子节 A.1 集合
相信大家在中学数学中都已经学过集合的相关性质，并且已经建立了对集合的朴素理解。这种朴素理解对于学习《高等代数》这门课程是足够的，在学习过程中也不会产生逻辑上的矛盾。因此，我们将集合作为一个其义自明的基本术语，不再给出其严格定义。
集合通常可以理解为某一些不同事物的总体，组成集合的具体事物称为元素。习惯上，集合通常用大写英文字母表示，而元素通常用小写英文字母来表示。我们用\(a\in A\)表示\(a\)是集合\(A\)的一个元素，或者说元素\(a\)属于集合\(A\)；用\(a\notin A\)表示\(a\)不是集合\(A\)的元素，或者说元素\(a\)不属于集合\(A\)。
我们通常用花括号\(\{\}\)来标志一个集合，花括号中的元素为属于集合的元素。若一个集合中只含有有限个元素，则可以用列举的方式来表示一个集合。如\(\{1,3,5\}\)表示的是由1、3、5这三个数组成的集合。除列举法外，集合还有一种常用的表示方法：
\begin{equation*}
A = \{a\in S| P(a) \},
\end{equation*}
其中\(S\)是一个已知的集合，\(P(a)\)则是一个判断条件，集合\(A\)为由所有满足判断条件\(P(a)\)的\(S\)中元素\(a\)所构成。举例来说，\(\{a\in \R| a>0 \}\)表示的就是所有正实数构成的集合，这里的\(P(a)\)就是\(a>0\)这个判断条件。当不会引起歧义时，“\(\in S\)”可以省略，如正实数集也可简记为\(\{a| a>0 \}\)。
若一个集合\(B\)的所有元素都属于集合\(A\)，则称\(B\)是\(A\)的子集，或\(B\)包含于\(A\)，记做\(B\subseteq A\)。若\(B\subseteq A\)，且\(B\ne A\)，则称\(B\)是\(A\)的真子集，或\(B\)真包含于\(A\)，记做\(B\subset A\)。
集合有三种基本运算：交运算、并运算、差运算。两个集合\(A\)与\(B\)的交，记做\(A\cap B\)，定义为\(A\)与\(B\)中公共元素组成的集合，即
\begin{equation*}
A\cap B = \{x| x\in A\text{且} x\in B \}.
\end{equation*}
\(A\)与\(B\)的并，记做\(A\cup B\)，定义为由\(A\)与\(B\)中所有元素所组成的集合，即
\begin{equation*}
A\cup B = \{x| x\in A\text{或} x\in B \}.
\end{equation*}
\(A\)与\(B\)的差，记做\(A-B\)或\(A\backslash B\)，定义为由\(A\)中不属于\(B\)的所有元素所组成的集合，即
\begin{equation*}
A- B=A\backslash B = \{x\in A | x\notin B\}.
\end{equation*}
特别地，若两个集合\(A\)与\(B\)的交为空集\(\emptyset\)（不含有任何元素的集合），则称\(A\)与\(B\)的并为不交并，记做\(A\dot\cup B\)。
序列
集合中的元素是没有次序的。例如\(\{1,3,5\}\)和\(\{5,1,3\}\)表示的是同一个集合。
我们经常需要处理一些与次序有关的问题，此时我们需要使用序列的概念。不严格的讲，一个序列就是按顺序排列的一些集合中的元素。界定序列通常使用用圆括号\(()\)。例如\((1,3,5)\)和\((5,1,3)\)是两个不同的序列，虽然它们的元素都相同。
序列与集合的另一个区别是：序列中允许元素重复，而集合不允许元素重复。例如\((1,3,5,3)\)仍是一个正常的序列；而\(\{1,3,5,3\}\)通常被认为是一个非法的集合，正常记法应被简记为\(\{1,3,5\}\)。
序列在计算机程序设计中也是一种常见的数据结构，此时它也通常被称为列表（list）。
多重集
多重集是集合概念的推广。在一个普通集合中，对于一个元素我们只关心它是否出现在这个集合中，于是在表示集合时，集合中的元素只须（能）出现一次；在多重集中，我们除了关心哪些元素出现在这个集合中外，同时也关心每一个元素出现了多少次。 举例来说，\(\{1,1,3,5\}\)和\(\{1,3,5\}\)是两个相同的集合，但它们是两个不同的多重集，因为1这个元素的出现次数不同。
多重集与序列的相同点在于它们都允许元素重复；不同点在于多重集是一个无序集，而序列中元素是有顺序的。
Cartesian 乘积
设\(A\)与\(B\)是两个集合，称由所有二元序列\((a,b)\)（其中\(a\in A,b\in B\)）构成的集合为\(A\)与\(B\)的Cartesian乘积，或简称为\(A\)与\(B\)的积，记做\(A\times B\)，即
\begin{equation*}
A\times B =\{(a,b)|a\in A,b\in B \}.
\end{equation*}
特别地，若\(A\)与\(B\)是相同的集合，则此时\(A\times B\)可以被简记为\(A^2\)。更一般地，\(A^n\)可以用来表示\(n\)个\(A\)的Cartesian乘积。
