章 7 线性变换
在高等代数的知识体系中，线性变换是研究线性空间上“变化过程”的核心工具，也是贯穿整个学科的灵魂概念之一。此前我们已经系统学习了线性空间的定义、性质以及向量的线性运算、矩阵表示等基础内容，这些知识为我们理解线性变换提供了必要的铺垫——线性空间是线性变换的“舞台”，而线性变换则是这个舞台上最具规律性、最能体现线性空间本质特征的“运动”。
线性变换是特殊的线性映射，它的特殊主要在于映射前后的背景集合一样，这样的变化过程在自然科学、工程技术等领域比比皆是。比如，解析几何中几何图形的旋转与缩放，数学分析中函数集合\(C^\infty[a,b]\)上的求导与变上限积分，以及经典物理学中的力或运动的合成、量子物理学中量子系统的自主演化（封闭系统）或观测效应（开放系统）等，其本质都是线性变换的具体体现。在数学建模求解过程中，局部使用线性变换替代一般变换往往是最常用、最有效的简化问题方式。掌握线性变换的理论与方法，不仅能深化我们对线性空间结构的理解，更能为我们解决各类实际问题提供统一、高效的思路。
本章将围绕线性变换的核心内容展开系统讲解。我们首先将给出线性变换的严格数学定义，明确其与线性映射的区别与联系；随后，将探讨线性变换与表示阵之间的对应关系，特别是如何利用基变换化简表示矩阵，即矩阵相似标准型问题。在此过程中，我们还将介绍线性变换的不变子空间、特征值和特征向量、零化多项式和最小多项式等重要概念。借助这些工具，我们将深入分析线性变换的结构特征，引出线性变换的最简矩阵即Jordan标准型矩阵。通过理解Jordan标准型矩阵的作用效果，希望同学们可以掌握一般线性变换的作用效果，进而形成对线性变换的宏观理解。
