线性空间复习题

练习 4.7 线性空间复习题

1.

设\(U,V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，记

\begin{equation*} U\times V=\{(\alpha,\beta)\ |\ \alpha\in U,\beta\in V\}. \end{equation*}

\(\forall (\alpha_1,\beta_1),(\alpha_2,\beta_2)\in U\times V,\forall c\in\mathbb{F}\)，规定

\begin{equation*} (\alpha_1,\beta_1)+(\alpha_2,\beta_2)=(\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2),\ c(\alpha_1,\beta_1)=(c \alpha_1,c \beta_1). \end{equation*}

证明：\(U\times V\)关于以上运算构成数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间；
已知\(\dim U=m,\dim V=n\)，求\(\dim (U\times V)\)，并说明理由。

2.

设\(a_1,a_2,a_3,a_4\)是数域\(\mathbb{F}\)中两两互异的数，试证明：

\begin{equation*} A_1=\begin{pmatrix} 1&a_1\\a_1^2&a_1^3 \end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix} 1&a_2\\a_2^2&a_2^3 \end{pmatrix},A_3=\begin{pmatrix} 1&a_3\\a_3^2&a_3^3 \end{pmatrix},A_4=\begin{pmatrix} 1&a_4\\a_4^2&a_4^3 \end{pmatrix} \end{equation*}

是数域\(\mathbb{F}\)上线性空间\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的一个基。

3.

数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)阶方阵\(\begin{pmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_n&a_1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&a_2\\a_2&\cdots&a_n&a_1 \end{pmatrix}\)称为循环矩阵。用\(U\)表示\(\mathbb{F}\)上所有\(n\)阶循环矩阵组成的集合。证明：\(U\)是\(\mathbb{F}^{n\times n}\)的一个子空间，并求\(U\)的一个基和维数。

4.

设线性空间\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)的两个基

\begin{equation*} \begin{array}{c} (I):\ A_1=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},A_3=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix},A_4=\begin{pmatrix} 1&1\\1&1 \end{pmatrix}\\ (II):\ B_1=\begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix},B_2=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix},B_3=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix},B_4=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}. \end{array} \end{equation*}

求由基\((I)\)到基\((II)\)的过渡矩阵；
求\(\mathbb{F}^{2\times 2}\)中在基\((I)\)和基\((II)\)下有相同坐标的矩阵；
记\(W_1=\langle A_1,A_2\rangle , W_2=\langle B_1,B_2\rangle\)，
1. 求\(W_1+W_2\)的一个基和维数；
2. 求\(W_1\bigcap W_2\)的一个基和维数；
3. 问\(\mathbb{F}^{2\times 2}=W_1\oplus W_2\)是否成立？为什么？

5.

设\(U,W\)是线性空间\(V\)的两个子空间，且\(U\subseteq W\)。证明：若\(R\)是\(U\)的补空间，即\(V=U\oplus R\)，则\(W=U\oplus (R\bigcap W)\)。

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