定义 8.4.1.
如果复方阵\(A\)满足
\begin{equation*}
A^H= \overline{A}^T =A,
\end{equation*}
则称\(A\)为Hermite矩阵。
实Hermite矩阵就是实对称矩阵，即满足\(A^T=A\)的所有实方阵\(A\)。
节 8.4 实对称矩阵和Hermite矩阵
本节中我们介绍实对称矩阵和Hermite矩阵的性质。实对称矩阵和Hermite矩阵可以说是性质最好同时是应用范围最广的两类矩阵。特别地，实对称矩阵和Hermite矩阵是二次型部分需要使用的主要工具。
子节 8.4.1 实对称矩阵、Hermite矩阵及其标准型
本节中涉及到的矩阵都是方阵。我们先来明确一下讨论的对象。
例 8.4.2. .
Hermite矩阵具有非常好的性质。
定理 8.4.3.
设\(H\)是\(n\)阶Hermite矩阵，则
- \(H\)的特征根全为实数；
- \(H\)属于不同特征值的特征向量在\(\mathbb{C}^n\)中相互正交。
- 存在酉矩阵\(U\)，使得\(U^HHU\)是实对角阵。
证明.
推论 8.4.4.
设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，则
- \(A\)的特征根全为实数；
- \(A\)属于不同特征值的特征向量在\(\mathbb{R}^n\)中相互正交。
- 存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)是实对角阵。
Hermite矩阵/实对称矩阵都可对角化，将其对角化的过程和一般对角化过程稍有不同。不同点主要在于Hermite矩阵/实对称矩阵需要的过渡矩阵是酉矩阵/正交矩阵，即所求的特征向量组需要是一组标准正交基。对于单特征值，其对应的特征向量只需要单位化就可以了；对于多重特征值 \(\lambda\)，通过解特征方程\((\lambda E - A)X=0\)获得的基础解系通常都不是标准正交向量组，此时需要利用Gram-Schmit标准正交化过程获得与基础解系等价的标准正交向量组。我们来看一个具体的例子。
例 8.4.5. 实对称矩阵的正交对角化.
子节 8.4.2 谱分解
矩阵\(A\)的所有特征值构成的多重集也称为\(A\)的谱，记做\({\rm spec}(A)\)。在多重集\({\rm spec}(A)\)中，一个特征值\(\lambda\)出现的次数就是它的代数重数。
Hermite矩阵/实对称矩阵有一种重要且常用的分解方式。
定理 8.4.6. 谱分解.
设\(A\)是一个\(n\)阶Hermite矩阵，\(\lambda_1, \dots,\lambda_t\)是\(A\)的所有不同特征值。则存在投影矩阵\(P_1,\dots,P_t\)，使得
\begin{equation}
A = \lambda_1P_1+\cdots+\lambda_t P_t,\tag{8.4.1}
\end{equation}
其中\(P_1,\dots,P_t\)满足
- \(P_1+\cdots +P_t =E_n\)；
- \(P_jP_k = 0,\forall j\ne k\)；
- \(P_j\)是到\(\lambda_j\)的特征子空间\(V_{\lambda_j}\)的正交投影矩阵。
Hermite矩阵/实对称矩阵与实对角矩阵有很多共通的性质，可以认为Hermite矩阵/实对称矩阵是实对角矩阵的推广。Hermite矩阵/实对称矩阵的重要性可以类比于实数在复数集中的重要性。
在矩阵分析中，Hermite矩阵/实对称矩阵还有很多很好的性质，如Courant-Fischer定理（也称Min-Max定理）、Cauchy交错(Interlacing)定理等，有兴趣的同学可以自行查阅。
子节 8.4.3 自伴算子*
接下来我们从线性变换角度来理解Hermite矩阵/实对称矩阵。泛函分析中，内积空间上的线性变换也常常被称为线性算子。
设\(V\)是一个\(n\)维酉空间，\(\phi\)是\(V\)上的一线性变换。取定\(V\)的一个标准正交基\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)后，记\(\phi\)在\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的表示矩阵为\(A = (a_{jk})_{n\times n}\)。
对\(\forall \alpha,\beta\in V\)，记\(\alpha\)和\(\beta\)在\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的坐标分别为\(X\)和\(Y\)，考察关于\(\alpha,\beta\)的函数
\begin{equation*}
\left(\phi(\alpha),\beta\right) = Y^HAX,
\end{equation*}
利用矩阵乘法结合率，上式也被改写为
\begin{equation*}
\left(\phi(\alpha),\beta\right) = Y^HAX=(A^HY)^HX.
\end{equation*}
现记以矩阵\(A^H=(\overline{a_{kj}})_{n\times n}\)为表示矩阵的\(V\)上线性变换为\(\psi\)（空间\(V\)的标准正交基仍取\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)），则
\begin{equation*}
\left(\phi(\alpha),\beta\right) = Y^HAX=(A^HY)^HX =\left(\alpha,\psi(\beta)\right).
\end{equation*}
于是，有下面的定义。
定义 8.4.7.
设\(\phi\)是内积空间\(V\)上的线性算子。若存在\(V\)上的线性算子\(\psi\)，使得对\(\forall \alpha,\beta\in V\)，
\begin{equation*}
\left(\phi(\alpha),\beta\right) =\left(\alpha,\psi(\beta)\right)
\end{equation*}
均成立，则称\(\psi\)是线性算子\(\phi\)的伴随算子。
定理 8.4.8.
有限维内积空间上线性算子的伴随算子存在且唯一。
证明.
习惯上，用\(\phi^*\)表示线性算子\(\phi\)唯一的伴随算子。
一个线性算子和其伴随算子从表示矩阵的角度也有密切联系。
定理 8.4.9.
设\(\phi\)是\(n\)维内积空间\(V\)上的线性算子。选定\(V\)的一组标准正交基\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)，记\(\phi\)在\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的表示矩阵为\(A\)，则\(\phi^*\)在\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的表示矩阵为\(A^H\)。
特别地，若\(V\)是欧式空间（实内积空间），则\(\phi^*\)在\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)下的表示矩阵为\(A^T\)。
（部分书中将共轭转置运算统一用\(^*\)表示，定理 8.4.9 是主要原因之一。）
若一个线性算子\(\phi\)的伴随算子就是\(\phi\)本身，即
\begin{equation*}
\phi=\phi^*,
\end{equation*}
则称\(\phi\)为自伴算子。
由定理 8.4.9可知，在选定标准正交基的前提下，有限维内积空间上的自伴算子与Hermite矩阵一一对应。二者是一体两面的关系。Hermite矩阵上成立的性质都可以平行移植给自伴算子，这里不再赘述。
子节 8.4.4 正规矩阵/正规算子*
Hermit矩阵是酉相似于实对角矩阵的矩阵。接下来我们研究可以酉相似于一般对角矩阵的矩阵，即酉相似下的可对角化问题。酉相似下可对角化问题比一般相似下可对角化问题要简单得多。
定义 8.4.10.
设\(A\)是一个复方阵。若
\begin{equation*}
AA^H=A^HA,
\end{equation*}
则称\(A\)是正规矩阵。
定理 8.4.11.
\(A\)是正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵\(U\)，使得
\begin{equation*}
U^{-1}AU
\end{equation*}
是对角矩阵。
练习 8.4.5 练习
基础题.
1.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&-2&-4\\-2&4&-2\\-4&-2&1
\end{pmatrix}\)，求正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵。
2.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是Hermite矩阵的充分必要条件是\(A\)的特征值全是实数。
3.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是酉矩阵的充分必要条件是\(A\)的特征值全是模为\(1\)的复数。
4.
设\(A\)是\(n\)阶复正规矩阵，证明：\(A\)是幂零矩阵的充分必要条件是\(A=0\)。
提高题.
5.
设\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\in\mathbb{R}\)，\(\lambda_{\sigma(1)},\dots ,\lambda_{\sigma(n)}\)是\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)的一个排列。证明：diag\((\lambda_1,\dots ,\lambda_n)\)正交相似于diag\((\lambda_{\sigma(1)},\dots ,\lambda_{\sigma(n)})\)。
6.
设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，且\(A^2=A\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得
\begin{equation*}
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix}
E_r&0\\0&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
7.
设\(A,B\)为\(n\)阶实对称矩阵，且\(AB=BA\)，证明：存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ,Q^{-1}BQ\)同时为对角矩阵。
8.
设\(\varphi\)是\(n\)维欧氏空间\(V\)上的对称变换，\(U\)是\(\varphi\)-不变子空间，证明：\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
9.
设\(A\)是\(n\)阶反对称实矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征根，证明：\(\lambda\)是零或纯虚数。
10.
设\(\varphi\)是欧氏空间\(V\)上的线性变换。如果对于任意\(\alpha,\beta\in V\)，
\begin{equation*}
\left(\varphi(\alpha),\beta\right)=-\left(\alpha,\varphi(\beta)\right),
\end{equation*}
则称\(\varphi\)反对称。 证明：
- \(\varphi\)为反对称的充分必要条件是\(\varphi\)在一个标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
- 如果\(U\)是反对称线性变换\(\varphi\)的不变子空间，那么\(U^\bot\)也是\(\varphi\)-不变子空间。
