定义 4.4.1.
设\(\emptyset\ne V\subseteq \F^m \)。若\(V\)对于加法和数乘封闭，即对\(\forall \alpha,\beta\in V\)，\(\forall c\in \F \)，
-
\(\alpha+\beta\in V\)；
-
\(c\alpha\in V\)，
则称\(V\) 是\(\F^m\)的线性子空间，或简称为\(\F^m\)的子空间。
节 4.4 \(\F^m\)的子空间、基与维数
在建立了立体坐标系的空间\(\R^3\)中，其子集xoy平面可以看成是\(\R^2\)，即也是一个列向量空间。除坐标平面外，\(\R^3\)中还有很多其它的经过坐标原点的平面。这些平面中的点从\(\R^3\)中继承了加法和数乘运算，相应地也继承了因运算而具有的结构性质。从几何观点上看，这些平面和坐标平面没有本质区别。本节中，我们将从代数的角度论述这种相似性，并将列向量空间的概念延展至更广阔的范围。
子节 4.4.1 子空间
再次强调，列向量空间本质上重要的是由加法和数乘两种运算引入的集合中元素之间的联系。因此，对于列向量空间的一个非空子集\(V\)，只需要加法和数乘运算可以定义在这个集合\(V\)上，即\(V\)对加法和数乘封闭，\(V\)就会具有和列向量空间类似的性质和结构。于是，有如下定义。
子空间\(V\)上加法和数乘运算是继承自\(\F^m\)，因此这两种运算也会满足定理 4.1.11中列出的8条运算性质（其中零元存在性和负元存在性可以由数乘封闭性条件中分别特取\(c=0\)和\(c=-1\)保证）。由于\(V\)中的元素都是列向量，\(V\)也可以被称为列向量空间。这里，我们对列向量空间的概念进行了延展，列向量空间的集合\(V\)不再需要局限是某一个\(\F^m\)，而可以是任意的一个关于加法和数乘封闭的\(\F^m\)子集。
若\(\emptyset\ne V_1\subseteq V\subseteq \F^m \)，且\(V\)和\(V_1\)都是\(\F^m\)的子空间，则我们也称\(V_1\)是\(V\)的子空间。
注意到数字0数乘任意一个列向量结果都会是0向量，即坐标原点，所以每一个子空间都至少包含0向量。特别地，若\(V=\{0\}\)，即\(V\)中只含有0向量，则\(V\)也满足子空间的定义，这样的子空间\(V\)被称为0子空间。为了简便，0子空间也经常被直接记为0。
子节 4.4.2 子空间的运算
类似于集合的交运算与并运算，子空间也有两种常用运算，即子空间的交运算与和运算。接下来我们来分别介绍这两种运算。
先来证明一个子空间关于交的性质。
命题 4.4.3.
设\(V_1,V_2\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1\cap V_2=\{\alpha |\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}
\end{equation*}
也是\(\F^m\)的子空间。
证明.
设\(\forall \alpha,\beta V_1\cap V_2\)及\(\forall c\in \F\)。可知\(\alpha\in V_1\)且\(\beta\in V_1\)，由于\(V_1\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，根据定义，可知\(\alpha+\beta\in V_1\)且\(c\alpha\in V_1\)。同理可知\(\alpha+\beta\in V_2\)且\(c\alpha\in V_2\)。综合两者可知\(\alpha+\beta\in V_1\cap V_2\)且\(c\alpha\in V_1\cap V_2\)，按照定义，\(V_1\cap V_2\)也是\(\F^m\)的子空间。
于是，我们可以定义子空间的第一种运算。
定义 4.4.4.
例 4.4.5.
在\(\R^3\)中，设\(V_1,V_2\)是过坐标原点的两个不重合的平面，则\(V_1,V_2\)都是\(\R^3\)的子空间，此时\(V_1\cap V_2\)是一条经过原点的直线，也是\(\R^3\)的子空间。
和交运算不同，子空间的并一般不再是子空间。借助子空间中的加法，我们可以引入下面的运算。
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，定义
\begin{equation*}
V_1+V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\},
\end{equation*}
此运算称为子空间的和运算。
命题 4.4.6.
证明.
任意给定\(\alpha,\beta\in V_1+V_2\)和\(c\in \F\)。按照定义，存在\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)、\(\beta_1\in V_1\)和\(\beta_2\in V_1\)满足
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\quad \beta =\beta_1+\beta_2.
\end{equation*}
由于\(V_1\)是子空间，所以
\begin{equation*}
\alpha_1+\beta_1\in V_1,\quad c\alpha_1\in V_1;
\end{equation*}
同理
\begin{equation*}
\alpha_2+\beta_2\in V_2,\quad c\alpha_2\in V_2.
\end{equation*}
所以，利用加法交换律和结合律可知
\begin{equation*}
\alpha+\beta = (\alpha_1+\beta_1)+(\alpha_2+\beta_2)\in V_1+V_2;
\end{equation*}
利用数乘分配律可知
\begin{equation*}
c\alpha =c\alpha_1+c\alpha_2\in V_1+V_2,
\end{equation*}
根据定义，\(V_1+V_2\)是子空间。
于是有下面的定义。
定义 4.4.7.
例 4.4.8.
坐标平面xoy可以看成\(\R^2\)，取\(V_1\)其中的x轴、\(V_2\)是y轴。易知
\begin{equation*}
V_1= \left\{\left.\begin{pmatrix} x\\0
\end{pmatrix}\right| x\in \R\right\},\quad V_2= \left\{\left.\begin{pmatrix} 0\\y
\end{pmatrix}\right| y\in \R\right\}
\end{equation*}
都是\(\R^2\)的子空间。按照定义
\begin{equation*}
V_1+V_2=\left\{\left.\begin{pmatrix} x\\y
\end{pmatrix}\right| x,y\in \R\right\} = \R^2.
\end{equation*}
子空间的和运算与其作为集合的并运算有密切联系，事实上有下面的结论。
命题 4.4.9.
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
\langle V_1\cup V_2\rangle =V_1+V_2.
\end{equation*}
即和空间\(V_1+V_2\)是包含\(V_1\cup V_2\)的最小的子空间。
证明.
只需要证明\(V_1\cup V_2\subseteq V_1+V_2\)。对任意的\(\alpha\in V_1\cup V_2 \)，则\(\alpha\in V_1\)或者\(\alpha\in V_2\)，不妨设\(\alpha\in V_1\)。注意到子空间都包含0，则\(0\in V_2\)，于是
\begin{equation*}
\alpha = \alpha+0\in V_1+V_2,
\end{equation*}
所以结论成立。
上述两种两个子空间的运算都可以推广到多个子空间。设\(V_1,\dots,V_s\)是\(\F^m\)的子空间，则
-
\begin{equation*} V_1\cap\cdots\cap V_s=\{\alpha|\alpha\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的交空间。
-
\begin{equation*} V_1+\cdots+V_s=\{\alpha_1+\cdots+\alpha_s|\alpha_i\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的和空间。
根据定义，容易验证子空间的交运算与和运算同时满足交换律和结合律，所以上述记号没有歧义。
子节 4.4.3 （子）空间的基与维数
在\(\R^3\)空间中，选定\({i} =(1,0,0)^T\)，\({j} =(0,1,0)^T \)，\({k} =(0,0,1)^T \)。此时，任给空间中的一个列向量 \(\alpha =(a_1,a_2,a_3)^T \)，\(\alpha\) 都可以用这三个向量\({i},{j},{k}\)线性表出，且表示法唯一：
\begin{equation}
\alpha = a_1 {i} +a_2{j}+a_3{k}.\tag{4.4.1}
\end{equation}
下面，我们把这个性质推广到一般的\(\F^m\)及其子空间中。
定义 4.4.10.
如果在线性子空间\(V\)中存在\(n\)个向量\(\xi_1,\dots,\xi_n\)满足
-
\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关；
则称\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)为\(V\)的一个基。
备注 4.4.11.
本书中我们用\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)表示空间的一个基。使用圆括号这种记号一方面强调基是一个整体，另一方面也是强调基中向量的排列次序是重要的，即基是一个有序集。其他多数相关书籍中，基只是一组满足条件的向量，记号上没有圆括号。
例 4.4.12. 标准基.
\(\F^m\)中，记\(\varepsilon_1=(1,0,\dots,0)^T,\dots,\varepsilon_m=(0,\dots,0,1)^T\)，则\((\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)\)是一组最常用的\(\F^m\)基，也称为\(\F^m\)的标准基。
从定义中可知，如果我们把\(V\)看成一个列向量组，则\(V\)的基就是\(V\)的极大无关组。极大无关组一般不唯一，因此\(V\)的基一般也不唯一。虽然不唯一，但由于这些极大无关组都是\(V\)的极大无关组，所以它们有相同的向量个数。
定义 4.4.13.
由基的定义的第一条可知：若\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)空间的一个基，则\(V\)也是基向量组生成的子空间，即每一个线性子空间都可以按照生成子空间来理解。特别的，我们有下面一个维数公式。
定理 4.4.14.
设\(A\in \F^{m\times n}\)，则\(A\)列向量组生成的子空间维数等于矩阵\(A\)的秩，即
\begin{equation*}
\dim {\rm Im}A = r(A).
\end{equation*}
我们把基的一些常用等价条件在下面的定理中做一个总结。
定理 4.4.15.
设\({\dim V=n}\)，\(\xi_1,\dots,\xi_n\in V\)，则以下几点是等价的：
-
\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关；
基是极大无关组，因此基的子向量组必定是线性无关的。下面的定理称为扩基定理，是一个常用定理。扩基定理说明：只要一个向量组满足线性无关这一必要条件，我们就可以在这个向量组基础上构建空间的一个基，使得构建的基包含给定的向量组。
定理 4.4.16. 扩基定理.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)是\(V\)中\(r(r<n)\)个线性无关向量， 又\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)的一个基， 则必可在\(\xi_1,\dots,\xi_n\)中选出\(n-r\)个向量， 使其和\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)一起凑成\(V\)的一个基。
证明.
把\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)和\(\xi_1,\dots,\xi_n\)放在一起，构成向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_r,\xi_1,\dots,\xi_n\)。由于\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)线性无关，利用子节 4.3.2中给出的求极大无关组的算法求出的极大无关组必然形如
\begin{equation*}
\alpha_1,\dots,\alpha_r,\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_{n-r}},
\end{equation*}
这个极大无关组就是\(V\)的一个基。
利用扩基定理，我们可以证明下面一个称为维数公式的重要结论，这是本节的重点内容。
定理 4.4.17. 维数公式.
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
\dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2.
\end{equation*}
证明.
记\(\dim(V_1\cap V_2)= m\)，\(\dim V_1= m+s\)，\(\dim V_2= m+t\)。取定\(V_1\cap V_2\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m)\)。在\(V_1\)中，根据扩基定理，可将其扩充为\(V_1\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s)\)。同理，可将其扩充为\(V_2\)的一个基\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\gamma_1,\dots,\gamma_t)\)。下面证明
\begin{equation*}
(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s,\gamma_1,\dots,\gamma_t)
\end{equation*}
是\(V_1+V_2\)的一个基。
容易看到\(V_1+V_2\)中的每一个向量都可以由上述向量组线性表出。下面着重证明这个向量组线性无关。
设
\begin{equation}
a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s+c_1\gamma_1+\dots+c_t\gamma_t=0,\tag{4.4.2}
\end{equation}
则
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s = -c_1\gamma_1-\dots-c_t\gamma_t\in V_1\cap V_2,
\end{equation*}
于是存在\(d_1,\dots,d_m\)，使得
\begin{equation*}
-c_1\gamma_1-\dots-c_t\gamma_t = d_1\alpha_1+\dots+d_m\alpha_m.
\end{equation*}
由于\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\gamma_1,\dots,\gamma_t)\)是基，所以
\begin{equation}
c_1=\dots = c_t = d_1=\dots = d_m=0.\tag{4.4.3}
\end{equation}
将所有的\(c_i\)代入(4.4.2)，可得
\begin{equation*}
a_1\alpha_1+\dots+a_m\alpha_m+b_1\beta_1+\dots+b_s\beta_s = 0.
\end{equation*}
因为\((\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s)\)是\(V_1\)的基，所以
\begin{equation*}
a_1=\dots= a_m= b_1=\dots = b_s.
\end{equation*}
结合 (4.4.3)，可知向量组\(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s,\gamma_1,\dots,\gamma_t\)线性无关，进而向量组中的向量构成\(V_1+V_2\)的基。简单计算可知维数公式的等式成立。
维数公式是一个重要公式，上述证明维数公式的扩基方法也具有一定普遍性。
表示一个空间较为简单的方式是找出它的一组基。接下来，利用维数公式，我们用一个例子说明如何更加明确地计算出两个子空间的交空间与和空间。
例 4.4.18.
在\(\mathbb{F}^4\)中，设
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\alpha_1} = (1,2,1,0)^T,\alpha_2 = (-1,1,1,1)^T,\\\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,\end{array}
\end{equation*}
记\(V_1 =\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \)，\(V_2 =\langle \beta_1,\beta_2\rangle \)
-
求\(V_1 +V_2 \)的维数与一个基；
-
求\(V_1 \cap V_2\)的维数与一个基。
提示.
解答.
将\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\)按列拼成矩阵\(A\)，用初等行变换将\(A\)变成简化阶梯型\({\rm rref}(A)\)，得
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1& -1& 2& 1\\
2& 1& -1& -1\\
1& 1& 0& 3\\
0& 1& 1& 7
\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}}
\begin{pmatrix}
1& 0& 0& -1\\
0& 1& 0& 4\\
0& 0& 1& 3\\
0& 0& 0& 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
-
注意到\(V_1+V_2 =\langle \alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\rangle \)，所以\(\dim(V_1+V_2)=r(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2) = 3\)。观察简化阶梯型矩阵\({\rm rref}(A)\)可知\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1\)线性无关，可以构成\(V_1+V_2\)的一个基\((\alpha_1,\alpha_2,\beta_1)\)。
-
由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以观察\({\rm rref}(A)\)的列向量组可知：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，进而推出\(\dim V_1 = 2\)；\(\beta_1,\beta_2\)也线性无关，推出\(\dim V_2 = 2\)。根据维数公式，\begin{equation*} \dim V_1\cap V_2 = \dim V_1+\dim V_2 -\dim(V_1+V_2)= 1. \end{equation*}观察\({\rm rref}(A)\)，可知\begin{equation*} \beta_2-3\beta_1 = 4\alpha_2 -\alpha_1 = \begin{pmatrix} -5\\2\\3\\4 \end{pmatrix} \in V_1\cap V_2, \end{equation*}于是\(V_1\cap V_2\)的一个基可以选择为\((4\alpha_2 -\alpha_1)\)（或者也可写成\((\beta_2-3\beta_1)\)）。
子节 4.4.4 子空间的直和运算
本节的最后将介绍一种特殊的子空间和运算，这种和运算是今后我们把大空间上复杂问题分解为小空间上简单问题时需要使用的主要工具。
假设\(V_1,V_2\)都是某一个列向量空间\(V\)的子空间。\(V_1+V_2\)中的每一个元素都可以写作
\begin{equation*}
\alpha_1+\alpha_2,
\end{equation*}
其中\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)。一种有特殊重要意义的情形是上述这种分解方式唯一，此种情形如此重要，以至于它有单独的名称和记号。
定义 4.4.19.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间。若\(V_1 + V_2\)中的任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2
\end{equation*}
唯一，则称\(V_1+V_2\)为直和，记为\(V_1\oplus V_2\)。
所谓分解式\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)唯一，指的是：若有
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_1,\beta_1\in V_1,\alpha_2,\beta_2\in V_2,
\end{equation*}
则总有\(\alpha_1=\beta_1\)，\(\alpha_2=\beta_2\)。
例 4.4.20.
设\(V=\R^3\)。
-
取\begin{equation*} V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}\begin{equation*} V_2=\{(0,0,z)^T|z\in \R\}, \end{equation*}则\begin{equation*} V = V_1\oplus V_2. \end{equation*}
-
取\begin{equation*} U_1=V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}\begin{equation*} U_2=\{(0,y,z)^T|y,z\in \R\}, \end{equation*}则\(V = U_1+U_2\)，但\(U_1+U_2\)不是直和。
直和定义中要求和空间中每一个元素的分解方式都是唯一的，而事实上我们仅需验证0向量的分解式唯一即可。
定理 4.4.21.
证明.
只需要证明充分性。用反证法证明：假设\(V_1+V_2\)不是直和，即存在向量\(\alpha\in V_1+V_2 \)有两种不同分解式，记为
\begin{equation*}
\alpha = \alpha_1+\alpha_2 = \beta_1+\beta_2,
\end{equation*}
其中\(\alpha_1,\beta_1\in V_1\)，\(\alpha_2,\beta_2\in V_2\)且\(\alpha_1\ne \alpha_2\)，\(\beta_1\ne \beta_2\)。由于\(V_1,V_2\)是是子空间，对线性组合封闭，所以有\(0\ne \alpha_1 -\beta_1\in V_1\)，\(0\ne \alpha_2-\beta_2\in V_2\)，且
\begin{equation*}
\alpha_1 -\beta_1 = \beta_2 -\alpha_2.
\end{equation*}
于是0向量有分解式
\begin{equation*}
0 = (\alpha_1 -\beta_1)+(\alpha_2-\beta_2)\in V_1+V_2,
\end{equation*}
此分解式与0向量的平凡分解式\(0=0+0\)是两种不同分解式，矛盾。
下面的结论分别从交空间和维数等角度给出直和的判定条件。
命题 4.4.22.
证明.
-
充分性：已知\(V_1\cap V_2=0\)。设\(0 = \alpha_1+\alpha_2\)，其中\(\alpha_1\in V_1\)，\(\alpha_2\in V_2\)，则\(\alpha_1= -\alpha_2\in V_1\cap V_2=0\)，于是 \(\alpha_1= \alpha_2=0\)，所以0向量的分解式唯一，根据定理 4.4.21，可知\(V_1 + V_2\)是直和。
-
必要性：已知\(V_1 + V_2\)是直和。设\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，则\(\alpha = 0+\alpha = \alpha+0\)，由分解式唯一可知\(\alpha = 0\)，即\(V_1\cap V_2=0\)。
根据维数公式，可知下面的推论成立。
推论 4.4.23.
若\(V_1\)，\(V_2\)是有限维线性空间\(V\)的子空间，则下述命题等价：
-
\(V_1+V_2\)是直和；
-
\(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\)；
直和的概念也可以推广到多个子空间。
定义 4.4.24.
设\(V_1,\ldots,V_s\)均为\(\F^m\)的子空间。若\(V_1+\cdots+V_s\)中任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_s,\ \alpha_i\in V_i,\ i=1,\ldots, s
\end{equation*}
均唯一，则称\(V_1+\cdots+V_s\)为直和，记做\(V_1\oplus\cdots\oplus V_s\) 或 \(\oplus_{i=1}^s V_i\)。
多个子空间的直和与两个子空间的直和有一些差异。作为受命题 4.4.22诱导的一个直观想象，部分同学可能认为：两两相交为0空间的多个子空间的和也是直和。请注意：这是不对的。我们来看下面一个简单的例子。
例 4.4.25. 两两相交为0空间不能保证是直和.
设\(V=\R^2\)，取
\begin{equation*}
V_1 = \{(x,0)^T|x\in R\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_2 = \{(0,y)^T|y\in R\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_3 = \{(x,x)^T|x\in R\},
\end{equation*}
则 \(V_1\cap V_2 = V_2\cap V_3=V_3\cap V_1=\{0\}\)，但\(V_1+V_2+V_3\)不是直和。
作为总结，我们给出一个类比：子空间的和运算可以类比于一般集合的并运算；相应地，子空间的直和运算则可以类比于集合的不交并运算。需要注意的是两个子空间都会有公共元素0，所以子空间的直和并不是一般意义的不交并，从空间基的角度去理解这种特殊的“不交并”似乎更为合适。请同学们自行体会两者的区别与联系。
练习 4.4.5 练习
基础题.
1.
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=0\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i=1\)；
-
\(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2=0\)。
2.
3.
在线性空间\(\mathbb{F}^n\)中，证明：
解答.
-
假设存在\(\mathbb{F}^n\)的子空间\(U\)，满足\(U\)中任一非零向量的分量均不为零且\(\dim U\geq 2\)，则存在\begin{equation*} \alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)^T\in U, \end{equation*}使得\(\alpha,\beta\)线性无关。因\(\beta\)是\(U\)中非零向量，故\(b_1,b_2,\cdots ,b_n\)均不为零。由\(\alpha,\beta\in U\)，\(U\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间知：\begin{equation*} \alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta=(0,a_2-\frac{a_1b_2}{b_1},\cdots ,a_n-\frac{a_1b_n}{b_1})^T\in U. \end{equation*}又\(\alpha,\beta\)线性无关，所以\(\alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta\neq 0\)。从而\(U\)中存在非零向量\(\alpha-\frac{a_1}{b_1}\beta\)，其分量不全非零，与已知矛盾。因此\(\dim U=1\)。
4.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是线性空间\(V\)中的向量，若它们两两线性无关但全体线性相关，求证：
\begin{equation*}
\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle.
\end{equation*}
解答.
证法一：记\(W=\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rangle\)。 因为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)两两线性无关但全体线性相关，所以\(\dim W =rank(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2\)。
因为\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，所以\(\dim \langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=2\)。又因为\(\alpha_1\in W\)，\(\alpha_2\in W\)，所以\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\subseteq W\)。故\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=W\)。同理可证\(\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle=\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle=W\)，结论成立。
证法二：因为\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，所以\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出，则向量组\(\alpha_1,\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表出。因此\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle\subseteq\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\)。
同理由\(\alpha_1,\alpha_3\)线性无关、\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关可证\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\subseteq\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle\)。因此\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle =\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle\)。
同理可证\(\langle \alpha_1,\alpha_3\rangle =\langle \alpha_2,\alpha_3\rangle\)，结论成立。
5.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)且\(A=(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)\)，其中\(\alpha_i\in\mathbb{F}^m(1\leq i\leq n)\)。记
\begin{equation*}
V=\{\ Ax\ |\ x\in\mathbb{F}^n\ \}.
\end{equation*}
求证：
-
\(V=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)；
-
\(\dim V=r(A)\)。
解答.
-
对任意\(\beta_1,\beta_2\in V,k_1,k_2\in\mathbb{F}\)，则存在\(\gamma_1,\gamma_2\in \mathbb{F}^n\)使得\(\beta_1=A\gamma_1,\beta_2=A\gamma_2\)。故\begin{equation*} k_1\beta_1+k_2\beta_2=k_1(A\gamma_1)+k_2(A\gamma_2)=A(k_1\gamma_1+k_2\gamma_2)\in V. \end{equation*}因此\(V\)是\(\mathbb{F}^m\)的子空间。
-
对任意\(\beta\in V\)，存在\(\gamma\in\mathbb{F}^n\)使得\(\beta=A\gamma\)。记\(\gamma=(x_1,\dots ,x_n)^T\)，则\begin{equation*} \begin{array}{rcl} A\gamma &= &( \alpha_1,\dots ,\alpha_n)\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ &= &x_1\alpha_1+\cdots +x_n\alpha_n\\ &\in &\langle \alpha_1,\cdots ,\alpha_n\rangle,\end{array} \end{equation*}所以\(V\subseteq \langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)。反之，对任意\(\beta\in \langle \alpha_1,\cdots,\alpha_n\rangle\)，有\(\beta=a_1\alpha_1+\cdots +a_n\alpha_n\)。令\(x=(a_1,\dots,a_n)^T\)，则\(x\in\mathbb{F}^n\)且\(\beta=Ax\)，即\(\beta\in V\)。因此\(V=\langle \alpha_1,\dots ,\alpha_n\rangle\)。
-
由上题结论知\(\dim V= r(\alpha_1,\dots ,\alpha_n)=r(A)\)。
6.
求由向量\(\alpha_i\)生成的子空间与由向量\(\beta_i\)生成的子空间的交与和空间的基与维数： \(\left\{\begin{array}{c}
\alpha_1=(1,2,1,0)^T,\\
\alpha_2=(-1,1,1,1)^T,
\end{array} \right.\quad\left\{\begin{array}{c}
\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\\
\beta_2=(1,-1,3,7)^T;
\end{array}\right.\)
解答.
令\(V_1=\langle\alpha_1,\alpha_2 \rangle ,V_2=\langle\beta_1,\beta_2\rangle\)。因为
\begin{equation*}
V_1+V_2=\langle\alpha_1,\alpha_2 \rangle +\langle\beta_1,\beta_2\rangle=\langle\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\rangle ,
\end{equation*}
所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\)的一个极大无关组就是\(V_1+V_2\)的一个基。
令\(A=(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2)\)，对\(A\)进行初等行变换，化为阶梯形矩阵：
\begin{equation*}
A=(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 1\\
2 & 1 & -1 & -1\\
1 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 1 & 7
\end{pmatrix}\xrightarrow{rref}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & 4\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
由此得出，\(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1\)是\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1,\beta_2\)的一个极大无关组，从而\(\alpha_1,\alpha_2 ,\beta_1\)是\(V_1+V_2\)的一个基，因此\(\dim(V_1+V_2) =r (\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)=3\)。
从上述简化行阶梯形矩阵的前\(2\)列可以看出：\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关；从后\(2\)列看出，\(\beta_1,\beta_2\)线性无关。因此\(\dim V_1=2,\dim V_2=2\)。由维数公式得
\begin{equation*}
\dim (V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1+V_2)=2+2-3=1.
\end{equation*}
设\(\alpha\in V_1\cap V_2\)，则存在\(x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{F}\)，使得
\begin{equation*}
\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=x_3\beta_1+x_4\beta_2,
\end{equation*}
即\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2-x_3\beta_1-x_4\beta_2=0\)，解得\(x_1=-c,x_2=4c,x_3=-3c,x_4=c\)，其中\(c\)为数域\(\mathbb{F}\)上任意常数。于是，\(\alpha=c(-\alpha_1+4\alpha_2)=c(-3\beta_1+\beta_2)(\forall c\in\mathbb{F})\)，故\(4\alpha_2-\alpha_1=(-5,2,3,4)^T\)是\(V_1\cap V_2\)的一个基。
7.
解答.
设\(V\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)是\(V\)的一个基。令
\begin{equation*}
A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r),
\end{equation*}
则\(A\)是秩为\(r\)的\(n\times r\)矩阵。故\(n\)元齐次线性方程组\(A^TX=0\)解空间的维数为\(n-r\)，设\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}\)是\(n\)元齐次线性方程组\(A^TX=0\)的解空间的一个基。令
\begin{equation*}
B=(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_{n-r}),
\end{equation*}
则\(B\)是秩为\(n-r\)的\(n\times (n-r)\)矩阵，且\(A^TB=(A^T\xi_1,A^T\xi_2,\cdots ,A^T\xi_{n-r})=0\)。从而\(B^TA=0\)，即\((B^T\alpha_1,B^T\alpha_2,\cdots ,B^T\alpha_r)=0\)，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)都是\(n\)元齐次线性方程组\(B^TX=0\)的解。注意到\(B^TX=0\)解空间的维数为
\begin{equation*}
n-r(B)=n-(n-r)=r,
\end{equation*}
故\(B^TX=0\)的任意\(r\)个线性无关解向量为\(B^TX=0\)解空间的基，因此\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\)是\(B^TX=0\)解空间的一个基。从而，\(V=\langle\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r\rangle\)是\(n\)元齐次线性方程组\(B^TX=0\)的解空间。
8.
解答.
设\(V\)是\(\mathbb{F}^n\)的子空间，由上题结论知：\(V\)是\(n\)元齐次线性方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{c}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0,\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n-r,1}x_1+a_{n-r,2}x_2+\cdots +a_{n-r,n}x_n=0
\end{array}\right.\tag{4.4.4}
\end{equation}
的解空间。不妨设线性方程组 (4.4.4) 无多余方程，\(W_i\)是齐次线性方程组
\begin{equation*}
a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots +a_{in}x_n=0
\end{equation*}
的解空间（\(1\leq i\leq n-r\)），则\(W_1,W_2,\cdots ,W_{n-r}\)都是\(n-1\)维子空间，且
\begin{equation*}
V=W_1\cap W_2\cap\cdots\cap W_{n-r}.
\end{equation*}
9.
设\(V_1\)、\(V_2\)是线性空间\(V\)的子空间。证明：\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间的充要条件是\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)。
解答.
充分性：由\(V_1\subseteq V_2\)或\(V_2\subseteq V_1\)知\(V_1\bigcup V_2=V_2\)或\(V_1\)。故\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间。
必要性：设\(V_1\not\subseteq V_2\)，则存在\(\alpha\in V_1\)但\(\alpha\not\in V_2\)。对任意\(\beta\in V_2\)，由\(V_1\bigcup V_2\)是\(V\)的子空间、\(\alpha,\beta\in V_1\bigcup V_2\)可知\(\alpha +\beta\in V_1\bigcup V_2\)，则\(\alpha +\beta\in V_1\)或\(V_2\)。
-
若\(\alpha+\beta\in V_2\)，由\(\beta\in V_2\)且\(V_2\)是\(V\)的子空间可知\(\alpha=(\alpha +\beta)-\beta\in V_2\)，与假设矛盾。
故\(\alpha +\beta\in V_1\)。注意到\(\alpha\in V_1\)且\(V_1\)是\(V\)的子空间，所以\(\beta =(\alpha +\beta )-\alpha\in V_1\)。因此，\(V_2\subseteq V_1\)。
10.
解答.
推广的维数公式为
\begin{equation*}
\dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right].
\end{equation*}
下面用数学归纳法证明。
-
当\(s=2\)时，由维数公式知结论成立。
-
假设对\(s-1\)个子空间结论成立，即\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s-1} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s-1}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]. \end{equation*}因为\(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i=\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)+V_s\)，所以由维数公式，有\begin{equation*} \dim\left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\dim\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)+\dim V_s-\dim\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)\cap V_s\right]. \end{equation*}由归纳假设得\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s-1} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s-1}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]+\dim V_s-\dim\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{s-1} V_i\right)\cap V_s\right]. \end{equation*}因此，\begin{equation*} \dim \left(\sum\limits_{i=1}^{s} V_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{s} \dim V_i-\sum\limits_{k=2}^{s}\dim\left[(\sum\limits_{j=1}^{k-1}V_j)\cap V_k\right]. \end{equation*}
11.
设\(V_1,V_2,V_3\)是\(V\)的子空间，举例说明：
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)
\end{equation*}
未必成立。
解答.
设\(V=\mathbb{R}^2,V_1=\left\{(x,x)^T|x\in\mathbb{R}\right\},V_2=\left\{(x,0)^T|x\in\mathbb{R}\right\},V_3=\left\{(0,y)^T|y\in\mathbb{R}\right\}\)，则
\begin{equation*}
V_1\cap (V_2+V_3)=V_1\cap \mathbb{R}^2=V_1,
\end{equation*}
而
\begin{equation*}
(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)=\{0\}+\{0\}=\{0\},
\end{equation*}
此时\(V_1\cap (V_2 +V_3)=(V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)\)不成立。
提高题.
12.
设\(n\)元齐次线性方程组\(x_1=x_2=\cdots=x_n\)的解空间为\(U\)，\(n\)元齐次线性方程组\(x_1+x_2+\cdots+x_n=0\)的解空间为\(W\)，证明：\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
解答.
（法一）对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\in U\cap W\)，有
\begin{equation*}
a_1=a_2=\cdots =a_n,\ a_1+a_2+\cdots +a_n=0,
\end{equation*}
则\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)，即\(\alpha=0\)，故\(U+W\)是直和。
对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^n\in\mathbb{F}^n\)，记\(a=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\)，则\(\beta=(a,a,\cdots ,a)^T\in U,\gamma=(a_1-a,a_2-a,\cdots ,a_n-a)^T\in W\)，且\(\alpha=\beta+\gamma\)，故\(\mathbb{F}^n=U+W\)。综上，\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
（法二）对任意\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T\in U\cap W\)，有
\begin{equation*}
a_1=a_2=\cdots =a_n,\ a_1+a_2+\cdots +a_n=0,
\end{equation*}
则\(a_1=a_2=\cdots =a_n=0\)，即\(\alpha=0\)，故\(U+W\)是直和。易见\((1,1,\cdots ,1)^T\)是\(U\)的一个基，\((-1,1,0,\cdots ,0)^T,(-1,0,1,\cdots ,0)^T,\cdots ,(-1,0,\cdots ,0,1)^T\)是\(W\)的一个基，则\(\dim U=1,\dim W=n-1\)，故\(\dim\mathbb{F}^n=\dim U+\dim W\)。综上，\(\mathbb{F}^n=U\oplus W\)。
13.
设\(A_i\in\mathbb{F}^{m_i\times n}\)，齐次线性方程组\(A_iX=0\)的解空间是\(V_i\)（\(i=1,2\)） 。证明：\(\F^n=V_1\oplus V_2\)的充分必要条件为
\begin{equation*}
r \begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}=r(A_1)+r(A_2)=n.
\end{equation*}
解答.
必要性：因为\(V_i\)是\(A_iX=0\)的解空间，所以\(\dim V_i=n-r(A_i)\)。由\(\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2\)知：\(\dim\mathbb{F}^n=\dim V_1+\dim V_2\)，所以\(r(A_1)+r(A_2)=n\)。
注意到\(V_1+V_2\)是直和，故\(V_1\cap V_2=\{0\}\)。而\(V_1\cap V_2\)是齐次线性方程组\(\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}X=0\)的解空间，\(\dim (V_1\cap V_2)=n-r\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}\)，故\(r\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}=n\)。
综上，\(r\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}=r(A_1)+r(A_2)=n\)。
充分性：因为\(r\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}=n\)，所以齐次线性方程组\(\begin{pmatrix}
A_1\\A_2
\end{pmatrix}X=0\)只有零解，则\(V_1\cap V_2=\{0\}\)。又\(r(A_1)+r(A_2)=n\)，故\((n-r(A_1))+(n-r(A_2))=n\)，即\(\dim V_1+\dim V_2=\dim \mathbb{F}^n\)。因此\(\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2\)。
14.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(V_1\)、\(V_2\)是\(V\)的子空间，且\(\dim V_1=\dim V_2\)。证明：存在\(V\)的子空间\(W\)，使得\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。
解答.
设\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\(V_1\bigcap V_2\)的基。由于\(\dim V_1=\dim V_2\)，所以将其扩充为\(V_1\)的基
\begin{equation*}
\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,
\end{equation*}
也可将其扩充为\(V_2\)的基
\begin{equation*}
\xi_1,\cdots ,\xi_r,\beta_1,\cdots ,\beta_s.
\end{equation*}
此时，\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s\)是子空间\(V_1+V_2\)的基。因此，可将其扩充为\(V\)的基\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\)。令
\begin{equation*}
W=\langle \alpha_1+\beta_1,\cdots ,\alpha_s+\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\rangle,
\end{equation*}
我们断言，\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。事实上，对任意\(\alpha\in V_1\bigcap W\)，有
\begin{equation*}
\alpha=\sum\limits_{i=1}^rk_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^sl_j\alpha_j=\sum\limits_{j=1}^sp_j(\alpha_j+\beta_j)+\sum\limits_{m=1}^tq_m\gamma_m,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^rk_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^s(l_j-p_j)\alpha_j-\sum\limits_{j=1}^sp_j\beta_j-\sum\limits_{m=1}^tq_m\gamma_m=0.
\end{equation*}
由\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\alpha_1,\cdots ,\alpha_s,\beta_1,\cdots ,\beta_s,\gamma_1,\cdots ,\gamma_t\)线性无关可知：
\begin{equation*}
k_1=\cdots=k_r=l_1=\cdots=k_s=p_1=\cdots=p_s=q_1=\cdots=q_t=0,
\end{equation*}
则\(\alpha=0\)，故\(V_1\bigcap W=0\)。对任意\(\beta\in V\)，有
\begin{equation*}
\beta=\sum\limits_{i=1}^ra_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^sb_j\alpha_j+\sum\limits_{j=1}^sc_j\beta_j+\sum\limits_{k=1}^td_k\gamma_k,
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\beta=\left[\sum\limits_{i=1}^ra_i\xi_i+\sum\limits_{j=1}^s(b_j-c_j)\alpha_j\right]+\left[\sum\limits_{j=1}^sc_j(\alpha_j+\beta_j)+\sum\limits_{k=1}^td_k\gamma_k\right]\in V_1+W,
\end{equation*}
所以\(V=V_1+W\)，从而\(V=V_1\oplus W\)。同理可证，\(V=V_2\oplus W\)。
（法二）设\(\dim V_1=\dim V_2=m\)，对\(n-m\)作数学归纳法。
-
当\(n-m=1\)时，则\(n=m+1\)。因为\(V_1,V_2\)是\(V\)的真子空间，所以存在\(\alpha\in V\text{,}\)但\(\alpha\not\in V_1\cup V_2\)。令\(W=\langle\alpha\rangle\)，则\(V=V_1\oplus W=V_2\oplus W\)。
-
假设命题对\(n-m=k\)时成立，以下考虑\(n-m=k+1\)的情形。取\(\alpha\in V\)，但\(\alpha\not\in V_1\cup V_2\)。令\(V_1'=V_1\oplus\langle\alpha\rangle,V_2'=V_2\oplus\langle\alpha\rangle\)，则\begin{equation*} \dim V_1'=\dim V_2'=m+1. \end{equation*}此时\(n-(m+1)=(n-m)-1=k\)。由归纳假设，存在\(V\)的子空间\(W'\)，使得\(V=V_1'\oplus W'=V_2'\oplus W'\)。令\(W=\langle\alpha\rangle\oplus W'\)，则\begin{equation*} V=V_1\oplus W=V_2\oplus W. \end{equation*}
挑战题.
15.
设\(V_1,\dots,V_n\)是\(\F^m\)的子空间，证明下列命题等价：
-
\(V_1+\cdots+V_n=V_1\oplus\cdots\oplus V_n\)；
-
对任意\(i=1,\dots,m\)，\begin{equation*} V_i\cap(V_1+\cdots V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots+V_m) = 0; \end{equation*}
-
\(\dim(V_1+\cdots+V_n) = \dim V_1+\cdots +\dim V_n \)。
