主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

节 6.3 线性映射

集合间的映射（见附录B）是建立集合之间关系的重要工具。 例如，当有限集合\(A\)与\(B\)之间存在即是单射（定义B.2.27）又是满射（定义B.2.28）的一一映射（或称双射，见定义B.2.29）时，\(A\)与\(B\)有相同的元素个数。 当结合集合上的运算时，映射可以建立不同代数系统之间的关系。 例如，在第6.2节中讨论的从向量到其坐标的映射联系了任意一般线性空间\(V\)与列向量空间\(\F^{n}\)。 特别的，坐标映射具有很好的代数性质，可以保持加法和数乘运算。本节中，我们将更深入地讨论这一类保持线性运算的映射的性质。
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子节 6.3.1 线性映射的定义

定义 6.3.1.

设\(V\)和\(U\)为数域\(\F\)上的两个线性空间，\(\varphi : V \to U\)为集合\(V\)到\(U\)的一个映射。若\(\varphi\)满足下列性质
  1. 保持加法结构：\(\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \forall \alpha, \beta \in V\)，即任意\(V\)中两个向量的和在\(\varphi\)下的像等于这两个向量在\(\varphi\)下的像的和；
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  2. 保持数乘结构：\(\varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha), \forall c \in \R, \alpha \in V\)，即任意\(V\)中向量的数乘在\(\varphi\)下的像等于该向量的像的数乘；
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则称\(\varphi\)为\(V\)到\(U\)的一个线性映射。\(V\)到\(U\)的所有线性映射构成的集合记为\(\mathcal{L}(V,U)\)。
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备注 6.3.2.

当\(\varphi\)是从线性空间\(V\)到自身的线性映射时，\(\varphi\)也被称为线性变换（或线性算子）。我们将在第7章更深入第讨论线性变换。
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下面我们从一些常见的特殊线性映射开始，列举一些线性映射的具体例子。
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例 6.3.3. 零线性映射.

设\(V\)为任一线性空间，容易验证从\(V\)到\(V\)的映射\(\varphi : \alpha \mapsto 0\)保持线性运算，因此是一个线性映射。
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例 6.3.4. 恒等映射.

设\(V\)为任一线性空间，同样容易验证从\(V\)到\(V\)的恒等映射 \({\rm id}_{V}: \alpha \mapsto \alpha\)是线性映射。
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例 6.3.5. 投影映射.

考虑\(\F^{2}\)到\(\F\)的映射
\begin{equation*} \varphi : \F^{2}\to \F, (x,y)^T \mapsto x. \end{equation*}
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对任意\((x_{1}, y_{1})^T, (x_{2}, y_{2})^T\)，我们有
\begin{align*} \amp \varphi( (x_{1} , y_{1})^T + (x_{2}, y_{2})^T ) \\ = \amp \varphi( (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})^T )\\ = \amp x_{1} + x_{2}\\ = \amp \varphi( (x_{1}, y_{1})^T ) + \varphi( (x_{2}, y_{2})^T ), \end{align*}
即\(\varphi\)保持加法运算。
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此外，对任意\(c \in \F\)和\((x, y)^T \in \F^{2}\)，我们有
\begin{equation*} \varphi( c (x, y)^T ) = \varphi( (cx, cy)^T ) = c x = c \varphi( (x, y)^T ), \end{equation*}
即\(\varphi\)也保持数乘运算。因此，\(\varphi\)是线性映射。
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接下来，我们举几个无穷维线性空间上的线性映射的例子。
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例 6.3.6.

考虑一元多项式集合\(\F[x]\)到自身的映射
\begin{equation*} \varphi: \F[x] \to \F[x], p(x) \mapsto x p(x). \end{equation*}
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对任意\(p_{1}, p_{2} \in \F[x]\)，我们有
\begin{align*} \varphi(p_{1} + p_{2}) (x) = \amp x (p_{1} + p_{2})(x)\\ = \amp x p_{1}(x) + x p_{2}(x) \\ = \amp \varphi(p_{1})(x) + \varphi(p_{2})(x), \end{align*}
即\(\varphi\)保持加法运算。
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同时，对任意\(c \in \F\)和\(p(x) \in \F[x]\)，我们有
\begin{equation*} \varphi( c p)(x) = c x p(x) = c \varphi(p)(x), \end{equation*}
即\(\varphi\)也保持数乘运算。因此，\(\varphi\)是线性映射。
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例 6.3.7. 求导运算.

考虑区间\([a,b] \subset \R\)上的可微函数空间\(D[a,b]\)到自身的映射\(D : f \mapsto f'\)，其中\(f'\)是\(f\)的导函数。由求导操作的性质可知，对任意可微函数\(f,g \in D[a,b]\)，求导运算满足
  • 保持加法运算：
    \begin{equation*} D(f+g) = (f + g)' = f' + g' = D(f) + D(g), \end{equation*}
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  • 保持数乘运算：
    \begin{equation*} D(c f) = (c f)' = c f' = c D(f), \forall c \in \R. \end{equation*}
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因此，求导运算\(D\)是线性变换，也称为微分算子。
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例 6.3.8. 积分运算.

考虑区间\([a,b] \subset \R\)上的连续函数空间\(C[a,b]\)到自身的映射
\begin{equation*} T : C[a,b]\to C[a,b],\ f \mapsto \int_{a}^{b} f(x) dx. \end{equation*}
由积分运算的性质可知，对任意连续函数\(f,g \in C[a,b]\)，积分运算满足
  • 保持加法运算：
    \begin{align*} T(f+g) \amp =\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx \\ \amp = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \\ \amp = T(f) + T(g), \end{align*}
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  • 保持数乘运算：
    \begin{equation*} T(c f) = \int_{a}^{b} c f(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx = c T(f), \forall c \in \R. \end{equation*}
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因此，积分运算\(T\)是线性映射。
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最后，我们举一个非常重要的有限维线性空间上的线性映射的例子。
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例 6.3.9. 矩阵与列向量相乘.

给定矩阵\(A \in \F^{m \times n}\)，定义从\(\F^{n}\)到\(\F^{m}\)的映射\(\varphi: \alpha \mapsto A\alpha\)。容易验证
\begin{align*} \amp \varphi(\alpha+\beta) = A(\alpha+\beta) = A\alpha + A\beta = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \forall \alpha, \beta \in \F^{n}, \\ \amp \varphi(c \alpha) = A(c\alpha) = c (A \alpha) = c \varphi(\alpha), \forall c \in \F, \alpha \in \F^{n}. \end{align*}
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因此，\(\varphi\)是线性映射。
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备注 6.3.10.

在第6.7节中，我们将看到任何有限维线性空间上的线性映射都能表示成上述形式。
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保持线性运算的两个条件：保加法运算和保数乘运算，可以等价地简化为一个条件。
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证明.

必要性：由\(\varphi\)保持加法运算得\(\varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) = \varphi(c_{1} \alpha) + \varphi(c_{2} \beta)\)。再由\(\varphi\)保持数乘运算得\(\varphi(c_{1} \alpha) + \varphi(c_{2} \beta) = c_{1} \varphi(\alpha) + c_{2} \varphi(\beta)\)，得证。
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充分性：在(6.3.1) 中取\(c_{1} = c_{2} = 1\)得\(\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)\)，即\(\varphi\)保加法运算。另外，在(6.3.1)中再取\(c_{1} =c, c_{2} = 0\)得\(\varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha)\)，即\(\varphi\)保数乘运算。
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由简单的数学归纳法将上述条件推广到多个变量的情况。下述推论的证明留作习题。
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子节 6.3.2 线性映射的性质

线性映射有许多好的性质，在下面我们列举其中的一些。首先，零向量在线性映射下的像总是零向量。
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证明.

由于\(\varphi\)保持加法运算，
\begin{equation*} \varphi(0_{V}) = \varphi(0_{V} + 0_{V}) = \varphi(0_{V}) + \varphi(0_{V}). \end{equation*}
等式两边同时加上\(\varphi(0_{V})\)在\(U\)中的负向量得
\begin{equation*} 0_{U} = \varphi(0_{V}). \end{equation*}
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此外，线性映射也可以保持线性表出关系和线性相关性。
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证明.

由于\(\varphi\)保持线性运算，由推论6.3.12得
\begin{align*} \varphi(\alpha) \amp = \varphi(c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{n} \alpha_{n})\\ \amp = \varphi(c_{1} \alpha_{1}) + \cdots + \varphi(c_{n} \alpha_{n}) \\ \amp = c_{1} \varphi(\alpha_{1}) + \cdots + c_{n} \varphi(\alpha_{n}). \end{align*}
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证明.

由已知条件，存在非全零系数\(c_{1}, \ldots, c_{n} \in \F\)使得
\begin{equation*} c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{n} \alpha_{n} = 0_{V}. \end{equation*}
将\(\varphi\)同时作用于等式两边的向量得
\begin{equation*} \varphi(c_{1} \alpha_{1} + \cdots + c_{n} \alpha_{n}) = c_{1} \varphi(\alpha_{1}) + \cdots + c_{n} \varphi(\alpha_{n}) = \varphi(0_{V}) = 0_{U}, \end{equation*}
其中第一个等式成立是因为\(\varphi\)保持线性运算，最后一个等式成立是根据命题6.3.13。
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特别需要指出的是，上述两个命题中给出的都是必要非充分条件，相关的逆命题未必成立。 举例来说，线性映射虽然可以保持线性相关性，却不能保持线性无关性。
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例 6.3.16.

考虑例子6.3.5中的映射\(\varphi: \F^{2} \to \F, (x,y)^T \mapsto x\)，取\(\F^{2}\)中两个线性无关的向量\((1,0)^T, (0,1)^T\)，但是经过线性映射\(\varphi\)作用后得到\(\varphi((1,0)^T) = 1\)和\(\varphi((0,1)^T) = 0\)，是在\(\F\)中线性相关的两个向量。
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最后，我们指出是否为子空间这一性质在线性映射下是等价的。
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证明.

必要性：设\(\alpha, \beta \in \varphi(V')\)，则存在\(\alpha_{0}, \beta_{0} \in V'\)使得\(\alpha = \varphi(\alpha_{0})\)且\(\beta = \varphi(\beta_{0})\)。由于\(\varphi\)保持线性运算，我们有
\begin{equation*} \alpha + \beta = \varphi(\alpha_{0}) + \varphi(\beta_{0}) = \varphi(\alpha_{0} + \beta_{0}) \in \varphi(V'), \end{equation*}
即\(\varphi(V')\)在\(U\)中对加法封闭。此外，对于任意\(c \in \F\)有
\begin{equation*} c \alpha = c \varphi(\alpha_{0}) = \varphi(c \alpha_{0}) \in \varphi(V'), \end{equation*}
即\(\varphi(V')\)在\(U\)中对数乘封闭。所以，\(\varphi(V')\)是\(U\)中的子空间。
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充分性：设\(V'\)为\(V\)的子集，且\(\varphi(V')\)是\(U\)的子空间。对于任意的向量\(\alpha, \beta \in V'\)，由于\(\varphi\)保持线性运算，我们有
\begin{equation*} \varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta) \in \varphi(V'), \end{equation*}
其中最后的包含关系是由于\(\varphi(V')\)是\(U\)的子空间。由于\(\alpha + \beta\)在\(\varphi\)下的像也在\(\varphi(V')\)中，所以\(\alpha + \beta \in V'\)，即\(V'\)在\(V\)中对加法封闭。 类似地，对于任意\(c \in \F, \alpha \in V'\)，我们有
\begin{equation*} \varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha) \in \varphi(V'), \end{equation*}
所以\(c \alpha \in V'\)。因此\(V'\)在\(V\)中同时对加法和数乘封闭，是\(V\)的子空间。
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虽然命题6.3.17中给出的是充分必要条件，但是这并不表明线性映射可以保持子空间的所有结构。例如，在例子6.3.3中，\(V\)的任意子空间\(V'\)都被\(\varphi\)映射成一个平凡的零子空间，子空间的维数在映射前后并不匹配，重要的结构信息丢失了。 因此，在下一节中，我们将考虑在线性映射基础上加上更强的要求，使其能保留更多的信息。
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