定义 6.4.1.
设\(V\)和\(U\)为数域\(\F\)上的两个线性空间，对于任意\(\varphi, \psi \in \mathcal{L}(V,U)\)以及\(c \in \F\)，定义线性映射的加法和数乘运算如下
-
加法运算 \(\varphi + \psi\)：\((\varphi+ \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in V\)；
节 6.4 线性映射的运算
子节 6.4.1 线性映射的加法与数乘
我们首先定义\(\mathcal{L}(V,U)\)上的加法和数乘运算。
我们可以验证，对线性映射进行加法和数乘运算之后得到的映射还是线性映射。首先考虑加法运算，给定任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)，根据线性映射加法运算的定义6.4.1，对于任意\(\varphi, \psi \in \mathcal{L}(V,U)\)我们有
\begin{equation*}
(\varphi + \psi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) = \varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) + \psi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta).
\end{equation*}
由于\(\varphi, \psi\)是\(V\)到\(U\)的线性映射，我们可进一步展开得
\begin{align*}
(\varphi + \psi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) \amp = c_{1} \varphi(\alpha) + c_{2} \varphi(\beta) + c_{1} \psi(\alpha) + c_{2} \psi(\beta) \\
\amp = c_{1} (\varphi + \psi)(\alpha) + c_{2} (\varphi + \psi) (\beta),
\end{align*}
接下来考虑数乘运算。类似地，对于任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c, c_{1}, c_{2} \in \F\)我们有
\begin{align*}
(c \varphi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta)\amp = c \varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta)\\
\amp = c c_{1} \varphi(\alpha) + c c_{2} \varphi(\beta)\\
\amp = c_{1} (c\varphi)(\alpha) + c_{2} (c\varphi)(\beta).
\end{align*}
因此，\((c \varphi)\)也是保持线性运算的线性映射。
根据上述讨论，线性映射的加法运算和数乘运算关于\(\mathcal{L}(V,U)\)都满足封闭性。此外，不难验证线性映射的加法和数乘运算同时满足定义6.1.1和定义6.1.2中要求的其他性质，我们将具体的验证工作留给读者作为练习。
由此，我们引出本节的一个重要结论：线性映射集合本身构成一个线性空间。
定理 6.4.2.
子节 6.4.2 线性映射的乘法
本节的最后，我们讨论关于线性映射的另一种运算：乘法运算。
定义 6.4.3.
设\(U,V,W\)为线性空间，给定线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)和\(\psi \in \mathcal{L}(U,W)\)，\(\psi\)与\(\varphi\)的乘积，记为\(\psi \varphi\)，定义如下
\begin{equation*}
\psi \varphi (\alpha) = \psi ( \varphi(\alpha)), \quad \forall \alpha \in V.
\end{equation*}
备注 6.4.4.
需要指出的是，并非任意两个线性映射都能相乘，\(\psi\)的原像空间与\(\varphi\)的像空间须要匹配才能相乘。然而，作为特殊情况，从同一个线性空间到自身的不同线性变换可以任意相乘。这也为线性变换带来更丰富的代数结构，我们将在第7章做更深入的讨论。
从上述定义可以看出，\(\psi\)与\(\varphi\)的乘积运算本质上是两个线性映射的合成（见定义B.2.30），因此\(\psi \varphi\)显然是\(V\)到\(W\)的映射。不仅如此，我们还能保证两个线性映射的合成还是线性映射。
命题 6.4.5.
设\(U,V,W\)为数域\(\F\)上的线性空间，\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，\(\psi \in \mathcal{L}(U,W)\)，则\(\psi \varphi\)是从\(V\)到\(W\)的线性映射。
证明.
由线性映射乘法的定义以及\(\varphi\)和\(\psi\)的线性性，对于任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)我们有
\begin{align*}
\psi \varphi(c_1 \alpha + c_2 \beta)\amp = \psi ( \varphi (c_1 \alpha + c_2 \beta)) \\
\amp = \psi (c_1 \varphi(\alpha) + c_2 \varphi(\beta)) \\
\amp = c_1 \psi(\varphi (\alpha)) + c_2 \psi (\varphi(\beta)) \\
\amp = c_1 \psi \varphi(\alpha) + c_2 \psi \varphi(\beta).
\end{align*}
命题 6.4.6. 乘法结合律.
设\(\varphi \in \mathcal{L}(V_{1}, V_{2}), \psi \in \mathcal{L}(V_{2}, V_{3}), \delta \in \mathcal{L}(V_{3}, V_{4})\)为线性映射，则
\begin{equation*}
\delta (\psi \varphi) = (\delta \psi) \varphi.
\end{equation*}
命题 6.4.7. 乘法单位元.
设\({\rm id}_{V} \in \mathcal{L}(V,V)\)和\({\rm id}_{U} \in \mathcal{L}(U,U)\)分别为线性空间\(V\)和\(U\)上的恒等变换，对于任意为从\(V\)到\(U\)的线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，有
\begin{equation*}
\varphi{\rm id}_{V} ={\rm id}_{U} \varphi = \varphi,
\end{equation*}
即\({\rm id}_{V}\)和\({\rm id}_{U}\)分别为右乘和左乘单位元。
备注 6.4.8.
需要指出的是，上述关于线性映射乘法的性质同样适用于一般映射的合成，并不依赖于线性映射保持线性运算的具体性质。因此，合成运算也常常被视为一般映射的乘法运算。当然，更一般的代数系统中的“乘法”运算未必要求单位元的存在。
命题 6.4.9. 线性映射乘法与加法的分配律.
设\(\psi, \psi_{1}, \psi_{2} \in \mathcal{L}(U,W)\)，\(\varphi, \varphi_{1}, \varphi_{2} \in \mathcal{L}(V,U)\)，则
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi = \psi_{1} \varphi + \psi_{2} \varphi \quad \text{且}\quad \psi(\varphi_{1} + \varphi_{2}) = \psi \varphi_{1} + \psi \varphi_{2}.
\end{equation*}
证明.
首先，证明第一部分的右乘分配律。
对任意\(\alpha \in V\)，由线性映射乘法的定义得
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi (\alpha) = (\psi_{1} + \psi_{2}) ( \varphi(\alpha)).
\end{equation*}
再由线性映射加法的定义得
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi (\alpha) = \psi_{1}( \varphi(\alpha)) + \psi_{2} (\varphi(\alpha)) = \psi_{1} \varphi (\alpha) + \psi_{2} \varphi (\alpha).
\end{equation*}
接着，证明第二部分的左乘分配律。
对任意\(\alpha \in V\)，由线性映射乘法以及加法的定义得
\begin{equation*}
(\psi(\varphi_{1} + \varphi_{2})) (\alpha) = \psi ((\varphi_{1} + \varphi_{2}) (\alpha)) = \psi( \varphi_{1}(\alpha) + \varphi_{2}(\alpha)).
\end{equation*}
又由于线性映射\(\psi\)保持加法运算，所以
\begin{equation*}
(\psi(\varphi_{1} + \varphi_{2})) (\alpha) = (\psi \varphi_{1}(\alpha)) + (\psi \varphi_{2}(\alpha)) = \psi \varphi_{1}(\alpha) + \psi \varphi_{2}(\alpha).
\end{equation*}
备注 6.4.10.
从上述证明中，我们注意到左乘分配律的证明用到了线性映射保持加法运算的性质，而右乘分配律的证明则不需要用到。
例 6.4.11.
设有矩阵\(A \in \F^{m \times n}, B \in \F^{n \times p}\)，定义线性映射\(\varphi: \F^{p} \to \F^{n}, \alpha \mapsto B \alpha\)和\(\psi: \F^{n} \to \F^{m}, \beta \mapsto A \beta\)，则\(\psi\)与\(\varphi\)的乘积可由下面的映射给出
\begin{equation*}
\psi \varphi (\alpha) = \psi (\varphi(\alpha)) = \psi(B \alpha) = AB \alpha, \quad \forall \alpha \in \F^{p},
\end{equation*}
即\(\psi\)与\(\varphi\)相乘对应了\(A\)与\(B\)的矩阵相乘。
由于矩阵乘法是线性映射乘法的特例，通常来说线性映射的乘法不满足交换律。 下面我们另举一个例子进行说明。
例 6.4.12. 线性映射乘法的非交换性.
考虑例6.3.6中的映射\(\varphi: \R[x] \to \R[x], p(x) \mapsto x p(x)\)和例6.3.7中的映射\(D : D[a,b] \to \R, f \mapsto f'\)。
给定多项式\(p \neq 0 \in \R[x]\)，一方面我们有
\begin{equation*}
D \varphi (p) (x) = D (\varphi(p))(x) = D(xp)(x) = p(x) + xp'(x).
\end{equation*}
另一方面，
\begin{equation*}
\varphi D(p)(x) = \varphi( D(p))(x) = \varphi(p')(x) = x p'(x).
\end{equation*}
所以，\(D \varphi \neq \varphi D\)，交换律不成立。
正因为线性映射乘法不满足交换律，我们在讨论乘法单位元和分配律的时候须要特别地将左乘和右乘分开讨论。 除了交换律以外，类似于矩阵在乘法下未必可逆，线性映射在乘法下的逆元也未必存在。
练习 6.4.3 练习
基础题.
1.
设\(V,U\)是数域\(\F\)上的线性空间，\(\varphi, \psi, \delta \in \mathcal{L}(V,U)\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射，证明：
-
\(\varphi + (\psi + \delta) = (\varphi + \psi) + \delta\)；
-
\(c (\varphi + \psi) = c \varphi + c \psi, \forall c \in \F\)。
2.
3.
4.
设\(V\)是线性空间，\(\varphi\)是从\(V\)到\(V\)的线性变换。定义\(\varphi\)的零次幂为\(\varphi^{0} :={\rm id}_{V}\)；对于整数\(k \geq 1\)，递归定义\(\varphi\)的\(k\)次幂为\(\varphi^{k} := \varphi \varphi^{k-1}\)。证明：对于任意正整数\(k \geq 0\)，\(\varphi^{k}\)都是\(V\)上的线性变换。
提高题.
5.
设有从线性空间\(\F[x]\)到\(\F[x]\)的映射
\begin{equation*}
\varphi: f(x) \mapsto f'(x), \quad \psi: f(x) \mapsto x f(x),
\end{equation*}
其中\(f'(x) \in \F[x]\)是多项式\(f(x)\)的形式导数。 证明：\(\varphi, \psi\)都是线性变换，且\(\varphi \psi - \psi \varphi ={\rm id}_{\F[x]}\)。
6.
设\(\varphi, \psi\)是线性空间\(V\)上的线性变换。证明：若\(\varphi \psi - \psi \varphi ={\rm id}_{V}\)，则
\begin{equation*}
\varphi^{k} \psi - \psi \varphi^{k} = k \varphi^{k-1}, \quad \forall k \geq 1.
\end{equation*}
7.
设\(\varphi, \psi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，且\(\varphi^{2} = \varphi\)，\(\psi^{2} = \psi\)。证明：\((\varphi + \psi)^{2} = \varphi + \psi\)当且仅当\(\varphi \psi = \psi \varphi = 0\)，其中\(0\)表示\(V\)上的零变换。（注：满足\(\varphi^{2} = \varphi\)的线性变换也被称为幂等变换）
