节 4.6 不变子空间
建设中！
子节 4.6.1
- \(\phi\)与\(\phi|_U\)的相同点是在\(U\)上对应法则一样；不同点是\(\phi\)是\(V\)的线性变换；而\(\phi|_U\)是\(U\)的线性变换。
- 定义中\(U\)是\(\phi\)的不变子空间这个条件不可少，否则无法导出\(U\)上的线性变换。
设\(\phi\in\mathcal{L}(V)\)，\(U\)是\(\phi\)的不变子空间。设\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r\)是\(U\)的一个基，将其扩为\(V\) 的一个基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n\)，则\(\phi\)在此基下的矩阵是
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,r} & a_{1,r+1} & \cdots & a_{1,n}\\
\vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{r,1} & \cdots & a_{r,r} & a_{r,r+1} & \cdots & a_{r,n}\\
0 & \cdots & 0 & a_{r+1,r+1} & \cdots & a_{r+1,n}\\
\vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & a_{n,r+1} & \cdots & a_{n,n}\\
\end{pmatrix}.\tag{4.1}
\end{equation}
反之，若\(\phi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n\)下的矩阵为(4.1)，则\(\langle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r\rangle\)是一个\(\phi\)-子空间。
设\(\phi\)是\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换，\(V=V_1\oplus V_2\)，\(V_1\)与\(V_2\)是\(\phi\)-子空间，\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r\)是\(V_1\)的基，\(\varepsilon_{r+1},\varepsilon_{r+2},\ldots,\varepsilon_n\)是\(V_2\)的基，则在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n\)下的矩阵是
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A_1 & 0\\
0 & A_2
\end{pmatrix}\tag{4.2}
\end{equation}
其中\(A_1\)是\(r\)阶方阵，\(A_2\)是\(n-r\)阶方阵。
反之，若\(\phi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n\)下的矩阵是(4.2)，令
\begin{equation*}
V_1=\langle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_r\rangle,\ \ V_2=\langle \varepsilon_{r+1},\varepsilon_{r+2},\ldots,\varepsilon_n\rangle ,
\end{equation*}
则\(V_1\)、\(V_2\)都是\(\phi\)-子空间，且
\begin{equation*}
V = V_1\oplus V_2.
\end{equation*}
定理 4.6.2.
设\(\phi\in\mathcal{L} (V)\)，则\(\phi\)在\(V\)的某个基下矩阵是块对角矩阵\(\Leftrightarrow\)\(V\)可分解为一些\(\phi\)的不变子空间的直和。
练习 4.6.2 练习
1.
设\(\varphi\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，取定\(\lambda\in\mathbb{F}\)，记
\begin{equation*}
V_ \lambda=\{\alpha\in V\ |\ \varphi (\alpha)=\lambda \alpha\},
\end{equation*}
证明：\(V_ \lambda\)是\(\varphi\)-不变子空间。
2.
设\(V\)是4维线性空间，\(V\)上线性变换\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)下的矩阵为
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&0&2&-1\\
0&1&4&-2\\
2&-1&0&1\\
2&-1&-1&2
\end{pmatrix},
\end{equation*}
- 证明：\(U=\langle \xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4\rangle\)是\(\varphi\)-不变子空间；
- 求\(\varphi|_U\)在基\(\xi_1+2 \xi_2, \xi_2+\xi_3+2 \xi_4\)下的矩阵。
3.
设\(\varphi ,\psi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上线性变换，
- 若\(\varphi\psi=\psi\varphi\)，证明：\({\rm Ker}\varphi\)与\({\rm Im}\varphi\)都是\(\psi\)-不变子空间；
- 若\(\varphi^2=\varphi\)，证明：\({\rm Ker}\varphi\)与\({\rm Im}\varphi\)都是\(\psi\)-不变子空间的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi\varphi\)。
4.
设\(\varphi:\mathbb{F}^2\rightarrow\mathbb{F}^2,\ (a,b)^T\mapsto (b,a)^T\)，试求所有非平凡的\(\varphi\)-不变子空间。
5.
设\(\varphi\)是\(n\)维线性空间\(V\)上的线性变换，\(\varphi\)在基\(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_n\)下的矩阵是
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a&0&0&\cdots&0&0\\
1&a&0&\cdots&0&0\\
0&1&a&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&a&0\\
0&0&0&\cdots&1&a
\end{pmatrix},
\end{equation*}
证明：
- 设\(U\)是\(\varphi\)-子空间，且\(\xi_1\in U\)，则\(U=V\)；
- 对于任意非零\(\varphi\)-子空间\(U\)，总有\(\xi_n\in U\)；
- \(V\)不能分解为两个非平凡的\(\varphi\)-子空间的直和；
- 求\(\varphi\)的所有不变子空间。
