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\)
练习 4.8 线性映射复习题
1.
设\(f_1=1-x,f_2=1+x^2,f_3=x+2x^2\)，若线性映射\(\varphi:\mathbb{F}[x]_2\rightarrow\mathbb{F}[x]_3\)满足：
\begin{equation*}
\varphi(f_1)=2+x+x^2,\varphi(f_2)=1-2x+x^3,\varphi(f_3)=1-x^3,
\end{equation*}
求\(\varphi\)在基\(f_1,f_2,f_3\)与\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的矩阵；
设\(f=1+2x+3x^2\)，求\(\varphi(f)\)在基\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的坐标。
2.
在\(\mathbb{F}[x]_n\)上定义求导变换：
\begin{equation*}
D(f(x))=f'(x),\ \forall f(x)\in\mathbb{F}[x]_n,
\end{equation*}
求\(D\)在基\(1,x,\frac{x^2}{2!},\frac{x^3}{3!},\cdots ,\frac{x^n}{n!}\)下的矩阵；
设\(n\geq 1\)，证明：\(D\)在任意一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。
3.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\varphi\)是\(V\)上线性变换。证明：使得\(\varphi\psi=0\)的所有线性变换\(\psi\)组成的集合\(U\)按照线性变换的加法、数乘运算构成数域\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间，并求\(\dim U\)。
4.
在\(\mathbb{F}[x]_n\)上定义线性变换
\begin{equation*}
\varphi(f(x))=xf'(x)-f(x),\ \forall f(x)\in\mathbb{F}[x]_n,
\end{equation*}
求\({\rm Ker}\varphi\)和\({\rm Im}\varphi\)的一组基和维数；
证明：\(\mathbb{F}[x]_n={\rm Ker}\varphi\oplus {\rm Im}\varphi\)。
