定义 4.4.1.
设\(\emptyset\ne V\subseteq \F^m \)。若\(V\)对于加法和数乘封闭，即对\(\forall \alpha,\beta\in V\)，\(\forall c\in \F \)
- \(\alpha+\beta\in V\)；
- \(c\alpha\in V\)，
则称\(V\) 是\(\F^m\)的线性子空间，或简称为\(\F^m\)的子空间。
节 4.4 \(\F^m\)的子空间、基与维数
在建立了立体坐标系的空间\(\R^3\)中，其子集\(xoy\)平面可以看成是\(\R^2\)，即也是一个列向量空间。除坐标平面外，\(\R^3\)中还有很多其它的经过坐标原点的平面。这些平面中的点从\(\R^3\)中继承了加法和数乘运算，相应地也继承了因运算而具有的结构性质。从几何观点上看，这些平面和坐标平面没有本质区别。本节中，我们将从代数的角度论述这种相似性，并将列向量空间的概念延展至更广阔的范围。
子节 4.4.1 子空间
再次强调，列向量空间本质上重要的是由加法和数乘两种运算引入的集合中元素之间的联系。因此，对于列向量空间的一个非空子集\(V\)，只需要加法和数乘运算可以定义在这个集合\(V\)上，即\(V\)对加法和数乘封闭，\(V\)就会具有和列向量空间类似的性质和结构。
若\(\emptyset\ne V_1\subseteq V\subseteq \F^m \)，且\(V\)和\(V_1\)都是\(\F^m\)的子空间，则我们也称\(V_1\)是\(V\)的子空间。
注意到数字0数乘任意一个列向量结果都会是0向量，即坐标原点，所以每一个子空间都至少包含0向量。特别地，若\(V=\{0\}\)，即\(V\)中只含有0向量，则\(V\)也满足子空间的定义，这样的子空间\(V\)被称为0子空间。为了简便，0子空间也经常被直接记为0。
除0子空间外，另一个较为特别的子空间是\(\F^m\)本身。0子空间和\(\F^m\)本身这两个子空间称为\(\F^m\)的平凡子空间；不是平凡子空间的其它子空间称为非平凡子空间。
例 4.4.2.
\(\R^3\)的所有可能子空间。
子节 4.4.2 子空间的运算
类似于集合的交运算与并运算，子空间也有两种常用运算，即子空间的交运算与和运算。接下来我们来分别介绍这两种运算。
先来证明一个子空间关于交的性质。
命题 4.4.3.
设\(V_1,V_2\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
V_1\cap V_2=\{\alpha |\alpha\in V_1,\alpha\in V_2\}
\end{equation*}
也是\(\F^m\)的子空间。
证明.
于是，我们可以定义子空间的第一种运算。
定义 4.4.4.
设\(V_1,V_2\)是列向量空间\(\F^m\)的子空间，定义\(V_1\cap V_2\)为\(V_1\)与\(V_2\)的交空间。
例 4.4.5.
在\(\R^3\)中，设\(V_1,V_2\)是过坐标原点的两个不重合的平面，则\(V_1,V_2\)都是\(\R^3\)的子空间，此时\(V_1\cap V_2\)是一条经过原点的直线，也是\(\R^3\)的子空间。
和交运算不同，子空间的并一般不再是子空间（见习题***）。借助子空间中的加法，我们可以引入下面的运算。
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，定义
\begin{equation*}
V_1+V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\},
\end{equation*}
此运算称为子空间的和运算。
命题 4.4.6.
\(V_1+V_2\)也是\(\F^m\)的子空间。
于是有下面的定义。
定义 4.4.7.
定义\(V_1+V_2\)为\(V_1\)与\(V_2\)的和空间。
例 4.4.8.
子空间的和运算与其作为集合的并运算有密切联系，事实上有下面的结论。
命题 4.4.9.
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
\langle V_1\cup V_2\rangle =V_1+V_2.
\end{equation*}
即和空间\(V_1+V_2\)是包含\(V_1\cup V_2\)的最小的子空间。
上述两种两个子空间的运算都可以推广到多个子空间。设\(V_1,\dots,V_s\)是\(\F^m\)的子空间，则
- \begin{equation*} V_1\cap\cdots\cap V_s=\{\alpha|\alpha\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的交空间。
- \begin{equation*} V_1+\cdots+V_s=\{\alpha_1+\cdots+\alpha_s|\alpha_i\in V_i,i=1,\dots,s\} \end{equation*}是\(\F^m\)的子空间，称为\(V_1,\dots,V_s\)的和空间。
根据定义，容易验证子空间的交运算与和运算同时满足交换律和结合律，所以上述记号没有歧义。
子节 4.4.3 （子）空间的基与维数
在\(\R^3\)空间中，选定\({i} =(1,0,0)^T\)，\({j} =(0,1,0)^T \)，\({k} =(0,0,1)^T \)。此时，任给空间中的一个列向量 \(\alpha =(a_1,a_2,a_3)^T \)，\(\alpha\) 都可以用这三个向量\({i},{j},{k}\)线性表出，且表示法唯一：
\begin{equation}
\alpha = a_1 {i} +a_2{j}+a_3{k}.\tag{4.4.1}
\end{equation}
下面，我们把这个性质推广到一般的\(\F^m\)及其子空间中。
在接下来的讨论中，我们总假定\(V\)是某一个\(\F^m\)子空间，向量也均指\(\F^m\)中的列向量。
定义 4.4.10.
如果在线性子空间\(V\)中存在\(n\)个向量\(\xi_1,\dots,\xi_n\)满足
- \(V\)中任一向量均可表示为\(\xi_1,\dots,\xi_n\)的线性组合，
- \(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关；
则称\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)为\(V\)的一个基。
备注 4.4.11.
本书中我们用\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)表示空间的一个基。使用圆括号这种记号一方面强调基是一个整体，另一方面也是强调基中向量的排列次序是重要的，即基是一个有序集。
例 4.4.12.
标准基。
从定义中可知，如果我们把\(V\)看成一个列向量组，则\(V\)的基就是\(V\)的极大无关组。极大无关组一般不唯一，因此\(V\)的基一般也不唯一。虽然不唯一，但由于这些极大无关组都是\(V\)的极大无关组，所以它们有相同的向量个数。
定义 4.4.13.
设\(V\)是\(\F^m\)的一个子空间。若\(V\)的基由\(n\)个向量组成， 则称\(V\)为一个\(n\)维列向量空间， \(n\)称为\(V\)的维数， 记作\(\dim V\)。
我们约定：若\(V=0\)，则记 \(\dim V=0\)。
因为维数\(n\)实质上就是子空间\(V\)的极大无关组含有的向量个数，因此\(V\)中任意\(n+1\)个向量必线性相关。我们把基的一些常用等价条件在下面的定理中做一个总结。
定理 4.4.14.
设\({\dim V=n}\)，\(\xi_1,\dots,\xi_n\in V\)，则以下几点是等价的：
- \((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)的一个基；
- \(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出；
- \(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关且\(V\)中任一向量添加到\(\xi_1,\dots,\xi_n\)所得的新向量组线性相关；
- \(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性无关；
- \(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出；
- \(V\)中任一向量均可由\(\xi_1,\dots,\xi_n\)线性表出，且表示法唯一。
基是极大无关组，因此基的子向量组必定是线性无关的。下面的定理称为扩基定理，是一个常用定理。扩基定理说明：只要一个向量组满足线性无关这一必要条件，我们就可以在这个向量组基础上构建空间的一个基，使得构建的基包含给定的向量组。
定理 4.4.15. 扩基定理.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)是\(V\)中\(r(r<n)\)个线性无关向量， 又\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)是\(V\)的一个基， 则必可在\(\xi_1,\dots,\xi_n\)中选出\(n-r\)个向量， 使其和\(\alpha_1,\dots,\alpha_r\)一起凑成\(V\)的一个基。
利用扩基定理，我们可以证明下面一个称为维数公式的重要结论，这是本节的重点内容。
定理 4.4.16. 维数公式.
设\(V_1,V_2\)是\(\F^m\)的子空间，则
\begin{equation*}
\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2).
\end{equation*}
子节 4.4.4 基与坐标
设\(V\subseteq \F^m\)是一个\(n\)维的列向量子空间，\(\xi_1,\dots,\xi_n\)是\(V\)的一个基。则对于\(\forall \alpha\in V\)，\(\alpha\)可以唯一的表示为\(\xi_1,\dots,\xi_n\)的线性组合，记
\begin{equation}
\alpha = c_1\xi_1+\dots+c_n\xi_n.\tag{4.4.2}
\end{equation}
\begin{equation*}
\alpha = (\xi_1,\dots,\xi_n)\begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\ \\ a_n \end{pmatrix}.
\end{equation*}
特别地，当\(V= \F^m\)，且选取基为标准基
\begin{equation*}
\varepsilon_1 = (1,0,\dots,0),\ \dots,\ \varepsilon_m = (0,\dots,0,1)
\end{equation*}
时，任给一个列向量\(\alpha\in V\)，\(\alpha\)在标准基下的坐标向量就是\(\alpha\)本身。
事实上，建立立体空间中的点与\(\R^3\)中列向量之间一一对应关系的过程，可以等同于建立坐标系的过程；选定坐标原点和三个坐标轴的方向及单位长度，也等同于在空间中从一个选定点（坐标原点）出发画出3个基本单位向量\(i,j,k\)，此时就相当于在立体空间中选定一个基。
（习惯上，我们通常选择两两垂直且长度一样的三个向量作为\(i,j,k\)，这样选择是为了方便计算下一章中介绍的向量内积。单从线性空间角度，基本单位向量\(i,j,k\)的选择只需要线性无关即可。）
例 4.4.17.
给一个子空间和一个向量，求一组基和这向量的坐标。
解答.
表示一个空间较为简单的方式是找出它的一组基。接下来，利用维数公式，我们用一个例子说明如何更加明确地计算出两个子空间的交空间与和空间。
例 4.4.18.
在\(\mathbb{F}^4\)中，设
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\alpha_1} = (1,2,1,0)^T,\alpha_2 = (-1,1,1,1)^T,\\\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,\end{array}
\end{equation*}
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle +\langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基；
- 求\(\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle \cap \langle \beta_1,\beta_2\rangle \)的维数与一个基。
解答.
子节 4.4.5 子空间的直和运算
本节的最后将介绍一种特殊的子空间和运算，这种和运算是今后我们把大空间上复杂问题分解为小空间上简单问题时需要使用的主要工具。
假设\(V_1,V_2\)都是某一个列向量空间\(V\)的子空间。\(V_1+V_2\)中的每一个元素都可以写作
\begin{equation*}
\alpha_1+\alpha_2,
\end{equation*}
其中\(\alpha_1\in V_1\)、\(\alpha_2\in V_2\)。一种有特殊重要意义的情形是上述这种分解方式唯一，此种情形如此重要，以至于它有单独的名称和记号。
定义 4.4.19.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间。若\(V_1 + V_2\)中的任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2
\end{equation*}
唯一，则称\(V_1+V_2\)为直和，记为\(V_1\oplus V_2\)。
所谓分解式\(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)唯一，即若有
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2,\alpha_1,\beta_1\in V_1,\alpha_2,\beta_2\in V_2,
\end{equation*}
则总有\(\alpha_1=\beta_1\)，\(\alpha_2=\beta_2\)。
例 4.4.20.
设\(V=\R^3\)。
- 取\begin{equation*} V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}\begin{equation*} V_2=\{(0,0,z)^T|z\in \R\}, \end{equation*}则\begin{equation*} V = V_1\oplus V_2. \end{equation*}
- 取\begin{equation*} U_1=V_1=\{(x,y,0)^T|x,y\in \R\}, \end{equation*}\begin{equation*} U_2=\{(0,y,z)^T|y,z\in \R\}, \end{equation*}则\(V = U_1+U_2\)，但\(U_1+U_2\)不是直和。
解答.
直和定义中要求和空间中每一个元素的分解方式都是唯一的，而事实上我们仅需验证0向量的分解式唯一即可。
命题 4.4.21.
设\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间。则\(V_1+V_2\)是直和的充分必要条件是0向量分解式唯一。
证明.
下面的结论分别从交空间和维数等角度给出直和的判定条件。
命题 4.4.22.
若\(V_1\)，\(V_2\)是\(V\)的子空间，则\(V_1 + V_2\)是直和的充要条件是\(V_1\cap V_2=0\)。
命题 4.4.23.
若\(V_1\)，\(V_2\)是有限维线性空间\(V\)的子空间，则下述命题等价：
- \(V_1+V_2\)是直和；
- \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\)；
- \(V_1\)的任意一组基与\(V_2\)的任意一组基的并构成\(V_1+V_2\)的一组基。
直和的概念也可以推广到多个子空间。
定义 4.4.24.
设\(V_1,\ldots,V_s\)均为\(\F^m\)的子空间。若\(V_1+\cdots+V_s\)中任意向量\(\alpha\)的分解式
\begin{equation*}
\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_s,\ \alpha_i\in V_i,\ i=1,\ldots, s
\end{equation*}
均唯一，则称\(V_1+\cdots+V_s\)为直和，记做\(V_1\oplus\cdots\oplus V_s\) 或 \(\oplus_{i=1}^s V_i\)。
多个子空间的直和与两个子空间的直和有一些差异。作为受命题 4.4.22诱导的一个直观想象，部分同学可能认为：两两相交为0空间的多个子空间的和也是直和。请注意：这是不对的。我们来看下面一个简单的例子。
例 4.4.25. 两两相交为0空间不能保证是直和.
设\(V=\R^2\)，取
\begin{equation*}
V_1 = \{(x,0)^T|x\in R\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_2 = \{(0,y)^T|y\in R\},
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_3 = \{(x,x)^T|x\in R\},
\end{equation*}
则 \(V_1\cap V_2 = V_2\cap V_3=V_3\cap V_1=\{0\}\)，但\(V_1+V_2+V_3\)不是直和。
作为总结，我们给出一个类比。子空间的和运算可以类比于一般集合的并运算；相应地，子空间的直和运算则可以类比于集合的不交并运算。需要注意的是两个子空间都会有公共元素0，所以子空间的直和并不是一般意义的不交并，从空间基的角度去理解这种特殊的不交并似乎更为合适，当然也有区别。请同学们自行体会两者的区别与联系。
