定义 1.4.1.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)， 且\(\deg f(x)\ge 1\)。若\(f(x)\) 能表为两个次数较小的多项式之积，则称 \(f(x)\)是\(\mathbb{F}\)上的可约多项式， 否则称为\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
节 1.4 标准分解式
我们知道每一个大于1的整数\(n\) 都可以分解为有限个素数的乘积，并且在不考虑这些素数排列顺序前提下，这种分解式唯一。这个结论也被称为算术基本定理。
多项式也有类似的结论，本节中我们将介绍这部分理论。我们面临的第一个问题是如何将素数的概念推广到多项式中。
子节 1.4.1 不可约多项式
多项式中的不可约多项式可类比于整数中的素数（或质数），可约多项式则可类比于合数。
由定义可知\(\mathbb{F}\)上不可约多项式\(f(x)\)的因式只能是\(\mathbb{F}\)上非零常数\(c\)及\(c f(x)\)。
注意到定义中有前提条件\(\deg f(x)\ge 1\)，因此我们不讨论常数多项式的可约/不可约性，只有次数大于等于1的多项式才有可约/不可约的区分。容易知道，一次多项式是最典型的不可约多项式。
另一个需要注意的事实是：多项式是否可约与系数域\(\F\)的选择有很大关系。举例来说，\(x^2-2\)即可以看成是\(\Q[x]\)中的多项式，也可以看成是\(\R[x]\)中的多项式。当我们在\(\R[x]\)中讨论问题时，\(x^2-2\)可以被分解为
\begin{equation*}
x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
\end{equation*}
因此\(x^2-2\)是实数域\(\R\)上的可约多项式。而我们知道\(\sqrt{2}\notin \Q\)，所以\(x^2-2\)是有理数域\(\Q\)上的不可约多项式。
不可约多项式有很多类似于素数的好性质，我们在这里列出部分。
命题 1.4.2.
设\(f(x)\)，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，且\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，则
\begin{equation*}
\text{ 或者}(p(x), f(x)) = 1\text{ 或者}p(x)|f(x)\text{。}
\end{equation*}
证明.
设\(d(x)=\left(f(x),p(x)\right)\)，则
\begin{equation*}
d(x)| p(x).
\end{equation*}
因为\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，所以
\begin{equation*}
d(x)=1\text{或}d(x)=cp(x),
\end{equation*}
其中\(c\)为\(p(x)\)首项系数的倒数。对于后者，\(p(x)| f(x)\)。因此结论成立。
命题 1.4.3.
设\(f(x),g(x),p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上多项式，\(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，且\(p(x)| f(x) g(x)\)，则
\begin{equation*}
\text{ 或者 }p(x)| f(x)\text{ 或者 }p(x)|g(x)\text{。}
\end{equation*}
证明.
上述两个命题中条件\(p(x)\) 不可约特别重要。 命题 1.4.3也可以叙述为：若不可约多项式\(p(x)\)既不整除\(f(x)\)，也不整除\(g(x)\)，则\(p(x)\)不整除\(f(x)g(x)\)。
推论 1.4.4.
设\(f_1(x),\ldots, f_m(x)\in \mathbb{F}[x]\)，且 \(p(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式，若
\begin{equation*}
p(x)| f_1(x)\cdots f_m(x),
\end{equation*}
则存在\(i\)，\(1\le i\le m\)，使得
\begin{equation*}
p(x)| f_i (x).
\end{equation*}
子节 1.4.2 标准分解式
下面我们来证明这一节的主要定理。
定理 1.4.5. 多项式唯一分解定理.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)，且\(\deg f(x)\ge1\)，则
- \(f(x)\)可以分解为不可约多项式的乘积，即\(f(x) = p_1(x)\cdots p_s(x)\)，其中\(p_i(x)\)是\(\mathbb{F}\)上不可约多项式\((i =1, \ldots, s)\)；
- 若\(f(x) = p_1(x)\cdots p_s (x) = q_1(x) \cdots q_t (x)\)，其中\(p_i (x)\)，\(q_j (x)\)在\(\mathbb{F}\)上不可约\((i = 1, \ldots, s; j = 1,\ldots, t)\)，则必有\(s = t\)，且经过适当调换因式顺序后，\(p_i (x)\)与\(q_i (x)\)相伴\((i = 1,\ldots, s)\)。
证明.
-
对\(f(x)\)的次数用数学归纳法。当\(\deg f(x)=1\)时，\(f(x)\)在数域\(\F\)上不可约，结论显然成立。设对于数域\(\F\)上次数小于\(n\)的多项式结论成立，即次数小于\(n\)的多项式都可分解成有限个\(\F\)上不可约多项式的乘积。现考虑\(\deg f(x)=n\)的情形。若\(f(x)\)不可约，则结论自然成立。若\(f(x)\)可约，则存在\(f_1(x),f_2(x)\in\F[x]\)，使得\begin{equation*} f(x)=f_1(x)f_2(x), \end{equation*}且\(f_1(x),f_2(x)\)的次数都小于\(n\)。由归纳假设，\(f_1(x),f_2(x)\)均可分解为\(\F\)上有限个不可约多项式的乘积，它们之积就是\(f(x)\)。
- 对不可约因子个数\(s\)用数学归纳法。若\(s=1\)，则\(f(x)=p_1(x)\)是数域\(\F\)上不可约多项式。根据定义，有\(s=t=1\)且\begin{equation*} f(x)=p_1(x)=q_1(x). \end{equation*}设对不可约因式个数小于\(s\)的多项式结论成立。根据已知条件，有\begin{equation*} p_1(x)| q_1(x)\cdots q_t(x), \end{equation*}由推论 1.4.4 可知必存在某个\(i\)，不妨设\(i=1\)，使得\(p_1(x)| q_1(x)\)。注意到\(p_1(x),q_1(x)\)均为\(\F\)上不可约多项式，故存在\(0\neq c_1\in\F\)，使得\begin{equation*} q_1(x)=c_1p_1(x). \end{equation*}因此\begin{equation*} p_2(x)\cdots p_s(x)=c_1q_2(x)\cdots q_t(x). \end{equation*}上式左边是\(s-1\)个不可约多项式的乘积，由归纳假设，\begin{equation*} s-1=t-1, \end{equation*}即\(s=t\)且适当排列次数之后，\(p_i(x)\)与\(q_i(x)\)相伴\((i=2,\ldots ,n)\)，结论成立。
在多项式\(f(x)\)的分解式中，提取每一个不可约因式的首项系数，使它们变成首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是\(f(x)\)的分解式可以整理为
\begin{equation}
c p_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)\cdots p_m^{e_m}(x),\tag{1.4.1}
\end{equation}
我们举一个具体的例子。请大家注意，由于多项式的可约/不可约性与数域有关，多项式的标准分解式也与数域有关。
例 1.4.6.
分别求多项式 \(f(x)=6(x^8 - 4x^4+4)\)分别在\(\Q\)、\(\R\)和\(\C\)上的多项式的标准分解式。
解答.
\(f(x)\)在\(\Q\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=6(x^4-2)^2;
\end{equation*}
\(f(x)\)在\(\R\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=6(x^2+\sqrt{2})^2(x+\sqrt[4]{2})^2(x-\sqrt[4]{2})^2;
\end{equation*}
\(f(x)\)在\(\C\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=6(x+\sqrt[4]{2}i)^2(x-\sqrt[4]{2}i)^2(x+\sqrt[4]{2})^2(x-\sqrt[4]{2})^2.
\end{equation*}
Sage中求标准分解式可以使用factor命令，请注意不同数域对结果的影响。
请读者自行将第二行命令中的“QQ”分别更改为“RR”（实数域）和“CC”（复数域），并对比不同的结果。
在下面的命题中，我们总结了一些标准分解式的常用用途。当知道了标准分解式后，多项式的最大公因式、最小公倍式等可以很容易获得。
命题 1.4.7.
设
\begin{equation*}
f(x)= p_1^{a_1}(x)p_2^{a_2}(x)\cdots p_m^{a_m}(x),\quad g(x)= p_1^{b_1}(x)p_2^{b_2}(x)\cdots p_m^{b_m}(x),
\end{equation*}
其中\(a_i\ge 0\)，\(b_i\ge 0\)，\(a_i+b_i>0\) \((i=1,2,\ldots,m)\)，\(p_i(x)\)是首一的两两互素不可约多项式，则
- \(f(x)g(x)=p_1^{c_1}(x)p_2^{c_2}(x)\cdots p_m^{c_m}(x)\)，\(c_i=a_i+b_i\)，\((i=1,2,\ldots,m)\)；
- \((f(x),g(x))=p_1^{d_1}(x)p_2^{d_2}(x)\cdots p_m^{d_m}(x)\)，\(d_i=\min\{a_i,b_i\}\)，\((i=1,2,\ldots,m)\)；
- \([f(x),g(x)]=p_1^{e_1}(x)p_2^{e_2}(x)\cdots p_m^{e_m}(x)\)，\(e_i=\max\{a_i,b_i\}\)，\((i=1,2,\ldots,m)\)；
- \([f(x),g(x)](f(x),g(x))=f(x)g(x)\)；
- \(f(x)|g(x)\Leftrightarrow a_i\le b_i (i=1,2,\ldots,m)\)。
例 1.4.8.
设\(f(x),g(x)\in \F[x]\)，证明：\(f(x)| g(x)\)的充分必要条件是\(f^2(x)| g^2(x)\)。
解答.
必要性：因\(f(x)| g(x)\)，所以存在\(h(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
g(x)=f(x)h(x).
\end{equation*}
两边同时平方，则存在\(h^2(x)\in\F[x]\)，使得
\begin{equation*}
g^2(x)=f^2(x)h^2(x).
\end{equation*}
因此\(f^2(x)| g^2(x)\)。
充分性：当\(\deg f(x)\leq 0\)或\(\deg g(x)\leq 0\)，即\(f(x)\)或\(g(x)\)为常数时，结论显然成立。不妨设\(\deg f(x)>0\)且\(\deg g(x)>0\)。设\(f(x),g(x)\)公共标准分解为（可适当乘以一些0次项）
\begin{gather*}
f(x)=ap_1^{a_1}(x)\cdots p_m^{a_m}(x), \\
g(x)=bp_1^{b_1}(x)\cdots p_m^{b_m}(x),
\end{gather*}
其中\(a_i\ge 0\)，\(b_i\ge 0\)，\(a_i+b_i>0\) \((i=1,\ldots,m)\)，\(p_i(x)\)是首一的两两互素不可约多项式，则
\begin{gather*}
f^2(x)=a^2p_1^{2a_1}(x)\cdots p_m^{2a_m}(x), \\
g^2(x)=b^2p_1^{2b_1}(x)\cdots p_m^{2b_m}(x).
\end{gather*}
因为\(f^2(x)| g^2(x)\)，所以\(2a_i\leq 2b_i\)，由此推出\(a_i\leq b_i(1\leq i\leq m)\)。因此\(f(x)| g(x)\)。
最后需要提醒大家，虽然标准分解式理论上很完美，但对一般多项式而言，获得其精确标准分解式本身是较为困难的。事实上，理论上对于有理系数多项式的因式分解已经找到了较为成熟的算法，如由A. K. Lenstra, H. W. Lenstra Jr. 和 L. Lovász 在文章Factoring polynomials with rational coefficients, Mathematische Annalen 261 (4) (1982) 515–534 中提出的算法；而实系数/复系数多项式的标准分解式通常是用数值方法获得的近似解。有兴趣的同学可以自行搜索相关文献。
练习 1.4.3 练习
基础题.
1.
设\(p(x),f(x)\in\F[x],m\in\Z^+\)。证明：若\(p(x)\)在\(\F\)上不可约且\(p(x)| f^m(x)\)，则\(p(x)| f(x)\)。
2.
设\(p(x)\in\F[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x)\in\F[x]\)，有\(p(x)| f(x)\)或\(\left(p(x),f(x)\right)=1\)，那么\(p(x)\)是数域\(\F\)上的不可约多项式。
3.
设\(p(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg p(x)>0\)。证明：如果对任意的\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，由\(p(x)\left|f(x)g(x)\right.\)可推出\(p(x)\left|f(x)\right.\)或\(p(x)\left|g(x)\right.\)，那么\(p(x)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的不可约多项式。
4.
试分别在复数域、实数域上写出下列多项式的标准分解式。
- \(f(x)=x^3-1\)；
- \(g(x)=x^4+1\)。
5.
设\(f(x),g(x)\)是\(\mathbb{F}[x]\)中次数大于0的多项式，\(m\in\mathbb{Z}^+\)，试用标准分解式证明：
\begin{equation*}
\left(f^m(x),g^m(x)\right)=\left(f(x),g(x)\right)^m.
\end{equation*}
提高题.
6.
设\(p(x)\in\F[x]\)，\(f(x)=p(ax+b)\)，其中\(a,b\in\F\)且\(a\neq 0\)。证明：\(p(x)\)在\(\F\)上不可约的充分必要条件是\(f(x)\)在\(\F\)上不可约。
7.
设\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\)是数域\(\F\)上不可约\(n\)次多项式，且\(a_0\neq 0\)。证明：\(\widetilde{f}(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n\)也是\(\F\)上不可约多项式。
8.
设\(f(x)\in\mathbb{F}[x]\)且\(\deg f(x)>0\)，证明下列命题等价：
- \(f(x)\)与数域\(\mathbb{F}\)上某个不可约多项式的正整数次幂相伴；
- \(\forall g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，有\(\left(f(x),g(x)\right)=1\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| g^m(x)\)；
- 在\(\mathbb{F}[x]\)中，从\(f(x)| g(x)h(x)\)可以推出\(f(x)| g(x)\)或者存在\(m\in\mathbb{Z}^+\)使得\(f(x)| h^m(x)\)。
9.
设\(f_1(x),f_2(x),g_1(x),g_2(x)\in\mathbb{F}[x]\)，满足\(\left(f_i(x),g_j(x)\right)=1,\forall i,j=1,2\)，证明：
\begin{equation*}
\left(f_1(x)g_1(x),f_2(x)g_2(x)\right)=\left(f_1(x),f_2(x)\right)\left(g_1(x),g_2(x)\right).
\end{equation*}
10.
设 \(f(x),g(x)\in\F[x]\)且\(f(x)g(x)\neq 0\)。证明：存在自然数\(N\)，使得当\(n_1,n_2>N\)时，有
\begin{equation*}
(f^{n_1}(x),g(x))=(f^{n_2}(x),g(x)).
\end{equation*}
