节 1.1 数域
建设中
子节 1.1.1 数域
常用记号列表：
- \(\forall\) --- 任意 ( Arbitrary )
- \(\exists\) --- 存在 ( Exist )
- s.t. --- 使得 （such that)
- \(\mathbb{N}\) --- 自然数集 ( Natural numbers )
- \(\mathbb{Z}\) --- 整数集 (Zahlen 德文)
- \(\mathbb{Q}\) --- 有理数集 (Quotient) \(\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z}^*\}\)
- \(\mathbb{R}\) --- 实数集 (Real numbers )
- \(\mathbb{C}\) --- 复数集 (Complex numbers )
定义 1.1.2.
复数集\(\mathbb{C}\)的子集\(\mathbb{F}\) 称为 数域，若其满足下列条件：- 至少包含\(0\)和\(1\)；
- 该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭。
- 自然数集\(\mathbb{N}\)既不是数环，也不是数域。 整数集\(\mathbb{Z}\)是数环，不是数域。
- 有理数域\(\mathbb{Q}\)；实数域\(\mathbb{R}\)；复数域\(\mathbb{C}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,\ b\in \mathbb{Q}\}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,\ b\in \mathbb{Z}\}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}|a,\ b\in \mathbb{Q}\}\)
命题 1.1.3.
任一数域必包含有理数域\(\mathbb{Q}\)。
命题 1.1.4.
\(\mathbb{R}\)和\(\mathbb{C}\)之间不存在任何其他数域。
子节 1.1.2 连加号与连乘号
连加号 \(\sum\)、连乘号\(\prod\)
定义 1.1.5.
给定\(n\)个数\(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n\)，记
\begin{equation*}
a_1+a_2+\cdots+ a_n ={\color{blue}\sum_{i=1}^n a_i},\quad a_1\cdot a_2\cdot\cdots \cdot a_n ={\color{blue}\prod_{i=1}^n a_i}
\end{equation*}
其中\(\sum\)称为 连加号，\(\prod\) 称为 连乘号。- 通项\(a_i\)的下标可根据需要选择其它字母。如\begin{equation*} \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{\color{red}{j}=1}^n a_{{\color{red}j}} = \sum_{{\color{blue}k}=1}^n a_{{\color{blue}k}} \end{equation*}
- 求和下标\(i\)的取值不一定是从 \(1\) 到\(n\)。如\begin{equation*} a_1+a_2+\cdots+a_n= \sum_{i=0}^{n-1}a_{i+1} \end{equation*}\begin{equation*} a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n+2}= \sum_{i=0}^{n+1} a_{{\color{red}2i}} \end{equation*}
- 用连加号表示求和时，关键在于求出它的通项。如\begin{equation*} \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} {= \sum_{i=1}^{{\color{red}n-1}} \frac{1}{i\cdot(i+1)}} \end{equation*}
- \(\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i\)
- \(\displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda a_{i} =\lambda\sum_{i=1}^n a_i\)
- (求和号的可交换性)\(\displaystyle \sum_{{\color{red}i=1}}^{{\color{red}m}}\sum_{{\color{blue}j=1}}^{{\color{blue}n}} a_{{\color{red}i}{\color{blue}j}}= \sum_{{\color{blue}j=1}}^{{\color{blue}n}}\sum_{{\color{red}i=1}}^{{\color{red}m}} a_{{\color{red}i}{\color{blue}j}}\)
- \(\displaystyle \displaystyle\left(\sum_{i=1}^m a_i\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^n b_j\right) = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_ib_j \)
求和号可交换性的说明：
\(\displaystyle \sum_{{\color{red}i=1}}^{{\color{red}m}}\sum_{{\color{blue}j=1}}^{{\color{blue}n}} a_{{\color{red}i}{\color{blue}j}}= \sum_{{\color{blue}j=1}}^{{\color{blue}n}}\sum_{{\color{red}i=1}}^{{\color{red}m}} a_{{\color{red}i}{\color{blue}j}}\)的证明
上述连加号下标间没有关系，但现实中经常会遇到下标间存在一定关系的情形。
例 1.1.7.
\(A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
& a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
& & \ddots & \vdots\\
& & & a_{nn}
\end{pmatrix}\)，求所有元素的和。 \(\displaystyle \sum_{1\le i \le j\le n} a_{ij}\)
例 1.1.8.
\begin{align*}
& & a_0b_{n+1}+a_1b_{n}+a_2b_{n-1}+\cdots+ a_{n+1} b_0\\
& = & \sum_{i=0}^{n+1} a_i b_{n+1-i}\\
& = & \sum_{\substack{i+j = n+1\\ 0 \le i \le n}} a_ib_j
\end{align*}
子节 1.1.3 计算软件系统Sage介绍
线性代数成为现代科技的主要工具要归功于计算机的普遍应用。很多实际问题在解决时，最后是转化为大规模线性方程组求解相关问题。没有计算机的帮助，手动求解一万个变量、一万个方程的线性方程组是不可想象的。而现在很多实际问题转化过来的线性方程组含有的变量个数和方程个数都远超这个数目。因此，有必要了解如何在利用计算机求解线性代数的问题。
Sage 是一个免费、开源的数学软件系统，采用Python语言编写，同时整合了许多开源Python包。它的目标是创造一个可变的开源软件以替代Magma、Maple、Mathematica和Matlab。Sage的官方网站是https://www.sagemath.org，网站上可以免费下载到最新版本的sage软件，也有很全面的是文档资料。遗憾的是这个软件的汉化不好，中文资料相对缺乏。
Sage提供了多种方式使用它的计算资源，您可以在Sage的官方网站上下载Sage的安装包，然后安装到本地来使用sage软件；您也可以利用本书提供sage的计算单元进行运算。例如，当我们使用sage提供的最基本的计算功能，利用sage计算\(3\times 5\)，则只需在下面的计算单元中输入“3*5”，然后点击下方的Evaluate 按钮即可获得答案。您可以尝试输入其它命令。
Sage中用NN表示非负整数（也可以认为是从0开始的自然数集），ZZ表示整数集，QQ表示有理数集，RR表示实数集，CC表示复数集。例如
上面的例子中sqrt是开方函数，sqrt(2)表示的就是 \(\sqrt{2}\)。在sage中遇到不熟悉的命令时，可以使用单问号（?）和双问号(??)来查询命令的含义。单问号只显示命令定义的注释部分；双问号是详细解释，会显示命令的原始定义，包括源代码。注意，这里的问号是英文标点中的问号。
练习 1.1.4 练习
1.
求包含\(\sqrt{3}\)的最小数域，并证明。
解答.
我们断言，\(\mathbb{Q} (\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)是包含\(\sqrt{3}\)的最小数域。
先证\(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\)是数域。
- 因为\(0,1\in\mathbb{Q}\)，所以\(0=0+0\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{3}),\ 1=1+0\sqrt{3}\in\mathbb{Q} (\sqrt{3})\)；
- 对任意\(a+b\sqrt{3},c+d\sqrt{3}\in\mathbb{Q} (\sqrt{3})\)，其中\(a,b,c,d\in\mathbb{Q}\)，有\begin{equation*} \begin{array}{c} (a+b\sqrt{3})\pm (c+d\sqrt{3})=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt{3}\in\mathbb{Q} (\sqrt{3}),\\ (a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}\in\mathbb{Q} (\sqrt{3}), \end{array} \end{equation*}当\(c+d\sqrt{3}\neq 0\)时，\(c,d\)不同时为零，即\(c-d\sqrt{3}\neq 0\)，则\begin{equation*} \frac{a+b\sqrt{3}}{c+d\sqrt{3}}=\frac{(a+b\sqrt{3})(c-d\sqrt{3})}{(c+d\sqrt{3})(c-d\sqrt{3})}=\frac{ac-3bd}{c^2-3d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-3d^2}\sqrt{3}\in\mathbb{Q} (\sqrt{3}), \end{equation*}
故\(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\)是数域。
再证最小性。设\(\mathbb{F}\)是包含\(\sqrt{3}\)的一个数域，下证\(\mathbb{Q} (\sqrt{3})\subseteq\mathbb{F}\)即可。对任意\(a+b\sqrt{3}\in \mathbb{Q} (\sqrt{3})\)，其中\(a,b\in\mathbb{Q}\)，因\(\mathbb{Q}\)是最小数域，故\(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{F}\)，从而\(a,b\in\mathbb{F}\)。由\(\sqrt{3}\in\mathbb{F}\)且\(\mathbb{F}\)是数域可知\(a+b\sqrt{3}\in\mathbb{F}\)。因此\(\mathbb{Q} (\sqrt{3})\subseteq\mathbb{F}\)。
2.
证明：\(\mathbb{Q} ({\rm i})=\{a+b{\rm i}\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)是一个数域。
解答.
因为\(0,1\in\mathbb{Q}\)，所以
\begin{equation*}
0=0+0{\rm i}\in\mathbb{Q} ({\rm i}),1=1+0{\rm i}\in\mathbb{Q} ({\rm i})\mbox{。}
\end{equation*}
对任意\(a+b{\rm i},c+d{\rm i}\in\mathbb{Q} ({\rm i})\)，其中\(a,b,c,d\in\mathbb{Q}\)，有
- \((a+b{\rm i})+(c+d{\rm i})=(a+c)+(b+d){\rm i}\in\mathbb{Q}({\rm i})\)；
- \((a+b{\rm i})-(c+d{\rm i})=(a-c)+(b-d){\rm i}\in\mathbb{Q}({\rm i})\)；
- \((a+b{\rm i})(c+d{\rm i})=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}\in\mathbb{Q}({\rm i})\)；
- 当\(c+d{\rm i}\neq 0\)时，\(c,d\)不全为\(0\)，则\(c-d{\rm i}\neq 0\)。于是，\begin{equation*} \frac{a+b{\rm i}}{c+d{\rm i}}=\frac{(a+b{\rm i})(c-d{\rm i})}{(c+d{\rm i})(c-d{\rm i})}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2} {\rm i}\in\mathbb{Q} ({\rm i})\mbox{。} \end{equation*}
因此\(\mathbb{Q} ({\rm i})=\{a+b{\rm i}\ |\ a,b\in\mathbb{Q}\}\)是一个数域。
3.
设数集\(\mathbb{F}\)至少包含两个不同的数，证明：若\(\mathbb{F}\)中任意两个数的差与商（除数非零）仍属于\(\mathbb{F}\)，则\(\mathbb{F}\)是一个数域。
解答.
根据题意，存在\(a,b\in\mathbb{F}\)且\(a\neq b\)，则\(a,b\)不全为\(0\)。不妨设\(a\neq 0\)。因\(\mathbb{F}\)中任意两个数的差与商（除数非零）仍属于\(\mathbb{F}\)，所以
\begin{equation*}
a-a\in\mathbb{F},\quad {a}\div{a}\in\mathbb{F},
\end{equation*}
即\(0,1\in\mathbb{F}\)。对任意\(c,d\in\mathbb{F}\)，
- 由\(\mathbb{F}\)关于减法封闭且\(0\in\mathbb{F}\)知，\(0-d\in\mathbb{F}\)，即\(-d\in\mathbb{F}\)。于是\begin{equation*} c+d=c-(-d)\in\mathbb{F}, \end{equation*}即\(\mathbb{F}\)关于加法封闭。
- 当\(c\neq 0\)时，由\(\mathbb{F}\)关于除法封闭且\(1\in\mathbb{F}\)知，\(\frac{1}{c}\in\mathbb{F}\)。于是\begin{equation*} cd=d\div\frac{1}{c}\in\mathbb{F}, \end{equation*}即\(\mathbb{F}\)关于乘法封闭。
因此，\(\mathbb{F}\)是一个数域。
4.
设\(K,\ F\)是数域，
- \(K\cap F\)是一个数域；
- 举例说明\(K\cup F\)不一定是数域；
- 试证：\(K\cup F\)是数域的充要条件是\(K\subseteq F\)或\(F\subseteq K\)。
解答.
-
易知 \(0\in K\cap F,\ 1\in K\cap F\)。对\(\forall x,y\in K\cap F\)，则\(x,y\in K\)且\(x,y\in F\)。因为\(K\)是数域，所以\(x+y,xy,x-y\)均属于\(K\)；当\(y\ne 0\)时，\(x/y\in K\)。同理，上述结论对于数域\(F\)也成立。所以\(x+y,xy,x-y\)均属于\(K\cap F\)；当\(y\ne 0\)时，\(x/y\in K\cap F\)，即\(K\cap F\)关于加减乘除运算封闭，进而说明\(K\cap F\)是数域。
- 取\(K=Q(\sqrt{2}),F = Q(\sqrt{3})\)，\(\sqrt{2}\in K,\sqrt{3}\in F\)，\(\sqrt{6}=\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)，但\(\sqrt{6}\notin K\cup F \)，即\(K\cup F\)对乘法不封闭，于是\(K\cup F\)不是数域。
-
充分性： 当\(K\subseteq F\)或\(F\subseteq K\)时，\(K\cup F=F\)或\(K\)。此时\(K\cup F\)是数域。必要性： 设\(K\cup F\)是数域且\(K\not\subseteq F\)，则存在\(a\in K\)但\(a\not\in F\)。对任意\(b\in F\)，由\(a,b\in K\cup F\)且\(K\cup F\)是数域可知：\(a+b\in K\cup F\)，即\(a+b\in K\)或\(a+b\in F\)。若\(a+b\in F\)，由\(b\in F\)知：\(a=(a+b)-b\in F\)，矛盾！所以\(a+b\in K\)。又\(a\in K\)，故\(b=(a+b)-a\in K\)。因此\(F\subseteq K\)。
5.
把下列式子用边加号、连乘号表示。
- \(a_0+a_1+\cdots+a_n\) \(+a_0^2+a_1^2+\cdots+a_n^2\) \(+\cdots+\cdots+\cdots\) \(+a_0^m+a_1^m+\cdots+a_n^m\)
- \((a_2-a_1)\cdot(a_3-a_1)\cdot(a_4-a_1)\cdots (a_n-a_1)\) \(\phantom{(a_2-a_1)}\cdot(a_3-a_2)\cdot(a_4-a_2)\cdots (a_n-a_2)\) \(\phantom{(a_2-a_1)\cdot(a_3-a_2)\cdot(a_4-a_2)(a_n-a_2)}\cdots\) \(\phantom{(a_2-a_1)\cdot(a_3-a_2)\cdot(a_4-a_2)\cdots}(a_n-a_{n-1})\)
- \(\displaystyle a_{11}+a_{12}a_{21}+a_{13}a_{22}a_{31}+\cdots+a_{1n}a_{2,\ n-1}\cdots a_{n1} \)
解答.
- \begin{equation*} \sum_{j=1}^m\sum_{i=0}^n a_i^j; \end{equation*}
- \begin{equation*} \prod_{j=1}^{n-1}\prod_{i=j+1}^n(a_i-a_j); \end{equation*}
- \begin{equation*} \sum_{i=2}^{n+1}\prod_{j=1}^{i-1}a_{j,i-j}. \end{equation*}
