先证明必要性：若\(A\)相似于\(B\)，则存在可逆矩阵\(P\)使得\(B=P^{-1}AP \)。于是
\begin{equation*}
P^{-1}(\lambda E-A)P = \lambda E - P^{-1}AP = \lambda E-B.
\end{equation*}
注意到数字可逆矩阵\(P\)也是可逆的\(\lambda\)-矩阵，所以必要性成立。
充分性：若\(\lambda E-A\)与\(\lambda E-B\)相抵，则存在可逆\(\lambda\)-矩阵\(M(\lambda)\)和\(N(\lambda)\)，使得
\begin{equation*}
M(\lambda)(\lambda E-A)N(\lambda) = \lambda E-B.
\end{equation*}
上式可被改写为
\begin{equation}
M(\lambda)(\lambda E-A) = (\lambda E-B)N(\lambda)^{-1}.\tag{7.6.3}
\end{equation}
\begin{equation*}
M(\lambda)=(\lambda E-B)Q(\lambda)+L,
\end{equation*}
\begin{equation*}
L(\lambda E-A)=(\lambda E-B)[N(\lambda)^{-1}-Q(\lambda)(\lambda E-A)].
\end{equation*}
上式的左端是一次多项式，故右端式子中的\(N(\lambda)^{-1}-Q(\lambda)(\lambda E-A)\)也只能是0次多项式，即为数字矩阵，将之简记为\(P\)，上式可简化为
\begin{equation*}
L(\lambda E-A)=(\lambda E-B)P.
\end{equation*}
多项式相等意味着同次项系数对应相等，所以\(L = P\)，\(LA = BP\)，即
\begin{equation*}
PA=BP.
\end{equation*}
要证明\(A\)与\(B\)相似，现只需说明\(P\)是可逆矩阵即可。
因为
\begin{equation*}
P = N(\lambda)^{-1}-Q(\lambda)(\lambda E-A),
\end{equation*}
右乘\(N(\lambda)\)，整理得
\begin{equation*}
PN(\lambda)+Q(\lambda)(\lambda E-A)N(\lambda) = E,
\end{equation*}
将\(\lambda E-A\)转化为 \(\lambda E-B\)，由于
\begin{equation*}
(\lambda E-A)N(\lambda) = M(\lambda)^{-1}(\lambda E-B),
\end{equation*}
替换后得：
\begin{equation*}
PN(\lambda)+Q(\lambda)M(\lambda)^{-1}(\lambda E-B) = E.
\end{equation*}
\begin{equation*}
[PS(\lambda)Q(\lambda)M(\lambda)^{-1}](\lambda E - B) + PR = E,
\end{equation*}
比较同次项系数可知：
\begin{equation*}
PS(\lambda)Q(\lambda)M(\lambda)^{-1} = 0,\quad PR = E,
\end{equation*}
所以\(P\)是可逆矩阵，结论成立。
