主要内容

高等代数 多项式与线性代数

附录 C 复数

形如\(z = a+b {\rm i}\)的数称为复数,其中\(a,b\in \R\)都是实数,\({\rm i}^2=-1\)\({\rm i}\)称为虚数单位\(a\)称为\(z\)实部,记做\({\rm Re}z\)\(b\)称为\(z\)虚部,记做\({\rm Im}z\)
实数可以看作是虚部为0的复数,实数集上的运算可以自然地拓展至复数集,以加法和乘法为例,复数上的加法和乘法公式为:
\begin{equation*} (a+b{\rm i})+(c+d{\rm i})=(a+c) +(b+d){\rm i}; \end{equation*}
\begin{equation*} (a+b{\rm i})(c+d{\rm i})=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}. \end{equation*}
容易验证实数集上关于加法和乘法的一些基本运算规律,如交换律、结合律、分配律等在复数集上也成立。
复数集上的减法可以按照下面的公式定义:
\begin{equation*} (a+b{\rm i})-(c+d{\rm i})=(a+b{\rm i})+[(-1)(c+d{\rm i})]=(a-c) +(b-d){\rm i}. \end{equation*}
复数集上有一个实数集上没有的运算:共轭运算。一个复数\(z = a+b {\rm i}\)共轭,记为\(\bar{z}\),定义为:
\begin{equation*} \bar{z}=a-b{\rm i}. \end{equation*}
可知
\begin{equation*} z\cdot\bar{z} =(a+b{\rm i})(a-b{\rm i})=a^2+b^2. \end{equation*}
于是可以定义复数\(z = a+b {\rm i}\),记做\(|z|\),为
\begin{equation*} |z| = \sqrt{z\cdot\bar{z}}=\sqrt{a^2+b^2}. \end{equation*}
复数模是实数绝对值概念的推广,使用的也是同样的记号。
复数的共轭运算是一种很有用的运算,它有如下一些好的性质。
复数的除法也可以借助共轭运算给出计算公式:
\begin{equation*} \frac{z_1}{z_2} =\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}} = \frac{1}{|z_2|^2}z_1\overline{z_2}, \end{equation*}
其中\(z_2\ne 0\),于是\(|z_2|^2\)是一个正实数。
复数的几何性质
每一个实数都可以形象地理解为实轴(一条直线)上的一点。相应地,每一个复数\(z = a+b {\rm i}\)都可以对应于直角坐标平面(xoy平面)\(\R^2\)中的一个点\((a,b)\),也可以理解为从坐标原点到点\((a,b)\)的有向线段。如下图所示。
复数的加法遵守平行四边形法则。
复数的共轭运算相当于做关于实轴的对称点。
将平面的直角坐标系替换为极坐标系,我们可以获得复数的另一种常用表示方法:
\begin{equation*} z = r[\cos(\theta)+{\rm i}\sin(\theta)], \end{equation*}
其中\(r =|z|\)是复数的,即有向线段\(oz\)的长度;\(\theta\)\(z\)的一个辐角,即以逆时针方向为正向,以坐标原点\(o\)为圆心,将\(x\)轴正半轴这条射线旋转至与射线\(oz\)重合所需转过的角度。这种表示方法也称为是复数的极坐标表示。
一个复数的辐角有很多,若\(\theta\)\(z\)的辐角,则\(\theta+2k\pi(\forall k\in \Z)\)都是\(z\)的辐角。
由于共轭运算相当于求复数关于\(x\)轴的对称点,因此\(z\)的辐角和\(\bar{z}\)的辐角可以是互为相反数,即
\begin{equation*} \bar{z} = r[\cos(-\theta)+{\rm i}\sin(-\theta)]. \end{equation*}
复数的极坐标表示在计算复数乘法时有很大优势。

证明.

利用和角的三角恒等式,直接验证可知结论成立。
利用复数极坐标的乘法公式,可知
\begin{equation*} z^n = r^n[\cos(n\theta)+{\rm i}\sin(n\theta)]. \end{equation*}
此公式也称为De Moivre公式。
Euler公式
指数函数和三角函数之间有着密切联系,这种联系在实数域上几乎察觉不到,而在复数域上这种联系就非常容易建立,这就是著名的Euler公式:
\begin{equation*} e^{{\rm i}\theta} =\cos(\theta)+{\rm i}\sin(\theta). \end{equation*}
在《数学分析》课程中有Euler公式的证明,有兴趣的同学可以自行查阅。
利用Euler公式,复数的极坐标表示也可以记为
\begin{equation*} z = r[\cos(\theta)+{\rm i}\sin(\theta)]=re^{{\rm i}\theta}. \end{equation*}
在这种写法下,复数的乘法公式也可以利用指数函数的性质获得:
\begin{equation*} z_1z_2 = r_1e^{{\rm i}\theta_1} r_2e^{{\rm i}\theta_2}=r_1r_2e^{{\rm i}(\theta_1+\theta_2)}. \end{equation*}
利用Euler公式和指数函数的性质,De Moivre公式也很容易获得:
\begin{equation*} z^n = (re^{{\rm i}\theta})^n =r^n e^{{\rm i}n\theta}=r^n[\cos(n\theta)+{\rm i}\sin(n\theta)]. \end{equation*}