定义 8.3.1.
设 \(A,B\in \C^{n\times n}\)。若存在酉矩阵 \(U\)使得
\begin{equation*}
B = U^{-1}AU = U^HAU,
\end{equation*}
则称\(A\)与\(B\)酉相似。
节 8.3 酉矩阵、正交矩阵与标准型
如上一节所述，当我们在一个内积空间中考虑问题时，基的选择通常局限在标准正交基中。此时，基变换过程中的过渡矩阵不单单只要求可逆，还需要进一步限制在酉矩阵或正交矩阵中。于是，相似变换中的可逆矩阵也需要同步限制为酉矩阵或正交矩阵，这就导出了酉相似与正交相似的概念。本节中我们将介绍酉相似与正交相似标准型的相关结论。特别地，我们将介绍酉矩阵和正交矩阵这两类特殊矩阵的酉相似/正交相似标准型。
复内积空间中的酉矩阵与酉相似标准型结论更为一般、简单，但很多实际问题是局限在实数域上的，因此在接下来的介绍过程中，我们先给出复内积空间中的结论，然后再结合复内积空间的结论讨论实内积空间上的相关问题。
子节 8.3.1 酉相似与标准型
我们先给出酉相似的具体概念。
结合酉矩阵的逆是酉矩阵，以及同阶酉矩阵相乘仍然是酉矩阵，容易验证酉相似关系也是一种等价关系。
例 8.3.2. 相似但不酉相似.
取\(A ={\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_t) \)，其中\(\lambda_1,\dots,\lambda_t\)互不相同；取\(B = P^{-1}AP \)。当\(P\)的列向量组不是正交向量组时\(A\)与\(B\)相似但不是正交相似。这是因为\(A\)的特征子空间分解将空间分为\(t\)个两两正交的特征子空间的直和，而\(B\)的特征子空间分解中存在不相互正交的特征子空间。
定理 8.3.3. Schur上三角化.
任意复方阵都酉相似于上三角矩阵。
证明.
当\(n=1\)时，结论显然成立。
假设对\(n-1\)阶复方阵结论成立，以下考虑\(n\)阶复方阵\(A\)。由于\(A\)是复方阵，根据代数学基本定理，\(A\)存在特征值\(\lambda_1\in\mathbb{C}\)。设\(X_1\in\mathbb{C}^n\)是\(A\)属于\(\lambda_1\)的单位特征向量，可将其扩充为\(\C^n\)的一个标准正交基\((X_1,\ldots,X_n)\)。将该标准正交基中的向量按列拼成一个矩阵，记
\begin{equation*}
U_1=(X_1,\ldots,X_n),
\end{equation*}
根据定理 8.2.16，\(U_1\)是酉矩阵。根据定义可知
\begin{equation*}
A(X_1,\ldots,X_n)=(X_1,\ldots,X_n)\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & A_1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(A_1\)是\(n-1\)阶复方阵，即
\begin{equation*}
U_1^{-1}AU_1=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & A_1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由归纳假设，存在\(n-1\)阶酉矩阵\(U_2\)，使得\(U_2^{-1}A_1U_2\)为上三角矩阵，不妨记
\begin{equation*}
U_2^{-1}A_1U_2=\begin{pmatrix}
\lambda_2 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
取\(U=U_1\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & U_2
\end{pmatrix}\)，则\(U\)是\(n\)阶酉矩阵，且
\begin{equation*}
U^{-1}AU=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & U_2^{-1}A_1U_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
是上三角矩阵，结论成立。
\begin{equation*}
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & * \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
为上三角矩阵。将可逆矩阵\(P\)作QR分解，存在酉矩阵\(U\)及对角元均大于0的上三角矩阵\(R\)，使得\(P=UR\)。则
\begin{equation*}
U^{-1}AU=R(P^{-1}AP)R^{-1}.
\end{equation*}
由于\(P^{-1}AP,R,R^{-1}\)都是上三角矩阵，所以乘积矩阵\(R(P^{-1}AP)R^{-1}\)仍为上三角矩阵，即\(U^{-1}AU\)是上三角矩阵，结论成立。
定理 8.3.4.
设\(A\)是\(n\)阶酉矩阵，则存在\(n\)阶酉矩阵\(U\)，使得
\begin{equation*}
U^{-1}AU=U^HAU
\end{equation*}
为对角矩阵，且主对角元都是模为\(1\)的复数。
证明.
根据定理 8.3.3，存在酉矩阵\(U\)使得\(U^{-1}AU\)为上三角矩阵。由于\(U^{-1},A,U\)都是酉矩阵，根据定理 8.2.20，酉矩阵的乘积仍为酉矩阵，可知\(U^{-1}AU\)仍为酉矩阵。
记
\begin{equation*}
B = U^{-1}AU = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
0 & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & b_{nn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
根据定理 8.2.16，\(B\)的第一列\((b_{11},0,\dots,0)^T\)是一个单位向量，所以\(|b_{11}|^2=1\)，即\(b_{11}\)是模为\(1\)的复数。再考察\(B\)的第一行，同样根据根据定理 8.2.16，\((b_{11},b_{12},\dots,b_{1n})\)也是一个单位向量，所以
\begin{equation*}
|b_{11}|^2+|b_{12}|^2+\cdots+|b_{1n}|^2=1,
\end{equation*}
由于\(|b_{11}|^2=1\)，所以
\begin{equation*}
|b_{12}|^2+\cdots+|b_{1n}|^2=0,
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
b_{12}=\cdots=b_{1n}=0.
\end{equation*}
于是
\begin{equation*}
B = \begin{pmatrix}
b_{11} & 0 & \cdots & 0\\
0 & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & b_{nn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
接下来考虑\(B\)的第2列和第2行， 同理可知\(b_{22}\)是模为\(1\)的复数，且\(b_{23}=\cdots=b_{2n}=0\)。依此类推，可知\(B\)是一个对角矩阵，且主对角元都是模为\(1\)的复数。
推论 8.3.5.
酉矩阵的特征值是模为\(1\)的复数。
推论 8.3.6.
酉矩阵属于不同特征值的特征子空间两两正交。
证明.
设酉矩阵\(A\)的所有不同特征值为\(\lambda_1,\dots,\lambda_t\)，记\(\lambda_j\)的代数重数（同时也是几何重数）为\(n_j\)，则根据定理 8.3.4，存在一个标准正交基，使得\(A\)在此基下的矩阵为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 E_{n_1} & &\\
& \ddots &\\
& & \lambda_t E_{n_t}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
将这组标准正交基记为
\begin{equation*}
(\eta_{11},\dots,\eta_{1n_1},\dots,\eta_{t1},\dots,\eta_{tn_t}),
\end{equation*}
其中\(\eta_{j1},\dots,\eta_{jn_j}\)是\(\lambda_j\)特征子空间\(V_{\lambda_j}\)的（标准正交）基。
由于\((\eta_{11},\dots,\eta_{tn_t})\)是标准正交基，所以对于任意的
\begin{equation*}
1\leq j\ne k\leq t,1\leq s\leq n_j,1\leq r\leq n_k,
\end{equation*}
都有
\begin{equation*}
\eta_{js}\perp \eta_{kr}.
\end{equation*}
因此，\(V_{\lambda_j}\perp V_{\lambda_k}\)，结论成立。
证明.
设\(\lambda_1\ne \lambda_2\)是酉矩阵\(A\)的两个不同特征值。任取\(\lambda_1\)的一个特征向量\(X_1\)和\(\lambda_2\)的一个特征向量\(X_2\)，则
\begin{equation*}
AX_1 = \lambda_1 X_1,\quad AX_2 = \lambda_2 X_2.
\end{equation*}
于是
\begin{align*}
X_1^H X_2 = \amp X_1^HE X_2 \\
= \amp X_1^H A^HAX_2\\
= \amp (AX_1)^H (AX_2) \\
= \amp \overline{\lambda_1}\lambda_2 X_1^H X_2.
\end{align*}
根据定理 8.3.4，\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)都是模为1的复数。又因为\(\lambda_1\ne\lambda_2\)，所以\(\overline{\lambda_1}\lambda_2\ne 1\)，因此\(X_1^H X_2 = 0\)，即\(X_1\perp X_2\)，进一步可知两个特征子空间正交，结论成立。
子节 8.3.2 正交相似与标准型
很多实际问题都局限在实数域上，实数域本身也是最常用的数域，因此，有必要将我们的讨论限制在实数域上。
定义 8.3.7.
设 \(A,B\in \R^{n\times n}\)。若存在正交矩阵 \(Q\)使得
\begin{equation*}
B = Q^{-1}AQ = Q^TAQ,
\end{equation*}
则称\(A\)与\(B\)正交相似。
类似于复方阵的Schur上三角化定理，一些实方阵也可正交上三角化，不过此时需要矩阵的特征值都是实数。
推论 8.3.8.
下面考虑正交矩阵的标准型。先来考虑\(\R^2\)空间上的正交变换，即2阶正交矩阵。由于正交矩阵的列向量组和行向量组都是标准正交基，所以正交矩阵只可能是下面两种形式之一：
\begin{equation*}
Q_1 = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix},\quad Q_2 = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
简单计算可知：\(Q_1\)的特征值是\(\cos\theta\pm {\rm i} \sin\theta \)，\(Q_2\)的特征值是\(\pm 1\)。
正交矩阵是特殊的酉矩阵，所有正交矩阵的特征值也都是模为\(1\)的复数。当一个正交矩阵\(A\)存在不是实数的特征值时，\(A\)不可能正交相似于实对角矩阵。注意到实矩阵不是实数的特征值都是成对出现的，我们有下面的引理。
引理 8.3.9.
设\(A\)为正交阵，\(\lambda=a+b{\rm i}(b\ne 0)\)为\(A\)的一个复特征值， \(X=\alpha+{\rm i} \beta\)为对应的一个特征向量，其中\(\alpha,\beta\in \mathbb{R}^n\)，则\(\alpha\perp \beta\)，且\(\|\alpha\|=\|\beta\|\)。
证明.
因为\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(X\neq 0\)是对应的特征向量，所以\(AX=\lambda X\)成立。将此式两端取共轭，可得
\begin{equation*}
\overline{AX} = A\overline{X} = \overline{\lambda} \overline{X} = (a-b{\rm i})(\alpha-{\rm i}\beta),
\end{equation*}
即\(\overline{\lambda}\)也是\(A\)特征值，\(\overline{X}\)是\(\overline{\lambda}\)的一个特征向量。
\begin{align*}
(X,\overline{X})= \amp (\alpha+{\rm i}\beta,\alpha-{\rm i}\beta) \\
= \amp(\alpha,\alpha)-(\beta,\beta)+{\rm i}[(\beta,\alpha)+(\alpha,\beta)] \\
=\amp \|\alpha\|^2-\|\beta\|^2+2{\rm i}(\alpha,\beta)=0.
\end{align*}
实部、虚部对应相等可得\(\|\alpha\|^2=\|\beta\|^2\)，且\((\alpha,\beta)=0\)，即\(\alpha\perp \beta\)，\(\|\alpha\|=\|\beta\|\)。
沿用 引理 8.3.9中的记号。因\(|\lambda|=1\)， \(a^2+b^2=1\)，故可设\(a=\cos\theta,b=-\sin\theta\)。令特征方程中\(AX=\lambda X\)中实部和虚部对应相等可得：
\begin{equation*}
A \alpha=a \alpha-b \beta=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix}
\cos\theta\\ \sin\theta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
A\beta=b \alpha+a \beta=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix}
-\sin\theta\\\cos\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
A(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix},
\end{equation*}
等式两端同时除以\(\|\alpha\|(=\|\beta\|)\)，相当于将\(\alpha,\beta\)单位化，得到
\begin{equation}
A(e_{\alpha},e_{\beta})=(e_{\alpha},e_{\beta})\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}.\tag{8.3.1}
\end{equation}
于是有下面的结论。
定理 8.3.10.
设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，则存在\(n\)阶正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=Q^TAQ\)是分块对角阵
\begin{equation}
{\rm diag}\left(\begin{pmatrix}
\cos\theta_1& -\sin\theta_1\\
\sin\theta_1& \cos\theta_1
\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}
\cos\theta_\ell& -\sin\theta_\ell\\
\sin\theta_\ell& \cos\theta_\ell
\end{pmatrix},E_r,-E_s\right),\tag{8.3.2}
\end{equation}
其中\(2\ell+r+s=n\)。
证明.
先将\(A\)看作酉矩阵，在复数域上考虑问题。根据 推论 8.3.5，\(A\)的特征值都是模为1的复数。由于\(A\)是实矩阵，所以\(A\)的非实特征值在由\(A\)所有特征值构成的多重集中成对出现。记\(A\)的非实特征值共有\(\ell\)对，记为\(\lambda_1,\overline{\lambda_1},\ldots,\lambda_\ell,\overline{\lambda_\ell}\)，记\(A\)的\(1\)特征值个数为\(r\)，\(-1\)特征值个数为\(s\)，则\(A\)的特征值总数为\(2\ell+r+s=n\)。
\begin{equation*}
{\rm diag}(\lambda_1,\overline{\lambda_1},\ldots,\lambda_{\ell},\overline{\lambda_\ell},1,\dots,1,-1,\dots,-1).
\end{equation*}
记
\begin{equation*}
U=(X_1,Y_1,\dots,X_\ell,Y_\ell,\gamma_1,\ldots,\gamma_r,\gamma_{r+1},\ldots,\gamma_{r+s}),
\end{equation*}
结合可对角化矩阵的相关知识，\(U\)矩阵的列向量都是对应特征值的单位特征向量，注意到
\begin{equation*}
V_{\overline{\lambda}} = \{\overline{X}| X\in V_{\lambda} \} \triangleq \overline{V_{\lambda}}
\end{equation*}
对\(A\)的任意一个非实特征值\(\lambda\)都成立，共轭运算是\(V_{\overline{\lambda}}\)到\(V_{\lambda}\)的可逆映射，且保持向量长度和相互正交的性质，于是可以选择
\begin{equation*}
Y_1 = \overline{X_1},\dots, Y_\ell = \overline{X_\ell}.
\end{equation*}
实特征值\(\pm 1\)的特征向量都可以在局限在实数域上求解，于是可以选择\(\gamma_1,\dots,\gamma_{r+s}\)都是实列向量。
记
\begin{equation*}
W_j= \langle X_j, \overline{X_j}\rangle, j =1,\dots,\ell;
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_1 = \langle \gamma_1,\dots,\gamma_r\rangle,\quad V_{-1} = \langle \gamma_{r+1},\dots,\gamma_{r+s}\rangle.
\end{equation*}
由于\(U\)是酉矩阵，所以
\begin{equation*}
W_1\oplus\dots\oplus W_\ell\oplus V_1\oplus V_{-1}
\end{equation*}
是\(\C^n\)的正交直和分解。
对每一个\(j=1,\ldots,\ell\)，记\(X_j = \alpha_{j}+{\rm i}\beta_{j}\)，其中\(\alpha_{j},\beta_{j}\in \R^n\)。 根据 引理 8.3.9，\(\alpha_j\perp \beta_j\)，同时注意到
\begin{equation*}
\langle \alpha_j,\beta_j\rangle = \langle X_j,\overline{X_j}\rangle = W_j,
\end{equation*}
因此，\((e_{\alpha_j},e_{\beta_j})\)是\(W_j\)的一个标准正交基。
取
\begin{equation*}
Q= (e_{\alpha_1},e_{\beta_1},\ldots,e_{\alpha_\ell},e_{\beta_\ell},\gamma_1,\ldots,\gamma_r,\gamma_{r+1},\ldots,\gamma_{r+s}),
\end{equation*}
子节 8.3.3 “初等”正交矩阵
可逆矩阵可以分解为3类初等矩阵的乘积，正交矩阵也可以做类似的分解。
沿用定理 8.3.10中的记号，一个正交矩阵\(A\)中每一对互为共轭的特征值都可以对应于标准型中一个对角块
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\cos\theta_j& -\sin\theta_j\\
\sin\theta_j& \cos\theta_j
\end{pmatrix}\triangleq R_{\theta_j}.
\end{equation*}
从变换的角度，这一对互为共轭的特征值也对应一个2维的不变子空间，记此不变子空间为\(V_j\)。将正交变换\(A\)局限作用在\(V_j\)上，则其作用效果等同于用\(R_{\theta_j}\)作用在\(\R^2\)上， 即将\(V_j\)空间绕坐标原点沿逆时针方向旋转角\(\theta_j\)。我们引入如下术语。
定义 8.3.11.
设\(Q\)是一个\(n\)阶正交矩阵。若\(Q\)正交相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
{\rm diag}\left(E_{n-2},\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}\right),
\end{equation*}
则称\(Q\)是一个初等旋转矩阵，也称为Givens矩阵/变换。
在初等旋转矩阵的定义中，我们允许\(\theta = k\pi,\ k\in \Z\)：当\(\theta = 2k\pi\)时初等旋转矩阵就是单位矩阵，所作变换相当于旋转0度角；当\(\theta = (2k+1)\pi\)时，初等旋转矩阵的特征值为\(n-2\)个\(1\)和\(2\)个\(-1\)，所做变换限制在\(-1\)的特征子空间上是一个\(180^{\circ}\)的旋转。
标准型中的一个\(-1\)特征值可以与下面的正交变换相对应。
定义 8.3.12.
设\(Q\)是一个\(n\)阶正交矩阵。若\(Q\)正交相似于分块对角矩阵
\begin{equation*}
{\rm diag}\left(E_{n-1},-1\right),
\end{equation*}
则称\(Q\)是一个反射矩阵，也称为镜面反射，或Householder矩阵/变换。
我们有下面的结论。
定理 8.3.13.
一个正交矩阵\(Q\)是反射矩阵的充分必要条件为存在一个单位向量\(\eta\)，使得
\begin{equation*}
Q=E_n -2\eta \eta^T.
\end{equation*}
证明.
根据定义，\(Q\)是反射矩阵的充分必要条件为存在一个标准正交基\((e_1,\ldots,e_n)\)，使得
\begin{equation*}
Q(e_1,\ldots,e_n)=(e_1,\ldots,e_n){\rm diag}\left(E_{n-1},-1\right).
\end{equation*}
记\(\eta=e_n\)，则\(\eta\)是一个单位向量。于是
\begin{align*}
Q = \amp (e_1,\ldots,e_n){\rm diag}\left(E_{n-1},-1\right)\begin{pmatrix}
e_1^T\\
\vdots\\
e_n^T
\end{pmatrix} \\
= \amp (e_1,\ldots,e_{n-1},\eta)\left[E_n -\begin{pmatrix}
0 & &&\\
& \ddots & &\\
& & 0 &\\
& & & 2
\end{pmatrix} \right]\begin{pmatrix}
e_1^T\\
\vdots\\
e_{n-1}^T\\
\eta^T
\end{pmatrix}\\
= \amp E_n - 2\eta \eta^T.
\end{align*}
镜面反射也有明显的几何特征。设\(Q=E_n -2\eta \eta^T\)，其中\(\eta\)是一个单位向量。记 \(W = \langle\eta\rangle^{\perp}\)，即\(W\)是与\(\eta\)垂直的\(n-1\)维子空间。对于\(\forall \alpha\in \R^n\)，
\begin{equation*}
\alpha -Q\alpha = 2\eta \eta^T\alpha = 2(\alpha,\eta)\cdot \eta \perp W,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\alpha+ Q\alpha}{2} = \alpha - (\alpha,\eta)\cdot \eta = {\rm Proj}_{W}(\alpha)\in W,
\end{equation*}
也就是说\(\alpha\)与\(Q\alpha\)关于\(n-1\)维子空间\(W\)对称。若我们将\(W\)想象为一个高维镜面，则\(Q\alpha\)恰好是\(\alpha\)在镜面\(W\)中的像，这也是此种变换称为镜面反射的原因。
镜面反射是比初等旋转矩阵还要基本的一种矩阵，每一个初等旋转矩阵都可以分解为两个反射矩阵的乘积。下面给一个动画演示，说明两次不同的镜面反射可以合成一个旋转变换。
根据标准型定理，每一个正交矩阵都可以写成一些初等旋转矩阵与反射矩阵的乘积，进而每一个正交矩阵都可以分解为若干个反射矩阵的乘积。
本节的最后，我们给出正交矩阵的一个分类。
定义 8.3.14.
我们把初等旋转矩阵和反射矩阵称为初等正交矩阵。在把一般正交矩阵分解为初等正交矩阵乘积的过程中，第一类正交矩阵的分解只需要用到初等旋转矩阵，第二类正交矩阵的分解至少用到一个反射矩阵。
初等旋转矩阵和反射矩阵作为变换都有典型的几何意义。理解和熟练使用这两种变换对于解决很多实际问题都有很大帮助。特别地，反射矩阵在广义QR分解和矩阵特征值估计的数值算法中都有重要应用，有兴趣的同学可以查阅数值代数的相关专业书籍，如 Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (4th edition), Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 2013.
练习 8.3.4 练习
基础题.
1.
证明：酉（正交）相似关系是等价关系。
2.
3.
4.
提高题.
5.
设\(\phi\)是欧氏空间\(V\)上的变换，且对任意\(\alpha,\beta\in V\)，都有
\begin{equation*}
\left(\phi(\alpha),\phi(\beta)\right)=\left(\alpha,\beta\right),
\end{equation*}
证明：\(\phi\)是线性变换，因而是正交变换。
6.
7.
8.
9.
挑战题.
10.
11.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m\)和\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_m\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)中的两个向量组，证明：存在\(V\)上的一个正交变换\(\phi\)，使得
\begin{equation*}
\phi(\alpha_i)=\beta_i,\ i=1,2,\cdots ,m
\end{equation*}
的充分必要条件是
\begin{equation*}
\left(\alpha_i,\alpha_j\right)=\left(\beta_i,\beta_j\right),\ i,j=1,2,\cdots ,m.
\end{equation*}
12.
记
\begin{equation*}
R_{xy}= \left\{ \left.\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\right| \theta\in \R \right\},\quad \mbox{（xoy平面上的旋转）}
\end{equation*}
\begin{equation*}
R_{yz}= \left\{ \left.\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}\right| \theta\in \R \right\},\quad \mbox{（yoz平面上的旋转）}
\end{equation*}
证明：对欧氏空间\(\R^3\)上的第一类正交变换\(A\)，存在\(B_1,B_2\in R_{xy}\)，\(C\in R_{yz}\)，使得
\begin{equation*}
A = B_1CB_2.
\end{equation*}
