对复方阵\(A\)的阶数\(n\)作归纳法。
当\(n=1\)时,结论显然成立。
假设对\(n-1\)阶复方阵结论成立,以下考虑\(n\)阶复方阵\(A\)。由于\(A\)是复方阵,根据代数学基本定理,\(A\)存在特征值\(\lambda_1\in\mathbb{C}\)。设\(X_1\in\mathbb{C}^n\)是\(A\)属于\(\lambda_1\)的单位特征向量,可将其扩充为\(\C^n\)的一个标准正交基\((X_1,\ldots,X_n)\)。将该标准正交基中的向量按列拼成一个矩阵,记
\begin{equation*}
U_1=(X_1,\ldots,X_n),
\end{equation*}
\begin{equation*}
A(X_1,\ldots,X_n)=(X_1,\ldots,X_n)\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & A_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(A_1\)是\(n-1\)阶复方阵,即
\begin{equation*}
U_1^{-1}AU_1=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & A_1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由归纳假设,存在\(n-1\)阶酉矩阵\(U_2\),使得\(U_2^{-1}A_1U_2\)为上三角矩阵,不妨记
\begin{equation*}
U_2^{-1}A_1U_2=\begin{pmatrix}
\lambda_2 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
取\(U=U_1\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & U_2
\end{pmatrix}\),则\(U\)是\(n\)阶酉矩阵,且
\begin{equation*}
U^{-1}AU=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & U_2^{-1}A_1U_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
是上三角矩阵,结论成立。
证法二:由于
\(A\)为复方阵,所以由
定理 7.3.20,存在
\(n\)阶可逆复矩阵
\(P\),使得
\begin{equation*}
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & * \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
为上三角矩阵。将可逆矩阵\(P\)作QR分解,存在酉矩阵\(U\)及对角元均大于0的上三角矩阵\(R\),使得\(P=UR\)。则
\begin{equation*}
U^{-1}AU=R(P^{-1}AP)R^{-1}.
\end{equation*}
由于\(P^{-1}AP,R,R^{-1}\)都是上三角矩阵,所以乘积矩阵\(R(P^{-1}AP)R^{-1}\)仍为上三角矩阵,即\(U^{-1}AU\)是上三角矩阵,结论成立。