矩阵相似的其它相似标准型

\tikzset n o d e s t y l e s p / . s t y l e = d r a w, c i r c l e, m i n i m u m s i z e = 1 c m, n o d e s t y l e g e / . s t y l e = c i r c l e, m i n i m u m s i z e = 1 c m, a r r o w s t y l e m u l / . s t y l e = d r a w, s l o p e d, m i d w a y, f i l l = w h i t e, a r r o w s t y l e p l u s / . s t y l e = m i d w a y, s l o p e d, f i l l = w h i t e,

节 7.10 矩阵相似的其它相似标准型

根据代数学基本定理，任意一个复系数多项式在复数域上都可以分解为一次因式的乘积。这个结论在理论上非常完美，但在实际应用中，获得一个多项式的标准分解式是相对困难的，进而获得初等因子组和Jordan标准型都是相对困难的。相对于初等因子组，矩阵的不变因子组获得是相对容易的。对应于不变因子组，本节的第一小节将介绍另一种常用的相似标准型，即Frobenius标准型。

除此之外，在一些实际问题或理论分析中，讨论问题的数域可能不是复数域，此时我们需要另一种相似标准型，即广义Jordan标准型。

子节 7.10.1 Frobenius标准型/有理标准型

我们先来介绍一种特殊矩阵，这种矩阵可以与任意一个首1多项式相对应。

定义 7.10.1.

设

f (λ) = λ^{r} + a_{r - 1} λ^{r - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \in F [λ]

且

r \geq 1

，称矩阵

(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{1} \\ 0 & 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 & - a_{r - 2} \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - a_{r - 1} \end{matrix})

为关于

f (λ)

的Frobenius块（或关于

f (λ)

的友阵），记为

F (f (λ))

。

引理 7.10.2.

Frobenius块矩阵

F (f (λ))

的行列式因子组和不变因子组均为

(1, \dots, 1, f (λ)),

其中有

r - 1

个

1

。

证明.

定理 7.10.3.

Frobenius块矩阵

(\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{1} \\ 0 & 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 & - a_{r - 2} \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - a_{r - 1} \end{matrix})

的特征多项式和极小多项式都是

f (λ) = λ^{r} + a_{r - 1} λ^{r - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0},

即

χ_{F (f (λ))} (λ) = m_{F (f (λ))} (λ) = f (λ) .

定理 7.10.4.

设

A \in F^{n \times n}

的不变因子组为

(1, \dots, 1, d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{k} (λ)),

其中

\deg d_{i} (λ) = m_{i} > 0

，则

A

相似于下列分块对角阵

\begin{matrix} (7.10.1) & F = (\begin{matrix} F (d_{1} (λ)) \\ F (d_{2} (λ)) \\ ⋱ \\ F (d_{k} (λ)) \end{matrix}) . \end{matrix}

证明.

称 (7.10.1)中的

F

为

A

的 Frobenius标准形或有理标准形。

定理 7.10.5.

设数域

F

上

n

阶矩阵

A

的不变因子为

(1, \dots, 1, d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{k} (λ)),

则

A

的极小多项式为

m_{A} (λ) = d_{k} (λ) .

证明.

子节 7.10.2 Frobenius标准型与空间分解

*** 待补充 ***

子节 7.10.3 广义Jordan标准型

不变因子组与矩阵所属的数域无关，而初等因子因为涉及到因式分解，与讨论问题所在的数域有密切联系。在一些实际问题或理论分析中，使用的数域可能不是

C

，因此有时我们需要在一般的数域

F

上讨论问题。

设

A (λ)

是数域

F

上的

m \times n

阶

λ

-矩阵，

r (A (λ)) = r

。将

A (λ)

的不变因子

g_{1} (λ), \dots, g_{r} (λ)

在

F

上分解为首一的不可约多项式之积

\begin{matrix} (7.10.2) & \begin{matrix} g_{1} (λ) = p_{1}^{e_{11}} (λ) p_{2}^{e_{12}} (λ) \dots p_{t}^{e_{1 t}} (λ), \\ g_{2} (λ) = p_{1}^{e_{21}} (λ) p_{2}^{e_{22}} (λ) \dots p_{t}^{e_{2 t}} (λ), \\ \dots \dots \\ g_{r} (λ) = p_{1}^{e_{r 1}} (λ) p_{2}^{e_{r 2}} (λ) \dots p_{t}^{e_{r t}} (λ), \end{matrix} \end{matrix}

其中

p_{1} (λ), \dots, p_{t} (λ)

是首一的两两互素的不可约多项式，

e_{i j} \geq 0

。

分解式 (7.10.2) 中满足

e_{i j} > 0

的

p_{j}^{e_{i j}} (λ)

称为

A (λ)

在数域

F

上的一个广义初等因子，

A (λ)

的全部广义初等因子（相同的必须按出现的次数计算）构成的多重集称为

A (λ)

的广义初等因子组。

n

阶数字矩阵

A \in F^{n \times n}

的特征矩阵

λ E - A

在数域

F

上的广义初等因子称为

A

在数域

F

上的广义初等因子；

A

的特征矩阵

λ E - A

的初等因子组称为

A

在数域

F

上的广义初等因子组。

由定义可知数域

C

上的广义初等因子（组）就是初等因子（组）。

引理 7.10.6.

设

p (λ)

是数域

F

上的

m

次首一不可约多项式，

F (p (λ))

是关于

p (λ)

的Frobenius块。令

C = (\begin{array}{lc} 0 & 1 \\ 0_{(m - 1) \times (m - 1)} & 0 \end{array})

是

m

阶方阵，则

e m

阶方阵

\begin{matrix} (7.10.3) & J (p^{e} (λ)) = (\begin{matrix} F (p (λ)) \\ C & F (p (λ)) \\ ⋱ & ⋱ \\ C & F (p (λ)) \end{matrix}) \end{matrix}

的行列式因子和不变因子都是

(1, \dots, 1, p^{e} (λ))

，数域

F

上的广义初等因子组为

{p^{e} (λ)}

。

证明.

(7.10.3) 中的矩阵

J (p^{e} (λ))

称为关于

p^{e} (λ)

的广义Jordan块。

定理 7.10.7.

设

A

在数域

F

上的广义初等因子组为

{p_{1}^{e_{1}} (λ), p_{2}^{e_{2}} (λ), \dots, p_{m}^{e_{m}} (λ)},

则

A

相似于分块对角矩阵

\begin{matrix} (7.10.4) & J = (\begin{matrix} J (p_{1}^{e_{1}} (λ)) \\ J (p_{2}^{e_{2}} (λ)) \\ ⋱ \\ J (p_{m}^{e_{m}} (λ)) \end{matrix}) . \end{matrix}

证明.

(7.10.4)中的矩阵

J

称为

A

在数域

F

上的广义Jordan标准形。

给定数域

F

时，

A

的广义初等因子组唯一确定，所以在不考虑广义Jordan块的排列次序的意义下，

A

的广义Jordan标准型是唯一确定的。易知复数域

C

上矩阵

A

的广义Jordan标准型就是

A

的Jordan标准型。

练习 7.10.4 练习

基础题.

1.

设

Q

上的

10

阶方阵

A

的不变因子为

1, 1, \dots, 1, (λ - 2)^{2} (λ^{2} + 2), (λ - 2)^{2} (λ^{2} + 2)^{2},

写出

A

的Frobenius标准形。

2.

写出下列矩阵

A

在Frobenius标准形。

(1)

(\begin{matrix} 3 & 2 & - 5 \\ 2 & 6 & - 10 \\ 1 & 2 & - 3 \end{matrix})

；(2)

(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & - 5 \\ 0 & 0 & 2 & 6 & - 10 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix})

。

3.

设

A

的不变因子组为

1, \dots, 1, (λ - 1) (λ^{2} + 1), (λ - 1)^{3} (λ^{2} - 2) (λ^{2} + 1)^{2}

，分别在

Q

上和

C

上写出

A

的广义Jordan标准形。

提高题.

4.

设

A

是数域

F

上的

n

阶方阵，证明：若

\deg m_{A} (λ) = n

，则

A

的Frobenius标准形是一个Frobenius块。

5.

设

A = (\begin{matrix} F ((λ + 1)^{2} (λ^{2} + λ + 1)) & 0 \\ 0 & F ((λ + 1) (λ^{2} + λ + 1)^{2}) \end{matrix}),

B = (\begin{matrix} F ((λ + 1)^{2}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & F (λ^{2} + λ + 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & F (λ + 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & F ((λ^{2} + λ + 1)^{2}) \end{matrix}),

证明：

A

相似于

B

。

挑战题.

6.

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