求解方程组:
\begin{align}
x+2y & =4, \tag{2.1.1}\\
x-y & =1. \tag{2.1.2}
\end{align}
解答.
\begin{align}
x-y & = 1, \tag{2.1.3}\\
x+2y & = 4. \tag{2.1.4}
\end{align}
\begin{align}
x-y & =1, \tag{2.1.5}\\
3y & =3. \tag{2.1.6}
\end{align}
节 2.1 线性方程组、消元法及几何直观
在中学数学中，我们已经学习过的一元、二元、三元一次方程组都是线性方程组，这些方程组的解法对于一般的线性方程组也适用，只是中学中没有做全面的总结，也缺少整体上的理解。
本章中我们将学习线性方程组的一般解法。我们将首先回顾中学时学过的方法，同时介绍线性方程的几何解释，帮助大家建立对线性方程组的直观理解。
子节 2.1.1 二元一次及三元一次方程组解法回顾
我们先通过三个例子观察解一次方程组的基本过程。
例 2.1.1. 二元一次方程组的求解.
例 2.1.2. 有无穷多解的三元一次方程组.
求解方程组：
\begin{align}
x + y + z \amp=4, \tag{2.1.9}\\
x - y + z \amp =0, \tag{2.1.10}\\
x \phantom{+ y} + z \amp =2. \tag{2.1.11}
\end{align}
解答.
\begin{align}
x + \phantom{2} y + z \amp=\phantom{-}4, \tag{2.1.12}\\
-2y\phantom{+ z} \amp =-4, \tag{2.1.13}\\
-\phantom{2}y \phantom{+ z} \amp =-2. \tag{2.1.14}
\end{align}
\begin{align}
x \phantom{+y}+ z \amp=2, \tag{2.1.15}\\
y \phantom{+z} \amp =2. \tag{2.1.16}
\end{align}
我们可以确定此方程组有无穷多解：对任意的\(z\)，取
\begin{equation*}
x = 2-z,\quad y =2.
\end{equation*}
这样取出的\(x,y,z\)都会是方程组的解，且方程组的所有解也必然都可以表示成为这种形式。
对 例 2.1.2中的方程组稍作修改，可得有下面一个与其迥然不同的例子。
例 2.1.3. 无解的三元一次方程组.
求解方程组：
\begin{align}
x + y + z \amp=4, \tag{2.1.17}\\
x -y +z \amp =0, \tag{2.1.18}\\
x \phantom{+ y} +z \amp =4. \tag{2.1.19}
\end{align}
解答.
\begin{align}
x + \phantom{2} y +z \amp=\phantom{-}4, \tag{2.1.20}\\
- 2 y \phantom{+2z} \amp =-4, \tag{2.1.21}\\
\phantom{x}-\phantom{2}y \phantom{+2z} \amp =\phantom{-}0. \tag{2.1.22}
\end{align}
\begin{align}
x \phantom{+y} +\phantom{2} z \amp=\phantom{-}2, \tag{2.1.23}\\
\phantom{x+} y \phantom{+2z} \amp =\phantom{-}2, \tag{2.1.24}\\
0\amp = \phantom{-}2. \tag{2.1.25}
\end{align}
方程 (2.1.25)显然不成立，所以该线性方程组无解。
上述3个例子中用来求解方程组的方法也称为消元法。
子节 2.1.2 线性方程组的几何解释
中学数学知识告诉我们，一个二元一次方程对应于坐标平面里的一条直线。借助Sage，我们可以将 例 2.1.1中的两个方程对应的直线展示出来。
例 2.1.4. 二元一次方程组的Sage示意图.
下面我们利用Sage提供的二维画图函数plot给出 例 2.1.1中两个线性方程的几何图形表示。
通过观察上面的图形可知： 例 2.1.1中线性方程组的解恰好是两方程所表示直线唯一交点的坐标。
我们知道，一个平面内的两条直线共有三种相对位置关系：相交于一点、无交点（平行）或重合。对应的，含有两个方程的二元一次方程组解的情况也可以分成三类：有唯一解、无解或有无穷多解。请大家理解这种对应关系。通过调节 例 2.1.4中的参数，可以获得相应的图形。
接下来我们将上述讨论拓展到立体空间中。可以想象，一个三元一次方程对应于给定坐标轴空间中的一个平面。多个相同变量的三元一次方程构成的方程组的解则与相应平面的公共点相对应。我们来看一些例子。
Sage画出的三维图形可以用鼠标拖动改变观察视角。从图形中我们可以发现：例 2.1.2中的三个方程对应的三个平面P1、P2和P3相交于一条直线，可以想象这条直线上所有点的坐标都是这个方程组的解；例 2.1.3中的三个方程对应的三个平面P1、P2和P4没有公共交线，相应的线性方程组也没有解。
空间中的多个平面相交还有很多不同情形，这里不一一列举。请想象一下所有可能的情况，并尝试利用sage画出相应图形。
容易想象：存在多个平面交于1点的情况，也存在多个平面没有公共点的情况。除了这两种情况，若多个平面有两不同的公共点\(v_1\)和 \(v_2\)，则由\(v_1\)和 \(v_2\)确定的直线也一定都是这些平面的公共点。所以多个平面公共点个数有3种可能：唯一公共点、无公共点和有无穷多个公共点。对应的，我们后面会看到线性方程组解的情况也会有三种：唯一解、无解和有无穷多组解。
子节 2.1.3 一般线性方程组
下面我们把二元、三元一次方程组的定义推广到一般的多元一次方程组，这样的方程组也称为线性方程组。
定义 2.1.6.
称形如
\begin{equation*}
a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b
\end{equation*}
的方程为一个线性方程，其中\(a_1,\dots,a_n,b\)都是一些给定常数，\(x_1,\dots,x_n\)则是这个\(n\)元线性方程中的\(n\)个变元（或未知量、变量）。
把多个含有相同变元的线性方程放在一起，所构成的方程组，即形如
\begin{equation}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{x_1} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}},\\
{{a_{21}}{x_1} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}},\\
{\vdots}\\
{{a_{m1}}{x_1} + \cdots + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}}
\end{array}} \right.\tag{2.1.26}
\end{equation}
的方程组称为\(n\)元线性方程组。
特别地，若所有的\(a_{jk}\)和\(b_{k}\ (j=1,\dots,n;k=1,\dots,m)\)均属于一个给定的数域\(\F\)，则(2.1.26)也称为数域\(\F\)上的线性方程组。
一组给定的数\((s_1,\dots,s_n)\)若满足将每一个\(x_j\)均用\(s_j\)代入到(2.1.26)中后所有等式均成立，则称\((s_1,\dots,s_n)\)是这个线性方程组的一个解。由所有解构成的集合称为线性方程组的解集。
备注 2.1.7.
“线性代数”、“线性方程组”等术语中的“线”可以理解为来源于“直线”中的“线”。
一个二元线性方程可以对应于平面坐标系中的一条直线，二元线性方程组的解则是多条直线的交点坐标；一个三元线性方程可以对应于立体坐标系中的一个平面，对应方程组解则是多个平面的交点坐标。请同学们发挥想象力，一般的\(n\)元线性方程组也可以类似理解。
相信同学们可以想象到，我们在之前复习的二元一次及三元一次方程组解法对一般的线性方程组也适用，这也是我们求解线性方程组的一种最常用方法。
例 2.1.8.
求解线性方程组：
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 + 2x_4 \amp =4, \tag{2.1.27}\\
2x_1 -x_2 + 3x_3 -5x_4 \amp=7, \tag{2.1.28}\\
x_1 -x_2 +2x_3 +x_4 \amp=3, \tag{2.1.29}\\
3x_1 -4x_2 +8x_3 +5x_4 \amp=23, \tag{2.1.30}\\
-2x_1 +4x_2 -3x_3 -7x_4 \amp=-7. \tag{2.1.31}
\end{align}
解答.
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 + 2x_4 \amp =4, \tag{2.1.32}\\
\phantom{2x_1} 3x_2 +x_3 -9x_4 \amp =-1, \tag{2.1.33}\\
\phantom{x_1} x_2 +x_3 -x_4 \amp=-1, \tag{2.1.34}\\
\phantom{3x_1} 2x_2 +5x_3 -x_4 \amp=11, \tag{2.1.35}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} -x_3 -3x_4 \amp=1, \tag{2.1.36}
\end{align}
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 + 2x_4 \amp =4, \tag{2.1.37}\\
\phantom{x_1} x_2 +x_3 -x_4 \amp=-1, \tag{2.1.38}\\
\phantom{2x_1} 3x_2 +x_3 -9x_4 \amp =-1, \tag{2.1.39}\\
\phantom{3x_1} 2x_2 +5x_3 -x_4 \amp=11, \tag{2.1.40}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} -x_3 -3x_4 \amp=1, \tag{2.1.41}
\end{align}
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 + 2x_4 \amp =4, \tag{2.1.42}\\
\phantom{x_1} x_2 +x_3 -x_4 \amp=-1, \tag{2.1.43}\\
\phantom{2x_1} \phantom{3x_2} -2x_3 -6x_4 \amp =2, \tag{2.1.44}\\
\phantom{3x_1} \phantom{2x_2} 3x_3 +x_4 \amp=13, \tag{2.1.45}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} -x_3 -3x_4 \amp=1, \tag{2.1.46}
\end{align}
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 + 2x_4 \amp =4, \tag{2.1.47}\\
\phantom{x_1} x_2 +x_3 -x_4 \amp=-1, \tag{2.1.48}\\
\phantom{2x_1} \phantom{3x_2} x_3 +3x_4 \amp =-1, \tag{2.1.49}\\
\phantom{3x_1} \phantom{2x_2} \phantom{-3x_3} -8x_4 \amp=16, \tag{2.1.50}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} \phantom{-x_3} 0 \amp=0, \tag{2.1.51}
\end{align}
\begin{align}
x_1 -2x_2 + x_3 \phantom{+ 2x_4} \amp =8, \tag{2.1.52}\\
\phantom{x_1} x_2 +x_3 \phantom{-x_4} \amp=-3, \tag{2.1.53}\\
\phantom{2x_1} \phantom{3x_2} x_3 \phantom{+3x_4} \amp =5, \tag{2.1.54}\\
\phantom{3x_1} \phantom{2x_2} \phantom{-3x_3} x_4 \amp=-2, \tag{2.1.55}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} \phantom{-x_3} 0 \amp=0, \tag{2.1.56}
\end{align}
\begin{align}
x_1 -2x_2 \phantom{+ x_3} \phantom{+ 2x_4} \amp =3, \tag{2.1.57}\\
\phantom{x_1} x_2 \phantom{+x_3} \phantom{-x_4} \amp=-8, \tag{2.1.58}\\
\phantom{2x_1} \phantom{3x_2} x_3 \phantom{+3x_4} \amp =5, \tag{2.1.59}\\
\phantom{3x_1} \phantom{2x_2} \phantom{-3x_3} x_4 \amp=-2, \tag{2.1.60}\\
\phantom{-2x_1} \phantom{+4x_2} \phantom{-x_3} 0 \amp=0, \tag{2.1.61}
\end{align}
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccc}
x_1&=&-13,\\
x_2&=&-8,\\
x_3&=&5\\
x_4&=&-2.\end{array}\right.
\end{equation*}
请同学们思考，这种方法可能会遇到哪些困难？产生的结果可能有哪些特点？
注意到消元过程中，所有的变元是不改变的，真正参与运算的是变元前的系数。 接下来，通过引入矩阵及其运算，我们将系统研究线性方程组(2.1.26)的求解过程及所有可能结果。
练习 2.1.4 练习
基础题.
1.
判断下列方程是否是关于变元\(x_1,x_2,x_3\)的线性方程。
- \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\)；
- \(\frac{1}{2}x_1-3x_2=4\)；
- \(2^{x_1}+3^{x_2}+5^{x_3}=6\)；
- \(2x_1-x_2^{-1}+3x_3=0\)；
- \(\tan x_1 +\sin x_2+\cos x_3=3\)；
- \(-x_1+2x_3=7x_1-2x_2-9\)。
2.
判断下列方程组是否是关于变元\(x_1,x_2\)的线性方程组。若是，求解该线性方程组；若不是，适当改变变元使其构成线性方程组并求解。
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 2x^2-y^2&=&3,\\ -x^2+y^2&=&-1; \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x-6y&=&3,\\ -x+2y&=&1; \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 3x-6y&=&3,\\ -x+2y&=&1; \end{array}\right.\)
