主要内容
高等代数:
多项式与线性代数
刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 叶从峰
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致谢
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关于本书的形式
关于本书的内容
1
多项式
1.1
一元多项式的定义和基本性质
1.1.1
数域
1.1.2
一元多项式的定义
1.1.3
一元多项式的运算和基本性质
1.1.4
相关Sage命令
1.1.5
练习
1.2
带余除法与整除
1.2.1
带余除法
1.2.2
整除
1.2.3
带余除法的相关Sage代码
1.2.4
练习
1.3
最大公因式和辗转相除法
1.3.1
最大公因式的一般理论
1.3.2
互素
1.3.3
最小公倍式
1.3.4
孙子定理/中国剩余定理*
1.3.5
Sage相关
1.3.6
练习
1.4
标准分解式
1.4.1
不可约多项式
1.4.2
标准分解式
1.4.3
练习
1.5
不可约因式的重数
1.5.1
单因式与重因式
1.5.2
重因式与导数
1.5.3
一次因式重数与多项式函数的根
1.5.4
练习
1.6
复系数、实系数多项式的标准分解式
1.6.1
复数域上多项式的标准分解式
1.6.2
实系数多项式的标准分解式
1.6.3
根与多项式系数的关系——Viète定理
1.6.4
练习
1.7
有理系数多项式的不可约因式
1.7.1
有理系数多项式到整系数多项式的转化
1.7.2
整系数多项式不可约性的判定
1.7.3
练习
1.8
多元多项式*
1.8.1
多元多项式的基本概念
1.8.2
对称多项式
1.8.3
Newton恒等式
2
矩阵与初等行变换——线性方程组的算法求解
2.1
线性方程组、消元法及几何直观
2.1.1
二元一次及三元一次方程组解法回顾
2.1.2
线性方程组的几何解释
2.1.3
一般线性方程组
2.1.4
练习
2.2
矩阵及其运算
2.2.1
矩阵的定义
2.2.2
矩阵的乘法运算
2.2.3
矩阵乘法的性质
2.2.4
矩阵的其它常用运算
2.2.5
练习
2.3
分块矩阵
2.3.1
分块矩阵的概念
2.3.2
分块矩阵的运算
2.3.3
练习
2.4
初等行变换和初等矩阵
2.4.1
Gauss消去法与行初等变换
2.4.2
初等矩阵与矩阵乘法
2.4.3
用初等行变换/矩阵化简矩阵
2.5
可逆矩阵
2.5.1
初等行变换的可逆性
2.5.2
可逆矩阵的基本性质
2.5.3
可逆矩阵与初等矩阵
2.5.4
可逆与行等价
2.5.5
矩阵的LU分解和线性方程组求解*
2.6
简化阶梯形与线性方程组的解
2.6.1
简化阶梯型矩阵
2.6.2
利用简化阶梯型求解线性方程组
2.6.3
简化阶梯型的唯一性
2.6.4
矩阵的秩
2.7
初等列变换与相抵
2.7.1
初等列变换与矩阵乘法
2.7.2
矩阵的相抵
3
行列式——线性方程组的公式解
3.1
行列式的展开式定义
3.1.1
二阶、三阶行列式的定义
3.1.2
排列的逆序数
3.1.3
行列式定义的进一步讨论
3.1.4
Sage相关
3.1.5
练习
3.2
行列式与初等变换
3.2.1
行列式随初等变换的变化规律
3.2.2
行列式与矩阵乘法
3.2.3
典型例题
3.2.4
行列式的公理化定义与几何意义*
3.2.5
练习
3.3
行列式按行(列)展开
3.3.1
按一行(列)进行行列式展开
3.3.2
伴随矩阵——逆矩阵的公式表示
3.3.3
行列式按多行(列)的Laplace展开
3.3.4
分块矩阵的行列式
3.3.5
Laplace定理证明*
3.3.6
练习
3.4
Cramer法则
3.4
练习
4
线性组合与列向量空间——线性方程组的列观点
4.1
列向量空间
\(\F^m\)
4.1.1
基本定义
4.1.2
列向量空间的几何解释
4.1.3
列向量的代数性质
4.1.4
行向量空间
4.1.5
练习
4.2
线性相关与线性无关
4.2.1
线性相关/无关的概念
4.2.2
线性相关/无关的性质
4.2.3
线性相关/无关性的判定
4.3
生成子空间与极大无关组
4.3.1
生成子空间
4.3.2
极大无关组
4.3.3
向量组的秩与线性表出
4.3.4
矩阵的列秩
4.4
\(\F^m\)
的子空间、基与维数
4.4.1
子空间
4.4.2
子空间的运算
4.4.3
(子)空间的基与维数
4.4.4
基与坐标
4.4.5
子空间的直和运算
4.5
线性方程组解的结构
4.5.1
齐次方程组解的结构
4.5.2
非齐次方程组解的结构
4.5.3
练习
5
标准内积空间——无解方程组的最小二乘解
5.1
标准内积及其几何意义
5.1.1
标准内积的概念
5.1.2
内积运算与长度
5.1.3
内积运算与夹角
5.2
正交投影与最小二乘解
5.2.1
正交
5.2.2
正交投影与最短距离
5.2.3
无解方程组的最小二乘解
5.3
标准正交基与Gram-Schmidt正交化过程
5.3.1
标准正交基
5.3.2
正交投影的计算
5.3.3
Gram-Schmit标准正交化过程
6
一般线性空间与线性映射
6.1
一般线性空间的定义和举例
6.2
线性空间同构
6.3
基变换与坐标变换
6.4
线性映射的定义和性质
6.5
线性映射的运算
6.6
线性映射的像与核
6.7
线性映射的表示矩阵与矩阵相抵
7
线性变换
7.1
线性变换与矩阵相似
7.1.1
线性变换的概念与举例
7.1.2
线性变换的表示矩阵与相似
7.1.3
线性变换的整体性理解——代数
7.1.4
练习
7.2
不变子空间
7.2.1
不变子空间的定义与举例
7.2.2
不变子空间与表示矩阵化简
7.3
特征值与特征向量
7.3.1
矩阵特征值与特征向量的定义
7.3.2
特征值、特征向量的常用性质
7.3.3
线性变换的特征值与特征向量
7.3.4
矩阵的上三角化
7.4
可对角化
7.4.1
矩阵的可对角化条件
7.4.2
可对角化矩阵的几何理解
7.4.3
线性变换的可对角化
7.5
特征多项式与零化多项式
7.5.1
零化多项式与Cayley-Hamilton定理
7.5.2
极小多项式
7.5.3
线性变换的零化多项式和极小多项式
7.5.4
练习
7.6
\(\lambda\)
-矩阵相抵与矩阵相似
7.6.1
\(\lambda\)
-矩阵与相抵
7.6.2
\(\lambda\)
-矩阵相抵和数字矩阵相似
7.7
\(\lambda\)
-矩阵的相抵标准型
7.7.1
\(\lambda\)
-矩阵的初等变换
7.7.2
\(\lambda\)
-矩阵的相抵标准型
7.7.3
法式唯一性与行列式因子
7.7.4
不变因子
7.8
初等因子组与Jordan标准型
7.8.1
初等因子组
7.8.2
Jordan标准型
7.8.3
Jordan标准型的性质与简单应用
7.8.4
过渡矩阵的计算*
7.8.5
练习
7.9
Jordan标准型与空间分解
7.9.1
循环子空间分解
7.9.2
根子空间直和分解与Jordan-Chevalley分解定理
7.10
矩阵相似的其它相似标准型
7.10.1
Frobenius标准型/有理标准型
7.10.2
广义Jordan标准型
8
一般内积空间与线性映射
8.1
一般内积空间的定义和举例
8.1.1
实内积与复内积
8.1.2
非标准内积举例
8.1.2.1
矩阵空间上的内积
8.1.2.2
函数空间的内积
8.1.2.3
\(\R^n\)
或
\(\C^n\)
上的非标准内积
8.1.3
内积空间的性质
8.1.4
练习
8.2
标准正交基与内积空间同构
8.2.1
一般内积空间的标准正交基
8.2.2
内积空间上的线性映射与同构
8.2.3
内积空间的自同构——正交变换和酉变换
8.2.4
练习
8.3
酉矩阵、正交矩阵与标准型
8.3.1
酉相似与标准型
8.3.2
正交相似与标准型
8.3.3
“初等”正交矩阵
8.4
实对称矩阵和Hermite矩阵
8.4.1
实对称矩阵、Hermite矩阵及其标准型
8.4.2
谱分解
8.4.3
自伴算子*
8.5
奇异值分解——酉相抵标准型
8.5.1
矩阵的酉相抵与奇异值分解
8.5.2
奇异值分解的几何意义
8.5.3
奇异值应用举例—矩阵最佳低秩近似与图像压缩
8.5.4
习题
9
二次型
9.1
二次型与矩阵合同
9.1.1
实二次型的定义与矩阵表示
9.1.2
二次型的化简与矩阵合同
9.1.3
二次型及其正交化简的几何解释
9.2
合同变换和惯性定理
9.2.1
合同与初等变换
9.2.2
惯性定理与合同规范型
9.3
正定二次型和正定矩阵
9.3.1
正定二次型和正定矩阵的定义与基本性质
9.3.2
正定矩阵与内积
9.3.3
二次型的其它分类
Backmatter
A
集合、映射与等价关系
A.1
集合
A.2
映射
A.3
等价关系与分类
B
数学证明简介
C
复数
D
计算软件系统Sage介绍
E
希腊字母
F
记号索引
名词索引
参考文献
致谢
致谢
本书是使用Pretext编译生成的,在此感谢所有参与开发Pretext的人员。