主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

节 3.4 Cramer法则

本节中我们来证明在 节 3.1中观察到的二阶、三阶线性方程组公式解的规律可以推广到一般阶数的方线性方程组。此结论被称为Cramer法则。
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证明.

因为 \(\det A\neq 0\)，所以 \(A\)可逆，故方程组有唯一解：
\begin{equation*} X=A^{-1}b=\left(\frac{1}{\det A}{\rm adj}A\right) b, \end{equation*}
即
\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{pmatrix}, \end{equation*}
这里 \(A_{kl}\)是 \(A\) 的 \((k,l)\)元的代数余子式。 从而
\begin{equation*} x_j=\frac{b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}}{\det A}. \end{equation*}
注意到 \(\det A\)与 \(\det D_j\) 的区别仅在第 \(j\)列，所以对任意 \(1\leq i\leq n\)， \(\det D_j\) 的 \((i,j)\)元的代数余子式等于 \(\det A\)的 \((i,j)\)元的代数余子式 \(A_{ij}\)。因此按第 \(j\)列展开，有
\begin{equation*} \det D_j=b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj}. \end{equation*}
从而方程组有唯一解：
\begin{equation*} x_j=\frac{\det D_j}{\det A},\ j=1,2,\ldots,n. \end{equation*}
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Cramer法则中涉及到多个行列式，而行列式的计算本身费时费力。由于运算量过大，在实际问题中很少直接用Cramer法则计算线性方程组的解。
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Cramer法则的理论分析意义远大于其计算意义。下面我们举例说明Cramer法则的理论分析意义。首先是借助Cramer法则和Vandermonde行列式的相关结论来证明插值多项式的存在唯一性。
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例 3.4.2. Cramer法则与插值多项式.

证明：坐标平面中任意\(n+1\)个横坐标两两不同的点可以唯一确定一个次数不超过\(n\)的多项式函数。
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解答.
结合备注 3.3.8，多项式函数(3.3.3)与线性方程组(3.3.4)的解一一对应。
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根据例 3.3.7中给出的公式，\(x_0,\dots,x_n\)两两不同当且仅当线性方程组(3.3.4)的系数矩阵行列式不为0。结合Cramer法则可知结论成立。
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利用Cramer法则，我们还可以将很多看似与线性方程组无关的问题用行列式给出简洁、统一的公式解，如下例所示。
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例 3.4.3. 用行列式求圆方程.

证明：过平面上不共线的 \(3\)点 \(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)的圆的方程为
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=0. \end{equation*}
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解答.
设过\(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)的圆的方程为
\begin{equation} x^2+y^2+Ax+By+C=0.\tag{3.4.1} \end{equation}
将\(P_i(x_i,y_i),i=1,2,3\)分别代入 (3.4.1)得到关于未知量 \(A,B,C\)的线性方程组
\begin{equation} \left\{\begin{array}{ccl} Ax_1+By_1+C&=&-(x_1^2+y_1^2),\\ Ax_2+By_2+C&=&-(x_2^2+y_2^2),\\ Ax_3+By_3+C&=&-(x_3^2+y_3^2).\\ \end{array}\right.\tag{3.4.2} \end{equation}
由于 \(P_1,P_2,P_3\)是平面上不共线的 \(3\) 点，所以根据练习 3.2.5.15，
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}\neq 0. \end{equation*}
根据Cramer法则， (3.4.2) 有且仅有唯一解
\begin{equation*} A=\frac{\begin{vmatrix} -(x_1^2+y_1^2)&y_1&1\\ -(x_2^2+y_2^2)&y_2&1\\ -(x_3^2+y_3^2)&y_3&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}}, \end{equation*}
\begin{equation*} B=\frac{\begin{vmatrix} x_1&-(x_1^2+y_1^2)&1\\ x_2&-(x_2^2+y_2^2)&1\\ x_3&-(x_3^2+y_3^2)&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}}, \end{equation*}
\begin{equation*} C=\frac{\begin{vmatrix} x_1&y_1&-(x_1^2+y_1^2)\\ x_2&y_2&-(x_2^2+y_2^2)\\ x_3&y_3&-(x_3^2+y_3^2) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}}. \end{equation*}
代入 (3.4.1)得
\begin{equation*} \begin{array}{cl} (x^2+y^2)\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}+x\begin{vmatrix} -(x_1^2+y_1^2)&y_1&1\\ -(x_2^2+y_2^2)&y_2&1\\ -(x_3^2+y_3^2)&y_3&1 \end{vmatrix}&\\ +y\begin{vmatrix} x_1&-(x_1^2+y_1^2)&1\\ x_2&-(x_2^2+y_2^2)&1\\ x_3&-(x_3^2+y_3^2)&1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&y_1&-(x_1^2+y_1^2)\\ x_2&y_2&-(x_2^2+y_2^2)\\ x_3&y_3&-(x_3^2+y_3^2) \end{vmatrix}&=0, \end{array} \end{equation*}
根据 定理 3.2.2， 定理 3.2.5，整理得
\begin{equation*} \begin{array}{cl} (x^2+y^2)\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}-x\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}&\\ +y\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&x_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&x_1&y_1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3 \end{vmatrix}&=0. \end{array} \end{equation*}
因此所求圆的方程为
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=0. \end{equation*}
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练习 练习

基础题.

1.
设 \(a,b,c\)是数域 \(\F\)上互不相同的常数，解线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccl} x_1+ax_2+a^2x_3=a^3,\\ x_1+bx_2+b^2x_3=b^3,\\ x_1+cx_2+c^2x_3=c^3. \end{array}\right. \end{equation*}
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2.
讨论当 \(a,b,c\)满足什么条件时，线性方程组
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ccl} ax_1-2x_2-x_3&=&1,\\ 2x_1+x_2+x_3&=&b,\\ 10x_1+5x_2+4x_3&=&c, \end{array}\right. \end{equation*}
有唯一解、无解、有无穷多解？有解时求出其解。
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提高题.

3.
利用线性方程组理论证明：一元 \(n\)次多项式不能有多于 \(n\)个互异的根。
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4.
设 \(a_1,\ldots,a_n\)是数域 \(\F\)上 \(n\)个不同的数，则对于任意 \(b_1,\ldots ,b_n\in\F\)，存在唯一的次数小于 \(n\) 的多项式
\begin{equation*} L(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_i\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}, \end{equation*}
满足对于任意的 \(i(1\leq i\leq n)\) ，都有
\begin{equation*} L(a_i)=b_i. \end{equation*}
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提示.
要证明插值多项式的存在、唯一性，只需证明存在唯一的 \(c_0,\ldots ,c_{n-1}\)，使得
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{c} L(a_1)=c_0+c_1a_1+c_2a_1^2+\cdots+c_{n-1}a_1^{n-1}=b_1,\\ L(a_2)=c_0+c_1a_2+c_2a_2^2+\cdots+c_{n-1}a_2^{n-1}=b_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ L(a_n)=c_0+c_1a_n+c_2a_n^2+\cdots+c_{n-1}a_n^{n-1}=b_n, \end{array}\right. \end{equation*}
即证线性方程组
\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} x_0+a_1x_1+a_1^2x_2+\cdots+a_1^{n-1}x_{n-1}=b_1,\\ x_0+a_2x_1+a_2^2x_2+\cdots+a_2^{n-1}x_{n-1}=b_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x_0+a_nx_1+a_n^2x_2+\cdots+a_n^{n-1}x_{n-1}=b_n, \end{array}\right. \end{equation*}
有且只有唯一解。
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5.
设\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)是坐标平面上两个不同点的坐标，证明：由这两个点确定的直线方程为
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ \end{vmatrix} = 0. \end{equation*}
结合行列式的几何意义给出上述公式的几何解释。
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