定义 6.5.1.
设\(V\)和\(U\)为数域\(\F\)上的两个线性空间，对于任意\(\varphi, \psi \in \mathcal{L}(V,U)\)以及\(c \in \F\)，定义线性映射的加法和数乘运算如下
-
加法运算 \(\varphi + \psi\)：\((\varphi+ \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in V\)；
节 6.5 线性映射的运算
子节 6.5.1 线性映射的加法与数乘
我们首先定义\(\mathcal{L}(V,U)\)上的加法和数乘运算。
我们可以验证，对线性映射进行加法和数乘运算之后得到的映射还是线性映射。首先考虑加法运算，给定任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)，根据线性映射加法运算的定义6.5.1，对于任意\(\varphi, \psi \in \mathcal{L}(V,U)\)我们有
\begin{equation*}
(\varphi + \psi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) = \varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) + \psi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta).
\end{equation*}
由于\(\varphi, \psi\)是\(V\)到\(U\)的线性映射，我们可进一步展开得
\begin{align*}
(\varphi + \psi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) \amp = c_{1} \varphi(\alpha) + c_{2} \varphi(\beta) + c_{1} \psi(\alpha) + c_{2} \psi(\beta) \\
\amp = c_{1} (\varphi + \psi)(\alpha) + c_{2} (\varphi + \psi) (\beta),
\end{align*}
接下来考虑数乘运算。类似地，对于任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c, c_{1}, c_{2} \in \F\)我们有
\begin{align*}
(c \varphi)(c_{1} \alpha + c_{2} \beta)\amp = c \varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta)\\
\amp = c c_{1} \varphi(\alpha) + c c_{2} \varphi(\beta)\\
\amp = c_{1} (c\varphi)(\alpha) + c_{2} (c\varphi)(\beta).
\end{align*}
因此，\((c \varphi)\)也是保持线性运算的线性映射。
根据上述讨论，线性映射的加法运算和数乘运算关于\(\mathcal{L}(V,U)\)都满足封闭性。此外，不难验证线性映射的加法和数乘运算同时满足定义6.1.1和定义6.1.2中要求的其他性质，我们将具体的验证工作留给读者作为练习。
由此，我们引出本节的一个重要结论：线性映射集合本身构成一个线性空间。
定理 6.5.2.
子节 6.5.2 线性映射的乘法
本小节，我们讨论关于线性映射的另一种运算：乘法运算。
定义 6.5.3.
设\(U,V,W\)为数域\(\F\)上的线性空间，给定线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)和\(\psi \in \mathcal{L}(U,W)\)，\(\psi\)与\(\varphi\)的乘积 \(\psi \varphi \in \mathcal{L}(V,W)\)定义如下
\begin{equation*}
\psi \varphi (\alpha) = \psi ( \varphi(\alpha)), \quad \forall \alpha \in V.
\end{equation*}
显然\(\psi \varphi\)确实是\(V\)到\(W\)的映射。不过，为了说明上述定义是合法的，我们还需验证\(\psi \varphi\)是线性映射。由线性映射乘法的定义以及\(\varphi\)和\(\psi\)的线性性，对于任意\(\alpha, \beta \in V\)以及\(c_{1}, c_{2} \in \F\)我们有
\begin{align*}
\psi \varphi(c_{1} \alpha + c_{2} \beta) \amp = \psi ( \varphi (c_{1} \alpha + c_{2} \beta)) \\
\amp = \psi (c_{1} \varphi(\alpha) + c_{2} \varphi(\beta))\\
\amp = c_{1} \psi(\varphi (\alpha)) + c_{2} \psi (\varphi(\beta))\\
\amp = c_{1} \psi \varphi(\alpha) + c_{2} \psi \varphi(\beta),
\end{align*}
即\(\psi \varphi\)确实是从\(V\)到\(W\)的线性映射。
备注 6.5.4.
备注 6.5.5.
此外，需要注意，不是任意两个线性映射都能相乘，\(\psi\)的原像空间与\(\varphi\)的像空间须要匹配才能相乘。然而，作为特殊情况，从同一个线性空间到自身的不同线性变换可以任意相乘。这也为线性变换带来更丰富的代数结构，我们将在第7章做更深入的讨论。
例 6.5.6.
设有矩阵\(A \in \F^{m \times n}, B \in \F^{n \times p}\)，定义线性映射\(\varphi: \F^{p} \to \F^{n}, \alpha \mapsto B \alpha\)和\(\psi: \F^{n} \to \F^{m}, \beta \mapsto A \beta\)，则\(\psi\)与\(\varphi\)的乘积可由下面的映射给出
\begin{equation*}
\psi \varphi (\alpha) = \psi (\varphi(\alpha)) = \psi(B \alpha) = AB \alpha, \quad \forall \alpha \in \F^{p},
\end{equation*}
即\(\psi\)与\(\varphi\)相乘对应了\(A\)与\(B\)的矩阵相乘。
本节的最后，我们列举一些线性映射乘法的性质。
命题 6.5.7. 乘法单位元.
设\({\rm id}_{V} \in \mathcal{L}(V,V)\)和\({\rm id}_{U} \in \mathcal{L}(U,U)\)分别为线性空间\(V\)和\(U\)上的恒等变换，对于任意为从\(V\)到\(U\)的线性映射\(\varphi \in \mathcal{L}(V,U)\)，有
\begin{equation*}
\varphi{\rm id}_{V} ={\rm id}_{U} \varphi = \varphi,
\end{equation*}
即\({\rm id}_{V}\)和\({\rm id}_{U}\)分别为右乘和左乘单位元。
证明.
对任意\(\alpha \in V\)，由线性映射乘法运算的定义以及恒等映射的定义得
\begin{equation*}
\varphi{\rm id}_{V} (\alpha) = \varphi({\rm id}_{V}(\alpha)) = \varphi(\alpha) ={\rm id}_{U} (\varphi(\alpha)) ={\rm id}_{U} \varphi(\alpha).
\end{equation*}
命题 6.5.8. 乘法结合律.
设\(\varphi \in \mathcal{L}(V_{1}, V_{2}), \psi \in \mathcal{L}(V_{2}, V_{3}), \delta \in \mathcal{L}(V_{3}, V_{4})\)为线性映射，则
\begin{equation*}
\delta (\psi \varphi) = (\delta \psi) \varphi.
\end{equation*}
证明.
对任意\(\alpha \in V_{1}\)，我们有
\begin{equation*}
\delta (\psi \varphi) (\alpha) = \delta ( \psi (\varphi(\alpha))) = \delta \psi (\varphi(\alpha)) = (\delta \psi) \varphi (\alpha).
\end{equation*}
命题 6.5.9. 线性映射乘法与加法的分配律.
设\(\psi, \psi_{1}, \psi_{2} \in \mathcal{L}(U,W)\)，\(\varphi, \varphi_{1}, \varphi_{2} \in \mathcal{L}(V,U)\)，则
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi = \psi_{1} \varphi + \psi_{2} \varphi \quad \text{且}\quad \psi(\varphi_{1} + \varphi_{2}) = \psi \varphi_{1} + \psi \varphi_{2}.
\end{equation*}
证明.
我们证明第一部分的右乘分配律，第二部分的左乘分配律可通过类似的方法证明。
对任意\(\alpha \in V\)，由线性映射乘法的定义得
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi (\alpha) = (\psi_{1} + \psi_{2}) ( \varphi(\alpha)).
\end{equation*}
再由线性映射加法的定义得
\begin{equation*}
(\psi_{1} + \psi_{2}) \varphi (\alpha) = \psi_{1}( \varphi(\alpha)) + \psi_{2} (\varphi(\alpha)) = \psi_{1} \varphi (\alpha) + \psi_{2} \varphi (\alpha).
\end{equation*}
备注 6.5.10.
我们注意到，上述关于线性映射乘法的性质可推广到一般映射的合成，并不依赖于线性映射保持线性运算的具体性质。
例 6.5.11. 线性映射乘法的非交换性.
考虑例6.3.6中的映射\(\varphi: \R[x] \to \R[x], p(x) \mapsto x p(x)\)和例6.3.7中的映射\(D : D[a,b] \to \R, f \mapsto f'\)。
给定多项式\(p \neq 0 \in \R[x]\)，一方面我们有
\begin{equation*}
D \varphi (p) (x) = D (\varphi(p))(x) = D(xp)(x) = p(x) + xp'(x).
\end{equation*}
另一方面，
\begin{equation*}
\varphi D(p)(x) = \varphi( D(p))(x) = \varphi(p')(x) = x p'(x).
\end{equation*}
所以，\(D \varphi \neq \varphi D\)，交换律不成立。
