定义 A.3.23.
设\(A\)、\(B\)是两个集合。称映射
\begin{equation*}
R: A\times B \to \{0,1\}
\end{equation*}
为\(A\)到\(B\)的一个（二元）关系；特别地，若\(A=B\)，则映射\(R\)也称为集合\(A\)上的（二元）关系。
若\(R(a,b) =1\)，则称\(a\)与\(b\)符合关系\(R\)，简记为\(aRb\)。
子节 A.3 等价关系与分类
等价关系是集合中元素对之间的一种特定类型的关系。要定义等价关系，我们需要首先明确什么是“关系”。
日常生活中的关系有很多，如人之间的师生关系、朋友关系，数字间的相等关系、大小关系等等。这些关系的共同点是通常讨论的都是两个对象，且给了两个对象后，或者这两个对象有关系、或者没有关系。将上述共同点抽象化后，可以得出数学上关系的一个定义。
举例来说，取\(A\)表示一所大学的全体在职教师，\(B\)表示该大学的全部在读学生。定义\(R: A\times B \to \{0,1\}\)，其中
\begin{equation*}
R(t,s) = \begin{cases}
1, & \text{若}s\text{上过}t\text{主讲的课；}\\
0, & \text{若}s\text{没有上过}t\text{主讲的课。}
\end{cases}
\end{equation*}
则\(R\)反应的就是这所大学师生间的授课关系。
备注 A.3.24.
关系也可以用\(A\times B\)的子集来定义，此时定义关系的子集就是上述定义中的\(R^{-1}(1)\)，即符合关系\(R\)的所有二元组。这两种定义是等价的。
定义 A.3.25.
设\(R\)是集合\(A\)上的一个二元关系。若\(R\)满足：
- 自反性：\(\forall a\in A,\ aRa\)；
- 对称性：若\(aRb\)，则\(bRa\)；
- 传递性：若\(aRb\)、\(bRc\)，则\(aRbc\)；
则称\(R\)是集合\(A\)上的等价关系。
等价关系之所以重要，部分原因是因为它与集合的分类/划分有密切联系。
将一个集合\(A\)表示为若干个子集的不交并，即使得\(A\)中的每一个元素属于且仅属于其中一个子集，则这些子集的全体称为集合\(A\)的一个分类，也称为为集合\(A\)的一个划分。
定理 A.3.26.
集合\(A\)的一个划分决定了\(A\)上的一个等价关系；\(A\)上的一个等价关系也决定了集合\(A\)的一个划分。
