子节 7.9.1 循环子空间分解
我们先来理解一个Jordan块对应线性变换的作用效果。设线性变换 \(\phi\)在基 \((\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)\)下的表示矩阵恰好是一个以 \(\lambda_0\)为对角元的Jordan块，即
\begin{equation*}
\phi(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k)\begin{pmatrix}
\lambda_0 & & &\\
1 & \lambda_0 & &\\
&\ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda_0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
分开书写可得
\begin{align*}
\phi(\varepsilon_1) \amp = \lambda_0 \varepsilon_1 +\varepsilon_2, \\
\phi(\varepsilon_2) \amp = \lambda_0 \varepsilon_2 +\varepsilon_3, \\
\amp \vdots \\
\phi(\varepsilon_{k-1}) \amp = \lambda_0 \varepsilon_{k-1} + \varepsilon_k, \\
\phi(\varepsilon_k) \amp = \lambda_0 \varepsilon_k.
\end{align*}
将含有\(\lambda_0\)的项移至左端并整理，记 \(\psi = \phi -\lambda_0 {\rm id}_V\) 上式可被改写为
\begin{align*}
\psi (\varepsilon_1) \amp = \varepsilon_2,\\
\psi (\varepsilon_2) \amp =\varepsilon_3,\\
\amp \vdots \\
\psi (\varepsilon_{k-1}) \amp = \varepsilon_k,\\
\psi (\varepsilon_k) \amp= 0,
\end{align*}
也就是说
\begin{equation*}
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\dots,\varepsilon_k) = (\varepsilon_1,\psi(\varepsilon_1),\psi^2(\varepsilon_1)\dots,\psi^{k-1}(\varepsilon_{1})).
\end{equation*}
我们引入如下术语。
定义 7.9.1.
设\(U\)是线性空间\(V\)的\(k\)维子空间。若存在\(\varepsilon\in U\)，使
\begin{equation*}
(\varepsilon,\psi(\varepsilon), \psi^2(\varepsilon),\dots,\psi^{k-1}(\varepsilon))
\end{equation*}
为\(U\)的一个基且\(\psi^k(\varepsilon)= 0\)，则称\(U\)为线性变换\(\psi\)的循环子空间。此时，称 \((\varepsilon,\psi(\varepsilon), \psi^2(\varepsilon),\dots,\psi^{k-1}(\varepsilon))\)为\(U\)的一个循环基。
先从代数的角度理解\(\psi\)在其循环子空间 \(U\)上的作用效果：对 \(\forall \alpha\in U\)，记其在循环基\((\varepsilon,\psi(\varepsilon), \psi^2(\varepsilon),\dots,\psi^{k-1}(\varepsilon))\)下的坐标为
\begin{equation*}
X=(x_1,x_2,\dots,x_{k-1},x_k)^T,
\end{equation*}
则 \(\alpha\)的像\(\psi(\alpha)\)在同一个基下的坐标为
\begin{equation*}
Y = (0,x_1,x_2,\dots,x_{k-1})^T\text{.}
\end{equation*}
接下来我们以循环子空间 \(U=\R^3\)为例，尝试建立\(\psi\)在其上作用效果的几何直观。不妨设三个坐标轴上的单位坐标向量 \(i,j,k\)构成了循环基。则从向量 \((x,y,z)^T\)变成\((0,x,y)^T\)可以理解为先把空间中的向量向\(xoy\)平面做投影，然后把\(xoy\)平面旋转至\(yoz\)平面，使得原\(x\)轴与\(y\)轴重合、原\(y\)轴与\(z\)轴重合，变化过程中原\(z\)轴塌缩至坐标原点。
***缺动画**
回到线性变换\(\phi\)。注意到在其一个Jordan块所对应的不变子空间\(U\)上，\(\phi = \phi +\lambda_0 {\rm id}_V\)，\(\phi\)在\(U\)上的作用效果可以按照\(\psi\)的作用效果叠加\(\lambda_0\)倍的伸缩变换效果来进行想象。
***加一个图，以网格表示线性空间\(\R^2\)，画出变换前后的网格***
现在回到全空间\(V\)。设\(\phi\) 是\(\mathbb{C}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换， 记其初等因子组为:
\begin{equation*}
(\lambda- \lambda_1)^{e_1},\dots, (\lambda - \lambda_m)^{e_m},
\end{equation*}
则存在\(V\)的一个基\(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\)，使得
\begin{equation*}
\phi(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n) \begin{pmatrix}
J(\lambda_1,e_1) & & \\
& \ddots& \\
& & J(\lambda_m,e_m)
\end{pmatrix}
\end{equation*}
其中\(e_1+\cdots+e_m=n\)。
令
\begin{equation*}
V(\lambda_1,e_1)= \langle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots ,\varepsilon_{e_1}\rangle,
\end{equation*}
则
\begin{align*}
\phi(\varepsilon_1)& = \lambda_1 \varepsilon_1 + \varepsilon_2,\\
& \cdots \\
\phi(\varepsilon_{e_1-1})& = \lambda_1 \varepsilon_{e_1-1} + \varepsilon_{e_1},\\
\phi(\varepsilon_{e_1})& = \lambda_1 \varepsilon_{e_1}.
\end{align*}
故\(V(\lambda_1,e_1)\)是\(\phi - \lambda_1{\rm id}_V \)的循环子空间。
同理，令
\begin{equation*}
V(\lambda_j,e_j) = \langle \varepsilon_{t_j+1},\ldots,\varepsilon_{t_j+e_j}\rangle,
\end{equation*}
其中\(t_j=e_1+e_2+\cdots+e_{j-1}\)，即\(V(\lambda_j, e_j)\)对应Jordan块\(J(\lambda_j, e_j)\)，对应初等因子\((\lambda- \lambda_j)^{e_j}\)，则\(V(\lambda_j,e_j)\)也是一个循环子空间，故有循环子空间的直和分解
\begin{equation*}
V = V(\lambda_1,e_1)\oplus V(\lambda_2, e_2)\oplus\cdots\oplus V(\lambda_k,e_k).
\end{equation*}
综上所述，有下面的结论。
定理 7.9.2.
设\(\phi\)是\(\mathbb{C}\)上\(n\)维空间\(V\)的线性变换，设\(\phi\)的初等因子组为
\begin{equation*}
(\lambda- \lambda_1)^{e_1},(\lambda- \lambda_2)^{e_2},\ldots,(\lambda- \lambda_k)^{e_k}.
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
V = V(\lambda_1,e_1)\oplus V(\lambda_2, e_2)\oplus\cdots\oplus V(\lambda_k,e_k),
\end{equation*}
这里\(V(\lambda_i,e_i)\)是\(\phi- \lambda_i{\rm id}_V\)的循环子空间，因而是\(\phi\)-子空间；\(\dim V(\lambda_i,e_i) =e_i(i= 1,2,\ldots,k)\)；且每个\(V(\lambda_i, e_i)\)不能分解成为两个非零\(\phi\)-子空间的直和。
证明.
只需证明每个\(V(\lambda_i, e_i)\)不能分解成为两个非零\(\phi\)-子空间的直和。（待补充）
