\) |
\(2\) |
| \(a_{13}a_{22}a_{31}\) |
\(3,2,1\) |
\(-\) |
\((3,2);(3,1);(2,1)\) |
\(3\) |
可以看到，逆序数是奇数对应着
\(-\)号，逆序数是偶数对应着
\(+\)号。
容易验证例子中的规律对应二阶行列式也成立。因此，我们可以按照下面的方式给出行列式的一般定义。
定义 3.1.10. 行列式的展开式定义.
设 \(A = (a_{ij})_{n\times n} \)是一个\(n\)阶方阵。则 \(A\)的行列式 ，记做\(\det A\)或\(|A|\)，定义为：
\begin{gather}
\det A =|A| = \sum_{j_1,\ldots,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n},\tag{3.1.5}
\end{gather}
其中求和指标\(j_1,\ldots,j_n\)取遍\(1,\ldots,n\)的所有排列。
(3.1.5)的右端表达式也称为
行列式完全展开式，
行列式按元素展开式，或
行列式展开式。
容易看到，行列式展开式中只有加、减、乘运算。因此若
\(A\in \F^{n\times n}\)，则
\(\det A\in \F\)。
例 3.1.11. 按定义求行列式值.
求\(\det A\)，其中
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
4 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
解答.
在
\(\det A\)的展开式中，每一项都是不同行不同列元素的乘积。若这些元素中含有0，则不会影响最终结果，因此我们只需关注非0元的乘积。
注意到\(A\)的后3行中每一行中只有一个非0元\((a_{22},a_{34},a_{41})\) ，所以展开式的非0项中后三个元素只能选择这三个，当这三个元素选定后，第一行中可被选择的元素只剩下了\(a_{13}\)，因此
\begin{equation*}
\det A = (-1)^{\tau(3,2,4,1)}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = (-1)^4 24= 24.
\end{equation*}
例 3.1.12. 图 3.1.6中规律的反例.
按定义计算行列式
\(\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
4 & 0 & 0 & 0\\
\end{vmatrix} \)。
解答.
该行列式的每一行中只有一个非0元，所以展开式的非0项也只有一项，该行列式的值为
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(4,3,2,1)}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = (-1)^6 24= 24.
\end{equation*}
例 3.1.13. 行列式与多项式.
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数， 其中
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
5x & x & 1 & x\\
x & 1 & 1 & -1\\
3 & 2 & x & 1\\
3 & 1 & 1 & x
\end{vmatrix}
\end{equation*}
解答.
注意到此行列式的每个元素均为次数不超过 \(1\)的多项式，而 \(4\)阶行列式展开式每一项都是取自不同行、 不同列的\(4\)个元素的乘积，所以为了得到含 \(x^4\)的项，每一行都得取一次多项式。后 \(3\)行中每一行中只有一个一次多项式 \((a_{21},a_{33},a_{44})\) ，所以展开式中含 \(x^4\)项中后三个元素只能选择这三个，当这三个元素选定后，第一行中可被选择的元素只剩下了 \(a_{12}\)，因此含 \(x^4\)的项只有一项：
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(2,1,3,4)}x\cdot x\cdot x\cdot x=-x^4.
\end{equation*}
从而 \(f (x)\)中 \(x^4\)的系数为 \(-1\)。
为了得到展开式中含 \(x^3\)的项，应有 \(3\)行取一次多项式，其余一行取常数。从第 \(1\)行开始考虑，
-
若取 \(a_{11}=5x\)，则第 \(2\)行取不到含 \(x\)的元素，只能取常数。从而，后两行必取一次多项式，即第 \(3\)行取 \(a_{33}=x\)，第 \(4\)行取 \(a_{44}=x\)。当这三个元素选定后，第 \(2\)行只能取 \(a_{22}=1\)，展开式中这一项为
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(1,2,3,4)}(5x)\cdot 1\cdot x\cdot x=5x^3.
\end{equation*}
-
若取
\(a_{12}=x\)，则第
\(2\)行只能取
\(a_{21}=x\)或
\(a_{23}=1\)或
\(a_{24}=-1\)，无论取哪一个元素，都得不到含
\(x^3\)的项。
-
若取
\(a_{13}=1\)，要得到含
\(x^3\)的项，后
\(3\)行都要取一次多项式。注意到此时第
\(3\)行只能取常数，因此得不到含
\(x^3\)的项。
-
若取 \(a_{14}=x\)，则第 \(4\)行只能取常数。相应第 \(2\)、 \(3\)行都只能取一次多项式，即第 \(2\)行取 \(a_{21}=x\)，第 \(3\)行取 \(a_{33}=x\)。于是第 \(4\) 行可被选择的元素只剩下了 \(a_{42}=1\)，展开式中这一项为
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(4,1,3,2)}x\cdot x\cdot x\cdot 1=x^3.
\end{equation*}
因此 \(f(x)\)中 \(x^3\)项为
\begin{equation*}
5x^3+x^3=6x^3,
\end{equation*}
\(x^3\)的系数为 \(6\)。
根据排列组合的知识可知，
\(n\)个不同整数的排列共有
\(n!\)个。
\(n!\)是随着
\(n\)的增大增加很快的一个数。对于阶数比较大的一般方阵，如
\(4\)阶方阵的行列式展开式有
\(4!=24\)项、
\(5\)阶方阵的行列式展开式有
\(5!=120\)项，如此众多的项数使得按定义手工计算很不现实。但当矩阵中
\(0\)元素很多时，由于我们只需要考虑展开式的非零项，计算可以变得很简单。我们来看一个有代表性的结论。
定理 3.1.14.
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
{\color{red}0} & a_{22} & \ddots & \vdots\\
{\color{red}\vdots} & {\color{red}\ddots} & \ddots & a_{n-1,n}\\
{\color{red}0} & {\color{red}\cdots}&{\color{red}0} & a_{nn}
\end{vmatrix} ={\color{blue} a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}.
\end{equation*}
证明.
该行列式展开式每项形如
\begin{equation}
(-1)^{\tau (j_1,\dots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}. \tag{3.1.6}
\end{equation}
若这些元素中含有
\(0\)，则不会影响最终结果，因此我们只需关注可能的非
\(0\)项。 因为该行列式第
\(n\)行的前
\(n-1\)个元素都为
\(0\)，所以第
\(n\)行只能取
\(a_{nn}\)。相应前
\(n-1\)行不能取第
\(n\)列的元素。对于第
\(n-1\)行，注意到其前
\(n-2\)个元素全为
\(0\)，所以只能取
\(a_{n-1,n-1}\)。依此类推，只有取
\(j_1=1,j_2=2,\ldots,j_n=n\)时，
(3.1.6)才可能非
\(0\)。因此该行列式的值为
\begin{equation*}
(-1)^{\tau(1,\ldots,n)}a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
\end{equation*}
推论 3.1.15.
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & {\color{red}0} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}0}\\
{\color{red}0} & a_{22} & {\color{red}\ddots} & {\color{red}\vdots}\\
{\color{red}\vdots} & {\color{red}\ddots} & \ddots & {\color{red}0}\\
{\color{red}0} & {\color{red}\cdots}&{\color{red}0} & a_{nn}
\end{vmatrix} ={\color{blue} a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}.
\end{equation*}
例 3.1.16.
证明：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
& & & & a_{1,n}\\
& & & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\
& &\dots&\vdots &\vdots\\
& a_{n-1,2} & \cdots &a_{n-1,n-1} &a_{n-1,n}\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n}
\end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1,n}a_{2,n-1}\cdots a_{n,1}.
\end{equation*}
解答.
该行列式第 \(1\)行的前\(n-1\)个元素都为 \(0\)，所以为了选取行列式展开式可能的非 \(0\)项，第\(1\)行只能取\(a_{1n}\)。相应后面\(n-1\)行不能取第\(n\)列的元素。对于第\(2\)行，注意到其前\(n-2\)个元素全为\(0\)，所以只能取\(a_{2,n-1}\)。依此类推，
\begin{align*}
\mbox{原式}&=(-1)^{\tau (n,n-1,\dots ,1)}a_{1,n}a_{2,n-1}\cdots a_{n,1} \\
&=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1,n}a_{2,n-1}\cdots a_{n,1}.
\end{align*}
子节 3.1.3 行列式定义的进一步讨论
在
\(n\)阶行列式的展开式定义中，为了简化问题，我们要求一般项中
\(n\)个元素的
行 指标是按照正常排列
\(1,\ldots, n\)来排列的。事实上，由于数字乘法的交换性，这
\(n\)个数的排列次序是任意的。一个自然的问题就出现了：若我们改为要求
列 指标按照正常排列
\(1,\ldots, n\)来进行，会出现什么样的情形？
引理 3.1.17.
设\(a_{1j_1},\ldots,a_{nj_n}\)和\(a_{i_11},\ldots,a_{i_nn}\)是\(n\)阶行列式\(\det A\)展开式同一个一般项中\(n\)个元素的两种不同排列方式，则
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots,j_n) = \tau(i_1,\ldots,i_n).
\end{equation*}
证明.
我们先来明确一下这两个排列
\(j_1,\ldots,j_n\)和
\(i_1,\ldots,i_n\)之间的关系。任取一般项中
\(n\)个元素中的一个，记为
\(a_{st}\)。在第一种排列方式
\(a_{1j_1},\ldots,a_{nj_n}\)中，可知
\(t = j_s\)；在第二种排列方式
\(a_{i_11},\ldots,a_{i_nn}\)中，可知
\(s = i_t\)。
因为 \(a_{1j_1},\ldots,a_{nj_n}\)和 \(a_{i_11},\ldots,a_{i_nn}\)是 \(n\)阶行列式 \(\det A\)展开式同一个一般项中 \(n\)个元素的两种不同排列方式，所以对任意 \(1\leq s\leq n\)，有
\begin{equation}
i_{j_s}=s.\tag{3.1.7}
\end{equation}
任取排列
\(j_1,\ldots, j_n\)中的一对逆序
\((j_k,j_l)\)，有
\(k<l\)且
\(j_k>j_l\)。根据
(3.1.7)，有
\(j_l<j_k\)且
\(i_{j_l}>i_{j_k}\)，由此推出排列
\(i_1,\ldots, i_n\)中存在一对逆序
\((i_{j_l},i_{j_k})\)。因此
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots ,j_n)\leq\tau (i_1,\ldots ,i_n).
\end{equation*}
同理由 \(j_{i_t}=t\)可证
\begin{equation*}
\tau(i_1,\ldots ,i_n)\leq\tau (j_1,\ldots ,j_n),
\end{equation*}
从而
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots,j_n) = \tau(i_1,\ldots,i_n).
\end{equation*}
定理 3.1.18.
设\(A\)是一个\(n\)阶方阵，则
\begin{align}
\det A \amp = \sum_{j_1,\ldots, j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots, j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} \tag{3.1.8}\\
\amp = \sum_{i_1,\ldots, i_n} (-1)^{\tau(i_1,\ldots, i_n)} a_{i_11}\cdots a_{i_nn}. \tag{3.1.9}
\end{align}
证明.
根据行列式的定义，有
\begin{equation}
\det A=\sum\limits_{j_1,\ldots, j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots, j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}, \tag{3.1.10}
\end{equation}
其中求和指标
\(j_1,\ldots,j_n\)取遍
\(1,\ldots,n\)的所有排列。由数字乘法的交换性，将
(3.1.10)中每一项
\begin{equation*}
a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}
\end{equation*}
按列指标 \(1,\ldots ,n\)重新排列为
\begin{equation*}
a_{i_11}\cdots a_{i_nn},
\end{equation*}
易见当排列
\(j_1,\ldots,j_n\)取遍
\(1,\ldots,n\)的所有排列时，
\(i_1,\ldots,i_n\)也取遍
\(1,\ldots,n\)的所有排列。因此由
引理 3.1.17可知
\begin{equation*}
\det A=\sum\limits_{i_1,\ldots, i_n} (-1)^{\tau(i_1,\ldots, i_n)} a_{i_11}\cdots a_{i_nn},
\end{equation*}
其中求和指标 \(i_1,\ldots,i_n\)取遍 \(1,\ldots,n\)的所有排列。
根据上面的定理，容易看到行列式中的行指标和列指标有完全相同的地位。因此，转置不改变行列式。
定理 3.1.19.
对于任意方阵\(A\)，\(A\)与\(A\)转置有相同的行列式，即
\begin{equation*}
\det A = \det A^T,\ \forall A\in \F^{n\times n}.
\end{equation*}
接下来在讨论行列式的性质中，我们通常只针对行给出的行列式性质的证明。由于转置不改变行列式，因此行列式所有对行成立的性质对列也成立，列相关性质就不再重复证明了。
子节 3.1.4 Sage相关
Sage中求行列式的命令为det，此命令既可以求具体的数字矩阵的行列式，也可以求含有字母的矩阵行列式。
有兴趣的同学可以用下面的代码看到4阶（修改参数可以看到更高阶，但不要太大）行列式的具体定义表达式。
与排列相关的一个概念是置换。集合
\(\{1,\ldots,n\}\)上的
置换 就可以理解为
\(1\)到
\(n\)这
\(n\)个数的重新排列（抽象代数中使用双射的语言进行严格定义），也可以用所获得的排列来表示。在sage/python中可以用列表来表示排列。
置换是《抽象代数》中有限群部分的基础性概念，在后续课程中会进一步讲解。当前阶段，大家可以就按照排列来进行理解。排列/置换对应的英文单词是permutation，因此用于声明排列/置换的命令就是permutation。Sage中的命令inversions可以用来求所有的逆序。
(注意，inversions答案中的1，2，3，4，5指的是p中构成逆序的位置。)
Sage中判断排列的奇偶性的命令是is_even，当输入的排列（置换）是偶排列时函数返回True，否则返回False。
练习 3.1.5 练习
基础题.
1.
计算
\(3\)阶行列式
\(\begin{vmatrix}
1&-1&-1\\
1&1&-1\\
1&1&1
\end{vmatrix}\)。
2.
求排列
\(n,n-1,\ldots,1\)的逆序数，并指出其奇偶性。
3.
设 \(j_1,\ldots,j_n\)是 \(1,\ldots ,n\)的一个排列，证明：
\begin{equation*}
\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1},j_n)=\tau(j_1,\ldots ,j_{n-1})+(n-j_n).
\end{equation*}
4.
若排列
\(j_1,\ldots ,j_n\)的逆序数为
\(r\)，求排列
\(j_n,j_{n-1},\ldots ,j_1\)的逆序数。
5.
\(n\)阶行列式的反对角线上
\(n\)个元素的乘积一定带负号吗？
6.
设
\(A=\left(a_{ij}\right)_{4\times 4}\)，请写出
\(4\)阶行列式
\(\det A\)中取正号且含
\(a_{32}a_{41}\)的项。
7.
-
\(\begin{vmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&2&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&n-1\\
n&0&0&\cdots&0
\end{vmatrix}\)；
-
\(\begin{vmatrix}
0&\cdots&0&1&0\\
0&\cdots&2&0&0\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\
n-1&\cdots&0&0&0\\
0&\cdots&0&0&n
\end{vmatrix}\)。
-
\(\left|\begin{array}{cccccc}
\alpha&\beta&0&\cdots&0&0\\
0&\alpha&\beta&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\alpha&\beta\\
\beta&0&0&\cdots&0&\alpha
\end{array}\right|\)。
8.
设
\(A\)是
\(n\) 阶复矩阵，证明：
\(\det \overline{A}=\overline{\det A}\)。
提高题.
9.
设
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{vmatrix}
-4x & x & 1 & 2x\\
3 & x & -1 & 1\\
2 & 3 & -x & 1\\
1 & 1 & 1 & -2x
\end{vmatrix},
\end{equation*}
求\(f (x)\)中\(x^4\)与\(x^3\)的系数并说明理由。
10.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\) 是 \(n\)阶方阵， \(x\)是未定元，
\begin{equation*}
f(x)=\det\left(xE_n-A\right),
\end{equation*}
证明： \(f(x)\)是一个首项系数为\(1\)的 \(n\)次多项式，且 \(n-1\) 次项系数为 \(-tr(A)\)。
11.
设
\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中
\(a_{ij},b_{ij}\)都是整数且奇偶性相同，证明：
\(\det A\)与
\(\det B\)奇偶性也相同。
12.
设
\(n\geq 2\)，证明：如果
\(n\)阶矩阵
\(A\)的元素为
\(1\)或
\(-1\)，那么
\(\det A\)必为偶数。
挑战题.
13.
设
\(A=\left(a_{ij}\right)_{3\times 3}\)是
\(3\)阶实方阵，且
\(\left|a_{ij}\right|=1\)，证明：
\(\left|\det A\right|\leq 4\)。
Sage相关.
14.
写一个函数，以自然数
\(n\)为输入，输出
\([n]=\{0,\ldots,n-1\}\)的所用排列（用列表表示排列）。
15.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现inversions()函数的功能。
16.
写一个函数，以
引理 3.1.17中的排列(列表)
\(i_1,\ldots,i_n\)为输入，输出
\(j_1,\ldots,j_n\)。
17.
写一个函数，以排列(列表)为输入，实现is_even()函数的功能。
18.
写一个函数，以方阵为输入，利用展开式定义，输出矩阵行列式。比较新写的函数与sage自带det函数的运行时间，其中运行时间可以用类似下面的代码获得。
