主要内容\(\renewcommand{\deg}{\rm deg\, }
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节 6.1 一般线性空间的定义与举例
子节 6.1.1 一般线性空间的定义
在
章 4中，
\(m\)维列向量空间是基于
\(m\)维列向量的加法和数乘定义的。 定理
4.1.11列举了
\(m\)维列向量的代数性质。 我们从中整理出加法所满足的5条性质，用以定义一般集合上的抽象加法运算。
定义 6.1.1.
设\(V\)是一个非空集合。定义\(V\)上的加法（记为\(+\)）为满足下面要求的运算法则： 对任意\(\alpha, \beta \in V\)，按该运算法则，在\(V\)中存在唯一的对应元素，记为\(\alpha + \beta\)，并且运算法则\(+\)还满足
-
封闭性：
\(\alpha + \beta \in V\)；
-
交换律：
\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)，
\(\forall \alpha, \beta \in V\)；
-
结合律：
\(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\)，
\(\forall \alpha, \beta, \gamma \in V\)；
-
有
零向量：存在
\(V\)中某个元素，记为
\(0\)，使得
\(\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha\)，
\(\forall \alpha \in V\)；
-
有
负向量：对任意
\(\alpha \in V\)，存在
\(V\)中元素
\(\beta\)使得
\(\alpha + \beta = \beta + \alpha = 0\)。
在定义了抽象加法的一般集合上，我们可以进一步抽象定理
4.1.11中的代数性质用以定义抽象数乘运算。
定义 6.1.2.
设\(V\)为一定义了加法\(+\)法则的非空集合，\(\F\)为一数域。\(V\)和\(\F\)上的数乘（记为\(\cdot\)）为满足下面要求的运算法则：对任意\(c \in \F\)和\(\alpha \in V\)，按该运算法则，在\(V\)中存在唯一的对应元素，记为\(c \cdot \alpha\)（一般简记为\(c \alpha\)），并且数乘法则还满足
-
封闭性：
\(c \alpha \in V\)，
\(\forall c \in \F, \alpha \in V\)；
-
有数乘单位元：
\(1\alpha = \alpha\)，
\(\forall \alpha \in V\)；
-
数乘与向量加法的分配律：
\(c (\alpha + \beta) = c \alpha + c \beta\)，
\(\forall \alpha, \beta \in V, \forall c \in \F\)；
-
数字加法与数乘的分配律：
\((c+d) \alpha = c \alpha + d \alpha\)，
\(\forall c,d \in \F, \forall \alpha \in V\)；
-
数字乘法与数乘的结合律：
\((cd) \alpha = c (d \alpha)\)，
\(\forall c,d \in F, \forall \alpha \in V\)。
基于上述抽象的加法和数乘运算（统称
线性运算），我们可以定义一般线性空间。
定义 6.1.3.
设有非空集合
\(V\)和数域
\(\F\)，在
\(V\)和
\(\F\)上定义了满足定义
6.1.1的加法运算
\((+)\)和满足定义
6.1.2的数乘运算
\((\cdot)\)，则称三元组
\((V, +, \cdot)\)是数域
\(\F\)上的
线性空间（又称
向量空间）
\(V\)中元素称为
向量。当加法和数乘运算在上下文中清楚时，我们将线性空间简记为
\(V\)。
子节 6.1.2 线性运算的基本性质
设
\(V\)为数域
\(\F\)上的线性空间，本节将讨论
\(V\)上加法与数乘的一些基本性质。 虽然这些性质在大家所熟知的数字加法和乘法中是显然的，但是值得强调的是本节完全脱离线性空间中向量的具体含义，仅仅根据定义
6.1.1和定义
6.1.2中两种运算法则所满足的10条性质推导出这些结论。
从定义
6.1.1不难看出
\(V\)上的加法满足如下一些性质。
命题 6.1.4. 零向量的唯一性.
证明.
设\(0, 0' \in V\)都满足零向量的性质，则
\begin{equation*}
0 = 0 + 0' = 0' + 0 = 0'.
\end{equation*}
命题 6.1.5. 负向量的唯一性.
对于任意向量
\(\alpha \in V\)，
\(V\)中存在唯一的向量
\(\beta \in V\)使
\(\alpha + \beta = 0\)，记该负向量为
\(-\alpha := \beta\)。
证明.
设\(\beta, \beta' \in V\)都是\(\alpha\)的负向量，则由负向量的性质和向量加法的结合律可知
\begin{equation*}
\beta = \beta + 0 = \beta + (\alpha + \beta') = (\beta + \alpha) + \beta' = 0 + \beta' = \beta'.
\end{equation*}
命题 6.1.7. 加法消去律.
设
\(\alpha, \beta, \gamma \in V\)，若
\(\alpha + \beta = \alpha + \gamma\) 则
\(\beta = \gamma\)。
证明.
由零向量的性质，以及加法的结合律和交换律，我们有
\begin{equation*}
\beta = \beta + 0 = \beta + (\alpha - \alpha) = (\beta + \alpha) - \alpha = (\gamma + \alpha) - \alpha = \gamma + (\alpha - \alpha) = \gamma.
\end{equation*}
由数乘的定义
6.1.2，我们可以得到
\(V\)与数乘有关的一些性质。 首先，使用数域
\(\F\)中的数字零进行数乘将得到线性空间
\(V\)中的零向量。在本小节中，为了便于区分，我们记数字零为
\(0_{\F}\)，记零向量为
\(0_{V}\)。在后续章节中，简洁起见，我们将忽略下标，请读者从上下文中区分是数字零或是零向量。
命题 6.1.8. 数字零的数乘.
\begin{equation*}
0_{\F}\alpha = 0_{V}, \quad \forall \alpha \in V.
\end{equation*}
证明.
对于任意\(\alpha \in V\)，由数字加法与数乘的分配律可得
\begin{equation*}
0_{\F}\alpha = (0_{\F}+ 0_{\F}) \alpha = 0_{\F}\alpha + 0_{\F}\alpha.
\end{equation*}
等式两边同时加上\(0_{\F}\alpha\)的负向量可完成证明。
另一方面，对
\(V\)中的零向量进行任意的数乘，得到的还是零向量。
命题 6.1.9. 零向量的数乘.
\begin{equation*}
c 0_{V} = 0_{V}, \quad \forall c \in \F.
\end{equation*}
证明.
对于任意\(c \in \F\)有
\begin{equation*}
c 0_{V} = c(0_{V} + 0_{V}) = c 0_{V} + c 0_{V}.
\end{equation*}
等式两边同时加上\(c 0_{V}\)的负向量可完成证明。
最后，使用数域
\(\F\)中的数字
\(-1\)数乘一个向量将得到相应的负向量。
命题 6.1.10. 数字\(-1\)的数乘.
\begin{equation*}
(-1) \alpha = -\alpha, \quad \forall \alpha \in V.
\end{equation*}
证明.
由数字加法与数乘的分配律，以及数字零的数乘得
\begin{equation*}
\alpha + (-1) \alpha = (1-1) \alpha = 0_{\F}\alpha = 0_{V}.
\end{equation*}
因此，\((-1)\alpha\)即为\(\alpha\)的负向量。
子节 6.1.3 线性空间举例
在本小节中，我们将列举一系列线性空间的例子。希望初学者可以从这些例子体会到一般线性空间极广的适用范围以及代数学抽象思维方式的特色。
验证一个定义了加法和数乘的代数系统是一个线性空间，需要先验证加法和数乘的封闭性，之后再验证定义
6.1.1和定义
6.1.2中的8条性质。下面多数例子的验证都较为容易，请读者留作练习。
例 6.1.11.
-
实数域
\(\R\)关于实数的加法和乘法构成
\(\R\)上的线性空间；
-
复数域
\(\C\)关于复数的加法和乘法构成
\(\C\)上的线性空间；
-
更一般地，任意数域
\(\F\)关于
\(\F\)上的加法与乘法构成
\(\F\)上的线性空间。
接下来，我们考虑本书前序章节中的一些例子。第
4章中所介绍的列向量空间是一般线性空间的特例。
例 6.1.13.
数域
\(\F\)上的有限维列向量空间
\(\F^{m}\)关于列向量的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
列向量空间
\(\F^{m}\)的任意子空间也都构成线性空间。
例 6.1.14.
设
\(V\)为
\(\F^{m}\)的一个子空间，则
\(V\)关于列向量的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
特别地，设
\(A\)为数域
\(\F\)上的
\(m \times n\)矩阵，线性方程组
\(AX = 0\)的解空间
\(\{X \in \F^{n} \mid AX = 0\}\)关于
\(n\)维列向量的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
例 6.1.15.
数域
\(\F\)上的所有
\(m \times n\)阶矩阵构成的集合，记为
\(\F^{m \times n}\)，关于矩阵的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
本书第
1章中所介绍的一元多项式集合也能构成线性空间。
例 6.1.16.
数域
\(\F\)上以
\(x\)为变元的所有一元多项式，记为
\(\F[x]\)，关于多项式的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
例 6.1.17.
数域
\(\F\)上以
\(x\)为变元的所有次数不超过
\(d\)的一元多项式，记为
\(\F_{d}[x]\)，关于多项式的加法和数乘构成
\(\F\)上的线性空间。
除了上述在前述章节中已经见过的对象外，许多本书中尚未见过的数学对象也能构成线性空间。 例如，下面一些在数学分析中讨论的对象可构成线性空间。
例 6.1.18.
所有收敛于
\(0\)的实数列关于数列的加法和数乘构成
\(\R\)上的线性空间。
例 6.1.19.
设
\([a,b]\)为实数域
\(\R\)上的闭区间，所有在
\([a,b]\)上连续的函数，记为
\(C[a,b]\)，关于函数的加法和数乘构成
\(\R\)上的线性空间。
例 6.1.20.
所有在
\([a,b]\)上可微的函数，记为
\(D[a,b]\)，关于函数的加法和数乘构成
\(\R\)上的线性空间。
上述所有例子中的加法与乘法都是大家所比较熟悉的运算。在本节的最后，我们将介绍一个由非标准的“加法”与“乘法”定义的线性空间，由此展现抽象线性空间的特别之处。大家将在习题中看到更多“非标准”线性空间的特殊例子。
例 6.1.21.
设\(V = \{ x \in \R \mid x > 0 \}\)为所有正实数构成的集合，取数域\(\R\)。定义\(V\)上的加法与数乘如下：
-
加法：
\(x \boxplus y := x y, \forall x, y \in V\)，即正实数
\(x\)与
\(y\)“相加”被定义为
\(x\)与
\(y\)在实数意义下的乘积；
-
数乘：
\(c \boxdot x := x^{c}, \forall x \in V, c \in \R\)，即实数
\(c\)与正实数
\(x\)的“数乘”被定义为
\(x\)的
\(c\)次幂。
下面我们验证
\(V\)关于上述加法和数乘构成
\(\R\)上的线性空间。
首先，对于任意正实数
\(x, y \in V\)和任意实数
\(c \in \R\)，显然有
\(x \boxplus y \in V\)和
\(c \boxdot x \in V\)，故
\(\boxplus\)与
\(\boxdot\)在
\(V\)上封闭。
之后，验证
\(\boxplus\)与
\(\boxdot\)满足定义
6.1.1和定义
6.1.2中的8条性质。
-
\(\boxplus\)的交换律源于实数乘法满足交换律；
-
\(\boxplus\)的结合律源源于实数乘法满足结合律；
-
\(\boxplus\)下的零向量为正实数
\(1\)；
-
\(\boxplus\)下
\(x \in V\)的负向量为
\(1/x\)；
-
\(\boxdot\)下的单位元为实数
\(1\)；
-
对于任意
\(x, y \in V\)以及
\(c \in \R\)，我们有
\(c \boxdot (x \boxplus y) = (xy)^{c} = x^{c} y^{c} = (c \boxdot x) \boxplus (c \boxdot y)\)；
-
对于任意
\(c, d \in \R\)以及
\(x \in V\)，我们有
\((c + d) \boxdot x = x^{c+d}= x^{c} x^{d} = (c \boxdot x) \boxplus (d \boxdot x)\)；
-
对于任意
\(c, d \in \R\)以及
\(x \in V\)，我们有
\((cd) \boxdot x = x^{cd}= (x^{d})^{c} = c \boxdot (d \boxdot x)\)。
子节 6.1.4 从列向量空间到一般线性空间
-
数域\(\F\)上的线性空间\(V\)中的向量\(\alpha\)可被向量组\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in V\)线性表出当且仅当存在\(c_{1}, \ldots, c_{n} \in \F\)使得
\begin{equation*}
\alpha = c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{n} \alpha_{n};
\end{equation*}
-
向量组
\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in V\)线性无关当且仅当
\(V\)中的零向量被
\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\)线性表出的方式唯一，即所有系数均为
\(0\)；
-
\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in V\)是线性空间
\(V\)的基当且仅当
\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\)线性无关且
\(V\)中所有向量都可由
\(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\)线性表出；
-
线性空间
\(V\)的维数是
\(V\)的一组基中的向量个数。
其他一些相关概念的推广是显而易见的，因此我们不再赘述相关的定义。
