节 3.4 Cramer法则
本节中我们来证明在
节 3.1中观察到的二阶、三阶线性方程组公式解的规律可以推广到一般阶数的方线性方程组。此结论被称为Cramer法则。
定理 3.4.1. Cramer法则.
设\(Ax=b\)是一个线性方程组，其中\(A =(a_{ij})_{n\times n} \)是\(n\)阶方阵、\(b=(b_j)_{n\times 1}\)。若该方程组的系数矩阵行列式\(\det A\)不为\(0\)，则方程组有唯一解：
\begin{equation*}
x_j=\frac{\det D_j}{\det A},\ j=1,2,\ldots,n,
\end{equation*}
其中\(\det D_j\)是一个\(n\)阶行列式， 它是将\(\det A\)第\(j\)列换成由方程组常数项\(b_1, b_2,\ldots, b_n\)组成的列得到的行列式，即
\begin{equation*}
\det D_{{\color{red}j}} = \begin{vmatrix}
\cdots & a_{1,j-1} & {\color{red}b_1} &a_{1,j+1}& \cdots\\
\cdots & a_{2,j-1} & {\color{red}b_2} &a_{2,j+1}& \cdots\\
\vdots &\vdots &{\color{red}\vdots} &\vdots &\vdots \\
\cdots & a_{n,j-1} & {\color{red}b_n} &a_{n,j+1}& \cdots
\end{vmatrix}
\end{equation*}
证明.
因为 \(\det A\neq 0\)，所以 \(A\)可逆，故方程组有唯一解：
\begin{equation*}
X=A^{-1}b=\left(\frac{1}{\det A}{\rm adj}A\right) b,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\
A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\\vdots\\b_n
\end{pmatrix},
\end{equation*}
这里 \(A_{kl}\)是 \(A\) 的 \((k,l)\)元的代数余子式。 从而
\begin{equation*}
x_j=\frac{b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}}{\det A}.
\end{equation*}
注意到 \(\det A\)与 \(\det D_j\) 的区别仅在第 \(j\)列，所以对任意 \(1\leq i\leq n\)， \(\det D_j\) 的 \((i,j)\)元的代数余子式等于 \(\det A\)的 \((i,j)\)元的代数余子式 \(A_{ij}\)。因此按第 \(j\)列展开，有
\begin{equation*}
\det D_j=b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}.
\end{equation*}
从而方程组有唯一解：
\begin{equation*}
x_j=\frac{\det D_j}{\det A},\ j=1,2,\ldots,n.
\end{equation*}
下面我们用Cramer法则来讨论\(A^{-1}\)的公式表达式。
例 3.4.2. \(A^{-1}\)的公式表达式.
用Cramer法则验证：当\(\det A\ne 0\)时，方阵\(A^{-1}\)存在，且
\begin{equation*}
A^{-1} = \frac{1}{\det A}{\rm adj}A.
\end{equation*}
Cramer法则中涉及到多个行列式，而行列式的计算本身费时费力。由于运算量过大，在实际问题中很少直接用Cramer法则计算线性方程组的解。
Cramer法则的理论分析意义远大于其计算意义。下面我们举例说明Cramer法则的理论分析意义。首先是借助Cramer法则和Vandermonde行列式的相关结论来证明插值多项式的存在唯一性。
例 3.4.3. Cramer法则与插值多项式.
证明：坐标平面中任意\(n+1\)个横坐标两两不同的点可以唯一确定一个次数不超过\(n\)的多项式函数。
解答.
根据
例 3.3.7中给出的公式，
\(x_0,\dots,x_n\)两两不同当且仅当线性方程组
(3.3.4)的系数矩阵行列式不为0。结合Cramer法则可知结论成立。
利用Cramer法则，我们还可以将很多看似与线性方程组无关的问题用行列式给出简洁、统一的公式解，如下例所示。
例 3.4.4. 用行列式求圆方程.
证明：过平面上不共线的 \(3\)点 \(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)的圆的方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x^2+y^2&x&y&1\\
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
解答.
设过\(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)的圆的方程为
\begin{equation}
x^2+y^2+Ax+By+C=0.\tag{3.4.1}
\end{equation}
将
\(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)分别代入
(3.4.1)得到关于未知量
\(A,B,C\)的线性方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ccl}
Ax_1+By_1+C&=&-(x_1^2+y_1^2),\\
Ax_2+By_2+C&=&-(x_2^2+y_2^2),\\
Ax_3+By_3+C&=&-(x_3^2+y_3^2).\\
\end{array}\right.\tag{3.4.2}
\end{equation}
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}\neq 0.
\end{equation*}
\begin{equation*}
A=\frac{\begin{vmatrix}
-(x_1^2+y_1^2)&y_1&1\\
-(x_2^2+y_2^2)&y_2&1\\
-(x_3^2+y_3^2)&y_3&1
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
B=\frac{\begin{vmatrix}
x_1&-(x_1^2+y_1^2)&1\\
x_2&-(x_2^2+y_2^2)&1\\
x_3&-(x_3^2+y_3^2)&1
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
C=\frac{\begin{vmatrix}
x_1&y_1&-(x_1^2+y_1^2)\\
x_2&y_2&-(x_2^2+y_2^2)\\
x_3&y_3&-(x_3^2+y_3^2)
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
(x^2+y^2)\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}+x\begin{vmatrix}
-(x_1^2+y_1^2)&y_1&1\\
-(x_2^2+y_2^2)&y_2&1\\
-(x_3^2+y_3^2)&y_3&1
\end{vmatrix}&\\
+y\begin{vmatrix}
x_1&-(x_1^2+y_1^2)&1\\
x_2&-(x_2^2+y_2^2)&1\\
x_3&-(x_3^2+y_3^2)&1
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
x_1&y_1&-(x_1^2+y_1^2)\\
x_2&y_2&-(x_2^2+y_2^2)\\
x_3&y_3&-(x_3^2+y_3^2)
\end{vmatrix}&=0,
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{cl}
(x^2+y^2)\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}-x\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2&y_1&1\\
x_2^2+y_2^2&y_2&1\\
x_3^2+y_3^2&y_3&1
\end{vmatrix}&\\
+y\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2&x_1&1\\
x_2^2+y_2^2&x_2&1\\
x_3^2+y_3^2&x_3&1
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
x_1^2+y_1^2&y_1&x_1\\
x_2^2+y_2^2&y_2&x_2\\
x_3^2+y_3^2&y_3&x_3
\end{vmatrix}&=0.
\end{array}
\end{equation*}
因此所求圆的方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x^2+y^2&x&y&1\\
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
练习 练习
基础题.
1.
设 \(a,b,c\)是数域 \(\F\)上互不相同的常数，解线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccl}
x_1+ax_2+a^2x_3=a^3,\\
x_1+bx_2+b^2x_3=b^3,\\
x_1+cx_2+c^2x_3=c^3.
\end{array}\right.
\end{equation*}
2.
讨论当 \(a,b,c\)满足什么条件时，线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccl}
ax_1-2x_2-x_3&=&1,\\
2x_1+x_2+x_3&=&b,\\
10x_1+5x_2+4x_3&=&c,
\end{array}\right.
\end{equation*}
有唯一解、无解、有无穷多解？有解时求出其解。
提高题.
3.
利用线性方程组理论证明：一元 \(n\)次多项式不能有多于 \(n\)个互异的根。
4.
设 \(a_1,\ldots,a_n\)是数域 \(\F\)上 \(n\)个不同的数，则对于任意 \(b_1,\ldots ,b_n\in\F\)，存在唯一的次数小于 \(n\) 的多项式
\begin{equation*}
L(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_i\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j},
\end{equation*}
满足对于任意的 \(i(1\leq i\leq n)\) ，都有
\begin{equation*}
L(a_i)=b_i.
\end{equation*}
提示.
要证明插值多项式的存在、唯一性，只需证明存在唯一的 \(c_0,\ldots ,c_{n-1}\)，使得
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{c}
L(a_1)=c_0+c_1a_1+c_2a_1^2+\cdots+c_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\
L(a_2)=c_0+c_1a_2+c_2a_2^2+\cdots+c_{n-1}a_2^{n-1}=b_2,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
L(a_n)=c_0+c_1a_n+c_2a_n^2+\cdots+c_{n-1}a_n^{n-1}=b_n,
\end{array}\right.
\end{equation*}
即证线性方程组
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_0+a_1x_1+a_1^2x_2+\cdots+a_1^{n-1}x_{n-1}=b_1,\\
x_0+a_2x_1+a_2^2x_2+\cdots+a_2^{n-1}x_{n-1}=b_2,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
x_0+a_nx_1+a_n^2x_2+\cdots+a_n^{n-1}x_{n-1}=b_n,
\end{array}\right.
\end{equation*}
有且只有唯一解。
5.
设\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)是坐标平面上两个不同点的坐标，证明：由这两个点确定的直线方程为
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
\end{vmatrix} = 0.
\end{equation*}
结合行列式的几何意义给出上述公式的几何解释。
