取\(V\)的一组基\((\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n})\)。考虑\(U\)中向量组\(\varphi(\varepsilon_{1}), \ldots, \varphi(\varepsilon_{n})\)，设其极大线性无关组包含\(r\)个向量，不妨设为\(\varphi(\varepsilon_{1}), \ldots, \varphi(\varepsilon_{r})\)（若不然，可通过重排基向量的顺序实现）。则对任意\(j = r+1, \ldots, n\)，存在标量\(a_{1j}, \ldots, a_{rj}\in \F\)使得
\begin{equation*}
\varphi(\varepsilon_{j}) = \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\varphi(\varepsilon_{i}).
\end{equation*}
定义\(V\)的新向量组\((\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})\)如下：
\begin{equation*}
\xi_{i} = \varepsilon_{i} \quad (i=1,\ldots,r), \qquad \xi_{j} = \varepsilon_{j} - \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\varepsilon_{i} \quad (j=r+1,\ldots,n).
\end{equation*}
从\((\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n})\)到\((\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})\)的变换矩阵为
\begin{equation*}
P = \begin{pmatrix}E_{r}&-A \\ 0&E_{n-r}\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(A = (a_{ij})_{r \times (n-r)}\)，\(E_{r}\)和\(E_{n-r}\)分别为\(r\)阶和\(n-r\)阶单位矩阵。因为\(\det P = 1 \neq 0\)，所以\(P\)可逆，从而\((\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})\)也是\(V\)的一组基。
由于
\(\varphi(\varepsilon_{1}), \ldots, \varphi(\varepsilon_{r})\)线性无关，可将它们扩充为
\(U\)的一组基。令
\begin{equation*}
\eta_{i} = \varphi(\varepsilon_{i}) \quad (i=1,\ldots,r),
\end{equation*}
再选取
\(\eta_{r+1}, \ldots, \eta_{m} \in U\)使得
\((\eta_{1}, \ldots, \eta_{m})\)构成
\(U\)的一组基。
现在计算\(\varphi\)在基\((\xi_{1}, \ldots, \xi_{n})\)和\((\eta_{1}, \ldots, \eta_{m})\)下的表示矩阵。
-
对
\(i=1,\ldots,r\)，有
\(\varphi(\xi_{i}) = \varphi(\varepsilon_{i}) = \eta_{i}\)，故其坐标为第
\(i\)个分量为
\(1\)、其余分量为
\(0\)的列向量。
-
对\(j=r+1,\ldots,n\)，有
\begin{align*}
\varphi(\xi_{j}) \amp = \varphi\!\left(\varepsilon_{j} - \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\varepsilon_{i}\right)\\
\amp= \varphi(\varepsilon_{j}) - \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\varphi(\varepsilon_{i}) \\
\amp = \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\eta_{i} - \sum_{i=1}^{r} a_{ij}\eta_{i} = 0,
\end{align*}
故其坐标为零向量。
因此，\(\varphi\)的表示矩阵为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}E_{r}&0 \\ 0&0\end{pmatrix}_{m \times n},
\end{equation*}
其中\(E_{r}\)是\(r\)阶单位矩阵，左上角块为\(r \times r\)，其余块为零矩阵。
