证法一：定义映射\(\psi:\varphi^{-1}(U')\rightarrow U', \alpha\mapsto\varphi (\alpha)\)，则\(\psi\in\mathcal{L}(\varphi^{-1}(U'),U')\)。由维数公式，有
\begin{equation*}
\dim{\rm Im}\psi +\dim{\rm Ker}\psi=\dim\varphi^{-1}(U')\mbox{。}
\end{equation*}
下证\({\rm Im}\psi={\rm Im}\varphi\cap U',\ {\rm Ker}\psi={\rm Ker}\varphi\)即可。
对任意\(\beta\in{\rm Im}\psi\)，存在\(\alpha\in\varphi^{-1}(U')\)使得\(\beta=\psi (\alpha)\)，即\(\beta=\varphi (\alpha)\)。由\(\alpha\in\varphi^{-1}(U')\)知：\(\beta=\varphi (\alpha)\in{\rm Im}\varphi\cap U'\)。故\({\rm Im}\psi\subseteq{\rm Im}\varphi\cap U'\)。
反之，对任意\(\gamma\in{\rm Im}\varphi\cap U'\)，由\(\gamma\in{\rm Im}\varphi\)知：存在\(\omega\in V\)使得\(\gamma=\varphi(\omega)\)。注意到\(\gamma\in U'\)，所以\(\omega\in\varphi^{-1}(U')\)，即存在\(\omega\in\varphi^{-1}(U')\)使得\(\gamma=\varphi(\omega)=\psi(\omega)\)。故\(\gamma\in{\rm Im}\psi\)，即\({\rm Im}\varphi\cap U'\subseteq{\rm Im}\psi\)。因此，\({\rm Im}\psi={\rm Im}\varphi\cap U'\)。
\begin{equation*}
\begin{array}{ccl}
{\rm Ker}\psi&=&\{\alpha\in\varphi^{-1}(U')\ |\ \psi (\alpha)=0\}=\{\alpha\in\varphi^{-1}(U')\ |\ \varphi(\alpha)=0\}\\&=&
\varphi^{-1}(U')\cap\varphi^{-1}(0)=\varphi^{-1}(0)={\rm Ker}\varphi ,
\end{array}
\end{equation*}
因此，\(\dim({\rm Im}\varphi\cap U')+\dim({\rm Ker}\varphi)=\dim \varphi^{-1}(U').\)
注意到\({\rm Im}\varphi\cap U'\subseteq U'\)，故\(\dim \varphi^{-1}(U')\leq\dim U'+\dim {\rm Ker}\varphi.\)
证法二：设\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\({\rm Ker}\varphi\)的一个基，将其扩充为\(\varphi^{-1}(U')\)的一个基\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_s\)，下证\(\varphi (\xi_{r+1}),\cdots ,\varphi (\xi_{s})\)是\({\rm Im} \varphi\cap U'\)的一个基即可。
因为\(\xi_{r+1},\cdots ,\xi_s\in\varphi^{-1}(U')\)，所以\(\varphi (\xi_{r+1}),\cdots ,\varphi (\xi_{s})\in {\rm Im}\varphi\cap U'\)。
若\(k_{r+1}\varphi (\xi_{r+1})+\cdots +k_s\varphi (\xi_{s})=0\)，则\(\varphi (k_{r+1}\xi_{r+1}+\cdots +k_s\xi_s)=0\)，即\(k_{r+1}\xi_{r+1}+\cdots +k_s\xi_s\in{\rm Ker}\varphi\)。由\(\xi_1,\cdots ,\xi_r\)是\({\rm Ker}\varphi\)的一个基知：存在\(k_1,\cdots ,k_r\in\mathbb{F}\)，使得\(k_{r+1}\xi_{r+1}+\cdots +k_s\xi_s=k_1\xi_1+\cdots +k_r\xi_r\)，即
\begin{equation*}
k_1\xi_1+\cdots +k_r\xi_r-k_{r+1}\xi_{r+1}-\cdots -k_s\xi_s=0.
\end{equation*}
注意到\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_s\)线性无关，所以\(k_{r+1}=\cdots =k_s=0\)。故\(\varphi (\xi_{r+1}),\cdots ,\varphi (\xi_{s})\)线性无关。
对任意\(\alpha\in{\rm Im} \varphi\cap U'\)，存在\(\beta\in\varphi^{-1}(U')\)使得\(\alpha=\varphi (\beta)\)。由\(\xi_1,\cdots ,\xi_r,\xi_{r+1},\cdots ,\xi_s\)是\(\varphi^{-1}(U')\)的一个基知：存在\(a_1,\cdots ,a_s\in\mathbb{F}\)使得
\begin{equation*}
\beta=a_1\xi_1+\cdots +a_r\xi_r+a_{r+1}\xi_{r+1}+\cdots +a_s\xi_s,
\end{equation*}
则\(\alpha=\varphi (\beta)=\sum\limits_{i=1}^ra_i\varphi(\xi_i)+\sum\limits_{j=r+1}^s a_j\varphi(\xi_j)=a_{r+1}\varphi (\xi_{r+1})+\cdots +a_s\varphi (\xi_s).\)
综上，\(\varphi (\xi_{r+1}),\cdots ,\varphi (\xi_{s})\)是\({\rm Im} \varphi\cap U'\)的一个基。因此，
\begin{equation*}
\dim({\rm Im}\varphi\cap U')+\dim({\rm Ker}\varphi)=\dim \varphi^{-1}(U').
\end{equation*}
