主要内容

高等代数: 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 叶从峰

节 8.2 标准正交基与内积空间同构

本节中，我们把标准正交基的概念从标准内积空间中推广到一般内积空间。标准正交基具有非常好的性质，在内积空间中选择基一般都会选择标准正交基。

子节 8.2.1 一般内积空间的标准正交基

设一般内积空间\(V\) 中有一组非零向量\(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\)。若满足
\begin{equation*} \left(\alpha_i,\alpha_j\right)=0,\ \forall i\neq j,\ i,j=1,\dots,m, \end{equation*}
则称\(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\)为正交向量组。若同时满足
\begin{equation*} \|\alpha_i\|=1,\ i=1,\dots,m, \end{equation*}
则称\(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\)是\(V\)中的标准正交向量组。

证明.

我们把\(\R^n\)中标准正交基的概念推广到一般内积空间。

定义 8.2.2.

内积空间中的一组两两正交向量构成的基称为正交基。若正交基的每个向量都是单位向量，则称为标准正交基。
下面是一个很重要、常用的例子。

例 8.2.3. 三角函数系的正交性.

定义\(C[-\pi,\pi]\)空间中的内积为
\begin{equation*} \left(f(x),g(x)\right) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x){\rm d}x, \end{equation*}
其中\(C[-\pi,\pi]\)是在区间\([-\pi,\pi]\)上连续函数全体所构成的线性空间。证明：
\begin{equation*} \frac{\sqrt{2}}{2},\sin(x),\cos(x),\dots, \sin(nx),\cos(nx),\dots \end{equation*}
是\(C[-\pi,\pi]\)中的标准正交向量组。

备注 8.2.4.

\(\frac{\sqrt{2}}{2},\sin(x),\cos(x),\dots, \sin(nx),\cos(nx),\dots \)是以 \(2\pi\)为整周期的连续周期函数所构成的函数空间中一个常用标准正交向量组。《数学分析》中函数的Fourier级数展开可以理解为用这组标准正交向量组表示空间中的函数。Fourier级数收敛问题是一个较为复杂的问题，不是所有连续函数的Fourier级数都收敛到自身，因此这个向量组不能称为\(C[-\pi,\pi]\)的基。
在理解一个一般的\(n\)维线性空间\(V\)时，一种基本且常用的方法是：选择\(V\)的一组基\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)，构造线性空间同构映射
\begin{equation*} \phi:V \to \F^n,\ \alpha\mapsto X_{\alpha}, \end{equation*}
其中\(X_{\alpha}\)是\(\alpha\)在基\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的坐标。利用同构映射\(\phi\)把\(V\)上的问题都转化到\(\F^n\)中，当\(\F^n\)中的问题理解清楚后，\(V\)上的问题也自然理解清楚了。这种方法对内积空间依然有效。选择标准正交基后，其主要的好处有以下几点。
  1. 在标准正交基\((\xi_1,\dots ,\xi_n)\)下，向量的坐标可用内积表示。
    设\(\alpha=a_1\xi_1+\cdots +a_n\xi_n\)，则\(a_i=\left(\alpha,\xi_i\right)\)，即
    \begin{equation} \alpha=\left(\alpha,\xi_1\right)\xi_1+\cdots +\left(\alpha,\xi_n\right)\xi_n.\tag{8.2.1} \end{equation}
  2. 标准正交基下，内积有特别简单的表达式。
    若\(\alpha=a_1\xi_1+\cdots +a_n\xi_n, \beta=b_1\xi_1+\cdots +b_n\xi_n\)，则
    \begin{equation} \left(\alpha,\beta\right)=a_1\bar{b}_1+\cdots+a_n\bar{b}_n=\sum\limits_{j=1}^n\left(\alpha,\xi_j\right)\overline{\left(\beta,\xi_j\right)}.\tag{8.2.2} \end{equation}
  3. 标准正交基下向量的长度、夹角等都可以用标准内积的公式进行计算。如
    \begin{equation*} \|\alpha\|=\sqrt{\left|a_1\right|^2+\cdots +\left|a_n\right|^2}. \end{equation*}
(8.2.1)可以推广至无穷维空间，如下面的例子所示。

例 8.2.5. Fourier级数展开的系数公式.

设\(f(x)\)是一个以 \(2\pi\)为整周期的连续周期函数，则\(f(x)\)的Fourier展开式为
\begin{equation} f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx) \right),\tag{8.2.3} \end{equation}
其中\(f(x)\)满足Fourier级数收敛的Dirichlet条件（请参考《数学分析》教材），且
\begin{align*} a_n =\amp \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx){\rm d}x,\ n=0,1,2,\dots ;\\ b_n =\amp \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx){\rm d}x,\ n=1,2, 3\dots. \end{align*}

子节 8.2.2 内积空间上的线性映射与同构

本节中会涉及到同时讨论多个内积空间上不同内积运算的情况。为了加以区别，我们会在内积记号\((-,-)\)的基础上添加对应空间作为下角标表示相应的内积。例如，标准内积空间\(\R^n\)中的标准内积会被表示为\((-,-)_{\R^n}\)。
接下来使用映射作为工具研究两个内积空间之间的关系。
设\(U\)和\(V\)都是数域\(\F\)上的内积空间，\((-,-)_U\)和\((-,-)_V\)是对应的内积函数。若存在映射\(\phi: U\to V\)满足：
  1. \(\phi\)是\(U\)到\(V\)的线性空间同构；
  2. 对任意\(\alpha,\beta\in U\)，有
    \begin{equation} (\alpha,\beta)_U = \left(\phi(\alpha),\phi(\beta)\right)_V,\tag{8.2.4} \end{equation}
则称\(U\)和\(V\)是同构内积空间，\(\phi\)称为内积空间同构映射。
下面用同构的思想来进一步理解标准正交基的优势。(8.2.2)实质上实现了由一般内积向标准内积的转化，即标准正交基对应的自然同构除了保持线性空间结构外，同时保持了内积运算。我们把这个结论总结在下面的定理中。
定理 8.2.6说明一般的\(n\)维内积空间与标准内积空间\(\F^n\)本质上是相同的，二者可以通过标准正交基对应的自然同构\(\phi\)进行相互转化。标准内积空间中已知的结论和直观想象都可以推广到一般的内积空间中。举例来说，标准内积空间中用来构造标准正交基的Gram-Schmit标准正交化过程也可以用来构造一般内积空间中的标准正交基。

例 8.2.7. 多项式空间的Legendre基.

利用Gram-Schmit标准正交化过程求多项式空间 \(\R[x]_5\)的一组标准正交基，其中多项式空间的内积定义为
\begin{equation*} \left(f(x),g(x)\right) = \int_{-1}^{1}f(x)g(x){\rm d}x,\ \forall f(x),g(x)\in \R[x]. \end{equation*}
将\(\R[x]_5\)推广至\(\R[x]\)，利用例 8.2.7中方法获得的多项式也称为 Legendre多项式。
现在回到一般有限维内积空间上的线性映射。设\(\phi:V\to U\)是内积空间\(V\)到\(U\)的线性映射。当选择了标准正交基后，线性映射\(\phi\)可以转化为矩阵，此矩阵也可兼顾内积运算。

子节 8.2.3 内积空间的自同构——正交变换和酉变换

内积空间因为引入内积运算所以有了新的结构。对于内积空间上的线性变换，我们希望其关于内积运算也有好的性质。

定义 8.2.9.

设\(V\)是\(n\)维酉（欧氏）空间，\(\phi\)是\(V\)的线性变换。如果\(\phi\)保持内积，即对任意\(\alpha,\beta\in V\)， 总成立
\begin{equation*} \left(\phi(\alpha),\phi(\beta)\right)=(\alpha,\beta), \end{equation*}
则称\(\phi\)是酉变换（正交变换）。
接下来从矩阵角度来理解酉变换和正交变换。

证明.

于是可以引入下面两个重要概念。

定义 8.2.11.

  1. 设\(U\in \C^{n\times n}\)。若
    \begin{equation*} U^HU=UU^H=E_n, \end{equation*}
    则称\(U\)是一个酉矩阵（unitary matrix）。
  2. 设\(Q\in \R^{n\times n}\)。若
    \begin{equation*} Q^TQ=QQ^T=E_n, \end{equation*}
    则称\(Q\)是一个正交矩阵（orthogonal matrix）。
易知正交矩阵都是酉矩阵，实酉矩阵就是正交矩阵。同时可知酉矩阵和正交矩阵都是可逆矩阵。在接下来的性质介绍中，为了书写上的便利和避免重复，有时我们只介绍酉矩阵的性质，将这些性质限制在实数域上即可获得正交矩阵的相关性质。
酉矩阵（正交矩阵）与标准正交基之间有着密不可分的联系。

证明.

证明.

由于酉（正交）变换保持内积，由内积定义的相关性质都会的得到保持。
欧式空间中两个非0向量的夹角也是由内积定义的，所以正交变换\(\phi\)也是保夹角的，即对任意非0向量 \(\alpha\)、\(\beta\)，\(\alpha\)与\(\beta\)的夹角和\(\phi(\alpha)\)与\(\phi(\beta)\)的夹角必定相同。
反之，保夹角的线性变换却不一定是保内积的，例如非0数乘变换都是保夹角的，但当数乘的常数不是 \(\pm 1\)时，相应的线性变换都不是正交变换。
同构映射的复合还是同构映射，同构映射的逆还是同构映射，所以同阶酉（正交）矩阵的集合对矩阵乘法运算和逆运算都封闭。

练习 8.2.4 练习

基础题.

1.
在\(\mathbb{C}^{n\times n}\)上，定义内积为\(\left(A,B\right)=\mbox{tr}(A\overline{B}^T)\)，试证：\(E_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)\)是关于此内积的一个标准正交基。
2.
在4维酉空间\(\mathbb{C}^4\)中，求与向量组
\begin{equation*} \alpha_1=(1,-1,i,1)^T,\alpha_2=(2,i,-1+i,1)^T \end{equation*}
等价的一个标准正交向量组。
3.
在4维欧氏空间\(\mathbb{R}^4\)中，求与向量组
\begin{equation*} \alpha_1=(1,2,2,-1)^T,\alpha_2=(1,1,-5,3)^T,\alpha_3=(3,2,8,-7)^T \end{equation*}
等价的一个标准正交向量组。
4.
设\(n\)阶实矩阵\(A\)为正交矩阵，证明： \(A\) 的行列式为\(\pm 1\)。

提高题.

5.
证明：\(\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{pmatrix}\)是正交矩阵且二阶正交矩阵只能是如上两种形式。
6.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n\)是内积空间\(V\)的\(n\)个线性无关向量，\(\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n\)是这组向量经过正交化得到的向量组，证明：
\begin{equation*} \begin{vmatrix} \left(\alpha_1,\alpha_1\right)&\left(\alpha_1,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_1,\alpha_n\right)\\ \left(\alpha_2,\alpha_1\right)&\left(\alpha_2,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_2,\alpha_n\right)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \left(\alpha_n,\alpha_1\right)&\left(\alpha_n,\alpha_2\right)&\cdots&\left(\alpha_n,\alpha_n\right) \end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\left(\beta_i,\beta_i\right). \end{equation*}
7.
设\(A\in \R^n(\C^n)\)。若\(A\)可逆，则\(A\)可分解为一个正交矩阵（酉矩阵）与对角元均大于0的上三角矩阵的乘积，即存在正交矩阵（酉矩阵）\(Q\)和对角元均大于0的上三角矩阵\(R\)，使得
\begin{equation*} A=QR. \end{equation*}
此分解方式称为矩阵的QR分解。
8.
设\(A\)是\(n\)阶实或复可逆矩阵，证明：\(A\)的QR-分解是唯一的。
9.
设\(A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&1\\-1&0&0 \end{pmatrix}\)，求正交矩阵\(Q\)和上三角矩阵\(R\)（对角元均大于0），使得\(A=QR\)。
10.
设\(V_1,V_2\)是\(n\)维内积空间\(V\)的子空间，证明：
  1. \(\left(V_1^\bot\right)^\bot=V_1\)；
  2. 若\(V_1\subseteq V_2\)，则\(V_2^\bot\subseteq V_1^\bot\)；
  3. \(\left(V_1+V_2\right)^\bot=V_1^\bot\bigcap V_2^\bot\)；
  4. \(\left(V_1\bigcap V_2\right)^\bot=V_1^\bot +V_2^\bot\)。
11.
设\(U\)是下列齐次线性方程组的解空间：
\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x_1-x_3+x_4=0,\\ x_2+x_3=0, \end{array}\right. \end{equation*}
试求：
  1. \(U^\bot\)；
  2. \(U^\bot\)适合的线性方程组。
12.
设\(A\in\mathbb{R}^{m\times n},\beta\in\mathbb{R}^m\)，证明：线性方程组\(AX=\beta\)有解的充分必要条件是\(\beta\)与\(A^TX=0\)的解空间正交。
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