首先验证\(V\)是\(\F^{n \times n}\)的子空间。任取矩阵 \(A, B \in V\)，根据\(V\)的定义有 \({\rm tr}(A) = 0\) 且 \({\rm tr}(B) = 0\)，且
\begin{equation*}
{\rm tr}(A + B) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}+ b_{ii}= \sum_{i=1}^{n} a_{ii}+ \sum_{i=1}^{n} b_{ii}= {\rm tr}(A) + {\rm tr}(B) = 0.
\end{equation*}
因此， \(A + B \in V\)。此外，任取\(c \in \F\)有
\begin{equation*}
{\rm tr}(cA) = \sum_{i=1}^{n} c a_{ii}= c \sum_{i=1}^{n} a_{ii}= c {\rm tr}(A) = 0.
\end{equation*}
因此，\(cA \in V\)。矩阵加法和数乘关于\(V\)封闭，所以\(V\)构成\(\F^{n \times n}\)的一个子空间。下面，求\(V\)的基和维数。为了给出一组基，令 \(E_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\)，其余元素全为 \(0\) 的基本矩阵。我们构造以下两类矩阵：
-
非对角位置：对于所有的
\(i \neq j\)（共
\(n^{2} - n\) 个），因为
\(E_{ij}\) 的主对角线元素全是
\(0\)，所以
\({\rm tr}(E_{ij}) = 0\)，即
\(E_{ij}\in V\)。
-
对角位置：对于
\(i = 1, 2, \dots, n-1\)（共
\(n - 1\) 个），考虑
\(E_{ii}- E_{nn}\)。其迹为
\({\rm tr}(E_{ii}- E_{nn}) = 1 - 1 = 0\)，即
\(E_{ii}- E_{nn}\in V\)。
将这两类矩阵放在一起，得到含\(n^{2} - 1\) 个矩阵的集合：
\begin{equation*}
\mathcal{B}= \{ E_{ij}\mid 1 \le i, j \le n, i \neq j \} \cup \{ E_{ii}- E_{nn}\mid 1 \le i \le n-1 \} \subseteq \F^{n \times n}.
\end{equation*}
首先，说明\(V\)中的任意矩阵可由\(\mathcal{B}\)中矩阵线性表出。 设矩阵 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\in V\)，由于 \({\rm tr}(A) = 0\)，我们有：
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}= 0 ~~\implies~~ a_{nn}= -\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}.
\end{equation*}
因此，
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} a_{ii}E_{ii}= \sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}E_{ii}+ \left(-\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}\right) E_{nn}= \sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}(E_{ii}- E_{nn}).
\end{equation*}
由此，矩阵\(A\)可线性表示为
\begin{equation*}
A = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}= \sum_{i \neq j}a_{ij}E_{ij}+ \sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}(E_{ii}- E_{nn}).
\end{equation*}
最后，验证线性无关性。 假设存在一组数\(c_{ij}, k_{i}\)使得：
\begin{equation*}
\sum_{i \neq j}c_{ij}E_{ij}+ \sum_{i=1}^{n-1}k_{i} (E_{ii}- E_{nn}) = 0.
\end{equation*}
观察等号左边组合出的矩阵：
-
对于任意
\(i \neq j\)，该矩阵在
\((i, j)\) 位置（
\(i \neq j\)）的元素正好是
\(c_{ij}\)，所以
\(c_{ij}= 0\)。
-
对于任意
\(i \in [n]\)，该矩阵在
\((i, i)\) 位置（
\(i = 1, \dots, n-1\)）的元素正好是
\(k_{i}\)，所以
\(k_{i} = 0\)。
因此，集合 \(\mathcal{B}\) 中的所有矩阵是线性无关的。由于 \(\mathcal{B}\) 包含 \(n^{2} - 1\) 个矩阵，且 \(\dim V = n^{2} - 1\)，所以 \(\mathcal{B}\)中的矩阵可构成\(V\) 的一个基。
