分块矩阵

节 2.3 分块矩阵

矩阵运算是一种比较复杂的运算。为了简化这种运算，我们引进分块矩阵及其运算的概念。请读者务必注意，分块矩阵及其运算不是新的运算，而是矩阵运算的简化形式。

子节 2.3.1 分块矩阵的概念

定义 2.3.1.

设\(A\)是一个\(m\times n\)矩阵，用若干条横线将它分成\(r\)块，再用若干条纵线将它分成\(s\)块，我们得到了一个有\(rs\)块的分块矩阵，可记为

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_{11} \amp A_{12} \amp \cdots \amp A_{1s}\\ A_{21}\ \amp \ A_{22}\ \amp \ \cdots\ \amp \ A_{2s}\\ \vdots\ \amp \ \vdots\ \amp \ \ddots\ \amp \ \vdots\\ A_{r1}\ \amp \ A_{r2}\ \amp \ \cdots\ \amp \ A_{rs} \end{pmatrix}\triangleq (A_{ij})_{r\times s}, \end{equation*}

这里\(A_{ij}\)表示一个矩阵。

一个矩阵可以有多种分块方法，究竟怎么分比较好，要看具体需要而定。例如取

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

若记

\begin{equation*} A_1 = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \\ -1 \amp 1 \end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0\\ 1 \amp 1 \end{pmatrix},\quad A_3 =1, \end{equation*}

则

\begin{align*} A \amp = \left(\begin{array}{cc:cc:c} 1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0\\ \hdashline 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ \hdashline 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \end{array} \right) \\ \amp = \begin{pmatrix} A_1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp A_2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp A_3 \end{pmatrix}. \end{align*}

对于一般的矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，有两种常用分块方法：

将\(A\)按行分块\(A=\begin{pmatrix} A_1\\ \vdots \\A_m \end{pmatrix}\)，其中

\begin{equation*} A_i=(a_{i1},\dots,a_{in}),\ i=1,\dots,m. \end{equation*}
将\(A\)按列分块\(A=(B_1,\dots,B_n)\)，其中

\begin{equation*} B_j=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ \vdots\\a_{mj} \end{pmatrix}, j=1,\dots,n. \end{equation*}

分块矩阵还是矩阵，只是一种不同的记忆、理解方式。设\(A = (A_{ij})_{r\times s}\)、\(B = (B_{ij})_{p\times q}\)。若\(r=p\)、\(s=q\)，且对\(\forall i,j\)均有\(A_{ij}=B_{ij}\)，则两个矩阵作为分块矩阵是相等的，事实上此时这两个矩阵也是相等的。

子节 2.3.2 分块矩阵的运算

下面我们分别来研究分块矩阵的运算。

分块矩阵的加（减）法

设 \(A\)，\(B\)是两个\(m\times n\)矩阵，对它们用同样的分法分块：

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{s1} & \cdots & B_{sr} \end{pmatrix} \end{equation*}

其中子块\(A_{ij}\)与\(B_{ij}\)为同型矩阵，则

\begin{equation*} A+B = \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr} \end{pmatrix}, \end{equation*}

\begin{equation*} A-B = \begin{pmatrix} A_{11}-B_{11} & \cdots & A_{1r}-B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1}-B_{s1} & \cdots & A_{sr}-B_{sr} \end{pmatrix}. \end{equation*}

分块矩阵的数乘

设分块矩阵\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix}\)，\(c\in \mathbb{F}\)，则

\begin{equation*} cA = \begin{pmatrix} cA_{11} & \cdots & cA_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ cA_{s1} & \cdots & cA_{sr} \end{pmatrix} \end{equation*}

分块矩阵的乘法

由于矩阵乘法对两个矩阵阶数有特殊要求，分块矩阵乘法中对于块的分法也有特殊要求。

把\(A=(a_{ik})_{m\times p}\)，\(B=(b_{kj})_{p\times n}\)分块成：

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{s1} & \cdots & A_{st} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{t1} & \cdots & B_{tr} \end{pmatrix} \end{equation*}

其中\(A_{i1},\ A_{i2},\ \ldots,\ A_{it} \)的列数分别等于\(B_{1j},\ B_{2j},\ \ldots,\ B_{tj} \)的行数，则

\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} C_{11} & \cdots & C_{1r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{s1} & \cdots & C_{sr} \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(\displaystyle C_{ij}=\sum_{k=1}^t A_{ik}B_{kj},\ (i=1,\ 2,\ \ldots,\ s;\ j= 1,\ 2,\ \ldots,\ r)\)。

来看一些例子。

例 2.3.2.

设

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & A_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & A_s \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} B_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & B_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & B_s \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(A_i\) 和\(B_i\)为同阶方阵，求\(AB\)。
设\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)，求\(A^{2024}\)。

解答.

左矩阵\(A\)的每个块的列数等于右矩阵\(B\)相应块的行数，所以按分块矩阵乘法得

\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} A_1B_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & A_2B_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots &\ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & A_sB_s \end{pmatrix}. \end{equation*}
将矩阵\(A\)进行如下分块

\begin{equation*} A = \left(\begin{array}{cc:cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \hdashline 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)=\begin{pmatrix} E_2& {\bf 0}\\ {\bf 0}& B \end{pmatrix}, \end{equation*}

其中\(B=\begin{pmatrix} -1& 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}\)，根据项 1结论得

\begin{equation*} A^{2024}=\begin{pmatrix} E_2^{2024}&{\bf 0}\\ {\bf 0}& B^{2024} \end{pmatrix}. \end{equation*}

由 \(B=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\)可知

\begin{equation*} \begin{array}{cl} B^{2024}&=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\right]^{2023}\begin{pmatrix} 1& -1 \end{pmatrix}\\ &=(-2)^{2023}\begin{pmatrix} -1& 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}, \end{array} \end{equation*}

因此 \(A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2^{2023} & -2^{2023}\\ 0 & 0 & -2^{2023} & 2^{2023} \end{pmatrix}\)。

使用分块矩阵乘法公式时，需要特别注意验证公式成立的条件。

例 2.3.3.

设\(A\)和\(B\)都为\(n\)阶方阵，则

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A\\ B & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} AB & 0\\ 0 & {\color{red}BA} \end{pmatrix}{\color{red}\ne} \begin{pmatrix} 0 & A^2\\ B^2 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
\(\begin{pmatrix} 0 & E_3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & E_3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)\({\color{red}\ne }\begin{pmatrix} 1\cdot E_3 & 0\\ 0 & E_3\cdot 1 \end{pmatrix} \)

接下来我们从分块矩阵的角度进一步理解矩阵乘法。

例 2.3.4.

分别做行分块和列分块，设\(A_{m\times n} = (A_1,\ldots,\ A_n) = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix}\)，\(X=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}\)， \(B_{n\times s}=(B_1,\ldots,\ B_s)=\begin{pmatrix} \beta_1\\\vdots\\\beta_n \end{pmatrix} \)。以分块形式改写\(AX=\beta\)，\(AB\)。

例 2.3.5.

将\(n\)维列向量

\begin{equation*} \varepsilon_1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\varepsilon_2=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix}, \ldots ,\varepsilon_n=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix} \end{equation*}

称为\(n\)维标准列向量，\(\varepsilon_1^T,\ldots ,\varepsilon_n^T\)称为\(n\)维标准行向量，证明：对任意\(m\times n\)矩阵\(A\)，

若\(\varepsilon_j\)是\(n\)维标准列向量，则\(A\varepsilon_j\)是\(A\)的第\(j\)列；
若\(\varepsilon_i^T\)是\(n\)维标准行向量，则\(\varepsilon_i^TA\)是\(A\)的第\(i\)行。

解答.

将\(A\)按列分块为\(A_{m\times n}=(A_1,\ldots,\ A_n)\)，则

\begin{equation*} \begin{array}{cl} A\varepsilon_j & = (A_1,\ldots ,A_n)\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=A_1\cdot 0+\cdots +A_{j-1}\cdot 0+A_j\cdot 1+A_{j+1}\cdot 0+\cdots+A_n\cdot 0\\ &=A_j \end{array} \end{equation*}

是\(A\)的第\(j\)列。
注意到\(\varepsilon_i^TA=(A^T\varepsilon_i)^T\)，而\(A^T\varepsilon_i\)是\(A^T\)的第\(i\)列，其转置即为\(A\)的第\(i\)行，故\(\varepsilon_i^TA\)是\(A\)的第\(i\)行。

例 2.3.6.

设\(A\)是3阶方阵，\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)和\(\alpha_3\)是3维列向量。已知

\begin{equation*} A \alpha_1=-\alpha_1;\ A \alpha_2=\alpha_2;\ A \alpha_3 = \alpha_2+\alpha_3. \end{equation*}

证明：\(AP=PB\)，其中

\begin{equation*} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3); B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

解答.

因为

\begin{equation*} AP=(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3), \end{equation*}

\begin{equation*} PB=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=(-\alpha_1, \alpha_2, \alpha_2+\alpha_3), \end{equation*}

所以\(AP=PB\)。

分块矩阵的转置

设有分块矩阵\(A=(A_{ij})_{r\times s}\)，则\(A^T\)是\(s\times r\)分块矩阵，

\begin{equation*} A =\begin{pmatrix} {\color{red}A_{11}} & {\color{red}A_{12}} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}A_{1s}}\\ {\color{blue}A_{21}} & {\color{blue}A_{22}} & {\color{blue}\cdots} & {\color{blue}A_{2s}}\\ {\color{orange}\vdots} & {\color{orange}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{orange}\vdots}\\ {\color{green}A_{r1}} & {\color{green}A_{r2}} & {\color{green}\cdots} & {\color{green}A_{rs}} \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} {\color{red}A_{11}^T} & {\color{blue}A_{21}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r1}^T}\\ {\color{red}A_{12}^T} & {\color{blue}A_{22}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r2}^T}\\ {\color{red}\vdots} & {\color{blue}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{green}\vdots}\\ {\color{red}A_{1s}^T} & {\color{blue}A_{2s}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{rs}^T} \end{pmatrix}=A^T \end{equation*}

即\((A_{ij})_{r\times s}^T =(A_{{\color{red}ji}}^T)_{{\color{red}s\times r}} \)。

分块矩阵的共轭

设有分块复矩阵\(A=(A_{ij})_{r\times s}\)，则\(\bar{A}=(\overline{A_{ij}})_{r\times s} \)。

练习 2.3.3 练习

基础题.

1.

设\(M_1\)是\(m_1\)阶方阵，\(N_1\)是\(n_1\)阶方阵，\(A_{ij}\)为\(m_i\times m_j\)矩阵，\(B_{kl}\)为\(m_k\times n_l\)矩阵，\(K\)是\(m_1\times m_2\)矩阵，\(L\)是 \(n_1\times n_2\)矩阵，计算：

\(\begin{pmatrix} M_1 &{\bf 0}\\ {\bf 0} & E_{m_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N_1 & {\bf 0}\\ {\bf 0} & E_{n_2} \end{pmatrix}\)；
\(\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{m_2}\\ E_{m_1} & {\bf 0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{n_1}\\ E_{n_2} & {\bf 0} \end{pmatrix}\)；
\(\begin{pmatrix} E_{m_1} & K\\ {\bf 0} & E_{m_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_{n_1} & L\\ {\bf 0} & E_{n_2} \end{pmatrix}\)；
\(\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ {\bf 0} & A_{22} & A_{23}\\ {\bf 0} & {\bf 0} & A_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13}\\ {\bf 0} & B_{22} & B_{23}\\ {\bf 0} & {\bf 0} & B_{33} \end{pmatrix}\)。

2.

将矩阵\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)与\(B=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 & 2\\ -3 & 2 & -5 & -4\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) 适当分块后，计算\(AB\)。

3.

设\(A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)，计算

\(A^n\)，其中\(n\geq 2\)；
\(AA^T, A^TA\)。

提高题.

4.

设\(\varepsilon_i\)为\(n\)维标准单位列向量，\(E_{ij}\)是\(n\)阶基础矩阵。证明：

\(\varepsilon_i^T\varepsilon_j= \delta_{ij}\)，其中\(\delta_{ij}\)是Kronecker符号，即\(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl} 1, & i=j,\\ 0, & i\neq j; \end{array}\right.\)
\(\varepsilon_i\varepsilon_j^T= E_{ij}\)；
\(\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\left\{\begin{array}{cl} E_{il}, & j=k,\\ {\bf 0}, & j\neq k; \end{array}\right.\)
设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(E_{ij}A\)将\(A\)的第\(i\)行变为第\(j\)行元，其它元变为\(0\)；
设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(AE_{ij}\)将\(A\)的第\(j\)列变为第\(i\)列元，其它元变为\(0\)；
设\(A\)是\(n\)阶方阵，则\(E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}\)。

5.

设

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a_1E_{n_1} & & &\\ & a_2E_{n_2} & &\\ & & \ddots & \\ & & & a_rE_{n_r} \end{pmatrix} \end{equation*}

其中\(a_i\neq a_j\)（当\(i\neq j\)时），\(E_{n_i}\)是\(n_i\)阶单位矩阵。证明：与\(A\)可交换的矩阵只能是分块对角矩阵 \({\rm diag}(B_1, \ldots,B_r)\)，其中\(B_i\)为\(n_i\)阶方阵，\(i=1,\ldots,r\)。

6.

计算 \(\begin{pmatrix} 0 & E_4\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n\)，其中\(n=2,3,4,5\)。

7.

设\(n\)阶基础循环矩阵

\begin{equation*} C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

证明：对任意\(n\)阶方阵\(A\)，

\(CA\)相当于把\(A\)的每一行向上移一行，第1行换到最后一行；
\(AC\)相当于把\(A\)的每一列向右移一列，最后一列换到第1列。

8.

设\(C\)为\(n\)阶基础循环矩阵，证明：对任意\(1\leq k\leq n\)，

\begin{equation*} C^k=\begin{pmatrix} {\bf 0} & E_{n-k}\\ E_k & {\bf 0} \end{pmatrix}. \end{equation*}

9.

下列形式的矩阵称为循环矩阵

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

证明：

\(n\)阶循环矩阵\(A\)必可表示成\(n\)阶基本循环矩阵\(J\)的多项式；
两个\(n\)阶循环矩阵的乘积仍为循环矩阵。

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