命题 C.0.1.
设\(z,z_1,z_2\in\C\)都是复数。则
- \(z\in \R\)的充分必要条件是\(z=\bar{z}\)；
- \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} \)；
- \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2} \)；
- \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)；
- \(|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|\)。
附录 C 复数
形如\(z = a+b i\)的数称为复数，其中\(a,b\in \R\)都是实数，\(i^2=-1\)。\(i\)称为虚数单位；\(a\)称为\(z\)的实部，记做\({\rm Re}z\)；\(b\)称为\(z\)的虚部，记做\({\rm Im}z\)。
实数可以看作是虚部为0的复数，实数集上的运算可以自然地拓展至复数集，以加法和乘法为例，复数上的加法和乘法公式为：
\begin{equation*}
(a+bi)+(c+di)=(a+c) +(b+d)i;
\end{equation*}
\begin{equation*}
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
\end{equation*}
容易验证实数集上关于加法和乘法的一些基本运算规律，如交换律、结合律、分配律等在复数集上也成立。
复数集上的减法可以按照下面的公式定义：
\begin{equation*}
(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+[(-1)(c+di)]=(a-c) +(b-d)i.
\end{equation*}
复数集上有一个实数集上没有的运算：共轭运算。一个复数\(z = a+b i\)的共轭，记为\(\bar{z}\)，定义为：
\begin{equation*}
\bar{z}=a-bi.
\end{equation*}
可知
\begin{equation*}
z\cdot\bar{z} =(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.
\end{equation*}
于是可以定义复数\(z = a+b i\)的模，记做\(|z|\)，为
\begin{equation*}
|z| = \sqrt{z\cdot\bar{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.
\end{equation*}
复数模是实数绝对值概念的推广，使用的也是同样的记号。
复数的共轭运算是一种很有用的运算，它有如下一些好的性质。
复数的除法也可以借助共轭运算给出计算公式：
\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} =\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}} = \frac{1}{|z_2|^2}z_1\overline{z_2},
\end{equation*}
其中\(z_2\ne 0\)，于是\(|z_2|^2\)是一个正实数。
复数的几何性质
每一个实数都可以形象地理解为实轴（一条直线）上的一点。相应地，每一个复数\(z = a+b i\)都可以对应于直角坐标平面（xoy平面）\(\R^2\)中的一个点\((a,b)\)，也可以理解为从坐标原点到点\((a,b)\)的有向线段。如下图所示。
复数的加法遵守平行四边形法则。
复数的共轭运算相当于做关于实轴的对称点。
将平面的直角坐标系替换为极坐标系，我们可以获得复数的另一种常用表示方法：
\begin{equation*}
z = r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)],
\end{equation*}
其中\(r =|z|\)是复数的模，即有向线段\(oz\)的长度；\(\theta\)为\(z\)的一个辐角，即以逆时针方向为正向，以坐标原点\(o\)为圆心，将\(x\)轴正半轴这条射线旋转至与射线\(oz\)重合所需转过的角度。这种表示方法也称为是复数的极坐标表示。
一个复数的辐角有很多，若\(\theta\)是\(z\)的辐角，则\(\theta+2k\pi(\forall k\in \Z)\)都是\(z\)的辐角。
由于共轭运算相当于求复数关于\(x\)轴的对称点，因此\(z\)的辐角和\(\bar{z}\)的辐角可以是互为相反数，即
\begin{equation*}
\bar{z} = r[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)].
\end{equation*}
复数的极坐标表示在计算复数乘法时有很大优势。
命题 C.0.2.
设
\begin{equation*}
z_1 = r_1[\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)],z_2 = r_2[\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)],
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)].
\end{equation*}
证明.
利用和角的三角恒等式，直接验证可知结论成立。
利用复数极坐标的乘法公式，可知
\begin{equation*}
z^n = r^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)].
\end{equation*}
此公式也称为De Moivre公式。
Euler公式
指数函数和三角函数之间有着密切联系，这种联系在实数域上几乎察觉不到，而在复数域上这种联系就非常容易建立，这就是著名的Euler公式：
\begin{equation*}
e^{i\theta} =\cos(\theta)+i\sin(\theta).
\end{equation*}
在《数学分析》课程中有Euler公式的证明，有兴趣的同学可以自行查阅。
利用Euler公式，复数的极坐标表示也可以记为
\begin{equation*}
z = r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]=re^{i\theta}.
\end{equation*}
在这种写法下，复数的乘法公式也可以利用指数函数的性质获得：
\begin{equation*}
z_1z_2 = r_1e^{i\theta_1} r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.
\end{equation*}
利用Euler公式和指数函数的性质，De Moivre公式也很容易获得：
\begin{equation*}
z^n = (re^{i\theta})^n =r^n e^{in\theta}=r^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)].
\end{equation*}
