主要内容 目录 索引 向前 向上 向后 \(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 1.3 分块矩阵
子节 1.3.1 主要知识点
定义 1.3.1 .
对\(m\times n\) 矩阵\(A\) ，先用若干条横线将其划成\(r\) 块，再用若干条竖线将把它划成\(s\) 块， 这样我们就得到了\(rs\) 块 分块矩阵 ， 记为
\begin{equation*}
A = (a_{ij})_{m\times n} =\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{r1} & A_{r2} & \cdots & A_{rs}
\end{pmatrix}=(A_{ij})_{r\times s},
\end{equation*}
其中\(A_{ij}\) 是\(m_i\times n_j\) 矩阵， \(i = 1,\ 2,\ \ldots,\ r\) ；\(j = 1,\ 2,\ \ldots,\ s,\) 满足\(m = \sum_{i=1}^r m_i,\ n= \sum_{j=1}^s n_j\) 。 \(A_{ij}\) 称为\(A\) 的第\((i, j)\) 块，\(A\) 可记为\(A=(A_{ij})_{r\times s} \) 。特殊划分
设矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)
按行分块\(A=\begin{pmatrix}
A_1\\ A_2\\ \vdots\\ A_m
\end{pmatrix}\) ，其中\(A_{i}= \begin{pmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}
\end{pmatrix} \) 。 \(A_1,A_2,\ldots,A_m\) 称为\(A\) 的行向量组。
按列分块\(A=\begin{pmatrix}
B_1 & B_2 & \cdots & B_n
\end{pmatrix}\) ，其中\(B_{j}= \begin{pmatrix}
a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}
\end{pmatrix} \) 。 \(B_1,B_2,\ldots,B_n\) 称为\(A\) 的列向量组。
分块矩阵的加法
设 \(A\) ，\(B\) 是两个\(m\times n\) 矩阵，对它们用同样的分法分块：
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
B_{s1} & \cdots & B_{sr}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
其中子块\(A_{ij}\) 与\(B_{ij}\) 为同型矩阵，则
\begin{equation*}
A+B = \begin{pmatrix}
A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
分块矩阵的数乘
设分块矩阵\(A = \begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
\end{pmatrix}\) ，\(c\in \mathbb{F}\) ，则
\begin{equation*}
cA = \begin{pmatrix}
cA_{11} & \cdots & cA_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
cA_{s1} & \cdots & cA_{sr}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
分块矩阵的乘法
把\(A=(a_{ik})_{m\times p}\) ，\(B=(b_{kj})_{p\times n}\) 分块成：
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{st}
\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
B_{t1} & \cdots & B_{tr}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
其中\(A_{i1},\ A_{i2},\ \ldots,\ A_{it} \) 的列数分别等于\(B_{1j},\ B_{2j},\ \ldots,\ B_{tj} \) 的行数，则
\begin{equation*}
AB = \begin{pmatrix}
C_{11} & \cdots & C_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
C_{s1} & \cdots & C_{sr}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(\displaystyle C_{ij}=\sum_{k=1}^t A_{ik}B_{kj},\ (i=1,\ 2,\ \ldots,\ s;\ j= 1,\ 2,\ \ldots,\ r)\) 。
例 1.3.2 .
\(A=\begin{pmatrix}
A_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & A_2 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots &\ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & A_s
\end{pmatrix}\) ， \(B=\begin{pmatrix}
B_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & B_2 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots &\ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & B_s
\end{pmatrix}\) ，其中\(A_i\) 和\(B_i\) 为同阶方阵，计算\(AB\) 。
设\(A\) 和\(B\) 都为\(n\) 阶方阵，则
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & A\\
B & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & A\\
B & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
AB & 0\\
0 & {\color{red}BA}
\end{pmatrix}{\color{red}\ne}
\begin{pmatrix}
0 & A^2\\
B^2 & 0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\(\begin{pmatrix}
0 & E_3\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & E_3\\
1 & 0
\end{pmatrix}\) \({\color{red}\ne }\begin{pmatrix}
1\cdot E_3 & 0\\
0 & E_3\cdot 1
\end{pmatrix} \)
设\(A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}\) ，求\(A^{2022}\) 。
例 1.3.3 .
设 \(A_{m\times n} = (A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n) = \begin{pmatrix}
\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_m
\end{pmatrix}\) ，\(X=\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n
\end{pmatrix}\) ，\(\beta=\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\\vdots\\b_m
\end{pmatrix}\) ， \(B_{n\times s}=(B_1,\ B_2,\ \ldots,\ B_s)=\begin{pmatrix}
\beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_n
\end{pmatrix} \) 。 以分块形式改写\(AX=\beta\) ，\(AB\) 。
例 1.3.4 .
设\(A\) 是3阶方阵，\(\alpha_1\) 、\(\alpha_2\) 和\(\alpha_3\) 是3维列向量。已知
\begin{equation*}
A \alpha_1=-\alpha_1;\ A \alpha_2=\alpha_2;\ A \alpha_3 = \alpha_2+\alpha_3.
\end{equation*}
证明\(AP=PB\) ，其中
\begin{equation*}
P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3); B=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
分块矩阵的转置
\begin{equation*}
A =\begin{pmatrix}
{\color{red}A_{11}} & {\color{red}A_{12}} & {\color{red}\cdots} & {\color{red}A_{1s}}\\
{\color{blue}A_{21}} & {\color{blue}A_{22}} & {\color{blue}\cdots} & {\color{blue}A_{2s}}\\
{\color{orange}\vdots} & {\color{orange}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{orange}\vdots}\\
{\color{green}A_{r1}} & {\color{green}A_{r2}} & {\color{green}\cdots} & {\color{green}A_{rs}}
\end{pmatrix}\to
\begin{pmatrix}
{\color{red}A_{11}^T} & {\color{blue}A_{21}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r1}^T}\\
{\color{red}A_{12}^T} & {\color{blue}A_{22}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{r2}^T}\\
{\color{red}\vdots} & {\color{blue}{\vdots}} & {\color{orange}\ddots} & {\color{green}\vdots}\\
{\color{red}A_{1s}^T} & {\color{blue}A_{2s}^T} & {\color{orange}\cdots} & {\color{green}A_{rs}^T}
\end{pmatrix}=A^T
\end{equation*}
即\((A_{ij})_{r\times s}^T =(A_{{\color{red}ji}}^T)_{{\color{red}s\times r}} \) 。
练习 1.3.2 练习
1. 设\(M_1\) 是\(m_1\) 阶方阵，\(N_1\) 为\(n_1\) 阶方阵，\(A_{ij}\) 为\(m_i\times m_j\) 矩阵，\(B_{kl}\) 为\(m_k\times n_l\) 矩阵，\(K\) 是\(m_1\times m_2\) 矩阵，\(L\) 是\(n_1\times n_2\) 矩阵，计算：
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
M_1 & 0\\
0 & E_{m_2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
N_1 & 0\\
0 & E_{n_2}
\end{pmatrix};\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
0 & E_{m_2}\\
E_{m_1} & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & E_{n_1}\\
E_{n_2} & 0
\end{pmatrix};\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
E_{m_1} & K\\
0 & E_{m_2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_{n_1} & L\\
0 & E_{n_2}
\end{pmatrix};\)
\(\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
0 & A_{22} & A_{23}\\
0 & 0 & A_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & B_{13}\\
0 & B_{22} & B_{23}\\
0 & 0 & B_{33}
\end{pmatrix}\) 。
解答 .
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
M_1 & 0\\
0 & E_{m_2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
MB_{11} & MB_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
N_1 & 0\\
0 & E_{n_2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B_{11}N & B_{12}\\
B_{21}N & B_{22}
\end{pmatrix};
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & E_{m_2}\\
E_{m_1} & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B_{21} & B_{22}\\
B_{11} & B_{12}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & E_{n_1}\\
E_{n_2} & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B_{12} & B_{11}\\
B_{22} & B_{21}
\end{pmatrix};
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
E_{m_1} & K\\
0 & E_{m_2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B_{11}+KB_{21} & B_{12}+KB_{22}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
E_{n_1} & L\\
0 & E_{n_2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{11}L+B_{12}\\
B_{21} & B_{21}L+B_{22}
\end{pmatrix};
\end{equation*}
\(\begin{pmatrix}
A_{11}B_{11} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} & A_{11}B_{13}+A_{12}B_{23}+A_{13}B_{33}\\
0 & A_{22}B_{22} & A_{22}B_{23}+A_{23}B_{33}\\
0 & 0 & A_{33}B_{33}
\end{pmatrix}\) 。
2. 设\(A=\begin{pmatrix}
3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&9\\0&0&1&3
\end{pmatrix}\) ，求\(A^n\) ，其中\(n\geq 2\) 。
解答 .
令\(A_1=\begin{pmatrix}
3&1\\0&3
\end{pmatrix}\) ，\(A_2=\begin{pmatrix}
3&9\\1&3
\end{pmatrix}\) ，则\(A=\begin{pmatrix}
A_1&0\\0&A_2
\end{pmatrix}\) 。注意到
\begin{equation*}
A_1=3E_2+J,
\end{equation*}
其中\(J=\begin{pmatrix}
0&1\\0&0
\end{pmatrix}\) 。而当\(i\geq 2\) 时，\(J^i=0\) ，所以
\begin{equation*}
A_1^n=\sum\limits_{i=0}^n C_n^i\cdot (3E_2)^{n-i}\cdot J^i=(3E_2)^n+n(3E_2)^{n-1}J=\begin{pmatrix}
3^n&n\cdot 3^{n-1}\\0&3^n
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
又\(A_2=\begin{pmatrix}
3\\1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&3
\end{pmatrix}\) ，故
\begin{equation*}
A_2^n=[\begin{pmatrix}
3\\1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&3
\end{pmatrix}]^n=\begin{pmatrix}
3\\1
\end{pmatrix}[\begin{pmatrix}
1&3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3\\1
\end{pmatrix}]^{n-1}\begin{pmatrix}
1&3
\end{pmatrix}=6^{n-1} \begin{pmatrix}
3&9\\1&3
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
因此
\begin{equation*}
A^n=\begin{pmatrix}
A_1&0\\0&A_2
\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}
A_1^n&0\\0&A_2^n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3^n&n\cdot 3^{n-1}&0&0\\0&3^n&0&0\\0&0&3\cdot 6^{n-1}&9\cdot 6^{n-1}\\0&0&6^{n-1}&3\cdot 6^{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
3. 设\(\varepsilon_i\) 是\(n\) 维标准单位列向量，\(E_{ij}\) 是\(n\) 阶基础矩阵。证明：
\(\varepsilon_i^T\varepsilon_j= \delta_{ij}\) ，其中\(\delta_{ij}\) 是Kronecker符号，即\(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl}
1,&i=j,\\0,&i\neq j;
\end{array}\right.\)
\(\varepsilon_i\varepsilon_j^T= E_{ij}\) ；
\(\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\left\{\begin{array}{cc}
E_{il},&j=k,\\0,&j\neq k;
\end{array}\right.\)
设\(A=(a_{ij})\) 是\(n\) 阶方阵，则\(E_{ij}A\) 将\(A\) 的第\(i\) 行变为第\(j\) 行元，其他元变为\(0\) ；
设\(A=(a_{ij})\) 是\(n\) 阶方阵，则\(AE_{ij}\) 将\(A\) 的第\(j\) 列变为第\(i\) 列元，其他元变为\(0\) ；
设\(A=(a_{ij})\) 是\(n\) 阶方阵，则\(E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}\) 。
解答 .
方法一：直接计算得。
方法二：分别将单位矩阵\(E_n\) 按行和列分块，得
\begin{equation*}
E_n=\begin{pmatrix}
\varepsilon_1^T\\\vdots\\\varepsilon_n^T
\end{pmatrix},\ E_n=\begin{pmatrix}
\varepsilon_1&\varepsilon_2&\cdots&\varepsilon_n
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
由于\(E_n=E_n^2=\begin{pmatrix}
\varepsilon_1^T\\\vdots\\\varepsilon_n^T
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\varepsilon_1&\varepsilon_2&\cdots&\varepsilon_n
\end{pmatrix}=(\varepsilon_i^T\varepsilon_j)_{n\times n}\) ，比较两边矩阵的第\((i,j)\) 元素，得\(\varepsilon_i^T\varepsilon_j= \delta_{ij}\) 。
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccccc}
&&\mbox{第j列}&&&&\mbox{第j列}&&\\\varepsilon_i\varepsilon_j^T=\varepsilon_i (0&\cdots&1&\cdots&0)=(0&\cdots&\varepsilon_i&\cdots&0)=E_{ij}.
\end{array}
\end{equation*}
由\((2)\) 知
\begin{equation*}
E_{ij}=\varepsilon_i\varepsilon_j^T,\ E_{kl}=\varepsilon_k\varepsilon_l^T,
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
E_{ij}E_{kl}=(\varepsilon_i\varepsilon_j^T)(\varepsilon_k\varepsilon_l^T)=\varepsilon_i(\varepsilon_j^T\varepsilon_k)\varepsilon_l^T.
\end{equation*}
又\(\varepsilon_j^T\varepsilon_k= \delta_{jk}\) ，因此\(E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}\varepsilon_i\varepsilon_l^T=\delta_{jk}E_{il}=\left\{\begin{array}{cc}
E_{il},&j=k,\\0,&j\neq k.
\end{array}\right.\)
将\(E_{ij}\) 按行分块，得\(E_{ij}=\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
\varepsilon_j^T\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\ \mbox{(第i行)}\) ，则\(E_{ij}A=\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
\varepsilon_j^TA\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}\) (第\(i\) 行)。而\(\varepsilon_j^TA\) 表示\(A\) 的第\(j\) 行，因此\(E_{ij}A\) 将\(A\) 的第\(i\) 行变为第\(j\) 行元，其他元变为\(0\) 。
将\(E_{ij}\) 按列分块，得
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
&&\mbox{第j列}&&\\
E_{ij}=(0&\cdots&\varepsilon_i&\cdots&0),
\end{array}
\end{equation*}
则
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
&&\mbox{第j列}&&\\
AE_{ij}=(0&\cdots&A\varepsilon_i&\cdots&0).
\end{array}
\end{equation*}
而\(A\varepsilon_i\) 表示\(A\) 的第\(i\) 列，因此\(AE_{ij}\) 将\(A\) 的第\(j\) 列变为第\(i\) 列元，其他元变为\(0\) 。
将\(A\) 按列分块得\(A=\begin{pmatrix}
A_1&A_2&\cdots&A_n
\end{pmatrix}\) ，由\((5)\) 知
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
&&\mbox{第l列}&&\\
AE_{kl}=(0&\cdots&A_k&\cdots&0),
\end{array}
\end{equation*}
再由\((4)\) ，\(E_{ij}AE_{kl}\) 将\(AE_{kl}\) 的第\(i\) 行变为第\(j\) 行元，其他元变为\(0\) 。因此
\begin{equation*}
E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}.
\end{equation*}
4. 计算\(\begin{pmatrix}
0&E_4\\1&0
\end{pmatrix}^n\) ，其中\(n=2,3,4,5\) 。
解答 .
因为\(A=\begin{pmatrix}
\varepsilon_5& \varepsilon_1&\varepsilon_2&\varepsilon_3&\varepsilon_4
\end{pmatrix}\) ，所以
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}A^2&=&A\begin{pmatrix}
\varepsilon_5& \varepsilon_1&\varepsilon_2&\varepsilon_3&\varepsilon_4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A\varepsilon_5& A\varepsilon_1&A\varepsilon_2&A\varepsilon_3&A\varepsilon_4
\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}
\varepsilon_4&\varepsilon_5& \varepsilon_1&\varepsilon_2&\varepsilon_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&E_3\\E_2&0
\end{pmatrix},\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^3=AA^2=\begin{pmatrix}
A\varepsilon_4&A\varepsilon_5& A\varepsilon_1&A\varepsilon_2&A\varepsilon_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\varepsilon_3&\varepsilon_4&\varepsilon_5& \varepsilon_1&\varepsilon_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&E_2\\E_3&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^4=AA^3=\begin{pmatrix}
A\varepsilon_3&A\varepsilon_4&A\varepsilon_5& A\varepsilon_1&A\varepsilon_2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\varepsilon_2&\varepsilon_3&\varepsilon_4&\varepsilon_5& \varepsilon_1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\E_4&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^5=AA^4=\begin{pmatrix}
A\varepsilon_2&A\varepsilon_3&A\varepsilon_4&A\varepsilon_5& A\varepsilon_1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\varepsilon_1&\varepsilon_2&\varepsilon_3&\varepsilon_4&\varepsilon_5
\end{pmatrix}=E_5.
\end{equation*}
5.
设
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&1&\cdots&0&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&0&\cdots&0&1\\1&0&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
为\(n\) 阶方阵，证明：对任意\(1\leq k\leq n\) ，有
\begin{equation*}
A^k=\begin{pmatrix}
0&E_{n-k}\\E_k&0
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
解答 .
当\(k=1\) 时，\(A=\begin{pmatrix}
0&E_{n-1}\\E_1&0
\end{pmatrix}\) ，结论成立。
假设\(A^{k-1}=\begin{pmatrix}
0&E_{n-(k-1)}\\E_{k-1}&0
\end{pmatrix}\) ，即
\begin{equation*}
A^{k-1}=\left(
\varepsilon_{n-k+2},\varepsilon_{n-k+3},\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-k+1}
\right),
\end{equation*}
由\(A=(\varepsilon_n, \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-1}),\) 得
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
A^k&=&A^{k-1}\left(
\varepsilon_n, \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-1}
\right)\\&=&\left(
A^{k-1}\varepsilon_n, A^{k-1}\varepsilon_1,A^{k-1}\varepsilon_2,\cdots,A^{k-1}\varepsilon_{n-1}
\right)\\
&=&\left(
\varepsilon_{n-k+1},\varepsilon_{n-k+2},\cdots,\varepsilon_n,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_{n-k}
\right)\\&=&\begin{pmatrix}
0&E_{n-k}\\E_k&0
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation*}
6.
设
\begin{equation*}
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_1E_{n_1}&&&\\
&a_2E_{n_2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&a_rE_{n_r}
\end{array}\right),
\end{equation*}
其中\(a_i\neq a_j\) （当\(i\neq j\) 时），\(E_{n_i}\) 是\(n_i\) 阶单位矩阵。证明：与\(A\) 可交换的矩阵只能是分块对角矩阵
\begin{equation*}
{\rm diag} (B_1, B_2, \cdots,B_r),
\end{equation*}
其中\(B_i\) 为\(n_i\) 阶方阵，\(i=1,2,\cdots,r\) 。
解答 .
设\(B=(B_{ij})\) 与矩阵\(A\) 可交换，其中\(B_{ij}\) 是\(n_i\times n_j\) 矩阵。由
\begin{equation*}
AB=\begin{pmatrix}
a_1E_{n_1}B_{11}&a_1E_{n_1}B_{12}&\cdots&a_1E_{n_1}B_{1r}\\
a_2E_{n_2}B_{21}&a_2E_{n_2}B_{22}&\cdots&a_2E_{n_2}B_{2r}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_rE_{n_r}B_{r1}&a_rE_{n_r}B_{r2}&\cdots&a_rE_{n_r}B_{rr}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1B_{11}&a_1B_{12}&\cdots&a_1B_{1r}\\
a_2B_{21}&a_2B_{22}&\cdots&a_2B_{2r}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_rB_{r1}&a_rB_{r2}&\cdots&a_rB_{rr}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
BA=\begin{pmatrix}
B_{11}a_1E_{n_1}&B_{12}a_2E_{n_2}&\cdots&B_{1r}a_rE_{n_r}\\
B_{21}a_1E_{n_1}&B_{22}a_2E_{n_2}&\cdots&B_{2r}a_rE_{n_r}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
B_{r1}a_1E_{n_1}&B_{r2}a_2E_{n_2}&\cdots&B_{rr}a_rE_{n_r}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1B_{11}&a_2B_{12}&\cdots&a_rB_{1r}\\
a_1B_{21}&a_2B_{22}&\cdots&a_rB_{2r}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_1B_{r1}&a_2B_{r2}&\cdots&a_rB_{rr}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
可知：\(a_iB_{ij}=a_jB_{ij},\ \forall 1\leq i,j\leq n\) ，即
\begin{equation*}
(a_i-a_j)B_{ij}=0,\ \forall 1\leq i,j\leq n
\end{equation*}
而当\(i\neq j\) 时，\(a_i\neq a_j\) ，故\(B_{ij}=0(i\neq j)\) 。因此\(B={\rm diag} (B_{11}, B_{22}, \cdots,B_{rr})\) 为分块对角矩阵。
7. 设\(A=\begin{pmatrix}
3&0&0&0&0\\
0&3&0&0&0\\
0&0&3&0&0\\
0&0&0&2&0\\
0&0&0&0&2
\end{pmatrix}\) ，求所有与\(A\) 可交换的矩阵。
解答 .
因为
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
3E_3&0\\0&2E_2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
所以由上题结论知与\(A\) 可交换的矩阵只能是分块对角矩阵\(\begin{pmatrix}
B_1&0\\0&B_2
\end{pmatrix}\) ，其中\(B_1\) 为\(3\) 阶方阵，\(B_2\) 为\(2\) 阶方阵。显然对任意\(3\) 阶方阵\(B_1\) 及\(2\) 阶方阵\(B_2\) ，分块对角矩阵\(\begin{pmatrix}
B_1&0\\0&B_2
\end{pmatrix}\) 与\(A=\begin{pmatrix}
3E_3&0\\0&2E_2
\end{pmatrix}\) 都可交换。
因此所有与\(A\) 可交换的矩阵为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13}&0&0\\
b_{21}&b_{22}&b_{23}&0&0\\
b_{31}&b_{32}&b_{33}&0&0\\
0&0&0&c_{11}&c_{12}\\
0&0&0&c_{21}&c_{22}
\end{pmatrix},
\end{equation*}
其中\(b_{ij},c_{kl}\in\mathbb{F},\ \forall 1\leq i,j\leq 3,\ 1\leq k,l\leq 2\) 。
