定理 5.6.1. 代数学基本定理.
每个\(\mathbb{C}\)上次数大于0的多项式都在\(\mathbb{C}\)上至少有一个根。
节 5.6 复系数和实系数多项式
建设中！
子节 5.6.1 主要知识点
定理 5.6.2.
\(\mathbb{C}\)上的一元\(n\)次多项式在\(\mathbb{C}\)内恰有\(n\)个根(重根按重数计)。
推论 5.6.3.
\(\mathbb{C}\)上的不可约多项式都是一次的。
定理 5.6.4.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{C}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{C}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=c(x-a_1)^{e_1}(x-a_2)^{e_2}\cdots(x-a_m)^{e_m}
\end{equation*}
其中\(a_i\in\mathbb{C}\)且两两互异，\(e_i\)正整数， \(i=1,2,\ldots,m\)，\(\sum\limits_{i=1}^m e_i=n\)。
定理 5.6.5. Viète定理.
设
\begin{equation*}
f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\in \mathbb{F}[x]
\end{equation*}
在\(\mathbb{F}\)中有\(n\)个根 \(c_1, c_2, \ldots, c_n\)，则
\begin{align*}
\sum_{1\le i \le n} c_i & = & -a_{n-1};\\
\sum_{1\le i< j\le n} c_ic_j & = & a_{n-2};\\
\sum_{1\le i<j<k \le n} c_ic_jc_k & = & -a_{n-3};\\
& \vdots & \\
c_1c_2\cdots c_n & = & (-1)^n a_0
\end{align*}
引理 5.6.6.
设\(f (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+ a_1x + a_0\)是实系数多项式。 若复数\(a + bi\) \((b\ne 0, a, b \in\mathbb{R})\)是 \(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根，则\(a-bi\)也是\(f (x)\)在\(\mathbb{C}\)上的根。
推论 5.6.7.
实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式\(ax^2+bx+c\)，其中\(b^2 - 4ac<0\)。
定理 5.6.8. \(\mathbb{R}\)上非常数多项式的标准分解式.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上非常数多项式，则\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式为
\begin{equation*}
f(x)=d(x-a_1)^{e_1}\cdots(x-a_m)^{e_m}(x^2+b_1x+c_1)^{\ell_1}\cdots(x^2+b_rx+c_r)^{\ell_r}
\end{equation*}
其中\(a_i, b_j, c_j\in\mathbb{R}\)，\(e_i, \ell_j \)是正整数，\(b_j^2 - 4c_j<0\)， \(a_i\)两两互异， 且\(x^2+b_jx+c_j\)两两互素，\(i =1,2,\ldots,m, j=1,2,\ldots, r\)，
\begin{equation*}
\sum\limits_{i=1}^m e_i+2\sum\limits_{j=1}^r \ell_j=\deg f(x)\mbox{。}
\end{equation*}
练习 5.6.2 练习
1.
设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)的三个根为\(\alpha,\beta,\gamma\)，如果\(c\neq 0\)，求以\(\frac{\alpha}{\beta \gamma},\frac{\beta}{\alpha \gamma},\frac{\gamma}{\alpha \beta}\)为根的一个三次多项式。
2.
设\(1,\omega_1,\omega_2,\cdots ,\omega_{n-1}\)是\(x^n-1\)的所有不同的复根，证明：
- \((1- \omega_1)(1- \omega_2)\cdots (1- \omega_{n-1})=n\)；
- 当\(n\)为奇数时，\((1+ \omega_1)(1+ \omega_2)\cdots (1+ \omega_{n-1})=1\)。
3.
设\(a\in\mathbb{R}^+\)，求\(f(x)=x^n-a^n\)在\(\mathbb{C}\)上的标准分解式。
4.
设\(f(x)\in\mathbb{R}[x]\)，\(\deg f(x)\)为奇数，证明：\(f(x)\)必有实根。
5.
若实系数多项式\(f(x)=x^3+px^2+qx+r\)的三个根均为实数，证明：\(p^2\geq 3q\)。
6.
设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上次数大于\(1\)的首一多项式且无实根，证明：存在\(g(x),h(x)\in\mathbb{R}[x]\)，使得
\begin{equation*}
f(x)=g^2(x)+h^2(x),
\end{equation*}
且\(\deg g(x)>\deg h(x)\)。
7.
求\(f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)在\(\mathbb{R}\)上的标准分解式。
8.
利用上题结论，证明：
- \(\displaystyle \prod\limits_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{1}{2^m}\)
- \(\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{m-1}\sin\frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\mbox{。}\)
