列初等变换与相抵

节 2.7 列初等变换与相抵

矩阵的两种典型分块方法，一种是按行分块，另一种是按列分块。出于线性方程求解的目的，在前几节的讨论中，我们都是按行对矩阵进行分块。本节中，我们把之前的讨论拓展到按列分块中。

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子节 2.7.1 列初等变换与矩阵乘法

把行初等变换的定义推广到列，可得下面三种操作：

列互换变换：交换矩阵的两列；
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列倍法变换：将矩阵的一列乘以非\(0\)常数\(c\)；
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列消法变换：将矩阵的第\(j\)列加上矩阵的第\(i\)列乘以常数\(c\)。
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称这三种变换为矩阵的列初等变换，或初等列变换。

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列初等变换和行初等变换统称为初等变换。

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列初等变换也可以由乘以初等矩阵来实现，需要注意的是乘法的次序。对于初等矩阵的乘法次序，我们有下面一个原则：

\begin{equation*} {\bf\text{左乘行变换，右乘列变换，} } \end{equation*}

也可简记为“左行右列”，即左乘一个初等矩阵相当于做一次行初等变换，右乘一个初等矩阵相当于做一次列初等变换。具体的，我们有下面的结论。

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定理 2.7.1.

设\(A\)是任意给定的一个\({m\times n}\)阶矩阵。则

\(AE(i,j)\)等于交换\(A\)的第\(i\)、\(j\)两列后所得矩阵；
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\(AE(i(c))\)等于将\(A\)的第\(i\)列乘以非0常数\(c\)后所得矩阵；
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\(AE(i,j(c))\)等于将\(A\)的第\({\color{red}j}\)列加上第\({\color{red}i}\)列乘以常数\(c\)后所得矩阵。
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证明.

直接验证可知结论成立。

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有兴趣的同学可借助下面的程序片段来观察右乘初等矩阵的变化规律。

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注意到转置运算可以实现矩阵的行、列转换，上述结论也可以借助转置运算变成左乘行变换后进行理解。用\(P\)代表一个初等矩阵，则

\begin{equation*} A P = \left((AP)^T\right)^T= \left(P^TA^T\right)^T. \end{equation*}

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定理 2.7.1中的第3个结论与行变换对应的结论(定理 2.4.4)不同，不同的原因可解释为

\begin{equation*} \left(E(i,j(c))\right)^T = E(j,i(c))\ne E(i,j(c)), \end{equation*}

而

\begin{equation*} \left(E(i,j)\right)^T = E(j,i)= E(i,j),\quad \left(E(i(c))\right)^T = E(i(c)). \end{equation*}

这种区别请同学们注意。

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将行变换的结论推广到列变换，我们有下面的定理。

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定理 2.7.2.

矩阵\(A\)经过有限次列初等变换可以变成\(B\)的充分必要条件是：存在可逆矩阵\(Q\)，使得

\begin{equation*} AQ= B. \end{equation*}

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子节 2.7.2 矩阵的相抵

初等变换是最常用的矩阵化简方式。当只利用行初等变换，矩阵可以化简为简化阶梯形。下面我们介绍当也允许使用列初等变换后，矩阵的变化规律。

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定义 2.7.3.

若矩阵\(A\)经过有限次初等变换后变成 \(B\)，则称\(A\)与\(B\)相抵，记为 \(A\backsimeq B\)。

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利用初等变换与矩阵乘法之间的对应关系，我们有下面的结论成立。

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定理 2.7.4.

设\(A\)、\(B\)均为\(m\times n\)阶矩阵，则下列叙述等价：

\(A\backsimeq B\)；
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存在初等矩阵

\begin{equation*} P_i,\ Q_j \quad(i=1,\ldots,s;\ j= 1,\ldots,t) \end{equation*}

使得

\begin{equation*} P_s\cdots P_1AQ_1\cdots Q_t =B; \end{equation*}

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存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)和\(n\)阶可逆矩阵\(Q\) 使得

\begin{equation*} PAQ=B. \end{equation*}

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于是可以验证矩阵的相抵关系满足：

反身性：\(A\backsimeq A\)；
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对称性：\(A\backsimeq B\Rightarrow B\backsimeq A\)；
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传递性：\(A\backsimeq B\)、\(B\backsimeq C\Rightarrow A\backsimeq C\)。
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也就是说矩阵的相抵关系是一种等价关系。

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定理 2.7.5.

任意矩阵\(A\)必相抵于 \(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，其中\(r = r(A)\)。等价地，对于任意矩阵\(A_{m\times n}\)，存在可逆矩阵\(P_{m\times m}\)、\(Q_{n\times n}\)使得

\begin{equation} PAQ = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\tag{2.7.1} \end{equation}

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证明.

根据定理 2.6.2，存在可逆矩阵\(P\)，使得\(PA\)为简化阶梯形矩阵。设

\begin{equation} PA ={\rm rref}(A) = \begin{pmatrix} & 1 & * & & * &\cdots & & * &\cdots & *\\ & & & 1 & * &\cdots & & * &\cdots & *\\ & & & & &\ddots & & \vdots &\vdots & \vdots\\ & & & & & &1 & * &\cdots & *\\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \end{pmatrix}, \tag{2.7.2} \end{equation}

其中空白处表示\(0\)，\(*\)表示任意数。根据定义，(2.7.2)中的矩阵有\(r\)个非\(0\)行，即有\(r\)个主元1。

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在矩阵\({\rm rref}(A)\)的基础上继续做列初等变换，从左到右，依次用主元1消去其所在行的所有非\(0\)元，然后做列互换变换，将主元1调整到对角元的位置。这样就得到了矩阵\(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，把这些列变换对应的初等矩阵按顺序乘在一起，得到一个可逆矩阵\(Q\)，于是有

\begin{equation*} {\rm rref}(A)Q = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

进一步有

\begin{equation*} PAQ = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

结论成立。

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矩阵\(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)是利用初等变换从矩阵\(A\)出发可以变成的“最简单”矩阵，称\(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)是矩阵\(A\)的相抵标准型。对于一个给定的矩阵\(A\)，其相抵标准型是唯一的。也就是说，任意两个相抵的矩阵都有相同的相抵标准型。

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矩阵的相抵标准形由其阶数和秩决定。对于两个同阶矩阵\(A\)和\(B\)，如果它们的秩相同，则它们的相抵标准形相同。也就是说，秩可以作为同阶矩阵是否相抵的判断依据。秩也常被称为相抵不变量。

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关于矩阵的秩，有如下一些常用性质。

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定理 2.7.6.

设\(A\)和\(B\)是任意给定的2个\({m\times n}\)阶矩阵，则

\(r(A)= r(A^T)\)，即转置不改变矩阵的秩；
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行初等变换不改变矩阵的秩，即对任意的\(m\)阶可逆矩阵\(P\)，有 \(r(PA)=r(A) \)；
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列初等变换不改变矩阵的秩，即对任意的\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，有 \(r(AQ)=r(A) \)；
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若\(C\)是与\(A\)行等价的阶梯形矩阵，则\(r(A)\)等于\(C\)的非\(0\)行行数；
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\(r(A)\leq \min\{m,n\}\)，即矩阵的秩不超过行数和列数的最小值。
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证明.

记\(r=r(A)\)，根据定理 2.7.5，存在可逆矩阵\(P_{m\times m}\)和\(Q_{n\times n}\)，使得

\begin{equation*} PAQ = \begin{pmatrix} E_r & 0_{r\times(n-r)} \\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times(n-r)} \end{pmatrix}. \end{equation*}

（为了区分，这里我们标明了每一个矩阵块的阶数。特别地，\(m-r\)和\(n-r\)可能为\(0\)，当其为\(0\)时，对应的矩阵块就退化为空矩阵。）两端同时转置，得到

\begin{equation*} (PAQ)^T=Q^TA^TP^T = \begin{pmatrix} E_r & 0_{r\times (m-r)} \\ 0_{(n-r)\times r} & 0_{(n-r)\times(m-r)} \end{pmatrix}, \end{equation*}

等式最右端的矩阵仍然是相抵标准型，于是可知

\begin{equation*} r(A^T) = r = r(A). \end{equation*}

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由定理 2.4.4，可知\(PA\)是对\(A\)做行初等变换后得到的矩阵。由于行初等变换不改变矩阵的秩，所以有

\begin{equation*} r(PA) = r(A). \end{equation*}

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根据1、2两条结论，

\begin{equation*} r(AQ) = r((AQ)^T) = r(Q^TA^T) = r(A^T) = r(A). \end{equation*}

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注意到从阶梯形矩阵变成简化阶梯形矩阵的过程中，矩阵的非\(0\)行数保持不变，所以\(r(A)\)等于阶梯形矩阵\(C\)的非\(0\)行行数。
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借用4中的记号，阶梯形矩阵\(C\)的非\(0\)行行数必定小于等于总行数\(m\)，于是有\(r(A)\le m\)；另外对\(A^T\)使用刚刚获得的结论，\(A^T\)的行数为\(n\)，可得\(r(A)=r(A^T)\le n\)。综合两个结论可知：

\begin{equation*} r(A)\le \min\{m,n\}. \end{equation*}

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(2.7.1)可以被改写为

\begin{equation*} A = P^{-1}\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}, \end{equation*}

这是矩阵的一种重要分解方式。利用这个等式，可以获得矩阵的一些常用的其它分解式。

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例 2.7.7. 秩一分解.

设矩阵\(A\)的秩为\(r\)，求证存在\(r\)个秩全为1的同阶矩阵\(A_1,\ldots,A_r\)，使得

\begin{equation*} A = A_1+\cdots+A_r. \end{equation*}

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解答.

注意到

\begin{equation*} E_r= E_{11}+\cdots+E_{rr}, \end{equation*}

其中\(E_{ii}(i=1,\dots,r) \)是第\(i\)个对角元为1，其余元素都为\(0\)的\(r\)阶方阵，且易知\(r(E_{ii})=1\)。

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取 \(A_i = P^{-1}E_{ii}Q^{-1} \)，则 \(r(A_i)=r(E_{ii})=1\)，且

\begin{equation*} A= A_1+\cdots +A_r, \end{equation*}

结论成立。

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秩一分解是用加法将复杂矩阵分解为简单矩阵的常见方式。

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例 2.7.8. 满秩分解.

设\(m\times n\)阶矩阵\(A\)的秩为\(r\)，证明存在矩阵\(B_{m\times r}\)、\(C_{r\times n}\)，使得\(A = BC\text{.}\)

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解答.

注意到

\begin{equation*} \begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}_{m\times n} = \begin{pmatrix} E_r \\ 0 \end{pmatrix}_{m\times r}\begin{pmatrix} E_r & 0 \end{pmatrix}_{r\times n}, \end{equation*}

取

\begin{equation*} B = P^{-1} \begin{pmatrix} E_r \\ 0 \end{pmatrix}_{m\times r},\quad C = \begin{pmatrix} E_r & 0 \end{pmatrix}_{r\times n}Q^{-1}, \end{equation*}

则\(r(B)= r(C) =r\)，且\(A=BC\)，结论成立。

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我们称满足\(r(A)= \min\{m,n\} \)的矩阵为满秩矩阵，其中\(m,n\)分别是矩阵的行数和列数。因此上例中的分解方式也称为满秩分解。满秩分解是用乘法分解矩阵的常用分解方式。

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本节的最后，我们通过一个例子给出(2.7.1)中\(P\)和\(Q\)的一种常用求法。

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例 2.7.9.

将\(A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}\)化为相抵标准形，并写出相应初等矩阵。

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解答.

做分块矩阵

\begin{equation*} B= \left(\begin{array}{c|c} A & E_3\\ \hline E_4 & {\bf 0} \end{array} \right), \end{equation*}

对\(B\)的前3行做行初等变换，相当于对\(A\)做行初等变换，矩阵块\(E_3\)记录所做的行变换；对\(B\)的前4列做列初等变换，相当于对\(A\)做列初等变换，块\(E_4\)则记录了所做的列变换。当\(A\)变成相抵标准型时，\(E_3\)和\(E_4\)相应变成了\(P\)和\(Q\)。具体的计算过程如下：

\begin{equation*} \begin{array}{rl} B = & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_2-2r_1} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -4 & 2 & 0 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -4 & 2 & 0 & 1 & -2 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_3+4r_2} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 6 & 24 & 1 & -2 & 4\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{\frac{1}{6}r_3} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_2-r_3} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & 4 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{r_1-2r_2} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -4 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\ 0 & 1 & 0 & 2 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & 4 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \xrightarrow[\begin{array}{c} c_4+4c_1\\ c_4-2c_2\\ c_4-4c_3 \end{array}]{} & \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\\ \end{array} \end{equation*}

取 \(P=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix},\ Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，则\(P,Q\)可逆且

\begin{equation*} PAQ=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

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练习 2.7.3 练习

基础题.

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1.

设

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix},P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

计算：

\(APQ\)；
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\(AQP\)；
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\(PAQ\)。
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2.

求下列矩阵的相抵标准型。

\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 & 2\\ 3 & 1 & 1 & -2\\ -1 & 13 & -27 & 8 \end{pmatrix}\)；
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\(\begin{pmatrix} 2 & -5 & -3 \\ 4 & -7 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & -6 \end{pmatrix}\)。
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3.

判断矩阵\(A,B\)是否相抵，其中

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}

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