定理 4.5.1.
设\(\eta_1,\eta_2\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的解，则对任意的\(c_1,c_2\in \mathbb{F}\)，\(c_1\eta_1+c_2\eta_2\)仍是\(AX=0\)的解，即齐次方程组的解集合
\begin{equation*}
\{X| AX = 0\}
\end{equation*}
是 \(\F^n\) 的一个子空间。
节 4.5 线性方程组解的结构
线性方程组的解有三种可能：无解、有唯一解和有无穷多解。无解和唯一解两种情况不需要太多描述，无穷多解的情况相对复杂，需要进一步研究。本节中，我们将从线性空间的角度给出线性方程组无穷多解的一种整体理解方式。
子节 4.5.1 齐次方程组解的结构
先来看较为简单的齐次方程组解的整体性理解。
由于齐次方程组的解集构成\(\F^n\)的一个子空间，齐次方程组的解集也被称为解空间，记做 \({\rm Ker} A\)，即
\begin{equation*}
{\rm Ker} A= \{X| AX = 0\}.
\end{equation*}
解空间的基向量组有一个特殊称呼。
定义 4.5.2.
如果齐次线性方程组\(AX=0\)的一组解 \(\eta_1,\dots,\eta_s\) 满足：
-
\(\eta_1,\dots,\eta_s\)线性无关；
-
任意解向量都可由\(\eta_1,\dots,\eta_s\)线性表出，
则称其为\(AX=0\)的一个基础解系。
\(AX=0\)的一个基础解系放在一起就是其解空间的一个基。 若\(\eta_1,\dots,\eta_s\)是\(AX=0\)的一个基础解系，则\(X\)是\(AX=0\)的解当且仅当\(X\)可以被表示为
\begin{equation*}
c_1\eta_1+\dots +c_s\eta_s,\quad c_1,\dots,c_s\in \mathbb{F},
\end{equation*}
这种形式解也被称为齐次线性方程组\(AX=0\)的通解。
下面的定理给出了解空间维数与系数矩阵秩之间的关系，其证明过程中同时给出了基础解系——也就是解空间基的一种求法。
定理 4.5.3.
对于\(n\)元线性方程组\(AX=0\)， 如果\(r(A)=r<n\)，则该方程组必有基础解系， 且基础解系由\(n-r\)个向量组成，即
\begin{equation*}
\dim {\rm Ker} A = n - r(A).
\end{equation*}
证明.
不妨设\(A\)可经过行初等变换化为简化阶梯形矩阵（请思考为什么可以这样不妨设）
\begin{equation*}
\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&0& \dots &0&{{c_{11}}}&{{c_{12}}}& \dots &{{c_{1,n - r}}}\\
0&1& \dots &0&{{c_{21}}}&{{c_{22}}}& \dots &{{c_{2,n - r}}}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0&0& \dots &1&{{c_{r1}}}&{{c_{r2}}}& \dots &{{c_{r,n - r}}}\\
0&0& \dots &0&0&0& \dots &0\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0&0& \dots &0&0&0& \dots &0
\end{array}} \right)
\end{equation*}
对应的同解方程组为
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{ccccc}
x_1&&&&=-c_{11}x_{r+1}-c_{12}x_{r+2}-\dots -c_{1,n-r}x_n,\\
&x_2&&&=-c_{21}x_{r+1}-c_{22}x_{r+2}-\dots -c_{2,n-r}x_n,\\
\dots&\dots&\ddots&\dots&\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
&&&x_r&=-c_{r1}x_{r+1}-c_{r2}x_{r+2}-\dots -c_{r,n-r}x_n,
\end{array}\right.
\end{equation*}
用\(n-r\)组数 \((1,0,\dots,0)^T,(0,1,\dots,0)^T,\dots,(0,0,\dots,1)^T\) 代入自由未知量 \(({{x_{r + 1}}},{{x_{r + 2}}}, \dots ,{{x_n}})^T\)，得到\(n-r\)个解向量
\begin{equation*}
\begin{array}{c}{\eta _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{11}}},&{ - {c_{21}}},& \dots ,&{ - {c_{r1}}},&1,&0,& \dots ,&0
\end{array}} \right)^T,\\{\eta _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{12}}},&{ - {c_{22}}},& \dots ,&{ - {c_{r2}}},&0,&1,& \dots ,&0
\end{array}} \right)^T, \\\vdots \\{\eta _{n - r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {c_{1,n - r}}},&{ - {c_{2,n - r}}},& \dots ,&{ - {c_{r,n - r}}},&0,&0,& \dots ,&1
\end{array}} \right)^T.\end{array}
\end{equation*}
解向量 \(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\) 满足：
-
\(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\)线性无关。事实上， \(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\)的后\(n-r\)个分量构成的向量组\begin{equation*} (1,0,\dots,0)^T,(0,1,0,\dots,0)^T,\dots,(0,\dots,0,1)^T \end{equation*}线性无关，而 \(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\) 是这\(n-r\)个向量的加长向量组， 所以\(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\) 线性无关。
-
由 \(\eta_1,\eta_2,\dots ,\eta_{n-r}\) 是\(AX=0\)的解，得\begin{equation*} c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\dots +c_n\eta_{n-r}=(*,\dots,*,c_{r+1},c_{r+2},\dots ,c_n)^T \end{equation*}也是\(AX=0\)的解。它与\(\eta\)的最后\(n-r\)个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们是同一个解，即\begin{equation*} \eta= c_{r+1}\eta_1+c_{r+2}\eta_2+\dots +c_n\eta_{n-r}. \end{equation*}
关于基础解系，我们有如下一些补充说明：基础解系本质上就是解空间的基，齐次线性方程组\(AX=0\)的基础解系一般不唯一，只要是与齐次线性方程组\(AX=0\)的基础解系等价的线性无关向量组也是\(AX=0\)的基础解系。若\(r(A)=r\)，由于解空间维数\(\dim{\rm Ker}A=n-r\)，所以\(AX=0\)的任意\(n-r\)个线性无关解向量都是该齐次线性方程组的基础解系。
来看几个具体的例子。
例 4.5.4.
求解下面的齐次线性方程组的基础解系和通解：
-
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} x_1+3x_2-2x_3+4x_4+x_5&=0,\\ 2x_1+6x_2+5x_4+2x_5&=0,\\ 4x_1+11x_2+8x_3+5x_5&=0,\\ x_1+3x_2+2x_3+x_4+x_5&=0; \end{array} \right. \)
-
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} y_1+3y_2+y_3-2y_4+4y_5&=0,\\ 2y_1+6y_2+2y_3+5y_5&=0,\\ 4y_1+11y_2+5y_3+8y_4&=0,\\ y_1+3y_2+y_3+2y_4+y_5&=0. \end{array} \right.\)
解答.
-
将上述线性方程组转化为矩阵形式\(AX=0\)，其中系数矩阵\(A\)为\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 3 &-2 &4 &1 \\ 2 &6 &0 &5 &2 \\ 4 &11 &8 &0 &5 \\ 1 &3 &2 &1 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}做初等行变换，将\(A\)变成简化阶梯形矩阵：\begin{equation*} A \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{19}{2} & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}可知\(r(A)=3\)。取基础解系为\begin{equation*} \eta_1 = \begin{pmatrix} \frac{19}{2} \\ -4\\\frac{3}{4}\\1\\0 \end{pmatrix},\quad \eta_2 =\begin{pmatrix} -4 \\ 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}, \end{equation*}则齐次线性方程组的通解为\begin{equation*} x = c_1 \begin{pmatrix} \frac{19}{2} \\ -4\\\frac{3}{4}\\1\\0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} -4 \\ 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
-
记这个线性方程组的系数矩阵为\(B\)，计算\(B\)的简化阶梯形可得\begin{equation*} B \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0& 4 & 0 & -\frac{19}{2} \\ 0 & 1& -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0& 0 & 1 & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}此时，可取基础解系为\begin{equation*} \xi_1 =\begin{pmatrix} -4 \\ 1\\1 \\0\\0 \end{pmatrix},\quad \xi_2 = \begin{pmatrix} \frac{19}{2} \\ -4\\ 0 \\ \frac{3}{4}\\1 \end{pmatrix}, \end{equation*}则齐次线性方程组的通解为\begin{equation*} y = c_1 \begin{pmatrix} -4 \\ 1\\1 \\0\\0 \end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix} \frac{19}{2} \\ -4\\ 0 \\ \frac{3}{4}\\1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
上面例子中的两个线性方程组本质上是一样的，它们的区别只是未知量的次序排列不同（第2个方程组相当于将\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)重新排序为\(x_1,x_2,x_5,x_3,x_4\)）。同学们可以借助这个例子理解定理 4.5.3证明中的“不妨设”。
例 4.5.5.
设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齐次线性方程组\(AX=0\)的一个基础解系，且
\begin{equation}
\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\beta_2=\alpha_2-\alpha_3,\beta_3=\alpha_2+\alpha_3,\tag{4.5.1}
\end{equation}
问：\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)能否作为\(AX=0\)的一个基础解系？
解答.
将(4.5.1)改写为矩阵形式：
\begin{equation*}
(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix}
1 & 0&0 \\
1 & 1&1 \\
1 & -1&1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
记右端的矩阵为\(B\)，则\(\det B = 2\ne 0\)，所以\(B\)可逆。于是
\begin{equation*}
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) B^{-1},
\end{equation*}
即\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)与\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)等价，所以\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)也可以作为\(AX=0\)的基础解系。
由于基础解系中的向量个数（即解空间维数）与系数矩阵秩密切相关，所以我们也可以用齐线性方程解空间的性质来讨论系数矩阵秩。
例 4.5.6.
下面利用之前的结果来证明几个有代表性的命题。
命题 4.5.7.
设\(A\)为\(n\)阶方阵，则
\begin{equation*}
r({\rm adj }A)=\left\{\begin{array}{cl}
n,&\mbox{当}r(A)=n;\\
1,&\mbox{当}r(A)=n-1;\\
0,&\mbox{当}r(A)<n-1.
\end{array}\right.
\end{equation*}
证明.
-
根据定理 3.3.12，\begin{equation*} {\rm adj}A = \det A\cdot A^{-1} \end{equation*}也是可逆矩阵，所以\(r({\rm adj}A)=n\)。
-
当\(r(A)\le n-2\)时，由于秩是\(A\)非0子式的最大阶数，而\({\rm adj}A\)中元素都是由\(A\)的\(n-1\)阶子式乘以一个符号，所以\({\rm adj}A\)中所有元素都是0，即\({\rm adj}A=0\)，进而\(r({\rm adj}A)=0\)成立。
-
另一方面，此时\(\det A =0\)，所以\begin{equation*} A \cdot {\rm adj}A = \det A\cdot E_n=0. \end{equation*}根据例 4.5.6中的结论，\begin{equation*} r(A) + r({\rm adj}A)=n-1+r({\rm adj}A)\le n, \end{equation*}所以 \(r({\rm adj}A)\le 1\)。综合可知\(r({\rm adj}A)= 1\)。
命题 4.5.8.
提示.
证明.
-
首先，对任意的\(\alpha\in {\rm Ker}A\)，\(A\alpha = 0\)，所以\(A^TA\alpha =0\)，\(\alpha \in {\rm Ker}A^TA \)，即\({\rm Ker}A \subseteq {\rm Ker}A^TA \)。
-
另一方面，记\begin{equation*} A\beta = \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_m \end{pmatrix}, \end{equation*}则\begin{align*} 0 = \amp \beta^TA^TA\beta \\ = \amp (A\beta)^T A\beta \\ = \amp \begin{pmatrix}c_1 & \dots & c_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_m \end{pmatrix}\\ = \amp c_1^2+\cdots + c_m^2. \end{align*}由于\(A\)是实矩阵，\(c_1,\dots,c_m\)都是实数，于是\(c_1^2+\cdots + c_m^2=0\)等价于\(c_1=\dots = c_m=0\)，即\(A\beta =0\)，\(\beta\in {\rm Ker}A\)，可知\({\rm Ker}A^TA \subseteq {\rm Ker}A \)。
综合可知\({\rm Ker}A^TA = {\rm Ker}A\)，所以结论成立。
注意命题 4.5.8的条件中要求矩阵是实矩阵。若\(A\)是复矩阵，则结论不一定成立。如取\(A = \begin{pmatrix}
1 & i\\ i & -1
\end{pmatrix}\)，则\(r(A) = 1\)，但\(A^TA = 0\)，\(r(A^TA) = 0\)。
子节 4.5.2 非齐次方程组解的结构
考虑\(n\)元非齐次方程组
\begin{equation*}
AX= \beta,
\end{equation*}
其中 \(A\in \F^{m\times n}, \beta\in\F^m \) 且 \(\beta\ne 0\)。称
\begin{equation*}
AX=0
\end{equation*}
为上述非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组。容易验证下面的事实成立。
引理 4.5.9.
设\(\gamma_1,\gamma_2\)是\(AX=\beta\)的解， \(\eta\)是相应齐次线性方程组\(AX=0\)的解， 则
证明.
直接验证即可。
-
\(\displaystyle A(\gamma_1-\gamma_2) =A\gamma_1-A\gamma_2=\beta-\beta=0.\)
-
\(\displaystyle A(\gamma_1+\eta)=A\gamma_1+A\eta =\beta+0=\beta. \)
下面给出非齐次线性方程组解的结构定理。
定理 4.5.10.
对\(n\)元非齐次线性方程组\(AX=\beta\)， 如果满足\(r(A)=r(\overline{A})=r<n\)，则列向量\(X\)是方程组\(AX=\beta\)的解当且仅当\(X\)可以被表示为
\begin{equation*}
\gamma+c_1\eta_1+\dots +c_{n-r}\eta_{n-r}
\end{equation*}
其中， \(\gamma\)为该非齐次线性方程组的一个特定的解（简称特解），\(\eta_1,\dots ,\eta_{n-r}\)是对应的齐次线性方程组 \(AX=0\) 的一个基础解系， \(c_1,\dots ,c_{n-r}\)为\(\mathbb{F}\)中的任意数。
证明.
\begin{equation*}
\eta =\gamma+c_1\eta_1+\dots +c_{n-r}\eta_{n-r}.
\end{equation*}
称形式解
\begin{equation*}
\gamma+c_1\eta_1+\dots +c_{n-r}\eta_{n-r},\quad \forall c_1,\dots,c_s\in \mathbb{F}
\end{equation*}
为非齐次线性方程组的通解。
简单而言，非齐次方程组的通解就是它的一个特解加上对应齐次方程组的通解。齐次线性方程组的解可以构成 \(\F^n\)的一个线性子空间，即解空间；非齐次线性方程组的解（假设存在）构成的集合则是其齐次方程组解空间的一个“平移”。
我们可以用如下的记号重述上面的结论：设 \(\gamma\in \F^n\)， \(W\)是 \(\F^n\)的一个子集，定义
\begin{equation*}
\gamma+W =\{\gamma+ \alpha|\alpha\in W \}.
\end{equation*}
则非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的解集也可表示为 \(\gamma+{\rm Ker}A \)，其中\(\gamma\)是一个特解。
通过一个简单的例子来说明问题：考虑非齐次线性方程
\begin{equation*}
x-y=1,
\end{equation*}
其所对应的齐次线性方程为
\begin{equation*}
x-y = 0.
\end{equation*}
易知\(x-y = 0\)的解集\(L_1\) 就是它在坐标平面中表示的直线，是 \(\R^2\)的一维线性子空间。而\(x-y=1\)的解集\(L_2\)也是一条直线，此直线\(L_2\)可以认为是直线\(L_1\)向右平移一个单位长度后获得的。向右平移一个单位长度可以等价于直线每一点对应的向量加上\((1,0)^T\)，而\((1,0)^T\)恰好是\(x-y=1\)的一个特解。如下图所示。
总结一下，非齐次线性方程组可按如下步骤求出其通解：
-
写出\(AX=\beta\)的通解\begin{equation*} \gamma+c_1\eta_1+\dots +c_{n-r}\eta_{n-r},\quad c_1,\dots ,c_{n-r}\in \mathbb{F}. \end{equation*}
例 4.5.11.
求非齐次线性方程组的通解
\begin{equation*}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + 3{x_2} + 5{x_3} - 2{x_4} = 3}\\
{2{x_1} + 7{x_2} + 3{x_3} + {x_4} = 5}\\
{{x_1} + 5{x_2} - 9{x_3} + 8{x_4} = 1}\\
{5{x_1} + 18{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} = 12}
\end{array}} \right. .
\end{equation*}
解答.
此线性方程组的增广矩阵为：
\begin{equation*}
\tilde{A}= (A|\beta) = \left(
\begin{array}{rrrr|r}
1& 3& 5&-2 & 3\\
2&7 &3 &1 &5 \\
1& 5&-9 &8 &1 \\
5 &18 &4 &5 &12
\end{array}
\right).
\end{equation*}
利用初等行变换，获得简化阶梯形
\begin{equation*}
\tilde{A}\xrightarrow{\text{初等行变换}} \left(
\begin{array}{rrrr|r}
1& 0& 26& -17 & 6\\
0&1 &-7 &5 &-1 \\
0& 0&0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0
\end{array}
\right).
\end{equation*}
\(r(A) =r(\tilde{A}) =2 < 4\)，原方程组有无穷多组解。利用化简后的方程组，可知原方程组有特解\(\gamma =(6,-1,0,0)^T\)。
取相应齐次线性方程组的基础解系：
\begin{equation*}
\eta_1 = (-26,7,1,0)^T,\quad \eta_2 = (17,-5,0,1)^T.
\end{equation*}
例 4.5.12.
设\(A\)为\(m\times 3\)矩阵且\(r(A)=1\)。如果非齐次线性方程组\(AX=\beta\)的三个解向量\(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\)满足
\begin{equation*}
\gamma_1+\gamma_2=(1,2,3)^T,\gamma_2+\gamma_3=(0,-1,1)^T,\gamma_3+\gamma_1=(1,0,-1)^T,
\end{equation*}
求\(AX=\beta\)的通解。
解答.
取\(\gamma = \frac{\gamma_1+\gamma_2}{2}=(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})^T \)，则
\begin{equation*}
A\gamma =A \frac{\gamma_1+\gamma_2}{2} = \beta.
\end{equation*}
因为\(r(A)=1\)，\(A\)的列数是3，所以对应齐次方程组\(AX=0\)基础解系中应有2个线性无关的向量。取
\begin{equation*}
\eta_1 = (\gamma_1+\gamma_2)-(\gamma_2+\gamma_3) = (1,3,2)^T,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\eta_2 = (\gamma_2+\gamma_3) - (\gamma_3+\gamma_1) = (1,1,-2)^T,
\end{equation*}
容易验证\(\eta_1,\eta_2\)线性无关，且都是\(AX=0\)的解。所以\(AX=\beta\)的通解可表示为
\begin{equation*}
\gamma+c_1\eta_1+c_2\eta_2.
\end{equation*}
