定理 2.7.1.
设\(A\)是任意给定的一个\({m\times n}\)阶矩阵。则
- \(AE(i,j)\)等于交换\(A\)的第\(i\)、\(j\)两列后所得矩阵；
- \(AE(i(c))\)等于将\(A\)的第\(i\)列乘以非0常数\(c\)后所得矩阵；
- \(AE(i,j(c))\)等于将\(A\)的第\({\color{red}j}\)列加上第\({\color{red}i}\)列乘以常数\(c\)后所得矩阵。
节 2.7 初等列变换与相抵
矩阵的两种典型分块方法，一种是按行分块，另一种是按列分块。出于线性方程求解的目的，在前几节的讨论中，我们都是按行对矩阵进行分块。本节中，我们把之前的讨论拓展到按列分块中。
子节 2.7.1 初等列变换与矩阵乘法
把初等行变换的定义推广到列，可得下面三种操作：
- 列互换变换：交换矩阵的两列；
- 列倍法变换：将矩阵的一列乘以非0常数\(c\)；
- 列消法变换：将矩阵的第\(j\)列加上矩阵的第\(i\)列乘以常数\(c\)。
称这三种变换为矩阵的初等列变换。
初等列变换和初等行变换统称为初等变换。
初等列变换也可以由乘以初等矩阵来实现，需要注意的是乘法的次序。对于初等矩阵的乘法次序，我们有下面一个原则：
\begin{equation*}
{\bf\text{左乘行变换，右乘列变换，} }
\end{equation*}
也可简记为“左行右列”，即左乘一个初等矩阵相当于做一次初等行变换，右乘一个初等矩阵相当于做一次初等列变换。具体的，我们有下面的结论。
证明.
直接验证可知结论成立。
有兴趣的同学可借助下面的程序片段来观察右乘初等矩阵的变化规律。
注意到转置运算可以实现矩阵的行列转换，上述结论也可以借助转置运算变成左乘行变换后进行理解。用\(P\)代表一个初等矩阵，则
\begin{equation*}
A P = \left((AP)^T\right)^T= \left(P^TA^T\right)^T.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left(E(i,j(c))\right)^T = E(j,i(c))\ne E(i,j(c)),
\end{equation*}
而
\begin{equation*}
\left(E(i,j)\right)^T = E(j,i)= E(i,j),\quad \left(E(i(c))\right)^T = E(i(c)).
\end{equation*}
这种区别请同学们注意。
将行变换的一些重要结论推广到列变换，我们有下面一些结论。
定理 2.7.2.
矩阵\(A\)经过有限次初等列变换可以变成\(B\)的充分必要条件是：存在可逆矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
AQ= B.
\end{equation*}
定理 2.7.3.
初等列变换不改变矩阵的秩。即对一般矩阵\(A_{m\times n}\)和\(n\)阶可逆矩阵\(Q\)，
\begin{equation*}
r(A) = r(AQ).
\end{equation*}
定理 2.7.4.
转置运算不改变矩阵的秩，即对任意的矩阵\(A\)，
\begin{equation*}
r(A)=r(A^T).
\end{equation*}
子节 2.7.2 矩阵的相抵
初等变换是最常用的矩阵化简方式。当只利用初等行变换，矩阵可以化简为简化阶梯型。下面我们介绍当也允许使用初等列变换后，矩阵的变化规律。
定义 2.7.5.
若矩阵\(A\)经过有限次初等变换后变成 \(B\)， 则称\(A\)与\(B\)相抵， 记为 \(A\backsimeq B\)。
利用初等变换与矩阵乘法之间的对应关系，我们有下面的结论成立。
定理 2.7.6.
设 \(A\)、 \(B\)均为\(m\times n\)阶矩阵，则下列叙述等价：
- \(A\backsimeq B\)；
- 存在初等矩阵\begin{equation*} P_i,\ Q_j \quad(i=1,2,\ldots,s;\ j= 1,2,\ldots,t) \end{equation*}使得\begin{equation*} P_1P_2\cdots P_sAQ_1Q_2\cdots Q_t =B. \end{equation*}
- 存在\(m\)阶可逆矩阵\(P\)和\(n\)阶可逆矩阵\(Q\) 使得\begin{equation*} PAQ=B. \end{equation*}
于是可以验证矩阵的相抵关系满足：
- 反身性：\(A\backsimeq A\)；
- 对称性：\(A\backsimeq B\Rightarrow B\backsimeq A\)；
- 传递性：\(A\backsimeq B\)、\(B\backsimeq C\Rightarrow A\backsimeq C\)。
也就是说矩阵的相抵关系是一种等价关系。
定理 2.7.7.
任意矩阵\(A\)必相抵于 \(\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)， 其中\(r = r(A)\)。等价地，对于任意矩阵\(A_{m\times n}\)，存在可逆矩阵\(P_{m\times m}\)、\(Q_{n\times n}\)使得
\begin{equation}
A = P\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}Q.\tag{2.7.1}
\end{equation}
矩阵\(\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)是利用初等变换从矩阵\(A\)出发可以变成的“最简单”矩阵，称\(\begin{pmatrix}
E_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)是矩阵\(A\)的相抵标准型。
(2.7.1)是矩阵的一种重要分解方式。利用这个等式，可以获得矩阵的其它分解式。
例 2.7.8. 秩一分解.
设矩阵\(A\)的秩为\(r\)， 求证存在\(r\)个秩全为1的同阶矩阵\(A_1,\ldots,A_r\)， 使得
\begin{equation*}
A = A_1+\cdots+A_r.
\end{equation*}
例 2.7.9. 满秩分解.
设\(m\times n\)阶矩阵\(A\)的秩为\(r\)，证明存在矩阵\(B_{m\times r}\)、\(C_{r\times n}\)，使得\(A = BC\text{.}\)
例 2.7.10.
将\(A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 6
\end{pmatrix}\)化为相抵标准形， 并写出相应初等矩阵。
