主要内容

高等代数: 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 叶从峰

节 7.6 \(\lambda\)-矩阵相抵与矩阵相似

矩阵相似关系和相抵关系都是等价关系。虽然都是等价关系，相似关系与相抵关系相比要复杂很多。进一步研究相似关系时，我们需要引入一个新的工具。经过前辈数学家的努力研究发现：两个方阵\(A\)与\(B\)是否相似的问题可以转化为\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)是否相抵的问题。本节中我们开始介绍这个工具，这个工具就是\(\lambda\)-矩阵。

子节 7.6.1 \(\lambda\)-矩阵与相抵

定义 7.6.1.

设\(\mathbb{F}\)是一个数域，形如
\begin{equation*} A(\lambda )=\begin{pmatrix} a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\ a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mn}(\lambda)\\ \end{pmatrix} \end{equation*}
的\(m\times n\)矩阵，其中\(a_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F} [\lambda]\)，称为数域\(\mathbb{F}\)上的多项式矩阵 或\(\lambda\)-矩阵。
注意到每一个数域 \(\F\)中的数也都是一个常多项式，因此完全由数字构成的矩阵也是特殊的\(\lambda\)-矩阵。在接下来的讨论中，有时为了强调完全由数字构成矩阵的特殊性，与一般\(\lambda\)-矩阵相区别，这样的矩阵也被称为数字矩阵。
多项式集合上没有定义除法（两个多项式相除可能不是多项式），除此之外，数集上的所有运算在多项式集合也都有定义。相应的，数字矩阵上基于非除法运算定义的所有概念都可以扩充到\(\lambda\)-矩阵上，例如：相等、加法、数乘、乘法、行列式、伴随矩阵、秩（按非0子式的最大阶数理解）等，只需把相关数的运算换成多项式的运算即可，这些基本概念我们不再一一叙述。

例 7.6.2.

\(A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda^{2}-1&\lambda +3\\1&\lambda^{3}+2\lambda\end{pmatrix}\)是一个\(\lambda\)-矩阵，求\(\det A(\lambda)\)、\({\rm adj } A(\lambda)\)和\(r(A(\lambda))\)。
解答.
\begin{align*} \det A(\lambda) \amp = (\lambda^{2}-1)(\lambda^{3}+2)-(\lambda +3)\\ \amp =\lambda^5 +\lambda^3-3\lambda -3. \end{align*}
\begin{align*} {\rm adj} A(\lambda ) =\amp \frac{1}{\lambda^5 +\lambda^3-3\lambda -3} \begin{pmatrix} \lambda^{3}+2\lambda &-\lambda -3\\-1&\lambda^{2}-1\end{pmatrix}. \end{align*}
\begin{equation*} r(A(\lambda))=2. \end{equation*}
设\(A(\lambda)\)是数域\(\F\)上的\(\lambda\)-矩阵，则\(A(\lambda )\) 可化为如下形状
\begin{equation*} M_{l}\lambda^{l}+M_{l-1}\lambda^{l-1}+\cdots +M_{0}, \end{equation*}
其 中\(M_{i}\)是\(m\times n\)数字矩阵，\(i=1,\dots ,l\)。当\(M_{l}\neq 0\)时，\(A(\lambda)\)也被称为\(l\)次矩阵多项式。例如 例 7.6.2中的矩阵\(A(\lambda)\)也可被改写为
\begin{equation*} A(\lambda)=\lambda^{3} \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}+\lambda^{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&3\\1&0\end{pmatrix}, \end{equation*}
即\(A(\lambda)\)也是一个3次矩阵多项式。
求特征多项式时用到的矩阵\(\lambda E_n-A\)（或\(A-\lambda E_n\)）就是一个典型的\(\lambda\)-矩阵，特征多项式就是这个\(\lambda\)-矩阵的行列式。我们称\(\lambda E_n-A\)为数字矩阵\(A\)的特征矩阵。非0数字矩阵的特征矩阵都是1次矩阵多项式。
\(\lambda\)-矩阵可逆性在后续讨论中需要重点使用，下面是它的定义。

定义 7.6.3.

若\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)都是\(n\)阶\(\lambda\)-矩阵，且
\begin{equation*} A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E_n， \end{equation*}
则称\(A(\lambda)\)是可逆\(\lambda\)-矩阵，\(B(\lambda)\)是\(A(\lambda)\)的逆\(\lambda\)-矩阵。
跟数字矩阵的结论类似，可以验证下面两个命题成立。
数字矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0。\(\lambda\)-矩阵的相应结论稍有不同，请同学们留意区分。

例 7.6.7.

\(\det A(\lambda)\ne 0\)但\(A(\lambda)\)不可逆的例子
\(\lambda\)-矩阵中也有相抵关系，其定义也和数字矩阵的类似。

定义 7.6.8.

设\(A(\lambda),\ B(\lambda)\)是\(\lambda\)-矩阵。若存在可逆\(\lambda\)-矩阵 \(P(\lambda)\)和\(Q(\lambda)\)，使得
\begin{equation*} A(\lambda) =P(\lambda)B(\lambda)Q(\lambda), \end{equation*}
则称\(\lambda\)-矩阵\(A(\lambda)\)和\(B(\lambda)\) 相抵，记为\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)。
可以验证\(\lambda\)-矩阵的相抵关系是一种等价关系，即满足：
  • 反身性：\(A(\lambda)\simeq A(\lambda)\)；
  • 对称性：若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda)\)，则\(B(\lambda)\simeq A(\lambda)\)；
  • 传递性：若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ B(\lambda)\simeq C(\lambda)\)，则\(A(\lambda)\simeq C(\lambda)\)。

子节 7.6.2 \(\lambda\)-矩阵相抵和数字矩阵相似

接下来我们开始说明\(\lambda\)-矩阵相抵和数字矩阵相似之间的关系。为了证明相应的结论，我们需要先证明一个\(\lambda\)-矩阵的“带余除法”。注意到矩阵乘法没有交换性，所以下面的带余除法也分“左除”和“右除”。

证明.

下面是本节的主要定理，这个定理是我们研究 \(\lambda\)-矩阵的动机。

证明.

练习 7.6.3 练习

基础题.

1.
下列矩阵是否满秩？是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
  1. \(\begin{pmatrix} 1&\lambda&1\\\lambda&1&2\\1&0&1 \end{pmatrix}\)；
  2. \(\begin{pmatrix} 1&\lambda&3\\\lambda&1&\lambda\\-1&\lambda&1 \end{pmatrix}\)。
2.
若\(A(\lambda)\simeq B(\lambda),\ C(\lambda)\simeq D(\lambda)\)，证明：
\begin{equation*} \begin{pmatrix} A(\lambda)&0\\0&C(\lambda) \end{pmatrix}\simeq \begin{pmatrix} B(\lambda)&0\\0&D(\lambda) \end{pmatrix}. \end{equation*}

提高题.

3.
设\(A(\lambda)=A_s\lambda^s+A_{s-1}\lambda^{s-1}+\cdots+A_1\lambda+A_0\)且\(\deg A(\lambda)=s>0\)。证明：若\(A(\lambda)\)可逆，则\(\det A_s=0\)且\(\det A_0\neq 0\)。

挑战题.

4.
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