主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
练习 4.8 线性映射复习题
1.
设\(f_1=1-x,f_2=1+x^2,f_3=x+2x^2\)，若线性映射\(\varphi:\mathbb{F}[x]_2\rightarrow\mathbb{F}[x]_3\)满足：
\begin{equation*}
\varphi(f_1)=2+x+x^2,\varphi(f_2)=1-2x+x^3,\varphi(f_3)=1-x^3,
\end{equation*}
求\(\varphi\)在基\(f_1,f_2,f_3\)与\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的矩阵；
设\(f=1+2x+3x^2\)，求\(\varphi(f)\)在基\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的坐标。
解答.
因为
\begin{equation*}
(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3)=(1,x,x^2,x^3)A,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\varphi(f_1,f_2,f_3)=(1,x,x^2,x^3)B,
\end{equation*}
其中\(A=\begin{pmatrix}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1\\
0&0&0&1
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
2&1&1\\
1&-2&0\\
1&0&0\\
0&1&-1
\end{pmatrix}\)，所以
\begin{equation*}
\varphi(f_1,f_2,f_3)=(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3)A^{-1}B.
\end{equation*}
故\(\varphi\)在基\(f_1,f_2,f_3\)与\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的矩阵为
\begin{equation*}
A^{-1}B=\begin{pmatrix}
2&2&2\\
0&-1&-1\\
1&-1&1\\
0&1&-1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
因为
\begin{equation*}
(f_1,f_2,f_3)=(1,x,x^2)C,
\end{equation*}
其中\(C=\begin{pmatrix}
1&1&0\\
-1&0&1\\
0&1&2
\end{pmatrix}\)，所以\(f\)在基\(f_1,f_2,f_3\)下的坐标为\(C^{-1}\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2\\3\\0
\end{pmatrix}\)。由此推出\(\varphi(f)\)在基\(1,1+x,x+x^2,x^2+x^3\)下的坐标为
\begin{equation*}
A^{-1}B\begin{pmatrix}
-2\\3\\0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\3\\-5\\3
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
2.
在\(\mathbb{F}[x]_n\)上定义求导变换：
\begin{equation*}
D(f(x))=f'(x),\ \forall f(x)\in\mathbb{F}[x]_n,
\end{equation*}
求\(D\)在基\(1,x,\frac{x^2}{2!},\frac{x^3}{3!},\cdots ,\frac{x^n}{n!}\)下的矩阵；
设\(n\geq 1\)，证明：\(D\)在任意一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。
解答.
因为
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
D(1,x,\frac{x^2}{2!},\frac{x^3}{3!},\cdots ,\frac{x^n}{n!})&=&(0,1,x,\frac{x^2}{2!},\cdots ,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})\\
&=&(1,x,\frac{x^2}{2!},\frac{x^3}{3!},\cdots ,\frac{x^n}{n!})\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
0&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix},
\end{array}
\end{equation*}
所以\(D\)在基\(1,x,\frac{x^2}{2!},\frac{x^3}{3!},\cdots ,\frac{x^n}{n!}\)下的矩阵为\(\begin{pmatrix}
0&E_{n}\\0&0
\end{pmatrix}\)。
假设\(D\)在\(\mathbb{F}[x]_n\)的一组基\(f_0,f_1,\cdots ,f_n\)下的矩阵为对角矩阵，即
\begin{equation*}
D(f_0,f_1,\cdots ,f_n)=(f_0,f_1,\cdots ,f_n)\begin{pmatrix}
\lambda_0&0&\cdots&0\\
0&\lambda_1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&\lambda_n
\end{pmatrix},
\end{equation*}
则\(D(f_i)=\lambda_if_i\)。因为\(n\geq 1\)，所以\(\mathbb{F}[x]_n\)的基\(f_0,f_1,\cdots ,f_n\)不可能全为常数。假设\(f_k\)不为常数，则\(\deg (D(f_k))=\deg f_k-1<\deg f_k\)，即\(\deg (\lambda_kf_k)<\deg f_k\)，此时\(\lambda_k=0\)。于是，有\(D(f_k)=0\)，即\(f_k'=0\)，这与\(f_k\)不是常数相矛盾。因此，\(D\)在任意一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。
3.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\varphi\)是\(V\)上线性变换。证明：使得\(\varphi\psi=0\)的所有线性变换\(\psi\)组成的集合\(U\)按照线性变换的加法、数乘运算构成数域\(\mathbb{F}\)上的一个线性空间，并求\(\dim U\)。
解答.
因\(0\in U\)，所以\(U\)是\(\mathcal{L}(V)\)的非空子集。对任意\(\psi,\tau\in U,\ c\in\mathbb{F}\)，有
\begin{equation*}
\varphi\psi=\varphi\tau=0,
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\varphi(\psi+\tau)=\varphi\psi+\varphi\tau=0,\ \varphi(c\psi)=c(\varphi\psi)=0,
\end{equation*}
即\(\psi+\tau\in U,c\psi\in U\)。故\(U\)是\(\mathcal{L}(V)\)的一个子空间，从而构成数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。
设\(\varphi\)在\(V\)的一组基\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)下的矩阵为\(A\)。若\(\psi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\)下的矩阵为\(B\)，则\(\varphi\psi=0\)的充要条件是\(AB=0\)。因此\(U\cong \{B\in\mathbb{F}^{n\times n}|AB=0\}\)。于是，由\(\S 3.4\)作业3知：\(\dim U=n\cdot(n-\dim{\rm Im}\varphi)\)。
4.
在\(\mathbb{F}[x]_n\)上定义线性变换
\begin{equation*}
\varphi(f(x))=xf'(x)-f(x),\ \forall f(x)\in\mathbb{F}[x]_n,
\end{equation*}
求\({\rm Ker}\varphi\)和\({\rm Im}\varphi\)的一组基和维数；
证明：\(\mathbb{F}[x]_n={\rm Ker}\varphi\oplus {\rm Im}\varphi\)。
解答.
-
因为
\begin{equation*}
\varphi(1)=-1,\varphi (x)=0,\varphi (x^2)=x^2,\varphi (x^3)=2x
^3,\cdots ,\varphi(x^n)=(n-1)x^n,
\end{equation*}
所以 \(\varphi\)在\(\mathbb{F}[x]_n\)的一组基\(1,x,x^2,\cdots ,x^n\)下的矩阵为
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
-1&&&&\\
&0&&&\\
&&1&&\\
&&&\ddots&\\
&&&&n-1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解齐次线性方程组\(AX=0\)得基础解系\(\alpha_1=(0,1,0,\cdots ,0)^T\)，所以\(x\)是\({\rm Ker}\varphi\)的一个基，\(\dim{\rm Ker}\varphi=1\)。
因为\(A\)的第\(1,3,4,\cdots ,n+1\)列是\(A\)的列向量组的极大无关组，所以\(1,x^2,x^3,\cdots ,x^n\)是\({\rm Im}\varphi\)的一个基，\(\dim{\rm Im}\varphi=n\)。
由上一问知\({\rm Ker}\varphi\)的一组基与\({\rm Im}\varphi\)的一组基组成了\(\mathbb{F}[x]_n\)的一组基，因此\(\mathbb{F}[x]_n={\rm Ker}\varphi\oplus {\rm Im}\varphi\)。
