主要内容

节 4.4 \(\F^m\)的子空间、基与维数

在建立了立体坐标系的空间\(\R^3\)中，其子集xoy平面可以看成是\(\R^2\)，即也是一个列向量空间。除坐标平面外，\(\R^3\)中还有很多其它的经过坐标原点的平面。这些平面中的点从\(\R^3\)中继承了加法和数乘运算，相应地也继承了因运算而具有的结构性质。从几何观点上看，这些平面和坐标平面没有本质区别。本节中，我们将从代数的角度论述这种相似性，并将列向量空间的概念延展至更广阔的范围。
本节内容是 节 4.3中内容的延续，二者出发点不同。节 4.3中是从列向量组出发，本节的出发点则是子空间。

子节 4.4.1 子空间

再次强调，列向量空间本质上重要的是由加法和数乘两种运算引入的集合中元素之间的联系。因此，对于列向量空间的一个非空子集\(V\)，只需要加法和数乘运算可以定义在这个集合\(V\)上，即\(V\)对加法和数乘封闭，\(V\)就会具有和列向量空间类似的性质和结构。于是，有如下定义。

定义 4.4.1.

设\(\emptyset\ne V\subseteq \F^m \)。若\(V\)对于加法和数乘封闭，即对\(\forall \alpha,\beta\in V\)，\(\forall c\in \F \)，
  1. \(\alpha+\beta\in V\)；
  2. \(c\alpha\in V\)，
则称\(V\) 是\(\F^m\)的线性子空间，或简称为\(\F^m\)的子空间。
子空间\(V\)上加法和数乘运算是继承自\(\F^m\)，因此这两种运算也会满足定理 4.1.11中列出的所有运算性质（其中零元存在性和负元存在性可以由数乘封闭性条件中分别特取\(c=0\)和\(c=-1\)保证）。由于\(V\)中的元素都是列向量，\(V\)也可以被称为列向量空间。这里，我们对列向量空间的概念进行了延展，列向量空间的集合\(V\)不再需要局限是某一个\(\F^m\)，而可以是任意一个关于加法和数乘封闭的\(\F^m\)子集。
若\(\emptyset\ne V_1\subseteq V\subseteq \F^m \)，且\(V\)和\(V_1\)都是\(\F^m\)的子空间，则我们也称\(V_1\)是\(V\)的子空间。
注意到数字\(0\)数乘任意一个列向量结果都会是\(0\)向量，即坐标原点，所以每一个子空间都至少包含\(0\)向量。特别地，若\(V=\{0\}\)，即\(V\)中只含有\(0\)向量，则\(V\)也满足子空间的定义，这样的子空间\(V\)被称为\(0\)子空间。为了简便，\(0\)子空间也经常被直接记为\(0\)。
除\(0\)子空间外，另一个较为特别的子空间是\(\F^m\)本身。\(0\)子空间和\(\F^m\)本身这两个子空间称为\(\F^m\)的平凡子空间；不是平凡子空间的其它子空间称为非平凡子空间。

例 4.4.2. \(\R^3\)的非平凡子空间.

可以验证：\(\R^3\)的非平凡子空间有两种，一种是通过坐标原点的直线，另一种是通过坐标原点的平面。

例 4.4.3. 生成子空间.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)是\(\F^m\)中的列向量组，则 \(\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\)是\(\F^m\)中包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的最小子空间。
解答.
显然
\begin{equation*} \alpha_i=0\alpha_1+\cdots+1\alpha_i+\cdots+0\alpha_n\in\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle, \end{equation*}
所以\(\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\)是\(\F^m\)的非空子集。对任意\(\alpha,\beta\in\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle,c\in\F\)，存在\(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\F\)，使得
\begin{equation*} \alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n,\ \beta=b_1\alpha_1+\cdots+b_n\alpha_n, \end{equation*}
利用加法交换律、结合律及加法对数乘的分配律可知
\begin{equation*} \alpha+\beta=(a_1+b_1)\alpha_1+\cdots+(a_n+b_n)\alpha_n\in\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle, \end{equation*}
\begin{equation*} c\alpha=(ca_1)\alpha_1+\cdots (ca_n)\alpha_n\in\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle, \end{equation*}
因此\(\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\)是\(\F^m\)中包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的子空间。
若\(V\)是\(\F^m\)中包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的子空间，由子空间定义可知，对任意\(c_1,\ldots,c_n\in\F\)，
\begin{equation*} c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n\in V, \end{equation*}
故\(\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\subseteq V\)，因此\(\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_n\rangle\)是\(\F^m\)中包含\(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)的最小子空间。

子节 4.4.2 子空间的运算

类似于集合的交运算与并运算，子空间也有两种常用运算，即子空间的交运算与和运算。接下来我们来分别介绍这两种运算。
先来证明一个子空间关于交的性质。

证明.
由于子空间\(V_1,V_2\)都包含0向量，所以\(V_1\cap V_2\)也包含0向量，故\(V_1\cap V_2\)是\(\F^m\)的非空子集。设\(\forall \alpha,\beta\in V_1\cap V_2\)及\(\forall c\in \F\)。可知\(\alpha\in V_1\)且\(\beta\in V_1\)，由于\(V_1\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，根据定义，可知\(\alpha+\beta\in V_1\)且\(c\alpha\in V_1\)。同理可知\(\alpha+\beta\in V_2\)且\(c\alpha\in V_2\)。综合两者可知\(\alpha+\beta\in V_1\cap V_2\)且\(c\alpha\in V_1\cap V_2\)，按照定义，\(V_1\cap V_2\)也是\(\F^m\)的子空间。
于是，我们可以定义子空间的第一种运算。

定义 4.4.5.

设\(V_1,V_2\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，定义\(V_1\cap V_2\)为\(V_1\)与\(V_2\)的交空间。

例 4.4.6. \(\R^3\)中子空间的交.

在\(\R^3\)中，设\(V_1,V_2\)是过坐标原点的两个不重合平面，则\(V_1,V_2\)都是\(\R^3\)的子空间，此时\(V_1\cap V_2\)是一条经过原点的直线，也是\(\R^3\)的子空间。
和交运算不同，子空间的并一般不再是子空间。借助子空间中的加法，我们可以引入下面的运算。
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，定义
\begin{equation*} V_1+V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}, \end{equation*}
此运算称为子空间的和运算。

证明.
\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的非空子集，根据定义，\(V_1+V_2\)也是\(\F^m\)的非空子集。任意给定\(\alpha,\beta\in V_1+V_2\)和\(c\in \F\)。按照定义，存在\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)、\(\beta_1\in V_1\)和\(\beta_2\in V_2\)满足
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2,\quad \beta =\beta_1+\beta_2. \end{equation*}
由于\(V_1\)是子空间，所以
\begin{equation*} \alpha_1+\beta_1\in V_1,\quad c\alpha_1\in V_1; \end{equation*}
同理
\begin{equation*} \alpha_2+\beta_2\in V_2,\quad c\alpha_2\in V_2. \end{equation*}
所以，利用加法交换律和结合律可知
\begin{equation*} \alpha+\beta = (\alpha_1+\beta_1)+(\alpha_2+\beta_2)\in V_1+V_2; \end{equation*}
利用数乘分配律可知
\begin{equation*} c\alpha =c\alpha_1+c\alpha_2\in V_1+V_2, \end{equation*}
根据定义，\(V_1+V_2\)是子空间。
于是有下面的定义。

定义 4.4.8.

定义\(V_1+V_2\)为\(V_1\)与\(V_2\)的和空间。

例 4.4.9. \(\R^2\)中的和空间举例.

坐标平面xoy可以看成\(\R^2\)，取\(V_1\)其中的x轴、\(V_2\)是y轴。易知
\begin{equation*} V_1= \left\{\left.\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix}\right| x\in \R\right\},\quad V_2= \left\{\left.\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix}\right| y\in \R\right\} \end{equation*}
都是\(\R^2\)的子空间。按照定义
\begin{equation*} V_1+V_2=\left\{\left.\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right| x,y\in \R\right\} = \R^2. \end{equation*}
子空间的和运算与其作为集合的并运算有密切联系，事实上有下面的结论。

证明.
对任意\(\alpha\in\langle V_1\cup V_2\rangle\)，存在\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in V_1\)，\(\beta_1,\ldots,\beta_t\in V_2\)，\(a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_t\in\F\)，使得
\begin{equation*} \alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s+b_1\beta_1+\cdots+b_t\beta_t. \end{equation*}
由于\(V_1\)是\(\F^m\)的子空间，且\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in V_1\)，所以
\begin{equation*} a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s\in V_1. \end{equation*}
同理，\(\ b_1\beta_1+\cdots+b_t\beta_t\in V_2\)。 于是
\begin{equation*} \alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s+b_1\beta_1+\cdots+b_t\beta_t\in V_1+V_2, \end{equation*}
从而\(\langle V_1\cup V_2\rangle\subseteq V_1+V_2\)。
反之，对任意\(\alpha\in V_1+V_2\)，存在\(\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\)，使得
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \end{equation*}
显然\(\alpha_1+\alpha_2\in\langle V_1\cup V_2\rangle\)，故\(\alpha\in \langle V_1\cup V_2\rangle\)。因此\(V_1+V_2\subseteq \langle V_1\cup V_2\rangle\)。
综上，\(\langle V_1\cup V_2\rangle =V_1+V_2\)。
上述两种两个子空间的运算都可以推广到多个子空间。设\(V_1,\dots,V_s\)是\(\F^m\)的子空间，则
  • \begin{equation*} V_1\cap\cdots\cap V_s=\{\alpha|\alpha\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}
    是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的交空间。
  • \begin{equation*} V_1+\cdots+V_s=\{\alpha_1+\cdots+\alpha_s|\alpha_i\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}
    是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的和空间。
根据定义，容易验证子空间的交运算与和运算同时满足交换律和结合律，所以上述记号没有歧义。

子节 4.4.3 （子）空间的基与维数

在\(\R^3\)空间中，选定\({i} =(1,0,0)^T\)，\({j} =(0,1,0)^T \)，\({k} =(0,0,1)^T \)。此时，任给空间中的一个列向量 \(\alpha =(a_1,a_2,a_3)^T \)，\(\alpha\) 都可以用这三个向量\({i},{j},{k}\)线性表出，且表示法唯一：
\begin{equation} \alpha = a_1 {i} +a_2{j}+a_3{k}.\tag{4.4.1} \end{equation}
下面，我们把这个性质推广到一般的\(\F^m\)及其子空间。
在接下来的讨论中，我们总假定\(V\)是某一个\(\F^m\)子空间，向量也均指\(\F^m\)中的列向量。

定义 4.4.11.

如果在线性子空间\(V\)中存在\(n\)个向量\(\xi_1,\dots,\xi_n\)满足：
  1. \(V\)中任一向量均可表示为\(\xi_1,\dots,\xi_n\)的线性组合；
  2. \(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关，
则称\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)为\(V\)的一个基。

备注 4.4.12.

本书中我们用\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)表示空间的一个基。使用圆括号这种记号一方面强调基是一个整体，另一方面也是强调基中向量的排列次序是重要的，即基是一个有序集。其他多数相关书籍中，基只是一组满足条件的向量，记号上没有圆括号。

例 4.4.13. 标准基.

\(\F^m\)中，记\(\varepsilon_1=(1,0,\dots,0)^T,\dots,\varepsilon_m=(0,\dots,0,1)^T\)，则\((\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)\)是一组最常用的\(\F^m\)基，也称为\(\F^m\)的标准基。
从定义中可知，如果我们把\(V\)看成一个列向量组，则\(V\)的基就是\(V\)的极大无关组。极大无关组一般不唯一，因此\(V\)的基一般也不唯一。虽然不唯一，但由于这些极大无关组都是\(V\)的极大无关组，所以它们有相同的向量个数。

定义 4.4.14.

设\(V\)是\(\F^m\)的一个子空间。若\(V\)的基由\(n\)个向量组成， 则称\(V\)为一个\(n\)维线性子空间， \(n\)称为\(V\)的维数， 记作\(\dim V\)。
约定：若\(V=0\)，则\(\dim V=0\)。
由基的定义的第一条可知：若\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)空间的一个基，则\(V\)也是基向量组生成的子空间，即每一个线性子空间都可以按照生成子空间来理解。特别地，我们有下面一个维数公式。
在\(n\)维线性子空间\(V\)中， 因为维数\(n\)实质上就是子空间\(V\)的极大无关组含有的向量个数，因此\(V\)中任意\(n+1\)个向量必线性相关。
我们把基的一些常用等价条件在下面的定理中做一个总结。
基是极大无关组，因此基的子向量组必定是线性无关的。下面的定理称为扩基定理，是一个常用定理。扩基定理说明：只要一个向量组满足线性无关这一必要条件，我们就可以在这个向量组基础上构建空间的一个基，使得构建的基包含给定的向量组。

证明.
把\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)和\(\xi_1,\dots,\xi_n\)放在一起，构成向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\xi_1,\dots,\xi_n\)。由于\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)线性无关，利用子节 4.3.2中给出的求极大无关组的算法求出的极大无关组必然形如
\begin{equation*} \alpha_1,\dots,\alpha_r,\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_{n-r}}, \end{equation*}
这个极大无关组就构成了\(V\)的一个基。
利用扩基定理，我们可以证明下面一个称为维数公式的重要结论，这是本节的重点内容。

证明.
记\(\dim(V_1\cap V_2)= m\)，\(\dim V_1= m+s\)，\(\dim V_2= m+t\)。取定\(V_1\cap V_2\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m)\)。在\(V_1\)中，根据扩基定理，可将其扩充为\(V_1\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s)\)。同理，可将其扩充为\(V_2\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\gamma_1,\dots,\gamma_t)\)。下面证明
\begin{equation*} (\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s,\gamma_1,\dots,\gamma_t) \end{equation*}
是\(V_1+V_2\)的一个基。
容易看到\(V_1+V_2\)中的每一个向量都可以由上述向量组线性表出。下面着重证明这个向量组线性无关。
设
\begin{equation} a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s+c_1\gamma_1+\dots+c_t\gamma_t=0,\tag{4.4.2} \end{equation}
则
\begin{equation*} a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s = -c_1\gamma_1-\dots-c_t\gamma_t\in V_1\cap V_2, \end{equation*}
于是存在\(d_1,\dots,d_m\)，使得
\begin{equation*} -c_1\gamma_1-\dots-c_t\gamma_t = d_1\alpha_1+\dots+d_m\alpha_m. \end{equation*}
移项整理后可得
\begin{equation*} d_1\alpha_1+\dots+d_m\alpha_m+c_1\gamma_1+\dots+c_t\gamma_t =0. \end{equation*}
由于\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\gamma_1,\dots,\gamma_t)\)是\(V_2\)的基，所以
\begin{equation} c_1=\dots = c_t = d_1=\dots = d_m=0.\tag{4.4.3} \end{equation}
将所有的\(c_i\)代入(4.4.2)，可得
\begin{equation*} a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s = 0. \end{equation*}
因为\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s)\)是\(V_1\)的基，所以
\begin{equation*} a_1=\dots= a_m= b_1=\dots = b_s=0. \end{equation*}
结合 (4.4.3)，可知向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s,\gamma_1,\dots,\gamma_t\)线性无关，进而向量组中的向量构成\(V_1+V_2\)的基。简单计算可知维数公式的等式成立。
维数公式是一个重要公式，上述证明维数公式的扩基方法也具有一定普遍性。
表示一个空间较为简单的方式是找出它的一组基。接下来，利用维数公式，我们用一个例子说明如何更加明确地计算出两个子空间的交空间与和空间。

例 4.4.19.

在\(\mathbb{F}^4\)中，设
\begin{equation*} \begin{array}{c}{\alpha_1} = (1,2,1,0)^T,\alpha_2 = (-1,1,1,1)^T,\\\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,\end{array} \end{equation*}
记\(V_1 =\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \)，\(V_2 =\langle \beta_1,\beta_2\rangle \)。
  1. 求\(V_1 +V_2 \)的维数与一个基；
  2. 求\(V_1 \cap V_2\)的维数与一个基。
提示.
为了求基和维数，需要进一步明确向量之间的线性关系。注意到初等行变换不改变列向量组的线性关系，我们可以先将这些向量拼成矩阵，求出简化阶梯型，再利用简化阶梯型列向量组的线性关系获得原向量组的线性关系。
解答.
将\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\)按列拼成矩阵\(A\)，用初等行变换将\(A\)变成简化阶梯型\({\rm rref}(A)\)，得
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1& -1& 2& 1\\ 2& 1& -1& -1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 1& 1& 7 \end{pmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix} 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 4\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
  1. 注意到\(V_1+V_2 =\langle \alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\rangle \)，所以\(\dim(V_1+V_2)=r(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2) = 3\)。观察简化阶梯型矩阵\({\rm rref}(A)\)可知\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1\)线性无关，可以构成\(V_1+V_2\)的一个基\((\alpha_1,\alpha_2,\beta_1)\)。
  2. 由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以观察\({\rm rref}(A)\)的列向量组可知：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，进而推出\(\dim V_1 = 2\)；\(\beta_1,\beta_2\)也线性无关，推出\(\dim V_2 = 2\)。
    根据维数公式，
    \begin{equation*} \dim (V_1\cap V_2) = \dim V_1+\dim V_2 -\dim(V_1+V_2)= 1. \end{equation*}
    观察\({\rm rref}(A)\)，可知
    \begin{equation*} \beta_2-3\beta_1 = 4\alpha_2 -\alpha_1 = \begin{pmatrix} -5\\2\\3\\4 \end{pmatrix} \in V_1\cap V_2, \end{equation*}
    于是\(V_1\cap V_2\)的一个基可以选择为\((4\alpha_2 -\alpha_1)\)（或者也可写成\((\beta_2-3\beta_1)\)）。

子节 4.4.4 子空间的直和运算

本节的最后将介绍一种特殊的子空间和运算，这种和运算是今后我们把大空间上复杂问题分解为小空间上简单问题时需要使用的主要工具。
假设\(V_1,V_2\)都是某一个列向量空间\(V\)的子空间。\(V_1+V_2\)中的每一个元素都可以写作
\begin{equation*} \alpha_1+\alpha_2, \end{equation*}
其中\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)。一种有特殊重要意义的情形是上述这种分解方式唯一，此种情形如此重要，以至于它有单独的名称和记号。

定义 4.4.20.

设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间。若\(V_1 + V_2\)中的任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2 \end{equation*}
唯一，则称\(V_1+V_2\)为直和，记为\(V_1\oplus V_2\)。
所谓分解式\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)唯一，指的是：若有
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_1,\beta_1\in V_1,\alpha_2,\beta_2\in V_2, \end{equation*}
则总有\(\alpha_1=\beta_1\)，\(\alpha_2=\beta_2\)。

例 4.4.21.

设\(V=\R^3\)。
  1. 取
    \begin{equation*} V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}
    \begin{equation*} V_2=\{(0,0,z)^T|z\in \R\}, \end{equation*}
    则
    \begin{equation*} V = V_1\oplus V_2. \end{equation*}
  2. 取
    \begin{equation*} U_1=V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}
    \begin{equation*} U_2=\{(0,y,z)^T|y,z\in \R\}, \end{equation*}
    则\(V = U_1+U_2\)，但\(U_1+U_2\)不是直和。
直和定义中要求和空间中每一个元素的分解方式都是唯一的，而事实上我们仅需验证0向量的分解式唯一即可。

证明.
只需要证明充分性。用反证法证明：假设\(V_1+V_2\)不是直和，即存在向量\(\alpha\in V_1+V_2 \)有两种不同分解式，记为
\begin{equation*} \alpha = \alpha_1+\alpha_2 = \beta_1+\beta_2, \end{equation*}
其中\(\alpha_1,\beta_1\in V_1\)，\(\alpha_2,\beta_2\in V_2\)且\(\alpha_1\ne \alpha_2\)，\(\beta_1\ne \beta_2\)。由于\(V_1,V_2\)是是子空间，对线性组合封闭，所以有\(0\ne \alpha_1 -\beta_1\in V_1\)，\(0\ne \alpha_2-\beta_2\in V_2\)，且
\begin{equation*} \alpha_1 -\beta_1 = \beta_2 -\alpha_2. \end{equation*}
于是0向量有分解式
\begin{equation*} 0 = (\alpha_1 -\beta_1)+(\alpha_2-\beta_2)\in V_1+V_2, \end{equation*}
此分解式与0向量的平凡分解式\(0=0+0\)是两种不同分解式，矛盾。
下面的结论分别从交空间和维数等角度给出直和的判定条件。

证明.
  • 充分性：已知\(V_1\cap V_2=0\)。设\(0 = \alpha_1+\alpha_2\)，其中\(\alpha_1\in V_1\)，\(\alpha_2\in V_2\)，则\(\alpha_1= -\alpha_2\in V_1\cap V_2=0\)，于是 \(\alpha_1= \alpha_2=0\)，所以0向量的分解式唯一，根据定理 4.4.22，可知\(V_1 + V_2\)是直和。
  • 必要性：已知\(V_1 + V_2\)是直和。设\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，则\(\alpha = 0+\alpha = \alpha+0\)，由分解式唯一可知\(\alpha = 0\)，即\(V_1\cap V_2=0\)。
根据维数公式，可知下面的推论成立。
直和的概念也可以推广到多个子空间。

定义 4.4.25.

设\(V_1,\ldots,V_s\)均为\(\F^m\)的子空间。若\(V_1+\cdots+V_s\)中任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*} \alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_s,\ \alpha_i\in V_i,\ i=1,\ldots, s \end{equation*}
均唯一，则称\(V_1+\cdots+V_s\)为直和，记做\(V_1\oplus\cdots\oplus V_s\) 或 \(\bigoplus\limits_{i=1}^s V_i\)。
多个子空间的直和与两个子空间的直和有一些差异。作为受定理 4.4.23诱导的一个直观想象，部分同学可能认为：两两相交为0空间的多个子空间的和也是直和。请注意：这是不对的。我们来看下面一个简单的例子。

例 4.4.26. 两两相交为0空间不能保证是直和.

设\(V=\R^2\)，取
\begin{equation*} V_1 = \{(x,0)^T|x\in R\}, \end{equation*}
\begin{equation*} V_2 = \{(0,y)^T|y\in R\}, \end{equation*}
\begin{equation*} V_3 = \{(x,x)^T|x\in R\}, \end{equation*}
则 \(V_1\cap V_2 = V_2\cap V_3=V_3\cap V_1=\{0\}\)，但\(V_1+V_2+V_3\)不是直和。
我们把两个子空间直和的判定条件推广到多个子空间。

证明.
命题1、2的等价性可以用证明定理 4.4.22类似的方法得到验证，具体留给读者。结合基与维数的关系，可知命题5、6等价。我们按照下面的顺序证明各命题的等价性： \(1(2)\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 5(6)\Rightarrow 1(2) \)。
  • \(1(2)\Rightarrow 3\)：设\(\alpha\in V_i\cap \sum_{j\ne i}V_j\)，则\(\alpha = \alpha +0\)，其中\(\alpha\in V_i\)，\(0\in \sum_{j\ne i}V_j\)，又由于\(\alpha\in \sum_{j\ne i}V_j\)，所以\(\alpha = 0 + \alpha\)，其中\(0\in V_i\)，\(\alpha\in \sum_{j\ne i}V_j\)。由分解唯一性可知\(\alpha = 0\)，所以\(V_i\cap \sum_{j\ne i}V_j=0\)。
  • \(3\Rightarrow 4\)：显然成立。
  • \(4\Rightarrow 5(6)\)：根据推论 4.4.24，\(V_2\cap V_1 = 0\)推出
    \begin{equation*} \dim (V_1+V_2) = \dim V_1+\dim V_2, \end{equation*}
    \(V_3\cap (V_1+V_2) = 0\)推出
    \begin{align*} \dim (V_1+V_2+V_3) =\amp \dim(V_1+V_2)+\dim V_3\\ = \amp\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3, \end{align*}
    依此类推，可知
    \begin{equation*} \dim (V_1+\cdots+V_s) = \dim V_1+\cdots+\dim V_s. \end{equation*}
  • \(5(6)\Rightarrow 1(2)\)：取\(V_1\)的一个基为\((\alpha_{11},\dots,\alpha_{1d_1})\)，\(V_2\)的一个基为\((\alpha_{21},\dots,\alpha_{2d_2})\)，\(\cdots\)，\(V_s\)的一个基为\((\alpha_{s1},\dots,\alpha_{sd_s})\)。根据命题5，向量组
    \begin{equation*} \alpha_{11},\dots,\alpha_{1d_1},\alpha_{21},\dots,\alpha_{2d_2},\dots,\alpha_{s1},\dots,\alpha_{sd_s} \end{equation*}
    是\(V_1+\cdots+V_s\)的一个基。
    设\(0 = \beta_1+\cdots+\beta_s\)，其中\(\beta_i\in V_i\)。将每个\(\beta_i\)表示为\(V_i\)基的线性组合，即
    \begin{equation*} \beta_i = a_{i1}\alpha_{i1}+\cdots + a_{id_i}\alpha_{id_i},\ i=1,\dots,s. \end{equation*}
    代入上式得
    \begin{equation*} 0 = \sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^{d_i} a_{ij}\alpha_{ij}. \end{equation*}
    由于上述向量组是\(V_1+\cdots+V_s\)的一个基，所以
    \begin{equation*} a_{ij} = 0,\ i=1,\dots,s,\ j=1,\dots,d_i. \end{equation*}
    进而可知\(\beta_i = 0\)，\(i=1,\dots,s\)，即\(0\)向量的分解式唯一。
作为总结，我们给出一个类比：子空间的和运算可以类比于一般集合的并运算；相应地，子空间的直和运算则可以类比于集合的不交并运算。需要注意的是两个子空间都会有公共元素0，所以子空间的直和并不是一般意义的不交并，从空间基的角度去理解这种特殊的“不交并”似乎更为合适。请同学们自行体会两者的区别与联系。

练习 4.4.5 练习

基础题.

1.

判断下列\(\mathbb{R}^m\)的子集是否为\(\mathbb{R}^m\)的子空间，说明理由。
  1. \(V_1=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_i\geq 0,i=1,\ldots,m\}\)；
  2. \(V_2=\{(a_1,\ldots,a_m)^T|a_1a_2\cdots a_m\geq 0\}\)；
  3. \(V_3=\{(a_1,\ldots,a_n,0,\ldots,0)^T|a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}\)。

2.

判断下列数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)元方程的解集是否为\(\mathbb{F}^n\)的子空间：
  1. \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
  2. \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
  3. \(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。

3.

设\(\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\in\F^m\)，证明：
\begin{equation*} \langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s\rangle +\langle\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle =\langle\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta_1,\ldots,\beta_t\rangle . \end{equation*}

4.

设\(V_1\)、\(V_2\)是\(\F^m\)的子空间且\(V_1\subseteq V_2\)。证明：\(V_1=V_2\)的充分必要条件是\(\dim V_1=\dim V_2\)。

5.

在线性空间\(\mathbb{F}^m\)中，证明：
  1. 存在\(\mathbb{F}^m\)的非零子空间\(V\)，使得\(V\)中任一非零向量的分量均不为零；
  2. 若\(\mathbb{F}^m\)的非零子空间\(U\)中任一非零向量的分量均不为零，则\(\dim U=1\)。

6.

求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数： \(\left\{\begin{array}{c} \alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\ \alpha_2=(-1,1,1,1)^T, \end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c} \beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\ \beta_2=(1,-1,3,7)^T. \end{array}\right.\)

7.

设\(V_1,V_2,V_3\)是列向量空间\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*} V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3) \end{equation*}
未必成立。

8.

设\((\xi_1,\ldots,\xi_n)\)是列向量空间\(V\)的一个基，证明：对任意\(1\leq i\leq n-1\)，有
\begin{equation*} V=\langle\xi_1,\ldots,\xi_i\rangle\oplus\langle\xi_{i+1},\ldots,\xi_n\rangle . \end{equation*}

提高题.

9.

设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\cup V_2\)是\(V\)的子空间的充分必要条件为\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。

10.

设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\)，其中\(\alpha_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*} V=\{\ AX\ |\ X\in\mathbb{F}^n\ \}. \end{equation*}
证明：
  1. \(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间；
  2. \(V=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)；
  3. \(\dim V=r(A)\)。

11.

写出\(\F^m\)的\(s(s\geq 2)\)个子空间\(V_1,\cdots ,V_s\)相应的维数公式，并予以证明。

12.

设
\begin{equation*} U=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1=\cdots=a_m\}, \end{equation*}
\begin{equation*} V=\{(a_1,\ldots,a_m)^T\in\F^m|a_1+\cdots +a_m=0\}, \end{equation*}
证明：
  1. \(U,V\)是\(\F^m\)的子空间；
  2. \(\mathbb{F}^m=U\oplus V\)。

13.

设\(V_1\)、\(V_2\)是列向量空间\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(U\)，使得\(V=U\oplus V_1=U\oplus V_2\)。

挑战题.

14.

设\(V\)是\(\F^m\)的子空间，且\(V\)中每个非零向量的零分量个数不超过\(r\)，证明：\(\dim V\leq r+1\)。
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