主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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节 7.6 \(\lambda\)-矩阵相抵与矩阵相似
矩阵相似关系和相抵关系都是等价关系。虽然都是等价关系，相似关系与相抵关系相比要复杂很多。进一步研究相似关系时，我们需要引入一个新的工具。经过前辈数学家的努力研究发现：两个方阵\(A\)与\(B\)是否相似的问题可以转化为\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)是否相抵的问题。本节中我们开始介绍这个工具，这个工具就是\(\lambda\)-矩阵。
子节 7.6.1 \(\lambda\)-矩阵与相抵
定义 7.6.1.
设\(\mathbb{F}\)是一个数域，形如
\begin{equation*}
A(\lambda )=\begin{pmatrix}
a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\
a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda)\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mn}(\lambda)\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
的\(m\times n\)矩阵，其中\(a_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F} [\lambda]\)，称为数域\(\mathbb{F}\)上的多项式矩阵 或\(\lambda\)-矩阵。
注意到每一个数域 \(\F\)中的数也都是一个常多项式，因此完全由数字构成的矩阵也是特殊的\(\lambda\)-矩阵。在接下来的讨论中，有时为了强调完全由数字构成矩阵的特殊性，与一般\(\lambda\)-矩阵相区别，这样的矩阵也被称为数字矩阵。
注意到多项式集合上没有定义除法（两个多项式相除可能不是多项式）。除此之外，数集上的所有运算在多项式集合也都有定义。相应的，数字矩阵上基于非除法运算定义的所有概念都可以扩充到\(\lambda\)-矩阵上，例如：相等、加法、数乘、乘法、行列式、伴随矩阵、秩（按非0子式的最大阶数理解）等，只需把相关数的运算换成多项式的运算即可，这些基本概念我们不再一一叙述。
求特征多项式时用到的矩阵\(\lambda E_n-A\)（或\(A-\lambda E_n\)）就是一个典型的\(\lambda\)-矩阵，特征多项式就是这个\(\lambda\)-矩阵的行列式。我们称\(\lambda E_n-A\)为数字矩阵\(A\)的特征矩阵。
\(\lambda\)-矩阵可逆在后续讨论中需要重点使用，下面是它的定义。
定义 7.6.2.
若\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)都是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且
\begin{equation*}
A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E_n，
\end{equation*}
则称\(A(\lambda)\)是可逆\(\lambda\)-矩阵，\(B(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的逆\(\lambda\)-矩阵。
跟数字矩阵的结论类似，可以验证下面两个命题成立。
命题 7.6.3.
若\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)的逆矩阵存在，则必唯一，记为\(A(\lambda)^{-1}\)。
命题 7.6.4.
若\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda),B(\lambda)\)均可逆，则\(A(\lambda)B(\lambda)\)可逆且
\begin{equation*}
(A(\lambda)B(\lambda))^{-1}=B(\lambda)^{-1}A(\lambda)^{-1}.
\end{equation*}
数字矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0。\(\lambda\)-矩阵的相应结论稍有不同，请同学们留意区分。
定理 7.6.5.
\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)可逆的充分必要条件是\(\det A(\lambda)\)为非零常数。
例 7.6.6.
\(\det A(\lambda)\ne 0\)但\(A(\lambda)\)不可逆的例子
\(\lambda\)-矩阵中也有相抵关系，其定义也和数字矩阵的类似。
定义 7.6.7.
设\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)是\(\lambda\)-矩阵。若存在可逆\(\lambda\)-矩阵 \(P(\lambda)\)和\(Q(\lambda)\)，使得
\begin{equation*}
A(\lambda) =P(\lambda)B(\lambda)Q(\lambda),
\end{equation*}
则称\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\) 相抵，记为\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)。
可以验证\(\lambda\)-矩阵的相抵关系是一种等价关系，即满足：
反身性：\(A(\lambda)\simeq A(\lambda)\)；
对称性：若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)，则\(B(\lambda)\simeq A(\lambda)\)；
传递性：若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ B(\lambda)\simeq C(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\simeq C(\lambda)\)。
子节 7.6.2 \(\lambda\)-矩阵相抵和数字矩阵相似
接下来我们开始说明\(\lambda\)-矩阵相抵和数字矩阵相似之间的关系。为了证明相应的结论，我们需要先证明一个\(\lambda\)-矩阵的“带余除法”。注意到矩阵乘法没有交换性，所以下面的带余除法也分“左除”和“右除”。
引理 7.6.8.
设\(M(\lambda),\ N(\lambda)\)是非零\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，\(B\)是\(n\)阶数字矩阵，则必存在\(\lambda\)-矩阵\(Q(\lambda)\)和\(S(\lambda)\)以及数字矩阵\(R\)和\(T\)，使得
\begin{equation}
M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+R,\tag{7.6.1}
\end{equation}
\begin{equation}
N(\lambda)=S(\lambda)(\lambda E-B)+T.\tag{7.6.2}
\end{equation}
证明.
下面是本节的主要定理，这个定理是我们研究 \(\lambda\)-矩阵的动机。
定理 7.6.9.
设\(A,B\)是\(n\)阶数字方阵，则\(A\)相似于\(B\)的充分必要条件是\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)相抵。
证明.
练习 7.6.3 练习
基础题.
1.
下列矩阵是否满秩？是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1
\end{pmatrix}\)；
\(\begin{pmatrix}
1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1
\end{pmatrix}\)。
2.
若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，证明：
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A(\lambda)&0\\0&C(\lambda)
\end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix}
B(\lambda)&0\\0&D(\lambda)
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
提高题.
3.
设\(A(\lambda)=A_s\lambda^s+A_{s-1}\lambda^{s-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0\)且\(\deg A(\lambda)=s>0\)。证明：若\(A(\lambda)\)可逆，则\(\det A_s=0\)且\(\det A_0\neq 0\)。
