主要内容

高等代数: 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 叶从峰

节 4.2 线性相关与线性无关

线性相关和线性无关是列向量组的基础性质，是接下来经常使用的术语。本节中，我们先从线性方程组解唯一性的角度引出线性相关和线性无关的概念。然后将尝试从多个角度展开其相关性质，希望可以帮助大家建立对这两个概念的直观感觉。

子节 4.2.1 线性相关/无关的概念

由第2章第结论可知，一个一般的线性方程组\(Ax=\beta\)，其解的情况有三种可能：无解、有唯一解或有无穷多解。本节中，我们先假定线性方程组是有解的，然后从列向量组线性组合的角度来区分有唯一解和有无穷多解者两种不同情况。
沿用之前的记号：记系数矩阵\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)。假设线性方程组\(Ax=\beta\)有两组不同的解\((c_1,\ldots,c_n)^T\)和\((d_1,\ldots,d_n)^T\)，即
\begin{align} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n \amp = \beta, \tag{4.2.1}\\ d_1\alpha_1+\cdots+d_n\alpha_n \amp = \beta, \tag{4.2.2} \end{align}
且
\begin{equation} (c_1,\ldots,c_n)^T\ne (d_1,\ldots,d_n)^T.\tag{4.2.3} \end{equation}
(4.2.1)\(-\) (4.2.2)可得
\begin{equation} e_1\alpha_1+\cdots+e_n\alpha_n = {\bf 0},\tag{4.2.4} \end{equation}
其中\(e_i= c_i-d_i,i= 1,\ldots,n\)。根据 (4.2.3)，\(e_1,\ldots,e_n\)中至少有一项不为0，即\(e_1,\ldots,e_n\)不全为0。
容易知道：无论列向量组中的向量是什么，只要所有系数都为0，线性组合的结果必然为0向量。而(4.2.4)中的系数\(e_1,\ldots,e_n\)不全为0，此时就不是任意的列向量组都可以满足了。我们引入如下定义。

定义 4.2.1.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组。若存在不全为0的系数\(c_1,\ldots,c_n\)，使得
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}, \end{equation*}
则称列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) 线性相关。

定义 4.2.2.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组。若
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0} \end{equation*}
当且仅当
\begin{equation*} c_1=\cdots=c_n=0, \end{equation*}
则称列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。
由定义可知，不是线性相关的向量组都是线性无关的，线性相关和线性无关是两个互补的概念。

例 4.2.3.

在 \(\R^3\)中，证明：
  1. 向量组 \(\alpha_1=(1,2,1)^T,\alpha_2=(-2,-4,-2)^T\)线性相关；
  2. 向量组 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)线性无关。
解答.
  1. 由于存在不全为\(0\)的数\(2\)和\(1\)，使得
    \begin{equation*} 2\alpha_1+\alpha_2=0, \end{equation*}
    所以向量组 \(\alpha_1=(1,2,1)^T,\alpha_2=(-2,-4,-2)^T\)线性相关。
  2. 假设\(c_1\varepsilon_1+c_2\varepsilon_2+c_3\varepsilon_3=\bf{0}\)，则 \(\begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}=\bf{0}\)，由此推出
    \begin{equation*} c_1=c_2=c_3=0. \end{equation*}
    因此向量组 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)线性无关。
引入了线性相关和线性无关的概念后，下面的结论成立。

证明.

充分性：设\(x=(x_1,\ldots,x_n)^T,y=(y_1,\ldots,y_n)^T\)是线性方程组\(Ax=\beta\)的两个解，则 \(Ax=\beta\)且\(Ay=\beta\)，两式相减得
\begin{equation*} A(x-y)={\bf 0}, \end{equation*}
即
\begin{equation*} (x_1-y_1)\alpha_1+\cdots+(x_n-y_n)\alpha_n={\bf 0}. \end{equation*}
由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关可知
\begin{equation*} x_1-y_1=\cdots=x_n-y_n=0, \end{equation*}
因此\((x_1,\ldots,x_n)^T=(y_1,\ldots,y_n)^T\)，即\(x=y\)，从而\(Ax=\beta\)有唯一解。
必要性：设
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}, \end{equation*}
则
\begin{equation} A\begin{pmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}={\bf 0}.\tag{4.2.5} \end{equation}
由题设\(Ax=\beta\)有解，设\(\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\)是\(Ax=\beta\)的一个解，则
\begin{equation} A\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\beta. \tag{4.2.6} \end{equation}
将(4.2.5)与(4.2.6)相加，得
\begin{equation} A(\begin{pmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix})=\beta.\tag{4.2.7} \end{equation}
由于\(Ax=\beta\)只有唯一解，所以比较(4.2.6)与(4.2.7)得
\begin{equation*} \begin{pmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}, \end{equation*}
故\(c_1=\cdots=c_n=0\)，由此推出\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。
注意到当\(\beta=0\)时，线性方程组\(Ax=0\)至少有一个全0解，我们有下面的推论。

子节 4.2.2 线性相关/无关的性质

与线性方程组解的关系只是我们介绍线性相关/无关这两个概念的引子，不能代表这两个概念的全部内涵。本小节中，我们将介绍与这两个概念相关的一些性质。我们从这两个概念的几何性质开始进一步介绍其性质。

例 4.2.6.

在几何空间\(\R^3\)中，判断下列向量组是否线性相关？
  1. 两个共线向量\(\alpha_1=(1,-1,1)^T,\alpha_2=(2,-2,2)^T\)；
  2. 3个共面向量\(\beta_1=(1,-1,1)^T,\beta_2=(0,1,0)^T,\beta_3=(1,1,1)^T\)；
  3. 4个向量
    \begin{equation*} \gamma_1=(1,-1,1)^T,\gamma_2=(1,0,0)^T,\gamma_3=(1,1,2)^T,\gamma_4=(3,2,1)^T. \end{equation*}
解答.
  1. 由于\(\alpha_2=2\alpha_1\)，所以存在不全为\(0\)的数\(2,-1\)，使得
    \begin{equation*} 2\alpha_1-\alpha_2={\bf 0}. \end{equation*}
    故向量组\(\alpha_1,\alpha_2\)线性相关。
  2. 由于存在不全为\(0\)的数\(1,2,-1\)，使得
    \begin{equation*} \beta_1+2\beta_2-\beta_3={\bf 0}, \end{equation*}
    所以向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关。
  3. 考虑齐次线性方程组
    \begin{equation*} x_1\gamma_1+x_2\gamma_2+x_3\gamma_3+x_4\gamma_4={\bf 0}, \end{equation*}
    把它的系数矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&1&1&3\\ -1&0&1&2\\ 1&0&2&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&1&1&3\\ 0&1&2&5\\ 0&-1&1&-2 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&1&1&3\\ 0&1&2&5\\ 0&0&3&3 \end{pmatrix}, \end{equation*}
    由于行阶梯形矩阵的非零行行数\(3\)小于未知量个数\(4\)，所以该齐次线性方程组有非零解。因此向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4\)线性相关。
接下来我们在一般的列向量空间\(\F^m\)中讨论问题。

例 4.2.8.

在\(\F^4\)中，判断向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是否线性相关。若是，试写出一个关系式。
  1. \(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\1\end{pmatrix}\)；
  2. \(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\8\end{pmatrix}\)。
解答.
  1. 考虑齐次线性方程组
    \begin{equation*} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4={\bf 0}, \end{equation*}
    把它的系数矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ -1&-2&-1&4\\ 2&5&7&-1\\ 1&-1&3&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&-1&3&1\\ 0&-4&1&2 \end{pmatrix} \end{equation*}
    \begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&5&14 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&0&9 \end{pmatrix} \end{equation*}
    由于行阶梯形矩阵的非零行行数\(4\)等于未知量个数，所以该齐次线性方程组只有0解。因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性无关。
  2. 考虑齐次线性方程组
    \begin{equation} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4={\bf 0},\tag{4.2.8} \end{equation}
    把它的系数矩阵经过初等行变换化为简化行阶梯形矩阵
    \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ -1&-2&-1&4\\ 2&5&7&-1\\ 1&-1&3&-8 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&-1&3&1\\ 0&-4&1&-7 \end{pmatrix} \end{equation*}
    \begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&5&5 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    \begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&0&-3\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&0&0&-9\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{equation*}
    由于行阶梯形矩阵的非零行行数\(3\)小于未知量个数\(4\)，所以该齐次线性方程组有非零解。因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。方程组(4.2.8)的一般解为
    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccl} x_1&=&9x_4,\\ x_2&=&-2x_4,\\ x_3&=&-x_4, \end{array}\right. \end{equation*}
    其中\(x_4\)为自由未知量。取\(x_4=1\)，得 \(x_1=9, x_2=-2, x_3=-1\)，从而有
    \begin{equation*} 9\alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3+\alpha_4={\bf 0}. \end{equation*}
我们认为列向量空间是一个有结构的集合，列向量空间的结构就是空间中的列向量依据线性运算（加法和乘法）建立的联系。一般的，若一个向量 \(\alpha\)可以由一组向量 \(\beta_1,\ldots,\beta_t\)线性表出，则可以认为\(\alpha\)与\(\beta_1,\ldots,\beta_t\)是“有关”的。下面的结论适合从字面含义理解线性相关/无关的概念。

证明.

充分性：设
\begin{equation*} \alpha_i=c_1\alpha_1+\cdots+c_{i-1}\alpha_{i-1}+c_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+c_n\alpha_n, \end{equation*}
则存在不全为\(0\)的数\(c_1,\ldots ,c_{i-1},-1,c_{i+1},\ldots,c_n\)使得
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_{i-1}\alpha_{i-1}-\alpha_i+c_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}, \end{equation*}
因此\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性相关。
必要性：因\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性相关，所以存在不全为\(0\)的数\(c_1,\ldots,c_n\)使得
\begin{equation} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}.\tag{4.2.9} \end{equation}
设\(c_i\neq 0\)，则由(4.2.9)得
\begin{equation*} \alpha_i=-\frac{c_1}{c_i}\alpha_1-\cdots-\frac{c_{i-1}}{c_i}\alpha_{i-1}-\frac{c_{i+1}}{c_i}\alpha_{i+1}-\cdots-\frac{c_n}{c_i}\alpha_n. \end{equation*}
接下来我们再介绍一些线性相关/无关的常用性质，请同学们注意体会这些结论背后的含义。

证明.

第2个结论是第1个结论的逆否命题，因此以下我们只需证第1个结论。
因\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性相关，所以存在不全为零的数\(c_1,\ldots,c_n\)使得
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}. \end{equation*}
对任意\(\alpha_{n+1},\ldots ,\alpha_p\in\F^m\)，取\(c_{n+1}=\cdots=c_n=0\)，则存在不全为零的数\(c_1,\ldots,c_n,c_{n+1},\ldots,c_p\)使得
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n+c_{n+1}\alpha_{n+1}+\cdots+c_p\alpha_p={\bf 0}. \end{equation*}
从而包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1},\ldots,\alpha_p\)必线性相关。

证明.

同上，我们只需证明第1个结论。
令\(A=\left(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\right), B=\left(\beta_1,\ldots,\beta_n\right)\)，则
\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} A\\C \end{pmatrix}, \end{equation*}
其中
\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} a_{m+1,1}&\cdots&a_{m+1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m+k,1}&\cdots&a_{m+k,n} \end{pmatrix}, \end{equation*}
因此\(Bx=0\)的解必是\(Ax=0\)的解。由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关可知\(Ax=0\)只有全0解，因而 \(Bx=0\)也只有全0解，从而\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关。

证明.

因\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta\)线性相关，所以存在不全为0的数 \(c_1,\ldots,c_n,c\)，使得
\begin{equation} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n+c\beta={\bf 0}.\tag{4.2.10} \end{equation}
假如\(c=0\)，那么由 (4.2.10)可知存在不全为0的数\(c_1,\ldots,c_n\)，使得
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}, \end{equation*}
则\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性相关，与已知条件矛盾，因此\(c\neq 0\) 。于是
\begin{equation*} \beta=-\frac{c_1}{c}\alpha_1-\cdots-\frac{c_n}{c}\alpha_n. \end{equation*}
注意到\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关，因此根据定理 4.2.4，\(\beta\)由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性表出的表示法唯一。

例 4.2.13.

在\(\F^4\)中，判断向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是否线性相关。若是，试找出一个向量，使得它可以由写出一个关系式。
  1. \(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\1\end{pmatrix}\)；
  2. \(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\8\end{pmatrix}\)。

子节 4.2.3 线性相关/无关性的判定

给了一组列向量，如何判断这个列向量组是线性相关的还是线性无关的？我们先来看一个具体的例子。

例 4.2.14.

上三角矩阵列向量组
通过上面的例子可以看到阶梯型矩阵列向量组的线性相关性容易判断，而一般列向量组的线性相关性就不是这么显然了。为了解决一般问题，下面来介绍一个通用方法。
根据推论 4.2.5，判断列向量组是否是线性相关与对应的齐次方程组是否只有0解是等价的，而初等行变换不改变线性方程组的解，所以有如下的一个原则：
\begin{equation*} {\bf \text{初等行变换不改变列向量组的线性关系。}} \end{equation*}
根据这个原则，可以按照下面的步骤来判断一个向量组的线性相关性：
  1. 把列向量组拼成一个矩阵\(A\)；
  2. 对矩阵\(A\)做行初等变换，化成阶梯型矩阵
  3. 若所得阶梯型矩阵的非0行行数与向量个数相同，则原列向量组线性无关；否则，线性相关。
来看一个具体的例子。

例 4.2.15.

解答.
当列向量组可以拼成一个方阵时，也可以用行列式来判断线性相关性。

例 4.2.17.

带参数的方阵。
解答.
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