主要内容

高等代数 多项式与线性代数

刘勇进, 刘月, 唐丽丹, 周宏

节 6.8 商空间与线性映射的结构*

关于线性空间的子空间的讨论是将一个子系统从其背后的大系统分离出来，对子系统内部的性质进行讨论，这是一种常见的研究思路。本节中，我们将从另一种研究思路，对线性空间和线性映射进行讨论。我们基于一个子空间，将整个线性空间划分为不同的部分，并将每一部分看成一个单独的元素构成一个新的线性代数系统。我们希望，这个新的系统能够反应原系统的一些特征。
🔗
从直观上说，这好比我们要管理一个学校，但是直接管理每个学生可能过于繁琐复杂，我们可将学生以班级为单位进行组织，对不同班级进行管理就能实现更加有效的全局管理。这样的思路对应到本节的内容，就是线性代数中的商空间理论。
🔗

子节 6.8.1 同余类

我们首先基于一个给定子空间定义一个线性空间上的一个二元关系。
🔗

定义 6.8.1.

设\(V\)是一个线性空间，\(V' \subseteq V\)是\(V\)的一个子空间，若\(\alpha, \beta \in V\)满足\(\alpha - \beta \in V'\)，则我们称\(\alpha\)与\(\beta\) 模\(V'\)同余，记为\(\alpha \sim_{V'}\beta\)。
🔗
🔗

例 6.8.2.

二维平面\(\R^{2}\)的一个\(1\)维子空间\(L\)是过原点的一条直线，而平面上两点\(\alpha, \beta \in \R^{2}\)模\(L\)同余（\(\alpha - \beta \in L\)）表明\(\alpha,\beta\) 两点都在一条平行于\(L\)的直线上。
🔗
🔗
可以验证同余关系\(\sim_{V'}\)满足
  1. 自反性：\(\alpha \sim_{V'}\alpha, \forall \alpha \in V\)；
    🔗
    🔗
  2. 对称性：若\(\alpha \sim_{V'}\beta\)则\(\beta \sim_{V'}\alpha\)；
    🔗
    🔗
  3. 传递性：若\(\alpha \sim_{V'}\beta\)且\(\beta \sim_{V'}\gamma\)，则\(\alpha \sim_{V'}\gamma\)。
    🔗
    🔗
🔗
因此，同余关系\(\sim_{V'}\)是等价关系。该等价关系下的每一个等价类可写成如下形式。
🔗

定义 6.8.3.

设\(\alpha \in V\)，我们定义\(V\)的子集
\begin{equation*} \alpha + V' := \{ \alpha + \beta \mid \beta \in V' \} \end{equation*}
🔗
为\(V\)中模\(V'\)的同余类，\(\alpha\)称为该同余类的一个代表元。
🔗
🔗

例 6.8.4.

继续讨论二维平面的例子，设子空间\(L\)是\(\R^{2}\)上过原点的一条直线，对于平面上一点\(\alpha \in \R^{2}\)，模\(L\)的同余类\(\alpha + L\)就是平面上过点\(\alpha\)且与\(L\)平行的直线。
🔗
🔗
关于同余类，有以下一些简单的性质。
🔗

证明.

由于\(0 \in V'\)，第一点的必要性显然。我们考虑充分性。若\(\alpha' \in \alpha + V'\)，则存在\(\beta \in V'\)使得\(\alpha' = \alpha + \beta\)。由于子空间\(V'\)关于加法封闭，对于任意\(\gamma \in V'\)有\(\beta + \gamma \in V'\)，故\(\alpha' + \gamma = \alpha + \beta + \gamma \in \alpha + V'\)。因此\(\alpha' + V' \subseteq \alpha + V'\)。类似地，由于\(\alpha = \alpha' - \beta\)，对于任意\(\gamma \in V'\)有\(\alpha + \gamma = \alpha' - \beta + \gamma \in \alpha' + V'\)。因此\(\alpha + V' \subseteq \alpha' + V'\)。所以\(\alpha + V' = \alpha' + V'\)。
🔗
由于\(\beta + V'\)和\(\alpha + V'\)都非空，第二点的充分性也显然。我们考虑必要性的逆否命题。假设\((\beta + V') \cap (\alpha + V') \neq \emptyset\)，则存在\(\gamma \in (\beta + V') \cap (\alpha + V')\)，由第一点可知
\begin{equation*} \alpha + V' = \gamma + V' = \beta + V'. \end{equation*}
🔗
🔗
🔗

子节 6.8.2 商空间及其维数

设\(V'\)是\(V\)的子空间，\(V\)中所有模\(V'\)同余类构成的集合是本节讨论的重点，记为
\begin{equation*} V / V' := \{ \alpha + V' \mid \alpha \in V \}. \end{equation*}
🔗

例 6.8.6.

继续讨论二维平面的例子，设子空间\(L\)是\(\R^{2}\)上过原点的一条直线，则\(\R^{2} / L\)就是平面商所有与\(L\)平行的直线的集合。
🔗
🔗
下面，我们在集合\(V / V'\)上引入同余类之间的加法和数乘运算。
🔗

定义 6.8.7.

设\(V'\)是数域\(\F\)上线性空间\(V\)的子空间。对任意两个模\(V'\)的同余类\(\alpha + V', \beta + V' \in V / V'\)，定义同余类的加法为
\begin{equation*} (\alpha + V') + (\beta + V') := (\alpha + \beta) + V'. \end{equation*}
对任意\(c \in \F\)，定义同余类的数乘为
\begin{equation*} c (\alpha + V') := c \alpha + V'. \end{equation*}
🔗
🔗
我们注意到在一个同余类中可以选择不同的代表元。因此，为了说明上述定义不会产生矛盾，我们需要说明代表元的选取不影响上述加法和数乘的定义。
🔗
我们首先考虑同余类加法运算。
🔗
设\(\alpha + V' = \alpha' + V'\)，\(\beta + V' = \beta' + V'\)，则由命题6.8.5的第一点知\(\alpha \in \alpha' + V'\)且\(\beta \in \beta' + V'\)，即\(\alpha - \alpha', \beta - \beta' \in V'\)。由于\(V'\)关于加法封闭，有\(\alpha + \beta - (\alpha' + \beta') = (\alpha - \alpha') + (\beta - \beta') \in V'\)，即\(\alpha + \beta \in (\alpha' + \beta') + V'\)。故\(((\alpha + \beta) + V') \cap ((\alpha' + \beta') + V') \neq \emptyset\)。
🔗
由命题6.8.5的第二点，并结合同余类加法的定义得
\begin{equation*} (\alpha + V') + (\beta + V') = (\alpha + \beta) + V' = (\alpha' + \beta') + V' = (\alpha' + V') + (\beta' + V'). \end{equation*}
🔗
类似地，我们考虑同余类数乘运算。设\(\alpha + V' = \alpha' + V'\)，则由命题6.8.5的第一点知\(\alpha \in \alpha' + V'\)，即\(\alpha - \alpha' \in V'\)。由于\(V'\)关于数乘封闭，有\(c (\alpha - \alpha') = c\alpha - c \alpha' \in V'\)，即\(c \alpha \in c \alpha' + V'\)。故\((c\alpha + V') \cap (c \alpha' + V') \neq \emptyset\)。由命题6.8.5的第二点，并结合同余类数乘的定义得
\begin{equation*} c (\alpha + V') = c \alpha + V' = c \alpha' + V' = c(\alpha' + V'). \end{equation*}
🔗
综上，同余类加法和数乘的定义不依赖于具体代表元的选取。
🔗
我们注意到同余类加法下的零元是\(0 + V'\)（即\(V'\)自身），而\(\alpha + V'\)在加法下的负元可定义为\((-\alpha) + V'\)。基于此不难验证同余类加法和数乘满足定义6.1.1和定义6.1.2中的10条性质。因此我们可得到结论，商空间确实构成一个线性空间。
🔗
既然\(V / V'\)是一个线性空间，那么它的维数是什么呢？下面我们利用线性映射基本定理给出\(V / V'\)的维数。
🔗
首先，引入从\(V\)到\(V/V'\)的一个自然映射：
\begin{equation} \pi: V \to V/V', \alpha \mapsto \alpha + V'.\tag{6.8.1} \end{equation}
不难验证\(\pi\)是线性映射。
🔗
由于\(V/V'\)的零向量是\(0 + V' = V'\)，不能看出\(\pi\)的核空间为\(\Ker \pi = V'\)。此外，任意同余类\(\alpha + V' \in V / V'\)可找到\(\pi\)下的原像\(\alpha \in V\)。因此\(\pi\)是满射，有\(\Ima \pi = V / V'\)。
🔗
对线性映射\(\pi\)使用线性映射基本定理6.7.11得
\begin{equation*} \dim V = \dim \Ker \pi + \dim \Ima \pi = \dim V' + \dim V / V'. \end{equation*}
🔗
由此，我们得到下面的定理。
🔗
🔗

子节 6.8.3 从商空间看线性映射的结构

在本节的最后，我们从商空间的角度重新审视从线性空间\(V\)到\(U\)的线性映射\(\varphi\)的结构。
🔗
首先，我们注意到\(\Ker \varphi\)中的向量都被\(\varphi\)映射到\(0\)，\(\varphi\)仅对\(\Ker \varphi\)之外的向量有非平凡的作用。
🔗
若我们考虑\(V\)空间对核空间\(\Ker \varphi\)的商空间，线性映射\(\varphi\)作用在商空间中的同余类会有什么效果呢？
🔗
为此，我们考虑一个从\(\varphi\)诱导出的，从\(V / \Ker \varphi\)到\(\Ima \varphi\)的映射。
🔗

定义 6.8.10.

设\(\varphi \in \mathcal{L}(V, U)\)，定义映射
\begin{equation*} \widetilde{\varphi}: V /\Ker \varphi \to \Ima \varphi, \alpha + \Ker \varphi \mapsto \varphi(\alpha). \end{equation*}
🔗
🔗
由于商空间\(V/ \Ker \varphi\)中的同余类可以取不同的代表元，我们首先要验证映射\(\widetilde{\varphi}\)对于不同的代表元是一致的。
🔗
设\(\alpha + \Ker \varphi = \alpha' + \Ker\varphi\)，则根据命题6.8.5的第一点得\(\alpha \in \alpha' + \Ker \varphi\)，即存在\(\beta \in \Ker \varphi\)使得\(\alpha = \alpha' + \beta\)。因此
\begin{equation*} \widetilde{\varphi}(\alpha + \Ker \varphi) = \varphi(\alpha) = \varphi(\alpha' + \beta) = \varphi(\alpha') = \widetilde{\varphi}(\alpha' + \Ker \varphi). \end{equation*}
所以，\(\widetilde{\varphi}\)的定义不依赖于具体代表元的选取。下面我们证明不仅如此，\(\widetilde{\varphi}\)还是从\(V / \Ker \varphi\)到\(\Ima \varphi\)的同构映射。
🔗

证明.

首先验证\(\widetilde{\varphi}\)是线性映射。对于任意\(\alpha + \Ker \varphi, \beta + \Ker \varphi \in V / \Ker \varphi\)以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)有
\begin{align*} \widetilde{\varphi}(c_1(\alpha + \Ker \varphi) + c_2(\beta + \Ker \varphi) ) \amp = \widetilde{\varphi}( (c_1 \alpha + c_2 \beta) + \Ker \varphi)\\ \amp =\varphi(c_1 \alpha + c_2 \beta) = c_1 \varphi(\alpha) + c_2 \varphi(\beta) \\ \amp = c_1 \widetilde{\varphi}( \alpha + \Ker \varphi) + c_2 \widetilde{\varphi}( \beta + \Ker \varphi). \end{align*}
🔗
由命题6.3.17知\(\widetilde{\varphi}\)是线性映射。
🔗
接下来验证\(\widetilde{\varphi}\)是单射。设
\begin{equation*} \widetilde{\varphi}( \alpha + \Ker \varphi) = \widetilde{\varphi}( \beta + \Ker \varphi). \end{equation*}
🔗
根据\(\widetilde{\varphi}\)的定义有\(\varphi(\alpha) = \varphi(\beta)\)。又因为\(\varphi\)是线性映射，故\(\varphi(\alpha - \beta) = 0\)，即\(\alpha \in \beta \Ker \varphi\)。由命题6.8.5的第一点知\(\alpha + \Ker \varphi = \beta + \Ker \varphi\)。所以，\(\widetilde{\varphi}\)是单射。
🔗
最后验证\(\widetilde{\varphi}\)是满射。首先，显然\(\Ima \widetilde{\varphi}\subseteq \Ima \varphi\)。对与任意\(\gamma \in \Ima \varphi\)，存在\(\alpha \in V\)使得\(\varphi(\alpha) = \gamma\)。此时，有\(\widetilde{\varphi}(\alpha + \Ker \varphi) = \varphi(\alpha) = \gamma\)。所以，\(\widetilde{\varphi}\)是满射。
🔗
综上，\(\widetilde{\varphi}\)是同构映射。因此，根据定理6.5.9有
\begin{equation*} \dim V / \Ker \varphi = \dim \Ima \varphi. \end{equation*}
🔗
🔗
设\(\pi\)是从\(V\)到\(V/\Ker \varphi\)的自然映射（参见((6.8.1))）
\begin{equation*} \pi: \alpha \mapsto \alpha + \Ker \varphi. \end{equation*}
则可以证明如下关系（具体证明留作习题）。
🔗
上述关系也可以用下面的同构关系图表示。
🔗
基于商空间的线性映射同构关系图
图 6.8.13. 基于商空间的线性映射同构关系图
🔗
图6.8.13中的关系表明，通过商空间\(V / \Ker \varphi\)，我们可以给出线性映射\(\varphi\)作用的另一种解读：
  • 商空间\(V / \Ker \varphi\)将\(V\)划分成不相交的同余类\(\alpha + \Ker \varphi\)；
    🔗
    🔗
  • \(\varphi\)将同一个同余类\(\alpha + \Ker \varphi\)都唯一地映射到\(\Ima \varphi\)中的向量\(\varphi(\alpha)\)。特别地，\(0 + \Ker \varphi\)被映射为零向量。
    🔗
    🔗
🔗
🔗

练习 6.8.4 练习

基础题.

2.
设\(W\)为\(\F^{n \times n}\)中所有反对称矩阵构成的子空间，求\(\F^{n \times n}/ W\)的维数和一个基。
🔗
🔗
3.
设\(A \in \F^{m \times n}\)，\(\F^{n}\)的子空间\(\Ker A\)是\(n\)元齐次线性方程组\(AX=0\)的解集。证明：商空间\(\F^{n} / \Ker A\)中的任一元素是以\(A\)为系数矩阵的某个\(n\)线性方程组的解集。
🔗
🔗
🔗

提高题.

4.
设\(U,W\)都是线性空间\(V\)的子空间。证明：若\(V = U \oplus W\)，则\(U \cong V / W\)。
🔗
🔗
5.
设\(U,W\)都是线性空间\(V\)的子空间，证明：\((U+W) / W \cong U / (U \cap W)\)。
🔗
🔗
6.
设有线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，定义\(\pi\)如下：
\begin{equation*} \pi: V \to V / \Ker \varphi, \alpha \mapsto \alpha + \Ker \varphi. \end{equation*}
则\(\widetilde{\varphi}\)是满足下面关系的唯一同构映射
\begin{equation*} \varphi = \widetilde{\varphi}\pi. \end{equation*}
🔗
🔗
7.
设\(\varphi\)是从线性空间\(V\)到\(U\)的线性映射，证明存在直和分解
\begin{equation*} V = \Ker \varphi \oplus W, \quad U = M \oplus N \end{equation*}
使得\(W \cong M\)。
🔗
🔗
🔗
🔗
🔗
向前Top向后