定义 4.2.1.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组。若存在不全为0的系数\(c_1,\ldots,c_n\)，使得
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0},
\end{equation*}
则称列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) 线性相关。
节 4.2 线性相关与线性无关
线性相关和线性无关是列向量组的基础性质，是接下来经常使用的术语。本节中，我们先从线性方程组解唯一性的角度引出线性相关和线性无关的概念。然后将尝试从多个角度展开其相关性质，希望可以帮助大家建立对这两个概念的直观感觉。
子节 4.2.1 线性相关/无关的概念
由第2章第结论可知，一个一般的线性方程组\(Ax=\beta\)，其解的情况有三种可能：无解、有唯一解或有无穷多解。本节中，我们先假定线性方程组是有解的，然后从列向量组线性组合的角度来区分有唯一解和有无穷多解者两种不同情况。
沿用之前的记号：记系数矩阵\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)。假设线性方程组\(Ax=\beta\)有两组不同的解\((c_1,\ldots,c_n)^T\)和\((d_1,\ldots,d_n)^T\)，即
\begin{align}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n \amp = \beta, \tag{4.2.1}\\
d_1\alpha_1+\cdots+d_n\alpha_n \amp = \beta, \tag{4.2.2}
\end{align}
且
\begin{equation}
(c_1,\ldots,c_n)^T\ne (d_1,\ldots,d_n)^T.\tag{4.2.3}
\end{equation}
\begin{equation}
e_1\alpha_1+\cdots+e_n\alpha_n = {\bf 0},\tag{4.2.4}
\end{equation}
容易知道：无论列向量组中的向量是什么，只要所有系数都为0，线性组合的结果必然为0向量。而(4.2.4)中的系数\(e_1,\ldots,e_n\)不全为0，此时就不是任意的列向量组都可以满足了。我们引入如下定义。
定义 4.2.2.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组。若
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}
\end{equation*}
当且仅当
\begin{equation*}
c_1=\cdots=c_n=0,
\end{equation*}
则称列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。
由定义可知，不是线性相关的向量组都是线性无关的，线性相关和线性无关是两个互补的概念。
例 4.2.3.
在 \(\R^3\)中，证明：
-
向量组 \(\alpha_1=(1,2,1)^T,\alpha_2=(-2,-4,-2)^T\)线性相关；
-
向量组 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)线性无关。
解答.
-
由于存在不全为\(0\)的数\(2\)和\(1\)，使得\begin{equation*} 2\alpha_1+\alpha_2=0, \end{equation*}所以向量组 \(\alpha_1=(1,2,1)^T,\alpha_2=(-2,-4,-2)^T\)线性相关。
-
假设\(c_1\varepsilon_1+c_2\varepsilon_2+c_3\varepsilon_3=\bf{0}\)，则 \(\begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}=\bf{0}\)，由此推出\begin{equation*} c_1=c_2=c_3=0. \end{equation*}因此向量组 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)线性无关。
引入了线性相关和线性无关的概念后，下面的结论成立。
定理 4.2.4.
设矩阵\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)。若线性方程组\(AX=\beta\)有解，则\(AX=\beta\)有唯一解的充分必要条件是\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。
证明.
充分性：设\(X=(x_1,\ldots,x_n)^T,Y=(y_1,\ldots,y_n)^T\)是线性方程组\(AX=\beta\)的两个解，则 \(AX=\beta\)且\(AY=\beta\)，两式相减得
\begin{equation*}
A(X-Y)={\bf 0},
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
(x_1-y_1)\alpha_1+\cdots+(x_n-y_n)\alpha_n={\bf 0}.
\end{equation*}
由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关可知
\begin{equation*}
x_1-y_1=\cdots=x_n-y_n=0,
\end{equation*}
因此\((x_1,\ldots,x_n)^T=(y_1,\ldots,y_n)^T\)，即\(X=Y\)，从而\(AX=\beta\)有唯一解。
必要性：设
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0},
\end{equation*}
则
\begin{equation}
A\begin{pmatrix}
c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}={\bf 0}.\tag{4.2.5}
\end{equation}
由题设\(AX=\beta\)有解，设\(\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\)是\(AX=\beta\)的一个解，则
\begin{equation}
A\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\beta. \tag{4.2.6}
\end{equation}
\begin{equation}
A(\begin{pmatrix}
c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix})=\beta.\tag{4.2.7}
\end{equation}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},
\end{equation*}
故\(c_1=\cdots=c_n=0\)，由此推出\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。
推论 4.2.5.
设矩阵\(A\)的列向量组为\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)。则\(AX=0\)有唯一解的充分必要条件是\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关。此时的唯一解为全0解。
例 4.2.6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{F}^m\)线性无关，
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\beta_3=\alpha_3+\alpha_1,
\end{equation*}
证明：向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性无关。
解答.
记\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)。由
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\beta_3=\alpha_3+\alpha_1
\end{equation*}
可知
\begin{equation*}
B=A\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则齐次线性方程组\(BX=0\)转化为
\begin{equation*}
A\left[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}X\right]=0.
\end{equation*}
由于\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，齐次线性方程组\(AY=0\)只有全0解，故\(BX=0\)的解\(X\)必满足
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}X=0.\tag{4.2.8}
\end{equation}
注意到
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2\neq 0,
\end{equation*}
子节 4.2.2 线性相关/无关的性质
与线性方程组解的关系只是我们介绍线性相关/无关这两个概念的引子，不能代表这两个概念的全部内涵。本小节中，我们将介绍与这两个概念相关的一些性质。我们从这两个概念的几何性质开始进一步介绍其性质。
例 4.2.7. 线性相关与共线/共面.
在几何空间\(\R^3\)中，判断下列向量组是否线性相关，并借助数学软件观察其几何性质。
-
向量\(\alpha_1=(1,-1,1)^T,\alpha_2=(2,-2,2)^T\)；
-
向量\(\beta_1=(1,-1,1)^T,\beta_2=(0,1,0)^T,\beta_3=(1,1,1)^T\)；
-
向量\begin{equation*} \gamma_1=(1,-1,1)^T,\gamma_2=(1,0,0)^T,\gamma_3=(1,1,2)^T,\gamma_4=(3,2,1)^T. \end{equation*}
解答.
-
易知存在不全为\(0\)的数\(2,-1\)，使得\begin{equation} 2\alpha_1-\alpha_2={\bf 0}.\tag{4.2.9} \end{equation}故向量组\(\alpha_1,\alpha_2\)线性相关。(4.2.9)也可改写为\begin{equation*} \alpha_2 = 2\alpha_1, \end{equation*}根据数乘运算的几何意义可知\(\alpha_1,\alpha_2\)共线。
-
求解以\((\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)为系数矩阵的齐线性方程组，可知存在不全为\(0\)的数\(1,2,-1\)，使得\begin{equation} \beta_1+2\beta_2-\beta_3={\bf 0},\tag{4.2.10} \end{equation}所以向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)线性相关。改写(4.2.10)为\begin{equation*} \beta_3=\beta_1+2\beta_2, \end{equation*}根据向量加法的几何意义可知向量组\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)共面。
-
考虑齐次线性方程组\begin{equation*} x_1\gamma_1+x_2\gamma_2+x_3\gamma_3+x_4\gamma_4={\bf 0}, \end{equation*}此线性方程组的方程个数\(3\)小于未知量个数\(4\)，所以该齐次线性方程组有非零解。因此向量组\(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4\)线性相关。
上述例子中的规律可以做如下总结：
命题 4.2.8.
设\(\alpha,\beta,\gamma\in \R^3\)，则
-
\(\R^3\)中任意4个向量都是线性相关的。
证明.
-
根据定义：一个列向量\(\alpha\)线性相关当且仅当存在非0的常数\(c\)使得\(c\alpha=0\)。由于\(c\ne 0\)，所以\(c\alpha={\bf 0}\)等价于\(\alpha={\bf 0}\)。
-
根据定义：两个列向量\(\alpha\)和\(\beta\)线性相关当且仅当存在不全为0的两个数\(c_1,c_2\)，使得\begin{equation*} c_1\alpha+c_2\beta = {\bf 0}. \end{equation*}为了讨论方便，不妨设\(c_1\ne 0\)。上述等式两端同时除以\(c_1\)并移项得\begin{equation*} \alpha = -\frac{c_2}{c_1} \beta, \end{equation*}即\(\alpha\)等于列向量\(\beta\)数乘常数\(-{c_2}/{c_1}\)，根据数乘的几何意义，可知此时\(\alpha\)与\(\beta\)必定都落在包含有向线段\(\beta\)的直线上，即\(\alpha\)与\(\beta\)共线。反之，当\(\alpha\)与\(\beta\)共线时，区分以下两种情况：
-
\(\alpha\)与\(\beta\)都不是0向量。则此时根据数乘的几何意义，必定存在常数\(c\)使得\(\alpha=c\beta\)，改写为线性组合的形式\begin{equation*} 1\cdot \alpha - c\cdot\beta={\bf 0}, \end{equation*}根据定义可知\(\alpha\)和\(\beta\)线性相关；
-
\(\alpha\)与\(\beta\)中有一个是0向量。不妨设\(\alpha={\bf 0}\)。则此时\begin{equation*} 1\cdot \alpha +0\cdot \beta ={\bf 0}, \end{equation*}根据定义可知\(\alpha\)和\(\beta\)线性相关。
-
-
先来考虑特殊情况：若\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)中有0向量，不妨设\(\alpha= {\bf 0}\)，则此时\begin{equation*} 1\cdot \alpha +0\cdot \beta+0\cdot\gamma ={\bf 0}, \end{equation*}即\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)线性相关；另一方面，0向量\(\alpha\)一定也落在有向线段\(\beta\)和\(\gamma\)所在的平面中，也就是说\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)共面，此时两者等价。下面考虑一般情况，即\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)都不是0向量的情况。若\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)线性相关，则存在不全为0的常数\(c_1,c_2,c_3\)使得\begin{equation*} c_1\alpha+c_2\beta+c_3\gamma ={\bf 0}, \end{equation*}不妨设\(c_1\ne 0\)，则上式等价于\begin{equation*} \alpha = \frac{-c_2}{c_1}\beta+\frac{-c_3}{c_1}\gamma, \end{equation*}根据加法和数乘的几何意义，可知三者必定共面。反之，\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)共面时，仍区分两种情况进行讨论：
-
\(\alpha\)和\(\beta\)共线。则此时存在常数\(c\)使得\(\alpha = c\beta\)，于是\begin{equation*} 1\cdot \alpha -c\cdot \beta+0\cdot\gamma ={\bf 0}, \end{equation*}可知\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)线性相关；
-
\(\alpha\)和\(\beta\)不共线。借助 例 4.1.9中的方法可知此时\(\gamma\)可以写做\(\alpha\)和\(\beta\)的线性组合，即存在\(c_1,c_2\)使得\(\gamma =c_1\alpha+c_2\beta\)，于是\begin{equation*} c_1\cdot \alpha+c_2\cdot\beta -1\cdot\gamma ={\bf 0}, \end{equation*}可知\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)线性相关。
综上可知结论成立。 -
接下来我们在一般的列向量空间\(\F^m\)中讨论问题。
例 4.2.9.
在\(\F^4\)中，判断向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)是否线性相关。若是，试写出一个关系式。
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\1\end{pmatrix}\)；
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\-1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}2\\-1\\7\\3\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\\8\end{pmatrix}\)。
解答.
-
考虑齐次线性方程组\begin{equation*} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4={\bf 0}, \end{equation*}把它的系数矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ -1&-2&-1&4\\ 2&5&7&-1\\ 1&-1&3&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&-1&3&1\\ 0&-4&1&2 \end{pmatrix} \end{equation*}\begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&5&14 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&0&9 \end{pmatrix} \end{equation*}由于行阶梯形矩阵的非零行行数\(4\)等于未知量个数，所以该齐次线性方程组只有0解。因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性无关。
-
考虑齐次线性方程组\begin{equation} x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4={\bf 0},\tag{4.2.11} \end{equation}把它的系数矩阵经过初等行变换化为简化行阶梯形矩阵\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ -1&-2&-1&4\\ 2&5&7&-1\\ 1&-1&3&-8 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&-1&3&1\\ 0&-4&1&-7 \end{pmatrix} \end{equation*}\begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&4&4\\ 0&0&5&5 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&2&-1\\ 0&1&1&3\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{equation*}\begin{equation*} \rightarrow\begin{pmatrix} 1&3&0&-3\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1&0&0&-9\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{equation*}由于行阶梯形矩阵的非零行行数\(3\)小于未知量个数\(4\)，所以该齐次线性方程组有非零解。因此向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关。方程组(4.2.11)的一般解为\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccl} x_1&=&9x_4,\\ x_2&=&-2x_4,\\ x_3&=&-x_4, \end{array}\right. \end{equation*}其中\(x_4\)为自由变量。取\(x_4=1\)，得 \(x_1=9, x_2=-2, x_3=-1\)，从而有\begin{equation*} 9\alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3+\alpha_4={\bf 0}. \end{equation*}
列向量空间是一个有结构的集合，其结构指的就是空间中的列向量依据线性运算（加法和乘法）建立的联系。一般地，若一个向量 \(\alpha\)可以由一组向量 \(\beta_1,\ldots,\beta_t\)线性表出，则可以认为\(\alpha\)与\(\beta_1,\ldots,\beta_t\)是“有关”的。下面的结论适合从字面含义理解线性相关/无关的概念。
定理 4.2.10.
向量组\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}(n\geq 2)\)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
证明.
充分性：设
\begin{equation*}
\alpha_i=c_1\alpha_1+\cdots+c_{i-1}\alpha_{i-1}+c_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+c_n\alpha_n,
\end{equation*}
则存在不全为\(0\)的数\(c_1,\ldots ,c_{i-1},-1,c_{i+1},\ldots,c_n\)使得
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_{i-1}\alpha_{i-1}-\alpha_i+c_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0},
\end{equation*}
因此\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性相关。
必要性：因\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性相关，所以存在不全为\(0\)的数\(c_1,\ldots,c_n\)使得
\begin{equation}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}.\tag{4.2.12}
\end{equation}
设\(c_i\neq 0\)，则由(4.2.12)得
\begin{equation*}
\alpha_i=-\frac{c_1}{c_i}\alpha_1-\cdots-\frac{c_{i-1}}{c_i}\alpha_{i-1}-\frac{c_{i+1}}{c_i}\alpha_{i+1}-\cdots-\frac{c_n}{c_i}\alpha_n.
\end{equation*}
接下来我们再介绍一些线性相关/无关的常用性质，请同学们注意体会这些结论背后的含义。
定理 4.2.11.
若\({\alpha_1},\ldots ,{\alpha_n}\)是线性相关向量组， 则任一包含该组向量的向量组必线性相关 （部分线性相关， 整体线性相关）。
若\({\alpha_1},\ldots ,{\alpha_n}\)是线性无关向量组， 则从该向量组中任意取出一组向量必线性无关（整体线性无关，部分线性无关）。
证明.
只需证第1个结论。
因\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性相关，所以存在不全为零的数\(c_1,\ldots,c_n\)使得
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0}.
\end{equation*}
对任意\(\alpha_{n+1},\ldots ,\alpha_p\in\F^m\)，取\(c_{n+1}=\cdots=c_p=0\)，则存在不全为零的数\(c_1,\ldots,c_n,c_{n+1},\ldots,c_p\)使得
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n+c_{n+1}\alpha_{n+1}+\cdots+c_p\alpha_p={\bf 0}.
\end{equation*}
从而包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1},\ldots,\alpha_p\)必线性相关。
定理 4.2.12.
设\({\alpha_i} = {({a_{1i}},\ldots ,{a_{mi}})^T}\)，\(i = 1,\ldots ,n\)是\(\F^m\)中的向量组。该向量组中的每个向量在相同位置上加上\(k\)个分量，得到一个新的向量组\(\beta_1,\ldots ,\beta_n\)，即对\(\forall i=1,\ldots ,n,\)
\begin{equation*}
{\beta_i} = {({a_{1i}},\ldots ,{a_{mi}},{a_{m + 1,i}}, \ldots ,{a_{m+k,i}})^T}.
\end{equation*}
证明.
同上，只需证明第1个结论。
令\(A=\left(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\right), B=\left(\beta_1,\ldots,\beta_n\right)\)，则
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix}
A\\C
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中
\begin{equation*}
C=\begin{pmatrix}
a_{m+1,1}&\cdots&a_{m+1,n}\\
\vdots&&\vdots\\
a_{m+k,1}&\cdots&a_{m+k,n}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
因此\(BX=0\)的解必是\(AX=0\)的解。由\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性无关可知\(AX=0\)只有全0解，因而\(BX=0\)也只有全0解，从而\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关。
定理 4.2.13.
若\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性无关，\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n},\beta\)线性相关，则\(\beta\)可由\({\alpha_1},\ldots,{\alpha_n}\)线性表出且表示法唯一。
证明.
因\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta\)线性相关，所以存在不全为0的数 \(c_1,\ldots,c_n,c\)，使得
\begin{equation}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n+c\beta={\bf 0}.\tag{4.2.13}
\end{equation}
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n={\bf 0},
\end{equation*}
则\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性相关，与已知条件矛盾，因此\(c\neq 0\) 。于是
\begin{equation*}
\beta=-\frac{c_1}{c}\alpha_1-\cdots-\frac{c_n}{c}\alpha_n.
\end{equation*}
子节 4.2.3 线性相关/无关性的判定
给了一组列向量，如何判断这个列向量组是线性相关的还是线性无关的？我们先来看一个具体的例子。
例 4.2.14.
判断向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(2,3,0)^T,\alpha_3=(3,4,5)^T\)是否线性相关。
通过上面的例子可以看到阶梯形矩阵列向量组的线性相关性容易判断，而一般列向量组的线性相关性就不是这么显然了。为了解决一般问题，下面来介绍一个通用方法。
根据推论 4.2.5，判断列向量组是否是线性相关与对应的齐次方程组是否只有0解是等价的，而初等行变换不改变线性方程组的解，所以有如下的一个原则：
\begin{equation*}
{\bf \text{初等行变换不改变列向量组的线性关系。}}
\end{equation*}
根据这个原则，可以按照下面的步骤来判断一个向量组的线性相关性：
-
把列向量组拼成一个矩阵\(A\)；
-
若所得阶梯形矩阵\(B\)的非0行行数与向量个数相同，则原列向量组线性无关；否则，线性相关。
来看一个具体的例子。
例 4.2.15.
判别向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}
\end{equation*}
是否线性相关。
注意到矩阵的秩就是矩阵的简化阶梯形非零行行数，所以有如下的一般结论。
定理 4.2.16.
设\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \F^m\)，\(A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)。则向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关当且仅当
\begin{equation*}
r(A) = n.
\end{equation*}
下面的结论解释了为什么在\(\R^3\)中不会有4个线性无关的向量。
推论 4.2.17.
设\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \F^m\)，\(A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)。若
\begin{equation*}
m < n,
\end{equation*}
则向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性相关。
证明.
由于
\begin{equation*}
r(A)\leq \min\{m,n\},
\end{equation*}
所以当\(m < n\)时，
\begin{equation*}
r(A)\leq m< n,
\end{equation*}
所以向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性相关。
当列向量组可以拼成一个方阵时，也可以用行列式来判断线性相关性。
命题 4.2.18.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in \F^m\)，记\(A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\)。则\(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\)线性相关当且仅当\(\det A = 0\)；等价地，\(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\)线性无关当且仅当\(\det A \neq 0\)。
证明.
根据定理 4.2.16，\(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\)线性无关当且仅当
\begin{equation*}
r(A) = m.
\end{equation*}
例 4.2.19.
设\(\alpha_1 =(1,2,0)^T \)，\(\alpha_2 =(1,a+2,-3a)^T \)，\(\alpha_3 =(-1,-b-2,a+2b)^T \)，试讨论当\(a,b\)满足什么条件时，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关？
练习 4.2.4 练习
基础题.
1.
设\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n} \in {\F^m}\)，下列说法对吗？为什么？
-
如果有全为\(0\)的数\(k_1,\dots,k_n\)，使得\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n=0\)，那么向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
-
如果有一组不全为\(0\)的数\(k_1,\dots ,k_n\)，使得\(k_1 \alpha_1+\cdots +k_n\alpha_n\neq 0\)，那么向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}\)线性无关。
-
如果向量组\({\alpha _1},\dots ,{\alpha _n}(n\geq 2)\)线性相关，那么其中每一个向量都可以由其余向量线性表示。
2.
3.
判断下列向量组是线性相关还是线性无关。如果线性相关，试找出其中一个向量，使得它可以由其余向量线性表示，并且写出它的一个表达式。
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\\-1\\0 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\-2\\0 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\6\\-1\\1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 0\\3\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\)；
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\\-3\\2\\4 \end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix} 3\\0\\2\\-1 \end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix} 2\\-2\\4\\6 \end{pmatrix}\)；
-
\(\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\-1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\6\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}3\\2\\7\\5\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\\-9\end{pmatrix}\)。
4.
设向量组
\begin{equation*}
\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\1\\3\\5\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\t+2\\1\end{pmatrix},\alpha_4=\begin{pmatrix}1\\2\\4\\t+9\end{pmatrix}
\end{equation*}
线性相关，求\(t\)。
提高题.
5.
设3维实列向量\(\alpha_1=(\lambda-1,1,1)^T,\alpha_2=(1,\lambda-1,1)^T,\alpha_3=(1,1,\lambda-1)^T,\) \(\beta=(\lambda+1,\lambda^2,2\lambda +1)^T\)。问\(\lambda\)取何值时，
6.
设\(A\)是\(n\)阶方阵，若存在正整数\(k\)，使得线性方程组\(A^kX=0\)有解向量\(\alpha\)，且\(A^{k-1}\alpha\neq 0\)。证明：向量组\(\alpha,A\alpha,\cdots ,A^{k-1}\alpha\)线性无关。
7.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F}^m\)线性无关，\(\beta_k=\sum\limits_{j=1}^n a_{jk}\alpha_j,k=1,\ldots ,n\)。证明：向量组\(\beta_1,\ldots,\beta_n\)线性无关的充分必要条件是
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}\neq 0.
\end{equation*}
8.
设向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)线性无关，判断向量组
\begin{equation*}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\dots ,\beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_n,\beta_n=\alpha_n+\alpha_1
\end{equation*}
的线性相关性。
9.
设在向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)中，\(\alpha_1\neq 0\)且每一个\(\alpha_i\)都不能表成它的前\(i-1\)个向量\(\alpha_1,\dots ,\alpha_{i-1}\)的线性组合。证明：\(\alpha_1\dots,\alpha_n\)线性无关。
10.
设向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关，向量\(\beta_1\)可由它线性表示，而向量\(\beta_2\)不能由它线性表示。证明：向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n,\beta_1+\beta_2\)线性无关。
11.
12.
13.
设\(\alpha_i=(1,t_i,\cdots ,t_i^{m-1})^T,i=1,\dots ,n\)，其中\(t_1,t_2,\dots ,t_n\)是互不相同的数，且\(1\leq n\leq m\)。证明：向量组\(\alpha_1,\dots ,\alpha_n\)线性无关。
挑战题.
14.
设\(A_1,\ldots ,A_{2026}\)是数域\(\F\)上的\(2025\)阶方阵，证明关于\(x_1,\ldots,x_{2026}\)的方程
\begin{equation*}
\det (x_1A_1+\cdots +x_{2026}A_{2026})=0
\end{equation*}
至少有一组非零解。
