对任意\(\alpha\in V_1\),有\(f_1(A)\alpha=0\)。因为\(f_j(A)f_k(A)=f_k(A)f_j(A)\),所以
\begin{equation*}
f(A)\alpha=f_1(A)\cdots f_t(A)\alpha=f_2(A)\cdots f_t(A)\left(f_1(A)\alpha\right)=0,
\end{equation*}
即\(\alpha\in V\),所以\(V_1\)是\(V\)的子空间。同理,对任意的\(i\),\(V_i\)均是\(V\)的子空间。
接下来对多项式因子个数\(t\)作数学归纳法。
当
\(t=2\)时,根据
定理 1.3.4,存在
\(u(x),v(x)\in\mathbb{F}[x]\),使得
\begin{equation*}
u(x)f_1(x)+v(x)f_2(x)= 1,
\end{equation*}
于是
\begin{equation*}
u(A)f_1(A)+v(A)f_2(A)= E.
\end{equation*}
对任意\(\alpha\in V\),有
\begin{equation*}
\alpha=E\alpha=u(A)f_1(A)\alpha+v(A)f_2(A)\alpha.
\end{equation*}
令\(\alpha_1= v(A)f_2(A)\alpha\),\(\alpha_2= u(A)f_1(A)\alpha\),则
\begin{equation*}
f_1(A)\alpha_1=v(A)f_1(A)f_2(A)\alpha=v(A)f(A)\alpha=0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
f_2(A)\alpha_2=u(A)f_1(A)f_2(A)\alpha=u(A)f(A)\alpha=0,
\end{equation*}
即\(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\)。因此\(V=V_1+V_2\)。
对任意\(\beta\in V_1\cap V_2\),有
\begin{equation*}
\beta=u(A)f_1(A)\beta+v(A)f_2(A)\beta=0+0=0,
\end{equation*}
所以\(V_1\cap V_2 =\{0\}\),由此推出\(V=V_1\oplus V_2\)。
假设对于个数小于\(t\)个多项式结论成立。记\(g(x)=f_1(x)\cdots f_{t-1}(x)\),由于\(f_1(x),\ldots f_t(x)\)两两互素,所以\(\left(g(x),f_t(x)\right)=1\),故
\begin{equation*}
V=U\oplus V_t,
\end{equation*}
其中\(U\)是\(g(A)X=0\)的解空间。由归纳假设,
\begin{equation*}
U=V_1\oplus \cdots\oplus V_{t-1},
\end{equation*}
从而\(V=V_1\oplus \cdots\oplus V_{t}\)。