分块矩阵

节 2.3 分块矩阵

矩阵运算是一种相对来说比较复杂的运算。为了简化这种运算，我们引进分块矩阵及其运算的概念。请读者务必注意，分块矩阵及其运算不是新的运算，而是矩阵运算的简化形式。

子节 2.3.1 分块矩阵的概念

定义 2.3.1.

设\(A\)是一个\(m\times n\)矩阵，用若干条横线将它分成\(r\)块，再用若干条纵线将它分成\(s\)块，我们得到了一个有\(rs\)块的分块矩阵，可记为

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_{11} \amp A_{12} \amp \cdots \amp A_{1s}\\ A_{21}\ \amp \ A_{22}\ \amp \ \cdots\ \amp \ A_{2s}\\ \vdots\ \amp \ \vdots\ \amp \ \ddots\ \amp \ \vdots\\ A_{r1}\ \amp \ A_{r2}\ \amp \ \cdots\ \amp \ A_{rs} \end{pmatrix}\triangleq (A_{ij})_{r\times s}, \end{equation*}

这里\(A_{ij}\)表示一个矩阵。

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分块矩阵仍然还是矩阵，它只是矩阵的一种不同表示和理解方式。矩阵的分块表示可以帮助我们适当屏蔽一些矩阵块内部的细节，将每一个块看作整体，进而关注块与块之间的关系，从更宏观的层面理解矩阵性质。理解并熟练运用分块矩阵的技巧对于更好地理解矩阵的结构和性质至关重要。

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一个矩阵可以有多种分块方法，究竟怎么分比较好，要看具体需要而定。例如取

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

若记

\begin{equation*} A_1 = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \\ -1 \amp 1 \end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0\\ 1 \amp 1 \end{pmatrix},\quad A_3 =1, \end{equation*}

则

\begin{align*} A \amp = \left(\begin{array}{cc|cc|c} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ \hline 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ \hline 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array} \right) \\ \amp = \begin{pmatrix} A_1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp A_2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp A_3 \end{pmatrix}. \end{align*}

--> 在这种分块方式下，将矩阵块\(A_1,\ A_2,\ A_3\)都按照一个元素来理解，大矩阵\(A\)就可以看作是一个广义的“对角矩阵”。

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一般地，称矩阵

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} A_1 \amp \amp \\ \amp\ddots\amp \\ \amp \amp A_s \end{pmatrix} \end{equation*}

是一个分块对角矩阵，其中对角块\(A_1,\dots,A_s\)都是方阵（阶数可以不同），矩阵中空白部分都是0。分块对角矩阵也常被记作

\begin{equation*} A = {\rm diag}(A_1,\dots,A_s). \end{equation*}

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后续学习过程中我们会发现：分块对角阵与对角矩阵具有非常多类似的性质。这种类似性也体现了分块矩阵概念的合理性。

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对于一般的矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，有两种常用分块方法：

将\(A\)按行分块\(A=\begin{pmatrix} A_1\\ \vdots \\A_m \end{pmatrix}\)，其中

\begin{equation*} A_i=(a_{i1},\dots,a_{in}),\ i=1,\dots,m. \end{equation*}

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将\(A\)按列分块\(A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)，其中

\begin{equation*} \alpha_j=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ \vdots\\a_{mj} \end{pmatrix}, j=1,\dots,n. \end{equation*}

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分块矩阵仍然是矩阵，相应地也会有矩阵运算。设\(A = (A_{ij})_{r\times s}\)、\(B = (B_{ij})_{p\times q}\)。若\(r=p\)、\(s=q\)，且对\(\forall i,j\)均有\(A_{ij}=B_{ij}\)，则两个矩阵作为分块矩阵是相等的，事实上此时这两个矩阵也是相等的。

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子节 2.3.2 分块矩阵的运算

下面我们介绍分块矩阵的运算。

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分块矩阵的加（减）法

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设\(A\)，\(B\)是两个\(m\times n\)矩阵，对它们用同样的方式进行分块：

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{s1} & \cdots & B_{sr} \end{pmatrix} \end{equation*}

其中子块\(A_{ij}\)与\(B_{ij}\)为同型矩阵，则

\begin{equation*} A+B = \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr} \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} A-B = \begin{pmatrix} A_{11}-B_{11} & \cdots & A_{1r}-B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1}-B_{s1} & \cdots & A_{sr}-B_{sr} \end{pmatrix}. \end{equation*}

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分块矩阵的数乘

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设分块矩阵\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix}\)，\(c\in \mathbb{F}\)，则

\begin{equation*} cA = \begin{pmatrix} cA_{11} & \cdots & cA_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ cA_{s1} & \cdots & cA_{sr} \end{pmatrix}. \end{equation*}

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分块矩阵的乘法

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由于矩阵乘法对两个矩阵阶数有特殊要求，分块矩阵乘法中对于块的分法也有特殊要求。

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把\(A=(a_{ik})_{m\times p}\)，\(B=(b_{kj})_{p\times n}\)分块成：

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{st} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{t1} & \cdots & B_{tr} \end{pmatrix} \end{equation*}

其中\(A_{i1},\ A_{i2},\ \ldots,\ A_{it} \)的列数分别等于\(B_{1j},\ B_{2j},\ \ldots,\ B_{tj} \)的行数，请读者自行验证：

\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} C_{11} & \cdots & C_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{s1} & \cdots & C_{sr} \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(\displaystyle C_{ij}=\sum_{k=1}^t A_{ik}B_{kj},\ (i=1,\ \ldots,\ s;\ j= 1,\ \ldots,\ r)\)。

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来看一些例子。

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例 2.3.2.

设

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & A_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & A_s \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} B_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & B_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & B_s \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A_i\) 和\(B_i\)为同阶方阵，求\(AB\)。

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设\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)，求\(A^{2025}\)。
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解答.

左矩阵\(A\)的每个块的列数等于右矩阵\(B\)相应块的行数，所以按分块矩阵乘法得

\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} A_1B_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & A_2B_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & A_sB_s \end{pmatrix}. \end{equation*}

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将矩阵\(A\)进行如下分块

\begin{equation*} A = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)=\begin{pmatrix} E_2& {\bf 0}\\ {\bf 0}& B \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(B=\begin{pmatrix} -1& 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}\)，根据项 1结论得

\begin{equation*} A^{2025}=\begin{pmatrix} E_2^{2025}&{\bf 0}\\ {\bf 0}& B^{2025} \end{pmatrix}. \end{equation*}

由 \(B=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\)可知

\begin{equation*} \begin{array}{cl} B^{2025}&=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\right]^{2024}\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\\ &=(-2)^{2024}\begin{pmatrix} -1& 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}

因此 \(A^{2025} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2^{2024} & 2^{2024}\\ 0 & 0 & 2^{2024} & -2^{2024} \end{pmatrix}\)。

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使用分块矩阵乘法公式时，需要特别注意验证公式成立的条件。

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例 2.3.3. 分块乘法的注意事项举例.

设\(A\)和\(B\)都为\(n\)阶方阵，则

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} AB & 0\\ 0 & {\color{red}BA} \end{pmatrix}{\color{red}\ne} \begin{pmatrix} 0 & A^2\\ B^2 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

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\(\begin{pmatrix} 0 & E_3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & E_3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)\({\color{red}\ne }\begin{pmatrix} 1\cdot E_3 & 0\\ 0 & E_3\cdot 1 \end{pmatrix} \)
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接下来我们从分块矩阵的角度进一步理解矩阵乘法。

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例 2.3.4. 分块矩阵乘法重点例题.

分别做行分块和列分块，设\(A_{m\times n}= \begin{pmatrix} A_1\\ \vdots\\ A_m \end{pmatrix} = (\alpha_1,\ldots,\ \alpha_n) \)，\(X=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}\)， \(B_{n\times s}=(\beta_1,\ldots,\ \beta_s)=\begin{pmatrix} B_1\\ \vdots \\ B_n \end{pmatrix} \)。以分块形式改写\(AX=\beta\)，\(AB\)。

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解答.

将\(A\)按行分块为\(A=\begin{pmatrix} A_1\\ \vdots\\ A_m \end{pmatrix}\)，此时\(A\)的列整体作为1块，所以与\(x\)相乘时，\(x\)的行也需要整体作为1块，即将\(x\)作为1块，则

\begin{equation*} AX = \begin{pmatrix} A_1\\ \vdots\\ A_m \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} A_1X\\ \vdots\\ A_mX \end{pmatrix}. \end{equation*}

令\(\beta=\begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}\)，于是\(AX=\beta\)也可写为

\begin{equation*} A_iX=b_i,\ i=1,\ldots,m. \end{equation*}

需要注意的是此时\(A_i\)是行向量（只有1行的矩阵）， \(X\)是列向量（只有1列的矩阵），\(A_iX\)是一个数，也可以理解为\(1\times 1\)阶矩阵。

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将\(A\)按列分块为\(A=(\alpha_1,\ldots,\ \alpha_n)\)，此时\(A\)的每一列作为1块，为了使用分块矩阵的乘法公式，\(X\)也需要按每一行进行分块，即将\(X=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}\)每一个元素作为1块，此时

\begin{equation} AX = (\alpha_1,\ldots,\ \alpha_n)\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}= x_1\alpha_1+\cdots +x_n\alpha_n.\tag{2.3.1} \end{equation}

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(2.3.1)中等式最后的书写方式有特殊重要意义，后续在章 4中会有更详细的介绍。
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将\(A\)按行分块为\(A=\begin{pmatrix} A_1\\ \vdots\\ A_m \end{pmatrix}\)，此时选择\(B\)按列分块为\(B=(\beta_1,\ldots,\ \beta_s)\)，则

\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} A_1\\ \vdots\\ A_m \end{pmatrix}( \beta_1,\ldots,\ \beta_s)=\begin{pmatrix} A_1\beta_1 & \cdots & A_1\beta_s\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_m\beta_1 & \cdots & A_m\beta_s \end{pmatrix}. \end{equation*}

按矩阵元素对应相等，上式也可以表示为

\begin{equation*} (AB)_{ij}=A_i\beta_j,\ i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,s. \end{equation*}

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将\(A\)按列分块为\(A=(\alpha_1,\ldots,\ \alpha_n)\)，此时选择\(B\)按行分块为\(B=\begin{pmatrix} B_1\\ \vdots \\ B_n \end{pmatrix}\)，则

\begin{equation*} AB = (\alpha_1,\ldots,\ \alpha_n)\begin{pmatrix} B_1\\ \vdots \\ B_n \end{pmatrix}=\alpha_1B_1+\cdots +\alpha_nB_n, \end{equation*}

这里对每一个\(i=1,\dots,n\)，都有

\begin{equation*} \alpha_iB_i=\begin{pmatrix} a_{1i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{i1} & \cdots & b_{is} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1i}b_{i1} & \cdots & a_{1i}b_{is}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{mi}b_{i1} & \cdots & a_{mi}b_{is} \end{pmatrix}. \end{equation*}

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例 2.3.5. 标准向量的乘法.

将\(n\)维列向量

\begin{equation*} \varepsilon_1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\varepsilon_2=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix}, \ldots ,\varepsilon_n=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{equation*}

称为\(n\)维标准列向量，\(\varepsilon_1^T,\ldots ,\varepsilon_n^T\)称为\(n\)维标准行向量，证明：对任意\(m\times n\)矩阵\(A\)，

若\(\varepsilon_j\)是\(n\)维标准列向量，则\(A\varepsilon_j\)是\(A\)的第\(j\)列；
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若\(\varepsilon_i^T\)是\(n\)维标准行向量，则\(\varepsilon_i^TA\)是\(A\)的第\(i\)行。
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解答.

将\(A\)按列分块为\(A_{m\times n}=(A_1,\ldots,\ A_n)\)，则

\begin{equation*} \begin{array}{cl} A\varepsilon_j & = (A_1,\ldots ,A_n)\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=A_1\cdot 0+\cdots +A_{j-1}\cdot 0+A_j\cdot 1+A_{j+1}\cdot 0+\cdots+A_n\cdot 0\\ &=A_j \end{array} \end{equation*}

是\(A\)的第\(j\)列。

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注意到\(\varepsilon_i^TA=(A^T\varepsilon_i)^T\)，而\(A^T\varepsilon_i\)是\(A^T\)的第\(i\)列，其转置即为\(A\)的第\(i\)行，故\(\varepsilon_i^TA\)是\(A\)的第\(i\)行。
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例 2.3.6.

设\(A\)是3阶方阵，\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)和\(\alpha_3\)是3维列向量。已知

\begin{equation*} A \alpha_1=-\alpha_1;\ A \alpha_2=\alpha_2;\ A \alpha_3 = \alpha_2+\alpha_3. \end{equation*}

证明：\(AP=PB\)，其中

\begin{equation*} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3); B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

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解答.

因为

\begin{equation*} AP=(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3), \end{equation*}

\begin{equation*} PB=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3), \end{equation*}

所以\(AP=PB\)。

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分块矩阵的转置

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设有分块矩阵\(A=(A_{ij})_{r\times s}\)，则\(A^T\)是\(s\times r\)分块矩阵，

\begin{equation*} A =\begin{pmatrix} {\color{red}A_{11}} & {\color{red}A_{12}} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}A_{1s}}\\ {\color{blue}A_{21}} & {\color{blue}A_{22}} & {\color{blue}\cdots} & {\color{blue}A_{2s}}\\ {\color{orange}\vdots} & {\color{orange}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{orange}\vdots}\\ {\color{green}A_{r1}} & {\color{green}A_{r2}} & {\color{green}\cdots} & {\color{green}A_{rs}} \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} {\color{red}A_{11}^T} & {\color{blue}A_{21}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r1}^T}\\ {\color{red}A_{12}^T} & {\color{blue}A_{22}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r2}^T}\\ {\color{red}\vdots} & {\color{blue}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{green}\vdots}\\ {\color{red}A_{1s}^T} & {\color{blue}A_{2s}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{rs}^T} \end{pmatrix}=A^T \end{equation*}

即\((A_{ij})_{r\times s}^T =(A_{{\color{red}ji}}^T)_{{\color{red}s\times r}} \)。

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分块矩阵的共轭

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设有分块复矩阵\(A=(A_{ij})_{r\times s}\)，则\(\bar{A}=(\overline{A_{ij}})_{r\times s} \)。

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