引理 3.2.1.
对换改变排列的奇偶性。
节 3.2 行列式与初等变换
随着学习的深入，我们会逐渐接触到更多行列式的重要应用，具体矩阵行列式计算在实际应用中也是经常碰到的问题。按照定义，一般\(n\)阶方阵行列式展开式每一项都是\(n\)个元素的乘积，即需要进行\(n-1\)次乘法；展开式中共有\(n!\)项，因此除乘法外还需要进行加/减法的运算次数为\(n!-1\)。于是，我们至少要进行的基本运算次数远大于\(n!\)。随着\(n\)的增大，这个计算量增加的非常快，几乎不可能完成。
举例来说，如果我们要计算一个50阶行列式（实际问题中，矩阵阶数大于50的比比皆是），利用计算机容易算出
\begin{equation*}
50! \approx 3\times 10^{64}.
\end{equation*}
假设即便我们有一台可以每秒进行一万亿(\(10^{12}\))次基本运算的电脑（主流电脑都达不到这个运算速度），则完成此次行列式的计算至少需要
\begin{equation*}
3\times 10^{64}/(10^{12}\times 3600\times 24\times 365 )>10^{43}
\end{equation*}
年，是完全不现实的计算方法。
因此在实际应用中，阶数大于3的行列式通常不使用展开式定义进行计算。不过也有例外，当矩阵中很多元素都是0时，利用定义计算可以很简单，如 定理 3.1.14 所示，当矩阵是上三角矩阵时，矩阵的行列式就是对角元的乘积。
行列式定义的动机之一是给出线性方程组公式解。注意到线性方程组的算法求解中，我们是利用三种初等变换将系数矩阵转化为类似于上三角矩阵的简化阶梯形矩阵。这种方法启发我们：可以先对矩阵化简，然后再利用定义算出化简之后行列式的值。在这个过程中，我们需要知道行列式的值在初等变换作用下的变化规律，这是接下来要讨论的。
子节 3.2.1 行列式随初等变换的变化规律
本小节中，我们将分别观察三种初等变换的实施对行列式值的影响，从中发现一些规律，以增加对行列式性质的理解。
互换变换
设\(A=(a_{ij}) \)是一个\(n\)阶方阵。任取\(A\)的两行，记为第\(s\)行和第\(t\)行。交换\(A\)的第\(s\)行和第\(t\)行，记所获得的矩阵为\(B = (b_{ij})\)。上述过程也等价于矩阵\(A,B\)的元素满足下面的两个条件：
- 当\(i\ne s\)且\(i\ne t\) 时，\(a_{ij}=b_{ij}\)；
- \(a_{sj}= b_{tj}\)且\(a_{tj}=b_{sj} \)。
考虑\(\det A\)展开式中的一个一般项\((-1)^{\tau(j_1,\ldots, j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\)，注意到这\(n\)个元素\(a_{1j_1},\ldots, a_{nj_n}\)在\(B\)矩阵中仍然是不同行、不同列的\(n\)个元素，因此也可以对应于\(\det B\)中展开式的一个一般项，反之亦然。
在\(\det A\)展开式中，记这一项对应的排列为\(p=(j_1,\ldots,j_n)\)，则在\(\det B\)展开式中这一项对应的排列\(q\)就是由排列\(p\)交换\(j_s\)和\(j_t\)两个元素的位置、其它元素保持不动所获得的新排列。称从\(p\)到\(q\)的过程为一次对换。容易看到：若\(p\)经过一次对换变成\(q\)，则\(q\)经过相同的对换就会变回\(p\)。我们有下面的结论。
证明.
设对换前的排列为\(p=(j_1,\ldots,j_n)\)，对换是交换了\(j_s\)和\(j_t\)两个元素。下面分情况讨论。
- 先看要对换的两个数在排列中相邻的情形，即\(t=s+1\)：\begin{equation} j_1,\ldots, j_{s-1},j_{s},j_{s+1},j_{s+2},\ldots,j_n\tag{3.2.1} \end{equation}\begin{equation*} \downarrow (j_{s},j_{s+1}) \end{equation*}\begin{equation} j_1,\ldots, j_{s-1},j_{s+1},j_{s},j_{s+2},\ldots,j_n\tag{3.2.2} \end{equation}\(j_s\)和 \(j_{s+1}\) 以外的数构成的数对是顺序还是逆序，在 (3.2.1) 与 (3.2.2) 中是一样的；\(j_s\)和 \(j_{s+1}\) 以外的数与 \(j_s\)（或 \(j_{s+1}\)）构成的数对是顺序还是逆序，在(3.2.1) 与 (3.2.2) 中也是一样的。只有对于 \(j_s,j_{s+1}\)构成的数对，如果它在 (3.2.1)中逆序，那么它在 (3.2.2)中顺序；如果它在 (3.2.1)中顺序，那么它在 (3.2.2)中逆序。故\begin{equation*} \tau(\ldots ,j_{s+1},j_s,\ldots)=\left\{ \begin{array}{ll} \tau(\ldots ,j_s,j_{s+1},\ldots)-1,&\mbox{当}j_s>j_{s+1},\\ \tau(\ldots ,j_s,j_{s+1},\ldots)+1, &\mbox{当}j_s<j_{s+1}.\\ \end{array}\right. \end{equation*}
- 再看一般情形：\begin{equation} j_1,\ldots, j_s,j_{s+1},\ldots,j_{t-1},j_t,\ldots,j_n\tag{3.2.3} \end{equation}\begin{equation*} \downarrow (j_s,j_t) \end{equation*}\begin{equation} j_1,\ldots, j_t,j_{s+1},\ldots,j_{t-1},j_s,\ldots,j_n\tag{3.2.4} \end{equation}\begin{equation*} j_1,\ldots, j_s,j_{s+1},\ldots,j_{t-1},j_t,\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_s,j_{s+1}) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots,j_{s-1}, j_{s+1},j_s,j_{s+2},\ldots,j_{t-1},j_t,\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_s,j_{s+2}) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots,j_{s-1}, j_{s+1},j_{s+2},j_s,j_{s+3},\ldots,j_{t-1},j_t,\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_s,j_{s+3}) \end{equation*}\begin{equation*} \vdots \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_s,j_t) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots,j_{s-1}, j_{s+1},\ldots,j_{t-1},j_t,j_{s},j_{t+1},\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_{t-1},j_t) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots,j_{s-1}, j_{s+1},\ldots,j_{t-2},j_t,j_{t-1},j_{s},j_{t+1},\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_{t-2},j_t) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots,j_{s-1}, j_{s+1},\ldots,j_{t-3},j_t,j_{t-2},j_{t-1},j_{s},j_{t+1},\ldots,j_n \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_{t-3},j_t) \end{equation*}\begin{equation*} \vdots \end{equation*}\begin{equation*} \downarrow (j_{s+1},j_t) \end{equation*}\begin{equation*} j_1,\ldots, j_t,j_{s+1},\ldots,j_{t-1},j_s,\ldots,j_n \end{equation*}
互换变换对行列式的影响可以用下面的定理来总结。
定理 3.2.2.
设\(A\)是一个方阵，\(B\)是\(A\)作一次行互换变换所获得的矩阵，则
\begin{equation*}
\det A = -\det B.
\end{equation*}
证明.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，将 \(A\)的第 \(s\) 行与第 \(t\) 行互换得到矩阵 \(B=\left(b_{ij}\right)_{n\times n}\) ，则
\begin{equation*}
b_{ij}=\left\{\begin{array}{cl}
a_{ij},&\mbox{当}i\neq s\mbox{且}i\neq t,\\
a_{tj},&\mbox{当}i= s,\\
a_{sj},&\mbox{当}i= t.\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
根据行列式定义，我们有
\begin{align*}
\det B&=\sum\limits_{j_1,\ldots,j_s,\ldots ,j_t,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau (j_1,\ldots,j_s,\ldots ,j_t,\ldots ,j_n)}b_{1j_1}\cdots b_{sj_s}\cdots b_{tj_t}\cdots b_{nj_n}\\
& =\sum\limits_{j_1,\ldots,j_s,\ldots ,j_t,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau (j_1,\ldots,j_s,\ldots ,j_t,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{tj_s}\cdots a_{sj_t}\cdots a_{nj_n}.
\end{align*}
由 引理 3.2.1知 \(\tau (j_1,\ldots,j_s,\ldots ,j_t,\ldots ,j_n)\)与 \(\tau (j_1,\ldots,j_t,\ldots ,j_s,\ldots ,j_n)\)奇偶性相反，因此
\begin{align*}
\det B&= -\sum\limits_{j_1,\ldots,j_t,\ldots ,j_s,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau (j_1,\ldots,j_t,\ldots ,j_s,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{sj_t}\cdots a_{tj_s}\cdots a_{nj_n}\\
&=-\det A.
\end{align*}
推论 3.2.3.
若方阵\(A\)中存在相同的两行，则\(\det A = 0\)。
证明.
\begin{equation*}
\det A=-\det A,
\end{equation*}
因此\(\det A = 0\)。
例 3.2.4. 互换矩阵的行列式.
求互换矩阵\(E\left(i,j\right)\)的行列式。
解答.
\begin{equation*}
\det E\left(i,j\right)=-\begin{vmatrix}
1 & & &\\
& 1& &\\
& &\ddots &\\
& & &1
\end{vmatrix}=-1.
\end{equation*}
另一方面，直接从定义出发，也容易验证 \(\det E(i,j)=-1\)。
倍法变换
倍法变换的结论相对简单。
定理 3.2.5.
将\(n\)阶方阵\(A\)的某一行数乘常数\(c\)，记所得矩阵为\(B\)，则 \(\det B= c\det A\)。即
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & {a_{1,j}} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & {\vdots} & \vdots & \vdots\\
{\color{blue} c}{a_{i,1}} & {\color{blue}\cdots} &{\color{blue} c} {a_{i,j}} & {\color{blue} \cdots} & {\color{blue} c} {a_{i,n}}\\
\vdots & \vdots & {\vdots} & \vdots & \vdots\\
a_{n,1} & \cdots & {a_{n,j}} & \cdots & a_{n,n}
\end{vmatrix}
= {\color{blue} c}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & {a_{1,j}} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & {\vdots} & \vdots & \vdots\\
{a_{i,1}} & {\cdots} & {a_{i,j}} & {\cdots} & {a_{i,n}}\\
\vdots & \vdots & {\vdots} & \vdots & \vdots\\
a_{n,1} & \cdots & {a_{n,j}} & \cdots & a_{n,n}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
证明.
根据行列式定义，
\begin{align*}
\det B&=\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1j_1}\cdots b_{ij_i}\cdots b_{nj_n}\\
&= \sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots \left(ca_{ij_i}\right)\cdots a_{nj_n}\\
&=c\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{ij_i}\cdots a_{nj_n}\\
&=c\det A.
\end{align*}
例 3.2.6. 倍法矩阵的行列式.
求倍法矩阵\(E\left(i(c)\right)\)的行列式。
解答.
\begin{equation*}
\det E\left(i(c)\right)=c\begin{vmatrix}
1 & & &\\
& 1& &\\
& &\ddots &\\
& & &1
\end{vmatrix}=c.
\end{equation*}
关于倍法变换的结论我们有以下几点说明：
例 3.2.8. 奇数阶反对称矩阵的行列式.
设\(A\)是\(n\)阶反对称矩阵，其中\(n\)为奇数，求\(\det A\)。
消法变换
消法变换是矩阵化简的主要手段。在给出消法变换的结论前，我们先给一个更为广泛的结论。
定理 3.2.9.
设\(A,B,C\)是3个\(n\)阶方阵，若\(C\)的第\(r\)行可以拆成\(A\)的第\(r\)行与\(B\)的第\(r\)行的和，且三个矩阵中其它行的元素都对应一样，即满足：
- \(\displaystyle c_{rj}= a_{rj} +b_{rj},\ j=1,\ldots,n; \)
- \(\displaystyle c_{ij}= a_{ij}=b_{ij},\ \forall i\ne r,\ j=1,\ldots,n, \)
则
\begin{equation*}
\det C = \det A+\det B.
\end{equation*}
证明.
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\det C& =& \sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}c_{1j_1}\cdots c_{r-1,j_{r-1}}\left(a_{rj_r}+b_{rj_r}\right)c_{r+1,j_{r+1}}\cdots c_{nj_n}\\
& =&\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}c_{1j_1}\cdots c_{r-1,j_{r-1}}a_{rj_r}c_{r+1,j_{r+1}}\cdots c_{nj_n}\\
& & +\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}c_{1j_1}\cdots c_{r-1,j_{r-1}}b_{rj_r}c_{r+1,j_{r+1}}\cdots c_{nj_n}\\
& =&\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}a_{1j_1}\cdots a_{r-1,j_{r-1}}a_{rj_r}a_{r+1,j_{r+1}}\cdots a_{nj_n}\\
& & +\sum\limits_{j_1,\ldots ,j_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots ,j_n)}b_{1j_1}\cdots b_{r-1,j_{r-1}}b_{rj_r}b_{r+1,j_{r+1}}\cdots b_{nj_n}\\
&=&\det A+\det B.
\end{array}
\end{equation*}
- 请注意：这里只是\(C\)的某一行（第\(r\)行 ）拆成了\(A,B\)矩阵中对应行的和，而不是\(C=A+B\)。一般的，\(\det(A+B)\) 未必 等于 \(\det A+\det B\)。
- 请思考：利用上面的性质，\(\det(A+B)\)应该等于什么？
定理 3.2.10.
行消法变换不改变矩阵的行列式。
证明.
设\(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)是\(n\)阶方阵，将\(A\) 的第\(j\) 行乘以\(c\)加到第\(i\)行得到矩阵\(B\)，则
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
\det B& =& \begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{i1}+ca_{j1}&\cdots&a_{in}+ca_{jn}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\\
& =& \begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{i1}&\cdots&a_{in}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&&\vdots\\
ca_{j1}&\cdots&ca_{jn}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\\
&=&\det A+0\\
&=&\det A.
\end{array}
\end{equation*}
根据定理 3.2.10，可知消法变换对应的初等矩阵\(E(i,j(c))\)行列式为1。
子节 3.2.2 行列式与矩阵乘法
接下来，我们从矩阵乘法的角度理解行列式随初等变换的变化规律。由定理 2.4.4可知，实施一次行初等变换等价于左乘相应的初等矩阵。容易知道，倍法变换矩阵的行列式是\(c\)，互换变换矩阵的行列式是\(-1\)，消法变换矩阵的行列式是\(1\)。于是上面三种初等变换对应的变化规律可以用下面的命题统一描述。
命题 3.2.11.
设\(P\)是一个初等矩阵，\(A\)是与\(P\)同阶的方阵，则
\begin{equation*}
\det (PA) = \det P\cdot \det A.
\end{equation*}
事实上，\(P\)是初等矩阵的限制条件可以去掉。我们有下面一个行列式的重要性质，称这个性质为行列式乘法公式。
定理 3.2.12. 行列式乘法公式.
设\(A,B\)是同阶方阵，则
\begin{equation*}
\det \left(AB\right) =\det A\cdot \det B.
\end{equation*}
证明.
以下分两种情况讨论。
- 若 \(A\)是可逆矩阵，则存在初等矩阵 \(P_1,P_2,\ldots ,P_s\)，使得\begin{equation*} A=P_1P_2\cdots P_s. \end{equation*}根据 命题 3.2.11得\begin{align*} \det \left(AB\right)\amp =\det \left(P_1P_2\cdots P_sB\right) \\ \amp =\det P_1\cdot\det \left(P_2\cdots P_sB\right) \\ \amp =\cdots\\ \amp =\det P_1\cdot \det P_2\cdots \det P_s\cdot\det B\\ \amp =\det \left(P_1P_2\cdots P_s\right)\cdot \det B\\ \amp =\det A\cdot\det B. \end{align*}
- 若 \(A\)不是可逆矩阵，则存在初等矩阵 \(P_1,P_2,\ldots ,P_s\)，使得 \(P_s\cdots P_2P_1A\)为行阶梯形矩阵且至少有一行全为零，于是\begin{equation*} \det\left(P_s\cdots P_2P_1A\right)=0, \end{equation*}根据命题 3.2.11得\begin{equation*} \det P_s\cdots \det P_2\cdot\det P_1\cdot\det A=0. \end{equation*}由于初等矩阵的行列式均非零，所以\begin{equation*} \det A=0. \end{equation*}由\(P_s\cdots P_2P_1A\)至少有一行全为零可知\(P_s\cdots P_2P_1AB\)也至少有一行全为零，因此\begin{equation*} \det \left(P_s\cdots P_2P_1AB\right) =0, \end{equation*}由此推出\begin{equation*} \det P_s\cdots \det P_2\cdot\det P_1\det\left(AB\right) =0. \end{equation*}注意到\(\det P_i\neq 0(1\leq i\leq s)\)，故\begin{equation*} \det \left(AB\right)=0. \end{equation*}因而 \(\det\left(AB\right)=0=\det A\cdot\det B\)。
行列式乘法公式的成立说明矩阵乘法和矩阵行列式这两种运算高度匹配。
例 3.2.13. 利用矩阵乘法求行列式.
设 \(A\)为 \(n\)阶方阵，且 \(AA^T=E_n\)，
- 求 \(\det A\)；
- 若 \(\det A<0\)，求 \(\det \left(E_n+A\right)\)。
解答.
- \begin{equation*} \det A\cdot\det\left(A^T\right)=1. \end{equation*}由于 \(\det\left(A^T\right)=\det A\)，因此\begin{equation*} \left(\det A\right)^2=1, \end{equation*}由此推出\(\det A=1\)或 \(-1\)。
- 由于\(AA^T=E_n\)，所以\begin{equation*} \det \left(E_n+A\right)=\det \left(AA^T+A\right)=\det\left[A\left(A^T+E_n\right)\right]. \end{equation*}于是由定理 3.2.12得\begin{equation} \det \left(E_n+A\right)=\det A\cdot\det\left(A^T+E_n\right).\tag{3.2.5} \end{equation}注意到\begin{equation*} A^T+E_n=A^T+E_n^T=\left(A+E_n\right)^T, \end{equation*}\begin{equation*} \det\left(E_n+A\right)=\det A\cdot\det\left(A+E_n\right), \end{equation*}即\begin{equation*} \left(1-\det A\right)\cdot\det\left(E_n+A\right)=0. \end{equation*}由 \(\det A<0\)知 \(1-\det A>1\)，从而 \(\det\left(E_n+A\right)=0\)。
子节 3.2.3 典型例题
我们来实践一下利用初等变换计算行列式的算法。
例 3.2.14. 行列式的计算.
计算下列行列式：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
2&3&-1&5\\
1&0&2&-3\\
3&4&2&3\\
-4&-1&-6&2
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
解答.
我们的目标是将该行列式通过初等变换化为上三角行列式。为此首先要把第一列中的第二、第三及第四行元素变为零。 如果直接从第一行开始，自上而下进行消法变换，将会出现分数运算，因此我们先将第一行与第二行互换，根据 定理 3.2.2
\begin{equation*}
\mbox{原式}=-\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
2&3&-1&5\\
3&4&2&3\\
-4&-1&-6&2
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
将上式右端行列式第一行乘以 \(-2\) 加到第二行，行列式的值不变，
\begin{equation*}
\mbox{原式}=-\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
3&4&2&3\\
-4&-1&-6&2
\end{vmatrix},
\end{equation*}
再将第一行乘以 \(-3\)加到第三行，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=-\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
0&4&-4&12\\
-4&-1&-6&2
\end{vmatrix},
\end{equation*}
再将第一行乘以 \(4\)加到第四行，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=-\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
0&4&-4&12\\
0&-1&2&-10
\end{vmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mbox{原式}=-4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
0&1&-1&3\\
0&-1&2&-10
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
接下来，要把第二列中的第三及第四行元素变为零。为了避免分数运算，先将第二行与第四行互换，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&1&-1&3\\
0&3&-5&11
\end{vmatrix},
\end{equation*}
将第二行乘以 \(1\)加到第三行，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&0&1&-7\\
0&3&-5&11
\end{vmatrix},
\end{equation*}
再将第二行乘以 \(3\)加到第四行，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&0&1&-7\\
0&0&1&-19
\end{vmatrix},
\end{equation*}
这样，就把行列式的第二列除第一、二行的元素全化为零。从第三行起继续上述步骤，将第三行乘以 \(-1\) 加到第四行，得
\begin{equation*}
\mbox{原式}=4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&0&1&-7\\
0&0&0&-12
\end{vmatrix}=4\times 1\times (-1)\times 1\times (-12)=48.
\end{equation*}
我们详细分析了求行列式的过程，在实际运算过程中，常把上述过程简写为
\begin{align*}
\mbox{原式}&\xlongequal{r_1\leftrightarrow r_2} -\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
2&3&-1&5\\
3&4&2&3\\
-4&-1&-6&2
\end{vmatrix}\xlongequal{\begin{array}{c}
r_2-2r_1\\
r_3-3r_1\\
r_4+4r_1
\end{array}}-\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
0&4&-4&12\\
0&-1&2&-10
\end{vmatrix} \\
& =-4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&3&-5&11\\
0&1&-1&3\\
0&-1&2&-10
\end{vmatrix}\xlongequal{r_2\leftrightarrow r_4}4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&1&-1&3\\
0&3&-5&11
\end{vmatrix}\\
&\xlongequal{\begin{array}{c}
r_3+r_2\\
r_4+3r_2
\end{array}}4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&0&1&-7\\
0&0&1&-19
\end{vmatrix}\xlongequal{r_4-r_3}4\begin{vmatrix}
1&0&2&-3\\
0&-1&2&-10\\
0&0&1&-7\\
0&0&0&-12
\end{vmatrix} \\
&=4\times 1\times (-1)\times 1\times (-12)=48.
\end{align*}
利用初等变换计算行列式时，主要化简矩阵的是消法变换。在使用消法变换的过程中，需要适当选择如何消。
例 3.2.15. 爪形行列式的计算.
设 \(a_i\ne 0,\ 1\le i\le n\)，计算 \(n+1\)阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_0 & b_1 & \cdots & b_n \\
c_1 & a_1 & & \\
\vdots & & \ddots & \\
c_n & & & a_n
\end{vmatrix} .
\end{equation*}
提示.
对于此行列式，直接使用\(a_0\)来消去\(c_1,\dots,c_n\)是不合适的，因为如果这样消，所得矩阵虽然第一列变简单，但其余列都变复杂了。
解答.
将第 \(i+1\) 行乘以 \(-\frac{b_i}{a_i}\) 加到第一行（ \(i=1,2,\ldots ,n\)），得
\begin{equation*}
\mbox{原式}\xlongequal{r_1-\frac{b_i}{a_i}r_{i+1}}\begin{vmatrix}
a_0-\sum\limits_{i=1}^n \frac{b_ic_i}{a_i}& 0 & \cdots & 0 \\
c_1 & a_1 & & \\
\vdots & & \ddots & \\
c_n & & & a_n
\end{vmatrix}=\left(a_0-\sum\limits_{i=1}^n \frac{b_ic_i}{a_i}\right)a_1\cdots a_n.
\end{equation*}
例 3.2.16. 各行（列）的元素和相等的行列式计算.
计算 \(n\)阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x & a & a & \cdots & a\\
a & x & a & \cdots & a\\
a & a & x & \cdots & a\\
\vdots & \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\
a & a & a& \cdots & x
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
提示.
此行列式的多数元素都是\(a\)。如果可以构造出一个全1行，利用这一行进行消法变换，可以很快将行列式化简。
解答.
将第二行、第三行直到第 \(n\) 行都加到第一行，行列式的值不变，
\begin{align*}
\mbox{原式}& = \begin{vmatrix}
(n-1)a+x & (n-1)a+x & (n-1)a+x & \cdots & (n-1)a+x\\
a & x & a & \cdots & a\\
a & a & x & \cdots & a\\
\vdots & \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\
a & a & a& \cdots & x
\end{vmatrix}\\
& =\left[(n-1)a+x\right]\cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
a & x & a & \cdots & a\\
a & a & x & \cdots & a\\
\vdots & \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\
a & a & a& \cdots & x
\end{vmatrix} \\
&\xlongequal{r_i-ar_1} \left[(n-1)a+x\right]\cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & x-a & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & x-a & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0& \cdots & x-a
\end{vmatrix}\\
& = \left[(n-1)a+x\right]\cdot \left(x-a\right)^{n-1}.
\end{align*}
作为一种总结，我们不加证明地给出本节中涉及到的行列式行变换性质对应的列变换性质。
- 互换行列式的两列，行列式变号；
- 若行列式中有相同的两列，则行列式为0；
- 某一列数乘\(c\)，则行列式乘以\(c\)；
- 若行列式中存在全0列，则行列式为0；
- 若行列式中存在成比例的两列，则行列式为0；
- 若\(C\)的第\(r\)列可以拆成\(A\)的第\(r\)列与\(B\)的第\(r\)列的和，且三个矩阵中其它列的元素都对应一样，则\begin{equation*} \det C = \det A+\det B; \end{equation*}
- 列消法变换不改变行列式的值。
子节 3.2.4 行列式的公理化定义与几何意义*
数学定义是我们进行推理演绎的逻辑起点。从不同起点到达我们需要的结论（定理）经过的路径（证明）不一样，难易程度也不一样。虽然有差异，但是，逻辑的自洽性要求：同一个数学对象的不同定义是彼此等价的。
集合和映射是数学中的两大基本术语。代数学中其它术语多数都是利用集合、映射或者两者的组合来进行定义。
当我们利用映射来定义数学术语时，很多情况下映射的具体对应法则难以一次说清楚，或者从对应法则难以直接看出引入此术语的动机或用途，或者过于明确的映射法则会限制一个定义的适用范围和广泛性。此时，数学家们选择的解决方式是：
\begin{equation*}
{\bf \text{规定映射需要满足的所有性质，满足所有需要性质的映射即为所需定义的映射。}}
\end{equation*}
这种定义方式有时也称为公理化定义，定义中列出的性质就是所定义对象的相关公理。
假设我们在一个给定的数域\(\F\)上讨论问题。用\(\mathcal{M}(\F)\)表示数域\(\F\)上所有方阵构成的集合，即
\begin{equation}
\mathcal{M}(\F) =\{A| A\in \F^{n\times n},n\in \Z^+\} = \bigcup_{n\in \Z^+}\F^{n\times n}.\tag{3.2.6}
\end{equation}
则行列式可以理解为从\(\mathcal{M}(\F)\)中方阵到\(\F\)中数的对应关系，即
\begin{equation*}
\det : \mathcal{M}(\F) \to \F
\end{equation*}
一些学者认为(3.1.5)给出的定义不利于初学者理解和掌握行列式的性质。他们选择按照下面的方式引入行列式的定义。
定义 3.2.17. 行列式公理化定义.
定义行列式
\begin{equation*}
\det: \mathcal{M}(\F) \to \F
\end{equation*}
为满足下面4条性质的映射：
- 单位矩阵的行列式为1；
- 交换两行，行列式变为原来的相反数；
- 用常数\(c\)数乘矩阵的某一行，新矩阵行列式为原矩阵行列式的\(c\)倍；
- 若方阵\(C\)的第\(r\)行可以拆成同阶方阵\(A\)的第\(r\)行与\(B\)的第\(r\)行的和，且三个矩阵中其它行的元素都对应一样，则\begin{equation*} \det C = \det A+\det B. \end{equation*}
子节 3.2.1中的结论已经证明了由 定义 3.1.10可以推出 定义 3.2.17中的条件都成。要想证明这两个定义等价，还需要从定义 3.2.17中的条件出发证明定义 3.1.10中的 (3.1.5)公式成立，这一部分留给同学们来思考如何完成。
定义 3.2.17中的条件适合从行列式的几何意义角度来理解：一阶行列式是“有向”线段的长度，二阶行列式是“有向”平行四边形的面积，三阶行列式是“有向”平行六面体的体积。我们这里以二阶行列式为例来说明问题。
用\(M = \begin{pmatrix}a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} \)表示一个一般的2阶方阵。记\(\alpha = (a_1,a_2)\)，\(\beta=(b_1,b_2)\)，则以\(\alpha,\beta\)为坐标可以在坐标平面\(xoy\)中找到两个点\(A\)点和\(B\)点。记坐标原点为\(O\)点，则以线段\(OA,OB\)为邻边可以确定一个平行四边形\(OACB\)，其中点\(C\)为平行四边形的另一个顶点。如下图所示，容易知道点\(C\)的坐标为\((a_1+b_1,a_2+b_2)\)。
平行四边形四个顶点的排列次序有两种方式：按顺时针排列和按逆时针排列。称选定了其中一种排列次序的平行四边形为有向平行四边形。我们约定与二阶行列式\(\det M\) 所对应的平行四边形为有向平行四边形，其方向为\(O\to A\to C\to B\to O\)所确定的方向，并用\(\overrightarrow{OACB}\)来表示这个有向平行四边形。
普通平行四边形（无向平行四边形）和有向平行四边形的主要区别在于面积，普通平行四边形的面积都是大于等于0的实数（线段是平行四边形的退化情况，此时面积为0），而有向四边形的面积有正有负。对于一个非退化的有向平行四边形，记其作为普通平行四边形的面积为\(S(>0)\) 。我们约定：若其方向为逆时针方向，则其面积就定义为\(S\)；若其方向为顺时针方向，则定义其面积为\(-S\)。
图 3.2.18中所示的有向平行四边形\(\overrightarrow{OACB}\)的方向为逆时针方向，相应的其面积是正的。接下来我们针对这种特殊情况，借助下图来说明行列式\(\det M\)与有向平行四边形\(\overrightarrow{OACB}\)的面积相等。
由上图可知，平行四边形\({OACB}\)（蓝色区域）的面积等于整个大矩形的面积减去两个绿色矩形面积后再减去4个红色三角形面积，于是
\begin{align*}
& S_{\overrightarrow{OACB}}=S_{OACB}\\
= & (a_1+b_1)(a_2+b_2) -2 b_1a_2 - 2\times \frac{1}{2} a_1a_2 -2\times \frac{1}{2} b_1b_2 \\
= & a_1b_2 - a_2b_1\\
= & \det M.
\end{align*}
注意我们这里相当于只针对了一个特殊情况说明了行列式等于其对应的有向平行四边形面积。其它情况可以类似讨论，剩余部分的验证留给有兴趣的读者。
我们从有向四边形面积的角度来解释 定义 3.2.17中的四个性质。性质1相当于规定了单位面积，即逆时针方向边长为1的正方形面积为1。以下解释性质2和性质4。
对于矩阵\(M\)，交换其2行后获得的矩阵为\(M'=\begin{pmatrix}b_1 & b_2\\ a_1 & a_2 \end{pmatrix} \)。注意到\(\det M'\)对应的有向四边形为\(\overrightarrow{OBCA}\)，其方向恰好和\(\det M\)所对应的有向四边形\(\overrightarrow{OACB}\)方向相反。根据我们对有向四边形面积的约定，可知\(\det M'=-\det M\)，即性质2成立。
对于性质4，我们借助下面的图示建立其几何解释。设矩阵\(M\)的第一行\(\alpha\)可以拆分成两行和\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)。记分别以\(\alpha_1,\alpha_2\)为第一行、\(\beta\)为第二行的矩阵为\(M_1\)和\(M_2\)。记以\(\alpha_1\)为坐标的点为\(A_1\)，以\(\alpha_2\)为坐标的点为\(A_2\)。如 图 3.2.20.(a)所示，\(\det M_1\)对应的是红色四边形\(\overrightarrow{OA_1C_1B}\)，\(\det M_2\)对应绿色四边形\(\overrightarrow{OA_2C_2B}\)。注意到三个平行四边形的方向都是逆时针方向，所以它们的面积都是正的。
将绿色四边形\(\overrightarrow{OA_2C_2B}\)平移到 图 3.2.20.(b)中的位置，注意到两个橙色三角形的是全等三角形，所以可知
\begin{equation*}
S_{\overrightarrow{OACB}} = S_{\overrightarrow{OA_1C_1B}}+S_{\overrightarrow{OA_2C_2B}}
\end{equation*}
对应到行列式，即\(\det M=\det M_1+\det M_2\)，性质4成立。
请同学们自行思考性质3对应的几何意义。
3阶行列式的几何意义是有向平行6面体体积，下面的程序片段可以演示3个从原点出发的有向线段生成的平行六面体，同学们可以旋转程序产生的立体图形，从不同角度观察。
有兴趣的同学可以尝试结合立体图形理解3阶行列式的几何意义。
练习 3.2.5 练习
基础题.
1.
设 \(n\)是大等于\(2\)的整数，证明：在 \(1,2,\ldots,n\)所构成的全部排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 \(\frac{n!}{2}\)个。
2.
设\(n\)阶行列式\(\det A\)的值为\(d\)，
- 将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\((-1)^{i+j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
- 将\(\det A\)的每个元素\(a_{ij}\)换成\(2^{i-j}a_{ij}\)，得到的行列式的值是多少？
- 将\(\det A\)的第一行移到最后一行，其余各行依次保持原来次序向上移动，得到的行列式的值是多少？
- 从\(\det A\)的第\(2\)列开始每列加上它前面的一列，同时将第\(1\)列加上\(\det A\)的第\(n\)列，得到的行列式的值是多少？
3.
设\(A\)为\(m\)阶方阵，\(B\)为\(n\)阶方阵，\(C\)为\(m\times n\)矩阵。若\(\det \begin{pmatrix}
A&C\\0&B
\end{pmatrix}=d\)，求\(\det \begin{pmatrix}
0&B\\A&C
\end{pmatrix}\)。
4.
设\(X,Y,Z_2,Z_3,Z_4\)是4维列向量，
\begin{equation*}
A=(X,Z_2,Z_3,Z_4),\ B=(Y,Z_2,Z_3,Z_4).
\end{equation*}
已知\(\det A=5,\ \det B=2\)，计算\(\det (A+B)\)。
5.
证明：
- \(\begin{vmatrix} a_1-b_1&b_1-c_1&c_1-a_1\\ a_2-b_2&b_2-c_2&c_2-a_2\\ a_3-b_3&b_3-c_3&c_3-a_3 \end{vmatrix}=0\)；
- \(\begin{vmatrix} a_1+b_1&b_1+c_1&c_1+a_1\\ a_2+b_2&b_2+c_2&c_2+a_2\\ a_3+b_3&b_3+c_3&c_3+a_3 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\)。
6.
设 \(c_1,c_2,c_3\)是多项式 \(f(x)=x^3+px+q\)的根，计算三阶行列式
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
c_1&c_2&c_3\\
c_3&c_1&c_2\\
c_2&c_3&c_1
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
7.
计算下列行列式：
- \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 0& -1& 2\\ 1& 2& 2& 1\\ 3& 4& 2& 5\\ 4& 2& 2& 11 \end{vmatrix};\)
- \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3 \end{vmatrix};\)
- \(\displaystyle \begin{vmatrix} a_1-b_1& a_1-b_2& \cdots& a_1-b_n\\ a_2-b_1& a_2-b_2& \cdots& a_2-b_n\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_n-b_1& a_n-b_2& \cdots& a_n-b_n \end{vmatrix};\)
- \(\begin{vmatrix} a_1& a_2& a_3& \cdots& a_{n-1}& a_n\\ 1& -1& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& 2& -2& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& n-1& 1-n \end{vmatrix}\)。
提高题.
8.
设 \(n\)是大等于\(2\)的整数， \(\Gamma\)为形如下列形式的 \(n\) 阶方阵构成的集合：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为 \(1\)。试求 \(\sum\limits_{A\in\Gamma}\det A\)。
9.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中 \(a_{ij}=\max\left\{i,j\right\}\)，求 \(\det A\)。
10.
设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}\)，其中 \(a_{ij}=|i-j|\)，求 \(\det A\)。
11.
设 \(f_0(x),f_1(x),\ldots ,f_{n-1}(x)\in\Z[x]\)，其中
\begin{equation*}
f_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i,n-1}x^{n-1}, i=0,\ldots ,n-1.
\end{equation*}
记 \(A\)为 \(n\)阶方阵
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n-1}\\
a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\
\vdots&\vdots& &\vdots\\
a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明： 对任意正整数 \(m\)，都有
\begin{equation*}
\left(f_0(m),f_1(m),\ldots ,f_{n-1}(m)\right)|\det A.
\end{equation*}
12.
设 \(n\geq 3\)，计算 \(n\)阶行列式：
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_1+b_1c_1&a_2+b_1c_2&\cdots&a_n+b_1c_n\\
a_1+b_2c_1&a_2+b_2c_2&\cdots&a_n+b_2c_n\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_1+b_nc_1&a_2+b_nc_2&\cdots&a_n+b_nc_n\\
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
13.
挑战题.
14.
在直角坐标平面中，\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)和\(C(x_3,y_3)\)。证明\(\triangle ABC\)的面积为
\begin{equation*}
\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix}
x_1& y_1& 1\\
x_2& y_2& 1\\
x_3& y_3& 1
\end{pmatrix}\right|.
\end{equation*}
15.
设\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)是直角坐标平面上的两个不同点。证明由\(AB\)所确定直线的方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x & y& 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
