定理 1.6.1. 代数学基本定理.
每个\(\mathbb{C}\)上次数大于0的多项式都在\(\mathbb{C}\)上至少有一个根。
节 1.6 复系数、实系数多项式的标准分解式
节 1.4中给出了多项式标准分解式的一般理论。我们已经知道，在给定数域\(\F\)前提下，\(\F[x]\)中的每一个多项式\(f(x)\)都可以分解为一些不可约多项式乘积。我们还不清楚的是：这些不可约多项式具体会是什么样的多项式。本节中，我们将在复数域和实数域范围内给出标准分解式的具体可能样式。
请大家先思考下面一个问题：给定\(f(x)\in \F[x]\)，如何判别\(f(x)\)是否是\(\F\)上的不可约多项式？
子节 1.6.1 复数域上多项式的标准分解式
复数域无论在分析学还是在代数学中都是一个性质堪称完美的数域。历史上，数学家高斯在他的博士论文中证明了下面一个复数域的基本性质。由于其重要性，这个定理也被称为代数学基本定理。
这个定理比较直观的证明需要使用到后续课程《复变函数》中的一些知识，因此我们只是直接引用这个定理。代数学基本定理的可以直接推出下面的一些常用重要结论，从而清楚的给出了复数域上多项式标准分解式的可能样式。
定理 1.6.2.
\(\mathbb{C}\)上的一元\(n\)次多项式在\(\mathbb{C}\)内恰有\(n\)个根(重根按重数计)。
推论 1.6.3.
\(\mathbb{C}\)上的不可约多项式都是一次的。
定理 1.6.4.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{C}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{C}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=c(x-a_1)^{e_1}(x-a_2)^{e_2}\cdots(x-a_m)^{e_m},
\end{equation*}
其中\(a_i\in\mathbb{C}\)且两两互异，\(e_i\)正整数， \(i=1,\ldots,m\)，\(\sum\limits_{i=1}^m e_i=n\)。
下面的例子是一个典型例子，需要大家熟记。
例 1.6.5. \(x^n-1\)的标准分解式.
求\(x^n-1\)在\(\C\)上的标准分解式。
解答.
记\(\omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\)，则\(\omega_0,\omega_1,\ldots ,\omega_{n-1}\)都是\(x^n-1\)的复根，且两两不同。因此\(x^n-1\)在\(\C\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
x^n-1=(x-\omega_0)(x-\omega_1)\cdots (x-\omega_{n-1}).
\end{equation*}
\(x^n-1\)的\(n\)个根有特殊意义，后面会反复用到。这\(n\)个根在复平面上的分布也极具对称性。下面的程序片段可以绘制这\(n\)个根在复平面上的分布，其中的 \(n\)可以手动修改。
子节 1.6.2 实系数多项式的标准分解式
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，实数域的情形稍微复杂一些，但也没有复杂很多。事实上，实数域上不可约多项式只有一次和二次两种情形。高中的知识告诉我们：没有实根的实系数一元二次方程一定有一对共轭复根，推广这个结论，我们可以获得下面一个更一般的结论。
引理 1.6.6.
设\(f (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+ a_1x + a_0\)是实系数多项式。 若复数\(a + bi\) \((b\ne 0, a, b \in\mathbb{R})\)是 \(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根，则\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
证明.
以下我们给出2种不同的证明。
- 记\(z=a+bi\)，其共轭复数为\(\overline{z}=a-bi\)，则\begin{equation*} \begin{array}{ccl} f(\overline{z})&=&a_n\overline{z}^n + a_{n-1}\overline{z}^{n-1} +\cdots+ a_1\overline{z} + a_0\\ &=&\overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} +\cdots+ a_1z + a_0}\\ &=&\overline{f(z)}=0. \end{array}. \end{equation*}因此\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
- 令\begin{equation*} p(x)=[x-(a+ i b)][x-(a - i b)]=x^2-2ax+a^2+b^2, \end{equation*}\begin{equation*} p(x)|f(x). \end{equation*}因此\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
注意到
\begin{equation*}
[x-(a+ bi )][x-(a - bi )]=x^2-2ax+a^2+b^2\in \R[x],
\end{equation*}
其中 \(a,b\in \R\)且\(b\ne 0\)。所以实多项式的每一对共轭复根可以对应一个二次的不可约因子，剩下的每一个实根可以对应一个一次不可约因子。于是可得下面的结论。
定理 1.6.7. \(\mathbb{R}\)上非常数多项式的标准分解式.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=d(x-a_1)^{e_1}\cdots(x-a_m)^{e_m}(x^2+b_1x+c_1)^{\ell_1}\cdots(x^2+b_rx+c_r)^{\ell_r}
\end{equation*}
其中\(a_i, b_j, c_j\in\mathbb{R}\)，\(e_i, \ell_j \)是正整数，\(b_j^2 - 4c_j<0\)， \(a_i\)两两互异， 且\(x^2+b_jx+c_j\)两两互素，\(i =1,2,\ldots,m, j=1,2,\ldots, r\)，
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^m e_i+2\sum\limits_{j=1}^r \ell_j=\deg f(x)\mbox{。}
\end{equation*}
推论 1.6.8.
实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式\(ax^2+bx+c\)，其中\(b^2 - 4ac<0\)。
例 1.6.9.
求\(x^n-1\)在\(\R\)上的标准分解式。
解答.
注意到当\(n\)为偶数时，\(x^n-1\)有两个实根，分别是\(1\)和 \(-1\)；当\(n\)为奇数时，\(x^n-1\)只有一个实根，即正\(1\)。所以\(x^n-1\)在\(\R\)上的标准分解式需要分\(n\)为奇数和\(n\)为偶数两种情况来分开讨论。
- 当 \(n=2m\)为偶数时，\begin{equation*} x^{2m}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}(x^2 - 2x\cos\frac{k\pi}{m} +1 ). \end{equation*}
- 当\(n=2m+1\)为奇数时，\begin{equation*} x^{2m+1}-1 =(x-1)\prod\limits_{k=1}^{m} (x^2 - 2x\cos\frac{2k\pi}{2m+1} +1 ). \end{equation*}
子节 1.6.3 根与多项式系数的关系——Viète定理
本节的最后，我们给出另一个著名结论，这个结论与多元多项式中的对称多项式有密切联系。
定理 1.6.10. Viète定理.
设
\begin{equation*}
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\in \mathbb{F}[x]
\end{equation*}
在\(\mathbb{F}\)中有\(n\)个根 \(c_1, \ldots, c_n\)，则
\begin{align}
\sum_{1\le i \le n} c_i & = -a_{n-1};\tag{1.6.1}\\
\sum_{1\le i< j\le n} c_ic_j & = a_{n-2};\tag{1.6.2}\\
\sum_{1\le i<j<k \le n} c_ic_jc_k & = -a_{n-3};\tag{1.6.3}\\
& \vdots \tag{1.6.4}\\
c_1c_2\cdots c_n & = (-1)^n a_0\tag{1.6.5}
\end{align}
证明.
注意到
\begin{equation*}
f(x) =(x-c_1)\cdots(x-c_n),
\end{equation*}
将等式右端展开，然后对应项系数相等即可得所需结论。
例 1.6.11. 互反多项式.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)的\(n\)个根\(c_1, \ldots, c_n\)两两互异，且\(c_i\ne 0, i =1,\ldots,n\)，求\(\C\)上以\(\frac{1}{c_1},\ldots,\frac{1}{c_n}\)为根的\(n\)次多项式。
解答.
因为
\begin{equation*}
0=f(c_i)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0,
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
0=c_i^{-n}f(c_i)=a_n+a_{n-1}\frac{1}{c_i}+\cdots+a_1\left(\frac{1}{c_i}\right)^{n-1}+a_0\left(\frac{1}{c_i}\right)^{n}.
\end{equation*}
令
\begin{equation*}
g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,
\end{equation*}
则 \(g\left(\frac{1}{c_i}\right)=0\)。由 定理 1.6.10知
\begin{equation*}
\frac{a_0}{a_n}=(-1)^n\prod\limits_{i=1}^n c_i\neq 0,
\end{equation*}
故 \(\deg g(x)=n\)。 因此\(g(x)\)是以\(\frac{1}{c_1},\ldots,\frac{1}{c_n}\)为根的\(n\)次多项式。
注：本题中的多项式\(f(x)\)和\(g(x)\)称为一对互反多项式。
练习 1.6.4 练习
基础题.
1.
设\(a\in\mathbb{R}^+\)，求\(f(x)=x^n-a^n\)在\(\mathbb{C}\)上的标准分解式。
2.
设\(1,\omega_1,\omega_2,\cdots ,\omega_{n-1}\)是\(x^n-1\)的所有不同的复根，证明：
- \((1- \omega_1)(1- \omega_2)\cdots (1- \omega_{n-1})=n\)；
- 当\(n\)为奇数时，\((1+ \omega_1)(1+ \omega_2)\cdots (1+ \omega_{n-1})=1\)。
3.
构造次数最小的实系数多项式，它有
- \(2\)重根\(-1\)，单根\(2\)和 \(1+i\)；
- \(2\)重根 \(i\)，单根 \(1-i\)。
4.
设\(f(x)\in\mathbb{R}[x]\)，\(\deg f(x)\)为奇数，证明：\(f(x)\)必有实根。
5.
分别求多项式 \(f(x)=x^n+1\)在 \(\C\)和\(\R\)上的标准分解式。
6.
若实系数多项式\(f(x)=x^3+px^2+qx+r\)的三个根均为实数，证明：\(p^2\geq 3q\)。
7.
设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)的三个根为\(\alpha,\beta,\gamma\)，如果\(c\neq 0\)，求以\(\frac{\alpha}{\beta \gamma},\frac{\beta}{\alpha \gamma},\frac{\gamma}{\alpha \beta}\)为根的一个三次多项式。
提高题.
8.
设 \(f_1(x),f_2(x)\)是次数不超过 \(3\)的首一互异多项式，且
\begin{equation*}
x^4+x^2+1|f_1(x^3)+x^4f_2(x^3),
\end{equation*}
求 \(\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)。
9.
设\(f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)，- 求\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式。
- 证明：\(\prod\limits_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{1}{2^m}\)，\(\prod\limits_{k=1}^{m-1}\sin\frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)。
10.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上次数大于\(1\)的首一多项式且无实根，证明：存在\(g(x),h(x)\in\mathbb{R}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g^2(x)+h^2(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)>\deg h(x)\)。
11.
设 \(f(x),g(x)\in\R[x]\)， \(\deg f(x)\geq 1\)，\(\deg g(x)<\deg f(x)\)。证明：\(\frac{g(x)}{f(x)}\)可分解为形如
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{(x-a)^e}\mbox{或}\frac{\mu x+\nu}{\left(x^2+bx+c\right)^\ell}
\end{equation*}
的部分分式之和，即
\begin{equation*}
\frac{g(x)}{f(x)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{k_i=1}^{e_i}\frac{\lambda_{i,k_i}}{(x-a_i)^{k_i}}+\sum\limits_{j=1}^{r}\sum\limits_{s_j=1}^{\ell_j}\frac{\mu_{j,s_j} x+\nu_{j,s_j}}{\left(x^2+b_jx+c_j\right)^{s_j}},
\end{equation*}
其中 \(a_i,\lambda_{i,k_i},b_j,c_j,\mu_{j,s_j} ,\nu_{j,s_j}\in\R\)，且 \(b_j-4c_j^2<0\)。
挑战题.
12.
设 \(f(x),g(x)\in\C[x]\)且 \(\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：若对任意复数 \(\alpha\)，当且仅当 \(f(\alpha)=0\)时， \(g(\alpha)=0\)；当且仅当\(f(\alpha)=1\)时， \(g(\alpha)=1\)，则多项式 \(f(x)\)与 \(g(x)\)相等。
13.
设 \(f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_0\)是实系数多项式，且 \(a_0\neq 0\)。证明： \(f(x)\)至少有两个虚部不为 \(0\)的复根。
