主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

节 2.6 简化阶梯形、线性方程组的解及秩

利用Gauss消元法，我们可以把一个线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵的形式虽然简单，但仍然可以继续化简。利用化简之后的矩阵，本节中我们将给出线性方程组解的一些核心结论。
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子节 2.6.1 简化阶梯形矩阵

定理 2.4.9告诉我们每一个矩阵都可以经过行初等变换变成阶梯形矩阵。利用行初等变换，阶梯形矩阵还可以进一步化简。
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定义 2.6.1.

设\(A\)是一个\(m \times n\)阶矩阵。若\(A\)满足下面\(3\)个条件：
  1. \(A\)是阶梯形矩阵；
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  2. \(A\)的主元都是\(1\)；
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  3. \(A\)的任意一个主元所在的列除了主元\(1\)外，其余元素都是\(0\)；
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则称矩阵\(A\)是一个简化阶梯形矩阵。
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根据定义可知：单位矩阵\(E_n\)是简化阶梯形，一般的\(0\)矩阵\(0_{m\times n}\)也是简化阶梯形矩阵（\(0\)矩阵没有主元，所以条件\(2\)、\(3\)自动满足）。
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我们有下面的结论。
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证明.

设\(A\)是一个\(m\times n\)阶矩阵。根据定理 2.4.9，\(A\)可以经过行初等变换变成一个阶梯形矩阵\(B\)。接下来对\(B\)的每一个非\(0\)行进行行倍法变换，分别乘以主元的倒数，使得每个主元都变成1。记所得矩阵为\(C\)。
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类似于引理 2.5.14证明过程中从矩阵\(C\)变成单位矩阵的过程，从后向前，依次使用主元1所在行将其上方的同列元素都消为\(0\)，最终获得的矩阵满足简化阶梯形的定义。
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引理 2.5.14实际上是定理 2.6.2的一个特例。可以知道，对于没有全\(0\)行的阶梯形方阵，与其等价的简化阶梯形矩阵就是单位矩阵。另一个极端例子是\(0\)矩阵，与\(0\)矩阵行等价的矩阵只能是同阶的\(0\)矩阵。
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来看一个具体的例子。
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例 2.6.3.

用行初等变换将矩阵\(A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -7 & 4\\ 1 & 2 & -3 & 1\\ 2 & 8 & -7 & 3 \end{pmatrix}\)化为简化阶梯形矩阵。
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解答.
借助例 2.4.10的结果，矩阵\(A\)可以用行初等变换变成
\begin{equation*} B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1\\ 0 & 4 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
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每一行分别乘以其主元的倒数，得到
\begin{equation*} C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
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按从后向前的顺序，依次使用主元所在行将其上方的同列元素都消为\(0\)，具体的变换过程如下：
\begin{equation*} \begin{array}{l} C\xrightarrow{r_2-1/4 r_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-r_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \xrightarrow{r_1-2r_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{5}{2} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{array} \end{equation*}
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简化阶梯形在英文中称为 reduced row echelon form，所以sage中求简化阶梯形的命令为rref。
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子节 2.6.2 利用简化阶梯形求解线性方程组

下面利用简化阶梯形来理解线性方程组的解集。把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵后再具体求解的方法也称为Gauss-Jordan消去法。
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设\(A_{m\times n}X=\beta\)是一个一般的线性方程组，记
\begin{equation*} \tilde{A} =(A,\beta) \end{equation*}
是此线性方程组的增广矩阵。对增广矩阵\(\tilde{A}\)作行的初等变换先化为阶梯形矩阵，为了记号的简单，不妨设系数矩阵部分的主元列集中在最前，（请思考为什么可以这样不妨设），即
\begin{equation*} \tilde{A}\longrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} a_{11}'&a_{12}'&\cdots&a_{1r}'&a_{1,r+1}'&\cdots&a_{1n}'&b_{1}'\\ 0&a_{22}'&\cdots&a_{2r}'&a_{2,r+1}'&\cdots&a_{2n}'&b_{2}'\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{rr}'&a_{r,r+1}'&\cdots&a_{rn}'&b_{r}'\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&b_{r+1}'\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0 \end{array}\right), \end{equation*}
其中\(a_{11}',\dots a_{rr}'\)都不等于\(0\)，也就是说它们都是主元。
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现在对\(b'_{r+1}\)是否等于\(0\)来做讨论。若\(b'_{r+1}\ne 0\)，将这个增广矩阵还原为线性方程组，\(b'_{r+1}\)所在的第\(r+1\)行所对应的方程为
\begin{equation*} 0x_1+\cdots+0x_n =b'_{r+1}, \end{equation*}
此时，无论\(x_1,\dots,x_n\)取何值，由于前面的系数都是\(0\)，所以等式左边为\(0\)；而等式右端\(b'_{r+1}\ne 0\)，所以方程不可能被满足，即方程组无解。由于原方程组\(AX=\beta\)与新方程组同解，所以原方程组也无解。
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下面讨论方程组有解的情况，即\(b'_{r+1}= 0\)的情况。此时，对增广矩阵继续做作行初等变换，将之变成简化阶梯形，记为
\begin{equation*} \tilde{A}\longrightarrow {\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&\cdots&0&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}&d_{1}\\ 0&1&\cdots&0&c_{2,r+1}&\cdots&c_{2n}&d_{2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}&d_{r}\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0 \end{array}\right)} \end{equation*}
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接下来对简化阶梯形中非\(0\)行行数\(r\)做进一步地分类讨论。
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极端情况为\(r=n\)。此时\(\tilde{A}\)的简化阶梯形为
\begin{equation*} \tilde{A}\longrightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & d_1\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0 & d_{n-1}\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & d_n\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \end{equation*}
（容易发现此种情形下\(m\ge n\)。）此矩阵对应的方程组（忽略全\(0\)方程后）为
\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{}&{}&{}&{ = {d_1},}\\ {}&{{x_2}}&{}&{}&{ = {d_2},}\\ {}&{}& \ddots &{}&{}\\ {}&{}&{}&{{x_n}}&{ = {d_n},} \end{array}} \right. \end{equation*}
此种情况下，线性方程组有唯一解
\begin{equation*} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = {d_1},}\\ {{x_2} = {d_2},}\\ \vdots \\ {{x_n} = {d_n}.} \end{array}} \right. \end{equation*}
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最后，还需要讨论的情况是\(r < n\)。保留主元列对应的项在方程左边，将非主元列对应的项移到方程右边，方程组可转化为
\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{}&{}&{}&{ = {d_1} - {c_{1,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{1,n}}{x_n},}\\ {}&{{x_2}}&{}&{}&{ = {d_2} - {c_{2,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{2,n}}{x_n},}\\ {}&{}& \ddots &{}&{}\\ {}&{}&{}&{{x_r}}&{ = {d_r} - {c_{r,r + 1}}{x_{r + 1}} - \cdots - {c_{r,n}}{x_n}.} \end{array}} \right.\tag{2.6.1} \end{equation}
让\(x_{r+1},\dots ,x_n\)任意取值；当\(x_{r+1},\dots ,x_n\)选定后，\(x_1,\dots, x_r\)可以由(2.6.1)唯一确定。
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注意到从\(AX=\beta\)到(2.6.1)，我们所做的操作都是同解变形，因此所有满足(2.6.1)的\(x = (x_1,\dots,x_n)^T\)都是\(AX=\beta\)的解，\(AX=\beta\)的解也都满足(2.6.1)。
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(2.6.1)已经足够简单，我们把\(x_1,\dots ,x_r\)通过\(x_{r+1},\dots ,x_n\)表示出来的这样一组解的表达式称为该方程组的一般解。
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在上述一般解的表达式中，因为\(x_{r+1},\dots ,x_n\)可以自由取值，所以也称为自由变量；\(x_1,\dots ,x_r\)称为主变量，因为与它们相乘的元素都在主元所在的列。
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需要注意的是：上述公式是在我们做了一个简化性的假设，即阶梯形的主元都在对角元的前提下给出的，一般情况下不能直接带入公式(2.6.1)。虽然不能直接带入，但上述整个推导过程都可以平行推广到一般情形，这一部分请各位同学在具体计算和问题分析中要注意。
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例 2.6.4. Gauss-Jordan消去法算例.

利用Gauss-Jordan消去法求解下列线性方程组：
  1. \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 3{x_1} - 2{x_2} - 7{x_3}= 4,\\ {x_1} + 2{x_2} - 3{x_3} = 1,\\ 2{x_1} + 8{x_2} - 7{x_3} = 3; \end{array}} \right.\)
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  2. \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 3{x_1} - 2{x_2} - 4{x_3}= 4,\\ {x_1} + 2{x_2} - 3{x_3} = 1,\\ 2{x_1} + 8{x_2} - 7{x_3} = 3; \end{array}} \right.\)
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  3. \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 3{x_1} - 2{x_2} - 7{x_3}+4x_4 =0,\\ {x_1} + 2{x_2} - 3{x_3} + x_4=0,\\ 2{x_1} + 8{x_2} - 7{x_3} + 3x_4=0. \end{array}} \right.\)
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解答.
  1. 对于第一个方程组，增广矩阵为
    \begin{equation*} \tilde{A}=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -7 & 4\\ 1 & 2 & -3 & 1\\ 2 & 8 & -7 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    对其进行初等行变换，得到简化阶梯形矩阵
    \begin{equation*} {\rm rref}(\tilde{A})=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{5}{2} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    从中可以看出，化简之后的最后一个方程无解，所以原方程组无解。
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  2. 对于第二个方程组，增广矩阵为
    \begin{equation*} \tilde{A}=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -4 & 4\\ 1 & 2 & -3 & 1\\ 2 & 8 & -7 & 3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    对其进行初等行变换，得到简化阶梯形矩阵
    \begin{equation*} {\rm rref}(\tilde{A})=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    可知此线性方程组有唯一解\((x_1,x_2,x_3)=(3,\frac{1}{2},1)\)。
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  3. 对于第三个方程组，增广矩阵为
    \begin{equation*} \tilde{A}=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -7 & 4 & 0\\ 1 & 2 & -3 & 1 & 0\\ 2 & 8 & -7 & 3 &0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    对其进行初等行变换，得到简化阶梯形矩阵
    \begin{equation*} {\rm rref}(\tilde{A})=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{5}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
    化简后可知：\(x_1,x_2,x_4\)对应的是主元列，因此它们是主变量；\(x_3\)是自由变量。则可知此线性方程组有无穷多解，其一般解为
    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccl} {x_1} &= & \frac{5}{2}x_3,\\ {x_2} & = & \frac{1}{4}x_3,\\ {x_4} & = & 0. \end{array} \right. \end{equation*}
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子节 2.6.3 简化阶梯形的唯一性

对于一个矩阵\(A\)，与其行等价的阶梯形矩阵并不唯一，但我们接下来会证明：与\(A\)行等价的简化阶梯形必定唯一。先来证明一个引理。
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证明.

\(B=C\)时，\(BX=0\)与\(CX=0\)同解是显然的，即充分性成立。下面证明必要性。
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记\(B=(b_{ij})_{m\times n}\)的非\(0\)行数为\(r\)，
\begin{equation*} 1\le j_1 < j_2 < \cdots < j_r \le n \end{equation*}
其中\(j_i (i=1,\dots,r)\)是\(B\)第\(i\)行主元的列指标。则\(x_{j_1},\dots,x_{j_r}\)是\(BX=0\)一般解中的所有主变量，其余变量为自由变量。
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为了区别，用\(Y =(y_1,\dots,y_n)^T\)代表\(CX=0\)的一般解。 现在我们从后向前依次讨论\(X\)和\(Y\)的分量。
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若\(x_n\)是\(X\)中的主变量，则此时方程组\(BX=0\)最后一个非\(0\)行对应的方程是\(x_n=0\)。由于\(BX=0\)与\(CX=0\)同解，则此时必然有\(y_n=0\)，即\(y_n\)也是\(Y\)中的主变量。反之，当\(x_n\)是\(X\)中的自由变量时，\(y_n\)也是\(Y\)中的自由变量。
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下面讨论一般的\(x_j\)和\(y_j\)（\(j< n \)）。因为\(BX=0\)与\(CX=0\)同解，所以可以不妨令
\begin{equation*} x_{j+1}=y_{j+1},\dots, x_n=y_n, \end{equation*}
可知在这样的限制条件下，\(x_j\)和\(y_j\)的取值集合仍然相同。
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若\(x_j\)是自由变量，则\(x_j\)可以自由取遍\(\F\)的所有值，此时\(y_j\)也必然是自由变量；同理可知若\(y_j\)是自由变量，则\(x_j\)也必然是自由变量。也就是说\(x_j\)是自由变量当且仅当\(y_j\)是自由变量。进而可知\(x_j\)是主变量当且仅当\(y_j\)是主变量，即\(y_{j_1},\dots,y_{j_r}\)是\(CY=0\)一般解中的所有主变量，其余变量为自由变量。
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根据根据(2.6.1)的推导过程，对每一个\(i(i=1,\dots,r)\)，
\begin{align*} x_{j_i} = \amp -b_{i,{j_i}+1}x_{{j_i}+1} -\dots -b_{in}x_n, \\ y_{j_i} = \amp -c_{i,{j_i}+1}y_{{j_i}+1} -\dots -c_{in}y_n. \end{align*}
由于同解，\(x_{j_i}\)作为\(x_{j_i+1},\dots,x_n\)的函数与\(y_{j_i}\)作为\(y_{j_i+1},\dots,y_n\)的函数必然是同一函数，即
\begin{equation*} b_{i,j_i+1}=c_{i,j_i+1},\dots, b_{i,n}=c_{i,n}. \end{equation*}
结合简化阶梯形的相关定义，可知\(B\)与\(C\)有相同的第\(i\)行，再根据\(i\)的任意性，可知\(B = C\)。
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称右端项为\(0\)的线性方程组——即形如\(AX=0\)的线性方程组——为齐次线性方程组。这一类方程组在线性方程组解的理论中有特别的地位，我们会在后面的内容中逐步体会到。
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注意到对齐次方程组增广矩阵\((A,0)\)作行初等变换的过程中，最后一列始终为全\(0\)，不会发生变化。因此求解齐次方程组时，只需要对系数矩阵\(A\)做行初等变换即可。
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证明.

\({\rm rref}(A)\)的存在性可由定理 2.6.2保证。下证唯一性。
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考虑线性方程组\(AX=0\)。设\(B\)和\(C\)都是与\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵，根据行等价的定义\(BX=0\)和\(CX=0\)这两个线性方程组均与\(AX=0\)同解，于是\(BX=0\)和\(CX=0\)也同解。再根据 引理 2.6.5，可知\(B=C\)，即唯一性成立。
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子节 2.6.4 矩阵的秩

在讨论线性方程组解的不同情况过程中，可以看到系数矩阵化简为（简化）阶梯形矩阵后的非\(0\)行行数\(r\)起到了关键性作用。在有了简化阶梯形的唯一性定理（定理 2.6.6）后，可以引入线性代数中的一个关键性定义。
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定义 2.6.7.

设\(A\in \F^{m\times n}\)是一个一般的矩阵。称简化阶梯形矩阵\({\rm rref}(A)\)的非\(0\)行行数为矩阵\(A\)的秩，记作\({\rm rank}(A)\)，或简记为\(r(A)\)。
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秩是矩阵最重要、最常用的参数之一，关于秩的结论需要充分掌握并熟记。
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矩阵的秩，即简化阶梯形非\(0\)行的行数，可以理解为线性方程组中“有效”方程的个数。这是我们从行的角度来理解矩阵秩的一种方式，后续我们还会从多个不同角度理解矩阵秩这个参数。
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回顾子节 2.6.2中的讨论过程，其中的主要结论可以用秩作如下总结。
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齐次线性方程组\(A_{m\times n}X=0\)至少有一个\(0\)解，易知下面的推论成立。
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结合可逆性与初等变换的相关讨论，关于矩阵秩还有下面的常用结论。
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证明.

根据 命题 2.5.18，\(PA\)与\(A\)行等价。再根据简化阶梯形的定义和唯一性(定理 2.6.6)，可知\({\rm rref}(PA) = {\rm rref}(A)\)，所以\(r(PA) = r(A)\)。
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作为上述定理的特例，可知行初等变换不改变矩阵的秩。
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子节 2.6.5 再议可逆矩阵

可逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念。在 节 2.5 中已经讨论过可逆矩阵的定义和基本性质。现在我们利用简化阶梯行和秩来重新审视可逆矩阵。下面的定理中总结了矩阵可逆的常用充分必要条件。
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证明.

1 ~ 4等价在节 2.5中已经证明，根据推论 2.6.10，5与6等价。以下讨论其余几点的等价性。
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\(1.\Rightarrow 5.\) 因为\(A\)可逆，所以与\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵是\(E_n\)，其非\(0\)行行数为\(n\)，故\(r(A)=n\)。
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\(5.\Rightarrow 1.\) 由\(r(A)=n\)可知与\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵有\(n\)个非\(0\)行，而有\(n\)个非\(0\)行的\(n\)阶简化阶梯形矩阵是\(E_n\)，根据定理 2.5.15，\(A\)可逆。
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\(1.\Rightarrow 7.\)因为\(A\)可逆，所以\(X=A^{-1}\beta\)必是\(AX=\beta\)的解。
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\(7.\Rightarrow 1.\) 假设\(A\)不可逆，则与\(A\)行等价的简化阶梯形矩阵\({\rm rref}(A)\)最后一行必为\(0\)行。设
\begin{equation*} A=P_1\cdots P_k{\rm rref}(A), \end{equation*}
其中\(P_1,\ldots,P_k\)是初等矩阵。取\(\beta=P_1\cdots P_k\varepsilon_n\)，则\(AX=\beta\)与\({\rm rref}(A)X=\varepsilon_n\)同解。注意到\({\rm rref}(A)X=\varepsilon_n\)最后一行对应的方程为\(0=1\)无解，这与\(AX=\beta\)有解相矛盾。因此\(A\)是可逆矩阵。
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\(1.\Rightarrow 8.\) 由定义可得。
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\(8.\Rightarrow 1.\) 对任意\(\beta\in \F^n\)，由\(AB=E_n\)可知：
\begin{equation*} A(B\beta)=(AB)\beta=E_n\beta=\beta, \end{equation*}
故\(AX=\beta\)必有一个解\(X=B\beta\)。根据1与7的等价可知\(A\)可逆。
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\(1.\Rightarrow 9.\) 由定义可得。
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\(9.\Rightarrow 1.\) 因为\(CA=E_n\)，所以 \(A^TC^T=E_n\)。根据1与8的等价可知\(A^T\)可逆，从而\(A\)可逆。
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由上述定理可知：对于\(n\)阶方阵\(A\)，只要\(AB=E_n\)（或\(BA=E_n\)）就可保证\(A\)可逆，且\(B\)是\(A\)的逆。
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例 2.6.13.

设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，满足\(AB=A+B\)，证明：\(AB=BA\)。
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解答.
因为\(AB=A+B\)，所以\(AB-A-B+E_n=E_n\)，则
\begin{equation*} (E_n-A)(E_n-B)=E_n. \end{equation*}
根据定理 2.6.12，\(E_n-A\)可逆且\((E_n-A)^{-1}=E_n-B\)，故
\begin{equation*} (E_n-B)(E_n-A)=E_n, \end{equation*}
即\(BA-B-A+E_n=E_n\)，则
\begin{equation*} BA=A+B. \end{equation*}
从而\(AB=BA\)。
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练习 2.6.6 练习

基础题.

1.
用初等行变换将下列矩阵化为简化阶梯形矩阵。
  1. \(\begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 &-2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)；
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  2. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 4\\ 3 & 5 & 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}\)。
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2.
用Gauss-Jordan消去法求下列线性方程组的一般解。
  1. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2+3x_3+x_4+x_5=0,\\ -x_1+x_2+x_4+2x_5=0,\\ x_1+3x_2+4x_3+2x_4-x_5=0; \end{array}\right.\)
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  2. \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1,\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=3,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2. \end{array}\right.\)
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3.
求下列矩阵的秩。
  1. \(\begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 5 & -1\\ 1 & 4 & -1 & 3 &-1\\ -1 & -10 & 5 & -7 & 3\\ 4 & -2 & 8 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)；
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  2. \(\begin{pmatrix} 5 & -3 &-2 & 1\\ -3 & 2 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8 \end{pmatrix}\)；
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  3. \(\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 &a \end{pmatrix}\)。
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提高题.

4.
设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，且\(r(A)=m\)。证明：对任意\(\beta\in\mathbb{F}^n\)，\(AX=\beta\)都有解。
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5.
设\(n\)阶方阵\(M=\begin{pmatrix} A & B\\ C & 0 \end{pmatrix}\)，其中\(A\)是\(s\times t\)矩阵。若\(M\)是可逆矩阵，求\(r(B)\)与\(r(C)\)。
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6.
设\(A\)是\(3\times 4\)矩阵，且\(r(A)=2,\ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)，求\(r(BA)\)。
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7.
设\(A,B\)是\(n\)阶方阵。证明：若\(AB\)可逆，则\(A,B\)都是可逆矩阵。
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8.
设\(A,B\)是\(n\)阶方阵，满足\(AB=A-B\)，证明：\(A\)可逆的充分必要条件是\(B\)可逆。
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