节 1.6 复系数、实系数多项式的标准分解式
节 1.4中给出了多项式标准分解式的一般理论。我们已经知道，在给定数域\(\F\)前提下，\(\F[x]\)中的每一个多项式\(f(x)\)都可以分解为一些不可约多项式乘积。我们还不清楚的是：这些不可约多项式具体会是什么样的多项式。本节中，我们将在复数域和实数域范围内给出标准分解式的具体可能样式。
子节 1.6.1 复数域上多项式的标准分解式
复数域无论在分析学还是在代数学中都是一个性质堪称完美的数域。历史上，数学家高斯在他的博士论文中证明了下面一个复数域的基本性质。由于其重要性，这个定理也被称为代数学基本定理。
这个定理比较直观的证明需要使用到后续课程《复变函数》中的一些知识，因此我们只是直接引用这个定理。代数学基本定理的可以直接推出下面的一些常用重要结论，从而清楚的给出了复数域上多项式标准分解式的可能样式。
定理 1.6.2.
证明.
对多项式的次数\(n\)使用归纳法，容易验证初始条件成立。
由代数学基本定理知，\(f(x)\)在\(\mathbb{C}\)内有根\(a_1\)，则\(f(x)\)可写为
\begin{equation*}
f(x)=(x-a_1)g(x),
\end{equation*}
其中\(g(x)\)是一个次数为\(n-1\)的多项式。由归纳法知，\(g(x)\)在\(\mathbb{C}\)内恰好有\(n-1\)个根。因此，\(f(x)\)在\(\mathbb{C}\)内恰好有\(n\)个根。
推论 1.6.3.
\(\mathbb{C}\)上的不可约多项式都是一次的。
定理 1.6.4.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{C}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{C}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=c(x-a_1)^{e_1}(x-a_2)^{e_2}\cdots(x-a_m)^{e_m},
\end{equation*}
其中\(c\)是首项系数，\(a_i\in\mathbb{C}\)且两两互异，\(e_i\)正整数， \(i=1,\ldots,m\)，\(\sum\limits_{i=1}^m e_i=n\)。
下面的例子是一个典型例子，需要大家熟记。
例 1.6.5. \(x^n-1\)的标准分解式.
子节 1.6.2 实系数多项式的标准分解式
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，实数域的情形稍微复杂一些，但也没有复杂很多。事实上，实数域上不可约多项式只有一次和二次两种情形。高中的知识告诉我们：没有实根的实系数一元二次方程一定有一对共轭复根，推广这个结论，我们可以获得下面一个更一般的结论。
引理 1.6.6.
设\(f (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+ a_1x + a_0\)是实系数多项式。 若复数\(a + bi\) \((b\ne 0, a, b \in\mathbb{R})\)是 \(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根，则\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
证明.
以下我们给出2种不同的证明。
-
记\(z=a+bi\)，其共轭复数为\(\overline{z}=a-bi\)，则\begin{equation*} \begin{array}{ccl} f(\overline{z})&=&a_n\overline{z}^n + a_{n-1}\overline{z}^{n-1} +\cdots+ a_1\overline{z} + a_0\\ &=&\overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} +\cdots+ a_1z + a_0}\\ &=&\overline{f(z)}=0. \end{array}. \end{equation*}因此\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
-
令\begin{equation*} p(x)=[x-(a+ i b)][x-(a - i b)]=x^2-2ax+a^2+b^2, \end{equation*}\begin{equation*} p(x)|f(x). \end{equation*}因此\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
注意到
\begin{equation*}
[x-(a+ bi )][x-(a - bi )]=x^2-2ax+a^2+b^2\in \R[x],
\end{equation*}
其中 \(a,b\in \R\)且\(b\ne 0\)。所以实多项式的每一对共轭复根可以对应一个二次的不可约因子，剩下的每一个实根可以对应一个一次不可约因子。于是可得下面的结论。
定理 1.6.7. \(\mathbb{R}\)上非常数多项式的标准分解式.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=d(x-a_1)^{e_1}\cdots(x-a_m)^{e_m}(x^2+b_1x+c_1)^{\ell_1}\cdots(x^2+b_rx+c_r)^{\ell_r}
\end{equation*}
其中\(a_i, b_j, c_j\in\mathbb{R}\)，\(e_i, \ell_j \)是正整数，\(b_j^2 - 4c_j<0\)， \(a_i\)两两互异， 且\(x^2+b_jx+c_j\)两两互素，\(i =1,2,\ldots,m, j=1,2,\ldots, r\)，
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^m e_i+2\sum\limits_{j=1}^r \ell_j=\deg f(x)\mbox{。}
\end{equation*}
推论 1.6.8.
例 1.6.9.
解答.
注意到当\(n\)为偶数时，\(x^n-1\)有两个实根，分别是\(1\)和 \(-1\)；当\(n\)为奇数时，\(x^n-1\)只有一个实根，即正\(1\)。所以\(x^n-1\)在\(\R\)上的标准分解式需要分\(n\)为奇数和\(n\)为偶数两种情况来分开讨论。
-
当 \(n=2m\)为偶数时，\begin{equation*} x^{2m}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}(x^2 - 2x\cos\frac{k\pi}{m} +1 ). \end{equation*}
-
当\(n=2m+1\)为奇数时，\begin{equation*} x^{2m+1}-1 =(x-1)\prod\limits_{k=1}^{m} (x^2 - 2x\cos\frac{2k\pi}{2m+1} +1 ). \end{equation*}
子节 1.6.3 根与多项式系数的关系——Viète定理
本节的最后，我们给出另一个著名结论，这个结论与多元多项式中的对称多项式有密切联系。
定理 1.6.10. Viète定理.
设
\begin{equation*}
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\in \mathbb{F}[x]
\end{equation*}
在\(\mathbb{F}\)中有\(n\)个根 \(c_1, \ldots, c_n\)，则
\begin{align}
\sum_{1\le i \le n} c_i & = -a_{n-1};\tag{1.6.1}\\
\sum_{1\le i< j\le n} c_ic_j & = a_{n-2};\tag{1.6.2}\\
\sum_{1\le i<j<k \le n} c_ic_jc_k & = -a_{n-3};\tag{1.6.3}\\
& \vdots \tag{1.6.4}\\
c_1c_2\cdots c_n & = (-1)^n a_0\tag{1.6.5}
\end{align}
例 1.6.11. 互反多项式.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)的\(n\)个根\(c_1, \ldots, c_n\)两两互异，且\(c_i\ne 0, i =1,\ldots,n\)，求\(\C\)上一个以\(\frac{1}{c_1},\ldots,\frac{1}{c_n}\)为根的\(n\)次多项式。
解答.
因为
\begin{equation*}
0=f(c_i)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1c+a_0,
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
0=c_i^{-n}f(c_i)=a_n+a_{n-1}\frac{1}{c_i}+\cdots+a_1\left(\frac{1}{c_i}\right)^{n-1}+a_0\left(\frac{1}{c_i}\right)^{n}.
\end{equation*}
令
\begin{equation*}
g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,
\end{equation*}
则 \(g\left(\frac{1}{c_i}\right)=0\)。由 定理 1.6.10知
\begin{equation*}
\frac{a_0}{a_n}=(-1)^n\prod\limits_{i=1}^n c_i\neq 0,
\end{equation*}
故\(\deg g(x)=n\)。 因此\(g(x)\)是一个以\(\frac{1}{c_1},\ldots,\frac{1}{c_n}\)为根的\(n\)次多项式。
练习 1.6.4 练习
基础题.
1.
2.
3.
提高题.
4.
-
\((1- \omega_1)(1- \omega_2)\cdots (1- \omega_{n-1})=n\)；
5.
设 \(f_1(x),f_2(x)\)是次数不超过 \(3\)的首一互异多项式，且
\begin{equation*}
x^4+x^2+1|f_1(x^3)+x^4f_2(x^3),
\end{equation*}
求 \(\left(f_1(x),f_2(x)\right)\)。
6.
设\(f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)，
-
证明：\(\prod\limits_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{1}{2^m}\)，\(\prod\limits_{k=1}^{m-1}\sin\frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)。
7.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上次数大于\(1\)的首一多项式且无实根，证明：存在\(g(x),h(x)\in\mathbb{R}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g^2(x)+h^2(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)>\deg h(x)\)。
8.
9.
10.
设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)的三个根为\(\alpha,\beta,\gamma\)，如果\(c\neq 0\)，求以\(\frac{\alpha}{\beta \gamma},\frac{\beta}{\alpha \gamma},\frac{\gamma}{\alpha \beta}\)为根的一个三次多项式。
挑战题.
11.
设 \(f(x),g(x)\in\R[x]\)， \(\deg f(x)\geq 1\)，\(\deg g(x)<\deg f(x)\)，且\(f(x)\)的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(x-a_i)^{e_i}\prod\limits_{j=1}^{r}(x^2+b_jx+c_j)^{\ell_j},
\end{equation*}
证明：\(\frac{g(x)}{f(x)}\)可分解为形如
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{(x-a_i)^e}\mbox{或}\frac{\mu x+\nu}{\left(x^2+b_jx+c_j\right)^\ell}
\end{equation*}
的部分分式之和，即
\begin{equation*}
\frac{g(x)}{f(x)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{k_i=1}^{e_i}\frac{\lambda_{i,k_i}}{(x-a_i)^{k_i}}+\sum\limits_{j=1}^{r}\sum\limits_{s_j=1}^{\ell_j}\frac{\mu_{j,s_j} x+\nu_{j,s_j}}{\left(x^2+b_jx+c_j\right)^{s_j}},
\end{equation*}
其中 \(a_i,\lambda_{i,k_i},b_j,c_j,\mu_{j,s_j} ,\nu_{j,s_j}\in\R\)，且 \(b_j-4c_j^2<0\)。
12.
设 \(f(x),g(x)\in\C[x]\)且 \(\deg f(x)>0,\deg g(x)>0\)。证明：若对任意复数 \(\alpha\)，当且仅当 \(f(\alpha)=0\)时， \(g(\alpha)=0\)；当且仅当\(f(\alpha)=1\)时， \(g(\alpha)=1\)，则多项式 \(f(x)\)与 \(g(x)\)相等。
13.
14. 笛卡尔符号法则.
对于\(n\)次实系数多项式\(f(x)=a_nx^n+\cdots +a_0\)，忽略系数为0的项，把非零的系数按照次数从大到小排列，得到一个序列。在这个序列中，相邻系数符号相反，称为1次变号，变号的总次数称为多项式系数的变号次数。证明：实系数多项式方程正根的个数等于系数的变号次数减去一个非负偶数。
