主要内容\(\newcommand{\Ima}{\rm Im }
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\)
节 7.3 特征值与特征向量
上一节中,我们看到一些线性变换可以限制在其不变子空间上,从而获得一个相对简单的变换。本节中,我们将进一步考虑限制变换是最简单的变换,即数乘变换这一特殊情况。
用
\(V\)表示一个数域
\(\F\)(本章中,
\(\F\)通常代表
\(\R\)或
\(\C\))上的
\(n\)维空间,
\(\phi\)表示
\(V\)上一个一般线性变换。在选定
\(V\)的一个基
\((\xi_1,\dots,\xi_n)\)后,利用同构的思想,
\(V\)可以等同于
\(\F^n\),
\(V\)中的向量可以等同于
\(\F^n\)中的
\(n\)维列向量;相应地,
\(\phi\)可以等同于它的表示矩阵
\(A\)。
相对于线性变换,方阵给我们的感觉更为具体和容易掌握。接下来我们会首先针对方阵给出线性代数的一些最重要概念。根据同构的思想,方阵和有限维空间上的线性变换本质上是一样的,因此在方阵上定义的这些重要概念也可以平行定义给线性变换。这些概念对理解线性变换和方阵的性质至关重要。
子节 7.3.1 矩阵特征值与特征向量的定义
数乘变换是最简单的线性变换,此时数乘变换所乘的数可以决定这个线性变换。对于一般的线性变换/方阵,我们引入如下的重要概念。
定义 7.3.1.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵。若存在\(\lambda\in\mathbb{F},{\color{red}{0\neq}}v\in\mathbb{F}^n\),使得
\begin{equation}
Av=\lambda v,\tag{7.3.1}
\end{equation}
则称\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值,\(v\)是\(A\)属于特征值\(\lambda\)的一个特征向量。
由定义可知:对于数乘变换的表示矩阵即数量矩阵
\(cE_n\),其特征值就是
\(c\),此时
\(\F^n\)中所有非0向量都是
\(c\)的特征向量。
上述定义中的要求特征向量
\(v\ne 0\)非常重要,因为如果没有这个限制,允许
\(v=0\),则此时对于任意的
\(\lambda\),
\(A0=\lambda 0\)均成立,这样就失去了定义特征值的意义。
\begin{equation}
(A-\lambda E_n)v=0\tag{7.3.2}
\end{equation}
把这个方程看成是以\(A-\lambda E_n\)为系数矩阵的齐次线性方程组,则特征向量\(v\)是这个线性方程组的非0解。根据齐次线性方程组有非0解的充分必要条件,可知此时\(A-\lambda E_n\)的行列式必定为0。
定义 7.3.2.
\begin{equation*}
\det (\lambda E_n-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\
-a_{21}&\lambda-a_{22}&\ddots& \vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&-a_{n-1,n}\\
-a_{n1}&\cdots &-a_{n,n-1} &\lambda-a_{nn}
\end{array}\right|
\end{equation*}
称为方阵\(A\)的特征多项式,记为\(\chi_A(\lambda)\)。
定理 7.3.3.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,则
-
\(\lambda_0\)是
\(A\)的特征值当且仅当
\(\lambda_0\)是
\(A\)的特征多项式
\(\chi_A(\lambda)\)在
\(\mathbb{F}\)中的根。
-
\(v_0\)是
\(A\)属于特征值
\(\lambda_0\)的特征向量当且仅当
\(v_0\)是齐次线性方程组
\((\lambda_0E-A)x=0\)的一个非零解。
注意到齐次线性方程组的解集都是子空间,我们有下面的结论。
定理 7.3.4.
设\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值,则
\begin{equation*}
V^{(A)}_{\lambda}=\{v \in\mathbb{F}^n|\ Av=\lambda v\}
\end{equation*}
是\(\mathbb{F}^n\)的子空间,且是线性变换\(A\)的不变子空间。
证明.
\(V^{(A)}_{\lambda}\)是线性方程组
\((\lambda E-A)x=0\)的解集,故是子空间。
另一方面,对于任意的
\(v\in V^{(A)}_{\lambda}\),有
\(Av=\lambda v \in V^{(A)}_{\lambda}\),故
\(V^{(A)}_{\lambda}\)是线性变换
\(A\)的不变子空间。
定理 7.3.4 中的
\(V^{(A)}_{\lambda}\)称为
\(A\)属于特征值
\(\lambda\)的
特征子空间。在没有歧义的前提下,
\(V^{(A)}_{\lambda}\)也常被简记为
\(V_{\lambda}\)。可知特征子空间中的任意非0向量都是
\(\lambda\)的特征向量,
\(\lambda\)的特征向量也都落在相应特征子空间中。
例 7.3.5.
设
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
3 & 2 & 4\\
2 & 0 & 2\\
4 & 2 & 3
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求矩阵\(A\)的所有特征值和特征子空间。
解答.
简单计算可知,\(A\)的特征多项式为
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-6\lambda^2-15\lambda-8=(\lambda-8)(\lambda+1)^2,
\end{equation*}
故特征值为\(\lambda=-1\)(重数为2)和\(\lambda=8\)(重数为1)。
下面分别求特征值\(\lambda=-1\)和\(\lambda=8\)对应的特征向量。
-
对于特征值\(\lambda=-1\),解线性方程组\((-E-A)x=0\)(或\((A+E)x=0\)),得到基础解系
\begin{equation*}
v_1=(1,0,-1)^T,\quad v_2= (0,1,-\frac{1}{2}),
\end{equation*}
故特征子空间
\begin{equation*}
V_{-1}=\langle (1,0,-1)^T, (0,1,-\frac{1}{2})^T\rangle=\left\{ c_1v_1+c_2v_2|c_1,c_2\in\F\right\}.
\end{equation*}
-
对于特征值\(\lambda=8\),解线性方程组\((8E-A)x=0\),得到基础解系
\begin{equation*}
v_3=(2,1,2)^T,
\end{equation*}
故特征子空间
\begin{equation*}
V_{8}=\langle (2,1,2)^T\rangle=\left\{ c_3v_3|c_3\in\F\right\}.
\end{equation*}
特征值的英文名称为eigenvalue,其前缀“eigen”来自德语,本意为“自身的”,也可理解为“表征一种内在属性的”,因此也有一些学者将eigenvalue翻译为“本征值”。
在sage中,与特征值、特征多项式、特征向量相关的命令有如下几个:
例 7.3.6. 上三角矩阵的特征值.
设
\(A = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}\),求矩阵
\(A\)的所有特征值。
解答.
根据定义和行列式的性质可知:
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=\det (\lambda E_n-A)=(\lambda-\lambda_1)\cdots (\lambda-\lambda_n),
\end{equation*}
故全部特征值为\(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)。
命题 7.3.7.
上(下)三角矩阵的全部特征值是恰好是其所有对角线元素,即
\(\lambda\)是上(下)三角矩阵
\(A\)的一个特征值当且仅当
\(\lambda\)是
\(A\)的一个对角元。
下一个例子说明在讨论特征值相关问题时,最好在复数域上进行。
例 7.3.8.
分别求矩阵
\(A = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}\)在实数域和复数域上的特征值和特征向量。
解答.
计算可得\(A\)的特征多项式为
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=\lambda^2+1=(\lambda+i)(\lambda-i),
\end{equation*}
故在复数域上,\(A\)的特征值为\(\lambda=i,-i\),对应的特征向量分别为
\begin{equation*}
c_1(1,i)^T,c_2(1,-i)^T, \quad c_1\ne0,c_2\ne 0.
\end{equation*}
在实数域上,
\(A\)没有特征值,相应地也没有特征向量。
子节 7.3.2 特征值、特征向量的常用性质
我们先从特征多项式根的角度着手理解特征值性质。任意数域上多项式的根都可能是复数根(如
例 7.3.8 所示),所以讨论特征值相关问题时通常默认是放在复数域范围内讨论。另一方面,很多工程问题天然局限在实数域范围内,所以有时我们也讨论实数域下特征值、特征向量的相关问题。
命题 7.3.9.
设
\(A\)是
\(n\)阶方阵,则
\(A\)的特征多项式
\(\chi_A(\lambda)\)是一个
\(n\)次首一多项式。若
\(A\)是实方阵,则
\(\chi_A(\lambda)\)是实系数多项式;若
\(A\)是复方阵,则
\(\chi_A(\lambda)\)是复系数多项式。
证明.
注意到
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix}
\lambda-a_{11} & -a_{12} &\cdots & -a_{1n}\\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & -a_{n-1,n}\\
-a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & \lambda-a_{nn}
\end{vmatrix},
\end{equation*}
定理 7.3.10.
设\(A\)是\(n\)阶方阵,记
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=\det (\lambda E_n-A)=\lambda^n-a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +(-1)^na_0,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
a_{n-1}={\rm tr} (A),\ a_0=\det A.
\end{equation*}
证明.
-
按照行列式的展开式定义,\(\chi_A(\lambda)\)中唯一可以产生\(\lambda^{n-1}\)的\(n\)项乘积是所有对角元乘积,也就是说\(\chi_A(\lambda)\)与多项式
\begin{equation*}
f(\lambda)=(\lambda-a_{11})\cdots(\lambda-a_{nn})
\end{equation*}
具有相同的\(n-1\)次方项系数。将\(f(\lambda)\)展开后可知其\(n-1\)次方项系数为
\begin{equation*}
-a_{11}-\cdots -a_{nn} = -{\rm tr}(A),
\end{equation*}
即\(a_{n-1}={\rm tr} (A)\)。
-
注意到
\begin{equation*}
(-1)^n a_0 =\chi_A(0)= \det (-A) =(-1)^n \det A,
\end{equation*}
所以\(a_0=\det A\)。
推论 7.3.11.
若\(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n\)是\(n\)阶方阵\(A\)的全部特征值, 则
\begin{equation*}
\det A=\lambda_1 \cdots \lambda_n,\ {\rm tr} (A)=\lambda_1+\cdots +\lambda_n.
\end{equation*}
推论 7.3.12.
设
\(A\)是
\(n\)阶方阵, 则
\(A\)可逆的充分必要条件是
\(A\)的特征值全不为零。
在讲解矩阵乘法时,我们强调了一般情况下两个矩阵的乘积
\(AB\)与
\(BA\)(假设都存在)通常不相等。虽然不相等,但可以想象这两个矩阵存在一些联系。下面的例子从特征值角度揭示了这两个积矩阵的内在联系。
例 7.3.13. \(AB\)与\(BA\)的特征值.
设\(A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times m}\)且\(m\geq n\)。证明:
-
\(\chi_{AB}(\lambda)=\lambda^{m-n}\chi_{BA}(\lambda)\);
-
\({\rm tr} (AB)={\rm tr} (BA)\);
-
当
\(A,\ B\)均为
\(n\)阶方阵时,
\(\chi_{AB}(\lambda)=\chi_{BA}(\lambda)\)。
解答.
-
注意到
\(\chi_{AB}(\lambda) = \det (\lambda E_m-AB)\),
\(\chi_{BA}(\lambda) = \det (\lambda E_n-BA)\),所以这个结论是
定理 3.3.25的直接推论。
-
第一部分的结论说明,矩阵
\(BA\)的特征值集合只是比矩阵
\(AB\)特征值集合少了
\(m-n\)个0,结合
推论 7.3.11可知结论成立。
-
上述例子说明:
\(AB\)与
\(BA\)的非0特征值集合(按重数记的多重集)必定相同。
我们再来看一下转置运算对特征值的影响。由于转置不改变行列式,所以下面的定理成立。
定理 7.3.14.
设\(A\)是\(n\)阶方阵,则
\begin{equation*}
\chi_A(\lambda)=\chi_{A^T}(\lambda).
\end{equation*}
即\(A\)与\(A\)的转置\(A^T\)有相同的特征值。
定理 7.3.15.
设
\(A\)是
\(n\)阶方阵,则
\(A\)属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明.
设\(\lambda_1,\dots,\lambda_t\)是\(A\)的两两不同特征值,\(v_1,\dots,v_t\)是对应的特征向量,即
\begin{equation*}
Av_j=\lambda_j v_j,\quad j=1,\dots,t.
\end{equation*}
下面证明\(v_1,\dots,v_t\)线性无关。
对
\(t\)使用归纳法。当
\(t=1\)时,由于特征向量都不是0向量,所以显然线性无关。
对一般的\(t\),设
\begin{equation}
a_1v_1+\dots +a_tv_t =0,\tag{7.3.3}
\end{equation}
等式两边同时左乘\(A\)后化简得
\begin{equation}
a_1\lambda_1 v_1+\dots+ a_t\lambda_t v_t =0,\tag{7.3.4}
\end{equation}
\begin{equation*}
a_1(\lambda_t-\lambda_1)v_1+\cdots +a_{t-1}(\lambda_t-\lambda_{t-1})v_{t-1}=0.
\end{equation*}
根据归纳假设,\(v_1,\dots,v_{t-1}\)线性无关,所以
\begin{equation*}
a_1(\lambda_t-\lambda_1)=\cdots = a_{t-1}(\lambda_t-\lambda_{t-1})= 0.
\end{equation*}
注意到
\(\lambda_1,\dots,\lambda_t\)两两不同,所以
\(a_1 = \dots = a_{t-1}=0\)。将之代入
(7.3.3),并结合
\(v_t\ne 0\),可知
\(a_t = 0\),即
(7.3.3)中所有的线性组合系数均为0,于是
\(v_1,\dots,v_{t}\)线性无关,结论成立。
推论 7.3.16.
设\(n\)阶方阵\(A\)的不同特征值为\(\lambda_1,\dots ,\lambda_t\),齐次线性方程组\((\lambda_iE-A)x=0\)的基础解系为\(\eta_{i1},\dots,\eta_{is_i},(i=1,\dots ,t)\),则向量组
\begin{equation*}
\eta_{11},\dots,\eta_{1s_1},\eta_{21},\dots,\eta_{2s_2},\dots,\eta_{t1},\dots,\eta_{ts_t}
\end{equation*}
线性无关,即\(V_{\lambda_1}+\cdots +V_{\lambda_t}\)是直和。
证明.
设
\begin{equation}
a_{11}\eta_{11}+\cdots a_{1s_1}\eta_{1s_1} +\cdots + a_{t1}\eta_{t1}+\cdots a_{ts_t}\eta_{ts_t} =0,\tag{7.3.5}
\end{equation}
下面证明这些组合系数都是0。
记
\(v_i =a_{i1}\eta_{i1}+\cdots+ a_{is_i}\eta_{is_i}\),则
\(v_i\in V_{\lambda_i}\),即当
\(v_i\ne 0\)时,
\(v_i\)是特征值
\(\lambda_i\)的特征向量。将
(7.3.5)用
\(v_i\)改写后可得
\begin{equation}
v_1+\cdots + v_t =0.\tag{7.3.6}
\end{equation}
若
\(v_1,\dots,v_t\)中存在不为0的向量,去掉其它0向量后,
(7.3.6)是属于不同特征值的特征向量系数全为1的线性组合等于0向量,与
定理 7.3.15矛盾。所以
\(v_1,\dots,v_t\)均为0向量。
对每一个\(i=1,\dots,t\),\(a_{i1}\eta_{i1}+\cdots+ a_{is_i}\eta_{is_i} = v_i=0\),而\(\eta_{i1},\dots,\eta_{is_i}\)是基础解系,所以
\begin{equation*}
a_{i1}=\cdots=a_{is_i}=0
\end{equation*}
对所有的\(i\)成立。命题成立。
子节 7.3.4 矩阵的上三角化
在
例 7.3.6中,上三角矩阵的特征值就是它的所有对角元。接下来我们说明:在复数域上,任意方阵都可以经相似变换变成上三角矩阵。
定理 7.3.20.
设
\(A\in \C^{n\times n}\),则存在可逆矩阵
\(P\in \C^{n\times n}\),使得
\(P^{-1}AP\)是上三角矩阵,且此时
\(P^{-1}AP\)的所有主对角线上元素恰好就是
\(A\) 的所有特征值。
证明.
取
\(\lambda_1\)是特征多项式
\(\chi_A(\lambda)\)的一个根,代数学基本定理(
定理 1.6.1) 确保了
\(\lambda_1\)的存在性。
取
\(\xi_1\)是
\(\lambda_1\)的一个特征向量。将
\(\xi_1\)扩充为
\(\C^n\)的一个基:
\((\xi_1,\dots,\xi_n)\),把基中的向量按列拼成一个矩阵,记
\(P_1=(\xi_1,\dots,\xi_n)\),则
\(P_1\)是一个可逆矩阵。
根据定义可知
\begin{equation*}
A(\xi_1,\dots,\xi_n) = (\xi_1,\dots,\xi_n) \begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & \cdots & * \\
0 & * & \cdots & * \\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
0 & * & \cdots & *
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
将上式最右端矩阵删除第一行、第一列后获得的\(n-1\)阶子方阵记为\(A_1\),上式可以改写为
\begin{equation}
P_1^{-1}AP_1 = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & A_1
\end{pmatrix}\tag{7.3.7}
\end{equation}
对矩阵阶数\(n\)使用归纳法。根据归纳假设,存在一个\(n-1\)阶可逆矩阵,记为\(Q\),使得\(Q^{-1}A_1Q\)是一个上三角阵,不妨记
\begin{equation*}
Q^{-1}A_1Q = \begin{pmatrix}
\lambda_2 & & *\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
取\(P_2= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & Q
\end{pmatrix} \),则\(P_2\)是\(n\)阶可逆方阵。取\(P= P_1P_2\),则\(P\)也是\(n\)阶可逆方阵。简单计算可知
\begin{equation*}
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & *\\
0 & Q^{-1}A_1Q
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & * \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\end{equation*}
结论成立。
一般数域
\(\mathbb{F}\)上的方阵
\(A\)未必相似于
\(\mathbb{F}\)上的上三角矩阵,主要原因是因为特征值可能会不落在
\(\mathbb{F}\)内。事实上, 若
\(A\)特征值全在
\(\mathbb{F}\)中,则在
\(\mathbb{F}\)上
\(A\)也可以相似于上三角矩阵。
推论 7.3.21.
设
\(A\in \F^{n\times n}\)。若
\(A\)的所有特征值均属于
\(\mathbb{F}\),则存在可逆矩阵
\(P\in \F^{n\times n}\),使得
\(P^{-1}AP\)是上三角矩阵,且此时
\(P^{-1}AP\)的所有主对角线上元素就是
\(A\) 的所有特征值。
特别的,若实方阵
\(A\)的特征值都是实数,则
\(A\)实相似于上实上三角矩阵。
证明.
在
定理 7.3.20的证明中,当
\(\lambda_1\in \F\)时,我们可以选取
\(\xi_1\in \F^n\),且在
\(\F^n\)内进行扩基,这样可以保证
\(P\in \F^{n\times n}\)。
上三角矩阵带入多项式后有明显规律,这种规律可以用下面的结论描述。
命题 7.3.22.
设\(A\)是数域\(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶方阵,\(f(x)\in\mathbb{F} [x]\),证明:
-
若
\(\lambda\)是
\(A\)的特征值,则
\(f(\lambda)\)是矩阵
\(f(A)\)的特征值;
-
若
\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\)是
\(A\)的全部特征值,则
\(f(\lambda_1),\dots ,f(\lambda_n)\)是
\(f(A)\)的全部特征值。
证明.
-
设\(v\)是\(\lambda\)的一个特征向量,即\(Av=\lambda v\)。对\(\forall k\in \Z^+\),
\begin{equation*}
A^k v= A^{k-1}Av = \lambda A^{k-1}v =\cdots = \lambda^k v,
\end{equation*}
即\(\lambda^k\)是\(A^k\)的特征值。
设\(f(x) = a_m x^{m}+\cdots +a_0 \),则
\begin{align*}
f(A)v\amp = a_m A^mv+\cdots + a_0 E v \\
\amp = a_m \lambda^m v+\cdots +a_0 v \\
\amp = (a_m \lambda^m +\cdots +a_0) v \\
\amp = f(\lambda)v,
\end{align*}
所以\(f(\lambda)\)是矩阵\(f(A)\)的特征值。
-
\begin{equation*}
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & *\\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{pmatrix}\triangleq B,
\end{equation*}
也即\(A = PBP^{-1}\)。可知对\(\forall k\in \Z^+\),
\begin{align*}
A^k \amp=(PBP^{-1})^k \\
\amp = (PBP^{-1})(PBP^{-1})\cdots (PBP^{-1}) \\
\amp = PB(P^{-1}P)B (P^{-1}P)B \cdots (P^{-1}P)B P^{-1} \\
\amp = P B^kP^{-1} \\
\amp = P \begin{pmatrix}
\lambda_1^k & & *\\
& \ddots & \\
& & \lambda_n^k
\end{pmatrix} P^{-1},
\end{align*}
于是可知
\begin{equation*}
f(A) = f(PBP^{-1}) = Pf(B)P^{-1} = P \begin{pmatrix}
f(\lambda_1) & & *\\
& \ddots & \\
& & f(\lambda_n)
\end{pmatrix} P^{-1},
\end{equation*}
所以\(f(\lambda_1),\dots ,f(\lambda_n)\)是\(f(A)\)的全部特征值。
本小节中所有关于上三角矩阵的结论都可以平行推广至下三角矩阵,使用上三角矩阵只是一种习惯而已,二者没有本质区别。
练习 7.3.5 练习
基础题.
1.
求数域
\(\mathbb{F}\)上矩阵
\(A\)的全部特征值和特征向量:
(1)
\(A=\begin{pmatrix}
6&2&4\\2&3&2\\4&2&6
\end{pmatrix}\);(2)
\(A=\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&a&b\\0&0&c
\end{pmatrix}\),其中
\(b\neq 0\)。
2.
设矩阵
\(A=\begin{pmatrix}
-2&0&0\\2&a&2\\3&1&1
\end{pmatrix}\)、
\(B=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\0&2&0\\0&0&b
\end{pmatrix}\)相似,求
\(a,b\)和
\(A\)的特征值。
3.
设
\(3\)阶方阵
\(A\)的特征值为
\(\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-4\),求
\({\rm tr} (A)\)和
\(\det A\)。
4.
设
\(X=(a_1,\dots,a_n)\)且
\(XX^T=1\),求
\(E_n-2X^TX\)的特征值。
提高题.
5.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的幂等矩阵,即
\(A^2=A\)。证明:
\(A\)的特征值是
\(0\)或
\(1\)。
6.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上的幂零矩阵,即存在
\(k\in\mathbb{N}\)使得
\(A^k=0\)。证明:
\(A\)的特征值都是
\(0\)。
7.
设
\(A\)是
\(\mathbb{C}\)上
\(m\times n\)矩阵,
\(\lambda\)是
\(\overline{A}^TA\)的一个特征值,证明:
\(\lambda\)是非负实数。
8.
证明:如果任意非零向量都是方阵
\(A\)的特征向量,则
\(A\)是数量矩阵。
9.
设
\(\alpha,\beta\)是矩阵
\(A\)对应于不同特征值
\(\lambda,\mu\)的特征向量,证明:
\(\alpha+\beta\)不是
\(A\)的特征向量。
10.
设
\(A\)是数域
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)阶可逆矩阵,特征值为
\(\lambda_1,\dots ,\lambda_n\),证明:
-
\(\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots ,\lambda_n^{-1}\)是
\(A^{-1}\)的全部特征值;
-
\((\det A)\lambda_1^{-1},(\det A)\lambda_2^{-1},\cdots ,(\det A)\lambda_n^{-1}\)是
\({\rm adj}A\)的全部特征值。
11.
已知线性方程组
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=1\\
2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\
x_1+2x_2+ax_3=3
\end{array}\right.
\end{equation*}
有无穷多解,\(A\)是\(3\)阶方阵,\(X_1=(1,a,0)^T,X_2=(-a,1,0)^T,X_3=(0,0,a)^T\)为\(A\)的属于特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-1\)的特征向量。
-
-
求
\(\det ({\rm adj}A+2E)\)。
挑战题.
12.
设
\(V\)是
\(\mathbb{C}\)上的
\(n\)维线性空间,
\(\varphi ,\psi\)是
\(V\)上的线性变换,且
\(\varphi\psi=\psi\varphi\),证明:
-
如果
\(\lambda_0\)是
\(\varphi\)的一个特征值,那么
\(V_{\lambda_0}\)是
\(\psi\)-不变子空间;
-
\(\varphi,\psi\)至少有一个公共的特征向量。
13.
设
\(\mathbb{C}\)上
\(n\)阶方阵
\(A,B\)满足
\(AB=BA\),证明:
\(A,B\)至少有一个公共的特征向量。
14.
设\(\mathbb{C}\)上\(m\)个\(n\)阶方阵\(A_1,\dots ,A_m\)满足
\begin{equation*}
A_iA_j=A_jA_i \ (i,j=1,\dots,m),
\end{equation*}
证明:\(A_1,\dots,A_m\)至少有一个公共的特征向量。
15.
设
\(\mathbb{C}\)上
\(n\)阶方阵
\(A,B\)满足
\(AB=BA\),证明:存在可逆矩阵
\(P\),使得
\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)同时为上三角矩阵。
16.
设
\(\varphi\)是
\(n\)维线性空间
\(V\)上的线性变换,
\(V\)有一个子空间直和分解
\(V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,\)其中
\(V_i\)是
\(\varphi\)-不变子空间。设
\(\varphi\)限制在
\(V_i\)上的特征多项式为
\(f_i(\lambda)\),证明:
\(\varphi\)的特征多项式
\(f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_m(\lambda)\)。
17.
设
\(\varphi\)是
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)维线性空间
\(V \)的线性变换,
\(\lambda_0\)是
\(\varphi\)的一个特征值,
\(n_0\)是
\(\lambda_0\)在特征多项式
\(f_\varphi (\lambda)\)中的重数,证明:
\(\dim V_{\lambda_0}\leq n_0\)。
18.
设
\(\varphi\)是
\(\mathbb{F}\)上
\(n\)维线性空间
\(V\)的线性变换,
\(W\)是
\(\varphi\)-子空间。如果
\(\alpha_1,\dots,\alpha_k\)是
\(\varphi\)的分别属于
\(k\)个不同特征值
\(\lambda_1\dots,\lambda_k\)的特征向量,且
\(\alpha_1+\cdots +\alpha_k\in W\),证明:
\(\dim W\geq k\)。
19. 第九届全国大学生数学竞赛初赛.
设
\(\Gamma=\{W_1,\ldots ,W_r\}\)为
\(r\)个各不相同的可逆
\(n\)阶复矩阵构成的集合。若该集合关于矩阵乘法封闭(即
\(\forall M,N\in\Gamma\),有
\(MN\in\Gamma\))。证明:
\(\sum\limits_{i=1}^r W_i=0\)当且仅当
\(\sum\limits_{i=1}^r {\rm tr}(W_i)=0\),其中
\({\rm tr}(W_i)\)表示
\(W_i\)的迹。