定义 4.1.1. \(m\)维列向量空间\(\F^m\).
数域\(\F\)上所有\(m\)元有序组构成的集合\(\F^m\)，连同定义在其上的加法（\(+\)）运算和数乘（\(\cdot\)）运算一起，称为数域\(\F\)上的 \(m\)维列向量空间，记为\((\F^m,+,\cdot)\)。
列向量空间\(\F^m\)中的元素称为 \(m\)维列向量。
节 4.1 列向量空间\(\F^m\)
线性方程组按列分块后可以被改写为
\begin{equation}
x_1\cdot \alpha_1+\cdots+ x_n\cdot \alpha_n = \beta.\tag{4.1.1}
\end{equation}
为了便于深入讨论这样改写的好处，我们先来引入一些必要且常用的基础性术语。
子节 4.1.1 基本定义
设\(\F\)是一个给定的数域，\(m\)是一个正整数。 记
\begin{equation*}
\F^m = \{(a_1,\ldots,a_m)^T | a_j\in \F,\ j=1,\ldots,m \},
\end{equation*}
其中的\(a_j\)叫做\((a_1,\ldots,a_m)^T\)的第\(j\)个分量或第\(j\)个坐标。
对于\(\F^m\)中的两个元素\((a_1,\ldots,a_m)^T\)和\((b_1,\ldots,b_m)^T\)，若这两个元素的分量（坐标）对应相等，即\(a_1=b_1,\ldots,a_m=b_m\)，则称\((a_1,\ldots,a_m)^T\)与\((b_1,\ldots,b_m)^T\)相等，记作
\begin{equation*}
(a_1,\ldots,a_m)^T = (b_1,\ldots,b_m)^T.
\end{equation*}
本书中通常用小写的希腊字母\(\alpha,\beta,\gamma,\ldots\)来表示\(\F^m\)中的一个元素。
在\(\F^m\)上有两种常用运算，加法和数乘。我们通常用 \(+\) 和 \(\cdot\) 这两种运算符来分别表示对应的运算。
设\(\alpha=(a_1,\ldots,a_m)^T\in \F^m\)，\(\beta=(b_1,\ldots,b_m)^T\in \F^m\)，\(c\in \F\)。\(\alpha\)和\(\beta\)的加法定义为
\begin{equation*}
\alpha+\beta = (a_1+b_1,\ldots,a_m+b_m)^T.
\end{equation*}
\(\alpha\)和常数\(c\)的数乘定义为
\begin{equation*}
c\cdot \alpha =\alpha\cdot c = (ca_1,\ldots,ca_m)^T.
\end{equation*}
习惯上，数乘运算中的常数\(c\)通常被写在前面；在不会引起歧义的前提下，数乘运算符 \(\cdot\) 很多时候可以省略，简记为\(c\alpha\)。
在引入加法和数乘运算后，集合\(\F^m\)中的元素不再彼此完全无关，而是依据运算建立了一定的联系，从而使集合\(\F^m\)也具有了一定的结构。我们给这种有特殊结构的集合一个区别于普通集合的名称。
在后面的行文中，为了方便，多数情况下我们仅使用\(\F^m\)来作为\((\F^m,+,\cdot)\)的简记。
容易看到\(m\)维列向量形式上与一个\(m\times 1\)阶矩阵完全一样。同时，这里定义的列向量加法和数乘与将其作为矩阵的加法和数乘也是一样的。
(4.1.1)的左端既有加法也有数乘，这样的表达式我们将会经常碰到，因此它也有一个专门的名称。
定义 4.1.2.
设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)都是\(\F^m\)中的列向量，\(c_1,\ldots,c_n\)都是\(\F\)中的数，称向量（或表达式）
\begin{equation*}
c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n
\end{equation*}
为向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的一个线性组合；\(c_1,\ldots,c_n\)称为这个线性组合表达式的组合系数，或简称为线性组合的系数。
若列向量\(\beta\)是向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的一个线性组合，即存在\(c_j\in \F,j=1,\ldots,n\)，使得
\begin{equation*}
\beta = c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n,
\end{equation*}
则也称\(\beta\)可由向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) 线性表出。
列向量空间加法和数乘两种运算被统称为线性运算；相应地，列向量空间也被称为是一种线性空间。
备注 4.1.3.
线性空间的概念分狭义和广义两种。广义的线性空间相较于列向量空间是一个更广泛，同时也更抽象的概念，我们会在后面的章节（章 6 ）中进行专门讨论和定义。事实上，列向量空间是线性空间的典型代表，狭义的线性空间可以理解为是局限定义在列向量空间或其子集上的。
例 4.1.4.
设
\begin{equation*}
\alpha_1=(1,-1,2,0)^T,\alpha_2=(0,1,3,2)^T,\alpha_3=(1,1,8,4)^T,\beta=(2,1,13,6)^T,
\end{equation*}
试判断 \(\beta\)能否由向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出。若能，写出它的一种表示方式。
解答.
问题转化为求解线性方程组
\begin{equation}
x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta,\tag{4.1.2}
\end{equation}
即
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{cccl}
x_1&&+x_3&=2,\\
-x_1&+x_2&+x_3&=1,\\
2x_1&+3x_2&+8x_3&=13,\\
&2x_2&+4x_3&=6.
\end{array}\right.
\end{equation*}
对增广矩阵进行初等行变换：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
-1&1&1&1\\
2&3&8&13\\
0&2&4&6
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
0&1&2&3\\
0&3&6&9\\
0&2&4&6
\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
0&1&2&3\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
故线性方程组 (4.1.2)有无穷多个解，从而 \(\beta\)可由向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出，且表示方式有无穷多种。由于线性方程组 (4.1.2)的一般解为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{cl}
x_1&=2-x_3,\\
x_2&=3-2x_3,
\end{array}\right.
\end{equation*}
其中 \(x_3\)为自由未知量，取 \(x_3=1\)，得 \(x_1=1,x_2=1\)，所以其中一种表示方式为
\begin{equation*}
\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3.
\end{equation*}
利用上面的术语可知，线性方程组\(Ax=\beta\)有解等价于列向量\(\beta\)可以被系数矩阵\(A\)的列向量组\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)线性表出，即线性方程组问题可以转化为向量线性组合问题来进行理解。这种转化的好处在于：列向量及其线性组合有很好的几何解释，我们可以借助几何性质来进行直观思考。这种表示方式建立了代数问题与几何问题之间的转换桥梁。下面我们来介绍这种几何解释。
子节 4.1.2 列向量空间的几何解释
列向量空间最直观的几何解释是在\(\R^1\)、\(\R^2\)和\(\R^3\)中，其它空间可以（只能）类比想象。我们先以\(\R^2\)为例建立其几何解释。
经过中学数学《解析几何》的学习，相信大家已经可以很自然地将\(\R^2\)中的元素与一个坐标平面中的点一一对应。如\((1,2)^T\)就表示横坐标为1、纵坐标为2的\(xoy\)平面中的点。
（部分同学可能更习惯于用没有转置的行向量来表示点的坐标。注意到在点与坐标向量的对应中，本质重要的是坐标分量的顺序，而具体按行写还是按列写没有实质性区别。高等代数中，用列向量来与点对应的一个原因是为了匹配 (4.1.1)中的写法。 ）
“向量”在物理学中，或按字面解释，是一个既有方向（向）、又有大小（量）的几何对象，直观上可以用一个有向线段来表示，而有向线段又可以由它的两个顶点来确定。如下面的程序片段所绘图形所示，任给坐标平面的两个点\(A,B\)，用由\(A\)指向\(B\)的有向线段作为由\(A,B\)确定的向量(记做\(\overrightarrow{AB}\))的几何表示。此时，\(A\) 称为向量\(\overrightarrow{AB}\)的始点或尾，\(B\) 称为向量\(\overrightarrow{AB}\)的终点或头。
例 4.1.5. 向量的几何表示.
“向量”是经典物理学中的常用概念，如力、速度、电场强度等都是物理学中的常用向量。
决定一个“向量”的是其方向和长度，多数情况下其始点的位置并不重要。我们约定：若两个向量的方向和长度都一样，则认为这两个向量是相等的向量。从几何上来描述：两个向量的相等，等价于经过平行移动后两个向量可以重合，即平移不改变向量。
一个向量总可以经过平移后使其始点与坐标原点\(O=(0,0)^T\)重合。今后在未加说明的情况下，我们默认假设向量的始点是坐标原点。此时，平移后的向量可以由其终点完全决定。如下面的例子所示，经过平移后，\(\overrightarrow{AB}\)可以变成\(\overrightarrow{OC}\)，即\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\)。
例 4.1.6. 向量平移的不变性.
容易看到，\(C\)点的坐标就等于\(B\)的坐标减去\(A\)的坐标。
在后面的行文中，为了方便，我们不再仔细区分以下3者，认为这3者可以相互决定。
\begin{equation*}
\R^2 \text{中的列向量}\alpha \Leftrightarrow \text{坐标平面中的点} \Leftrightarrow \text{从坐标原点出发的有向箭头} \overrightarrow{\alpha}
\end{equation*}
我们再来通过例子观察一下数乘运算与加法运算的几何意义。
例 4.1.7. 数乘运算的几何意义.
通过上面的例子可以观察到，数乘运算在几何上可以理解为一个伸缩变换。当数乘的常数\(c>0\)时，\(c \alpha\)与\(\alpha\)方向相同；当\(c < 0 \)时，\(c \alpha\)与\(\alpha\)方向恰好相反。数乘运算的伸缩比例由\(|c|\)决定。
从几何上理解，列向量的加法遵守平行四边形法则，或三角形法则。如下面的例子所示。
例 4.1.8. 列向量加法的几何解释.
下面我们举例说明如何用几何的方法来求线性组合系数。
例 4.1.9. 求线性组合系数的几何方法.
设\(\alpha=(3,1)^T\)，\(\beta=(1,2)^T\)，\(\gamma =(-1,3)^T \)。用几何方法求\(c_1,c_2\)使得
\begin{equation*}
\gamma = c_1\alpha+c_2\beta.
\end{equation*}
解答.
做\(\alpha\)所在的直线\(\ell_1\)，\(\beta\)所在直线\(\ell_2\)。过点\(\gamma\)做\(\ell_1\)的平行线\(\ell_3\)，记\(\ell_3\)与\(\ell_2\)的交点为\(\gamma_b\)；过点\(\gamma\)做\(\ell_2\)的平行线\(\ell_4\)，记\(\ell_4\)与\(\ell_1\)的交点为\(\gamma_a\)。取\(c_1\)为向量\(\gamma_a\)与\(\alpha\)的“有向”长度比值（同向为＋，反向为-），可知\(c_1 = -1\)。同理可求得\(c_2=2\)。如下面的程序片段所绘图形所示。
请各位同学思考如下几个问题：
\(\R^3\)中的向量与空间坐标系中的点也可以自然对应。\(\R^2\)在坐标平面内的几何解释都可以做相应地推广。我们这里只给一个简单的例子，其它性质的例子请同学们自行完成。
例 4.1.10. \(\R^3\)与空间坐标系.
子节 4.1.3 列向量的代数性质
当\(m\ge 4\)时，\(\R^m\)的几何性质已经无法用图形进行展现。相较而言，\(\R^m\)乃至一般\(\F^m\) 的代数性质却可以较为容易地进行统一描述。在下面的定理中，我们总结了最基本、最常用的代数性质。后续\(\F^m\)中的代数性质都可以由这8条性质推导出来。
定理 4.1.11. \(\F^m\)中列向量的代数性质.
设\(\alpha,\beta,\gamma\)都是 \(\F^m\)中的列向量，\(c,d\)都是 \(\F\)中的常数。则下述8条性质成立：
- 加法交换律： \(\alpha+\beta = \beta+\alpha\)；
- 加法结合律：\((\alpha+\beta)+\gamma = \alpha+(\beta+\gamma) \)；
- 零元存在性：存在一个向量，记作 \({\bf 0}\)，使得对 \(\forall \alpha \in \F^m\)，\begin{equation*} {\bf 0} + \alpha = \alpha + {\bf 0} =\alpha; \end{equation*}
- 负元存在性：对 \(\forall \alpha \in \F^m\)，存在一个向量，记作 \(-\alpha\)，满足\begin{equation*} \alpha +(-\alpha) ={\bf 0}; \end{equation*}
- 向量加法对数乘的分配率：\(c(\alpha+\beta)=c\alpha+c\beta\)；
- 数量加法对数乘的分配率：\((c+d)\alpha=c\alpha+d\alpha\)；
- \((cd)\alpha=c(d\alpha)\)；
- \(1\alpha=\alpha\)。
提示.
取\({\bf 0}=(0,\ldots,0)^T \)，\(-\alpha = (-a_1,\ldots,-a_m)^T\)，其中\(\alpha=(a_1,\ldots,a_m) \)。
零向量\({\bf 0} = (0,\ldots,0)^T\)在列向量空间\(\F^m\)是一个特殊的存在。容易看到零向量可以由\(\F^m\)中任意的非空向量组进行线性表出（只需要所有系数均取0即可）。
注意到零向量\({\bf 0}\)和数字0的性质几乎相同，在接下来的行文中， 为了方便，记号上我们不再严格区分两者，请读者根据上下文自行判断其具体含义。
接下来我们来通过一个例子展示使用定理 4.1.11中8条性质的方法。
例 4.1.12. \(\F^m\)中零元、负元唯一性.
利用定理 4.1.11 中的8条性质证明下面的两个结论。
- 证明： \(\F^m\)中的零元是唯一的，即：若 \(\beta\in \F^m\)满足对任意的 \(\alpha \in \F^m\)，都有\begin{equation*} \beta+\alpha = \alpha +\beta = \alpha, \end{equation*}则 \(\beta=0 \)。
- 证明：对任意的 \(\alpha \in \F^m\)，其负元是唯一的。
解答.
- \begin{equation*} \beta={\bf 0}. \end{equation*}
- 若存在 \(\beta\in\F^m\)，使得 \(\alpha+\beta={\bf 0}\)，则\begin{equation*} \begin{array}{cl} \beta&=\beta+{\bf 0}=\beta+\left(\alpha+(-\alpha)\right)=\left(\beta+\alpha\right)+(-\alpha)\\ &=\left(\alpha+\beta\right)+(-\alpha)={\bf 0}+(-\alpha)=-\alpha. \end{array} \end{equation*}
最后，我们再次强调，请大家一起验证：在后续推导列向量空间\(\F^m\)的性质时，只需使用定理 4.1.11 中的8条性质。
子节 4.1.4 行向量空间
记
\begin{equation*}
\F_{m}=\{(a_1,\ldots,a_m) | a_j\in \F,\ j=1,\ldots,m \}.
\end{equation*}
称\(\F_{m}\)的元素为数域 \(\F\)上的\(m\)维行向量。
注意到列向量和行向量二者只差了一个转置，只是记法上的不同。与列向量相关的术语都可以平行的定义在行向量上，这里统一做一下说明，后面我们就不再重复定义了。
练习 4.1.5 练习
基础题.
1.
在 \(\F^4\)中，设
\begin{equation*}
\alpha_1=(-1,3,2,5)^T,\alpha_2=(2,-1,6,4)^T,\alpha_3=(7,-2,11,1)^T,
\end{equation*}
求 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的分别以下列数为组合系数的线性组合 \(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3\) ：
- \(c_1=-2,c_2=3,c_3=-1\)；
- \(c_1=0,c_2=1,c_3=0\)。
2.
设 \(\alpha=(2,-1)^T,\beta=(3,3)^T\)。利用sage，在坐标平面中画出下列向量：
\begin{equation*}
\alpha,\beta,-2\alpha,-2\alpha+\beta.
\end{equation*}
3.
设 \(\alpha=(1,1,-2)^T,\beta=(-2,-3,4)^T,\gamma=(-2,1,1)^T\)。利用sage，在3维坐标系中画出下列向量：
\begin{equation*}
\alpha+\beta,\alpha+\beta-2\gamma.
\end{equation*}
4.
在 \(\F^m\)中，令
\begin{equation*}
\varepsilon_1=(1,0,\ldots ,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,\ldots ,0)^T,\ldots,\varepsilon_m=(0,\ldots ,0,1)^T.
\end{equation*}
证明： \(\F^m\)中任一向量 \(\alpha\)都可由向量组 \(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_m\)线性表出。
5.
设 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\) 是 \(\F^m\)中向量组，证明： 对任意 \(1\leq i\leq n\)，\(\alpha_i\)都可由向量组 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n\)线性表出。
6.
在 \(\F^3\)中，判断向量 \(\beta\)能否由向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表出。若能，写出它的一种表示方式。
- \(\alpha_1=(2,1,-1)^T,\alpha_2=(2,-1,2)^T,\alpha_3=(3,0,1)^T,\beta=(4,2,-1)^T\)；
- \(\alpha_1=(1,-1,1)^T,\alpha_2=(1,-1,-1)^T,\alpha_3=(-1,1,2)^T,\beta=(4,1,4)^T\)；
- \(\alpha_1=(1,-1,1)^T,\alpha_2=(1,1,-1)^T,\alpha_3=(-1,3,-3)^T,\beta=(4,0,0)^T\)。
7.
已知 \(\alpha,\beta\)是 \(\F^m\)中向量，求向量 \(\gamma\)使得
\begin{equation*}
5\gamma+2\alpha-\beta=3(\gamma+\alpha)-2(3\alpha-2\beta).
\end{equation*}
提高题.
8.
用向量的相关知识证明：对角线相互平分的四边形是平行四边形。
