矩阵相似的其它相似标准型

节 7.10 矩阵相似的其它相似标准型

根据代数学基本定理，任意一个复系数多项式在复数域上都可以分解为一次因式的乘积。这个结论在理论上非常完美，但在实际应用中，获得一个多项式的标准分解式是相对困难的，进而获得初等因子组和Jordan标准型都是相对困难的。相对于初等因子组，矩阵的不变因子组获得是相对容易的。对应于不变因子组，本节的第一小节将介绍另一种常用的相似标准型，即Frobenius标准型。

除此之外，在一些实际问题或理论分析中，讨论问题的数域可能不是复数域，此时我们需要另一种相似标准型，即广义Jordan标准型。

子节 7.10.1 Frobenius标准型/有理标准型

我们先来介绍一种特殊矩阵，这种矩阵可以与任意一个首1多项式相对应。

定义 7.10.1.

设\(f(\lambda)=\lambda^r+a_{r-1}\lambda^{r-1}+\cdots +a_1\lambda+a_0\in\mathbb{F} [\lambda ]\)且\(r\geq 1\)，称矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0& -a_{r-2} \\ 0&\cdots& 0 &1&-a_{r-1}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}

为关于\(f(\lambda)\)的Frobenius块（或关于\(f(\lambda)\)的友阵），记为\(F(f(\lambda))\)。

引理 7.10.2.

Frobenius块矩阵\(F(f(\lambda))\)的行列式因子组和不变因子组均为

\begin{equation*} \left( 1,\dots ,1,f(\lambda) \right), \end{equation*}

其中有\(r-1\)个\(1\)。

证明.

类似于引理 7.8.13的证明，简记\(F(f(\lambda))= F\)。则在\(F\)的特征矩阵\(\lambda E_r -F\)中，删除第1行和最后1列然后取行列式，可得\(\lambda E_r -F\)一个\(r-1\)阶子式是非0常数\((-1)^{r-1}\)。于是\(F\)的\(r-1\)阶行列式因子式\(D_{r-1}(\lambda)=1\)。再根据命题 7.7.13，对\(i=1,\dots, r-2\)，\(D_{i}(\lambda)=1\)。最后，\(D_r(\lambda)=\det(\lambda E_r -F) = f(\lambda)\)，所以 \(F\)的行列式因子组为\(\left(1,\dots ,1,f(\lambda)\right)\)，其中有\(r-1\)个\(1\)。

定理 7.10.3.

Frobenius块矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0& -a_{r-2} \\ 0&\cdots& 0 &1&-a_{r-1}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}

的特征多项式和极小多项式都是

\begin{equation*} f(\lambda)=\lambda^r+a_{r-1}\lambda^{r-1}+\cdots +a_1\lambda+a_0, \end{equation*}

即

\begin{equation*} \chi_{F(f(\lambda))}(\lambda)=m_{F(f(\lambda))}(\lambda)=f(\lambda). \end{equation*}

证明.

此定理的结论是定理 7.8.17和引理 7.10.2的直接推论。

定理 7.10.4.

设\(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)的不变因子组为

\begin{equation*} \left(1,\dots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)\right), \end{equation*}

其中\(\deg d_i(\lambda)=m_i>0\)，则\(A\)相似于下列分块对角阵

\begin{equation} F=\begin{pmatrix} F(d_1(\lambda))&&&\\&F(d_2(\lambda))&&\\&&\ddots&\\&&&F(d_k(\lambda)) \end{pmatrix}.\tag{7.10.1} \end{equation}

证明.

称 (7.10.1)中的\(F\)为\(A\)的 Frobenius标准形或有理标准形。

定理 7.10.5.

设数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶矩阵\(A\)的不变因子为

\begin{equation*} \left(1,\dots ,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\dots ,d_k(\lambda)\right), \end{equation*}

则\(A\)的极小多项式为

\begin{equation*} m_A(\lambda)=d_k(\lambda). \end{equation*}

证明.

子节 7.10.2 广义Jordan标准型

不变因子组与矩阵所属的数域无关，而初等因子因为涉及到因式分解，与讨论问题所在的数域有密切联系。在一些实际问题或理论分析中，使用的数域可能不是 \(\C\)，因此有时我们需要在一般的数域\(\mathbb{F}\)上讨论问题。

设\(A(\lambda)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(m\times n\)阶\(\lambda\)-矩阵，\(r(A(\lambda))=r\)。将\(A(\lambda)\)的不变因子\(g_1(\lambda),\dots ,g_r(\lambda)\)在\(\mathbb{F}\)上分解为首一的不可约多项式之积

\begin{equation} \begin{array}{c} g_1(\lambda)=p_1^{e_{11}}(\lambda)p_2^{e_{12}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{1t}}(\lambda),\\ g_2(\lambda)=p_1^{e_{21}}(\lambda)p_2^{e_{22}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{2t}}(\lambda),\\ \cdots\cdots\\ g_r(\lambda)=p_1^{e_{r1}}(\lambda)p_2^{e_{r2}}(\lambda)\cdots p_t^{e_{rt}}(\lambda), \end{array}\tag{7.10.2} \end{equation}

其中\(p_1(\lambda),\cdots ,p_t(\lambda)\)是首一的两两互素的不可约多项式，\(e_{ij}\geq 0\)。

分解式 (7.10.2) 中满足\(e_{ij}>0\)的\(p_j^{e_{ij}}(\lambda)\)称为\(A(\lambda)\)在数域\(\mathbb{F}\)上的一个广义初等因子， \(A(\lambda)\)的全部广义初等因子（相同的必须按出现的次数计算）构成的多重集称为\(A(\lambda)\)的广义初等因子组。

\(n\)阶数字矩阵\(A\in \F^{n\times n}\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)在数域\(\mathbb{F}\)上的广义初等因子称为\(A\)在数域\(\mathbb{F}\)上的广义初等因子；\(A\)的特征矩阵\(\lambda E-A\)的初等因子组称为\(A\)在数域\(\mathbb{F}\)上的广义初等因子组。

由定义可知数域\(\C\)上的广义初等因子（组）就是初等因子（组）。

引理 7.10.6.

设\(p(\lambda)\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(m\)次首一不可约多项式，\(F(p(\lambda))\)是关于\(p(\lambda)\)的Frobenius块。令\(C=\left(\begin{array}{lc} 0&1\\0_{(m-1)\times (m-1)}&0 \end{array}\right)\)是\(m\)阶方阵，则\(em\)阶方阵

\begin{equation} J(p^e(\lambda))=\begin{pmatrix} F(p(\lambda))&&&\\ C&F(p(\lambda)) &&\\&\ddots&\ddots&\\&&C&F(p(\lambda)) \end{pmatrix}\tag{7.10.3} \end{equation}

的行列式因子和不变因子都是\(\left(1,\dots ,1,p^e(\lambda)\right)\)，数域\(\mathbb{F}\)上的广义初等因子组为\(\{p^e(\lambda)\}\)。

证明.

(7.10.3) 中的矩阵\(J(p^e(\lambda))\)称为关于\(p^e(\lambda)\)的广义Jordan块。

定理 7.10.7.

设\(A\)在数域\(\mathbb{F}\)上的广义初等因子组为

\begin{equation*} \left\{ p_1^{e_1}(\lambda),p_2^{e_2}(\lambda),\dots ,p_m^{e_m}(\lambda)\right\}, \end{equation*}

则\(A\)相似于分块对角矩阵

\begin{equation} J=\begin{pmatrix} J(p_1^{e_1}(\lambda))&&&\\&J(p_2^{e_2}(\lambda))&&\\&&\ddots&\\&&&J(p_m^{e_m}(\lambda)) \end{pmatrix}.\tag{7.10.4} \end{equation}

证明.

(7.10.4)中的矩阵\(J\)称为\(A\)在数域\(\F\)上的广义Jordan标准形。

给定数域\(\F\)时，\(A\)的广义初等因子组唯一确定，所以在不考虑广义Jordan块的排列次序的意义下，\(A\)的广义Jordan标准型是唯一确定的。易知复数域\(\C\)上矩阵\(A\)的广义Jordan标准型就是\(A\)的Jordan标准型。

练习 7.10.3 练习

基础题.

1.

设\(\mathbb{Q}\)上的\(10\)阶方阵\(A\)的不变因子为

\begin{equation*} 1,1,\cdots ,1,(\lambda-2)^2(\lambda^2+2),(\lambda-2)^2(\lambda^2+2)^2, \end{equation*}

写出\(A\)的Frobenius标准形。

2.

写出下列矩阵\(A\)在Frobenius标准形。

(1)\(\begin{pmatrix} 3&2&-5\\2&6&-10\\1&2&-3 \end{pmatrix}\)；(2) \(\begin{pmatrix} 1&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&3&2&-5\\ 0&0&2&6&-10\\ 0&0&1&2&-3 \end{pmatrix}\)。

3.

设\(A\)的不变因子组为\(1,\cdots ,1,(\lambda-1)(\lambda^2+1),(\lambda-1)^3(\lambda^2-2)(\lambda^2+1)^2\)，分别在\(\mathbb{Q}\)上和\(\mathbb{C}\)上写出\(A\)的广义Jordan标准形。

提高题.

4.

设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵，证明：若\(\deg m_A(\lambda)=n\)，则\(A\)的Frobenius标准形是一个Frobenius块。

5.

设

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} F((\lambda+1)^2(\lambda^2+\lambda+1))&0\\0&F((\lambda+1)(\lambda^2+\lambda+1)^2) \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} F((\lambda+1)^2)&0&0&0\\ 0&F(\lambda^2+\lambda+1)&0&0\\ 0&0&F(\lambda+1)&0\\ 0&0&0&F((\lambda^2+\lambda+1)^2) \end{pmatrix}, \end{equation*}

证明：\(A\)相似于\(B\)。

挑战题.

6.

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