主要内容\(\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\)
节 4.4 像与核
子节 4.4.1
引理 4.4.1.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)
定义 4.4.2.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)，集合
\begin{equation*}
\phi (V)=\{\phi(\alpha)|\alpha\in V\}
\end{equation*}
称为线性映射\(\phi\)的像 ，记作\({\rm Im}\phi\)。
集合
\begin{equation*}
\phi^{-1}(0)=\{\alpha\in V|\phi(\alpha)=0\}
\end{equation*}
称为线性映射\(\phi\)的核 ，记作\({\rm Ker}\phi\)。
由
引理 4.4.1，
\({\rm Im}\phi\)是
\(U\)的子空间，
\({\rm Ker}\phi\)是
\(V\)的子空间。
定义 4.4.3.
线性映射\(\phi\)的像空间\({\rm Im}\phi\)维数称为\(\phi\)的秩；\(\phi\)的核空间\({\rm Ker}\phi\)的维数称为\(\phi\)的零度 。
定理 4.4.4.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)，\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n\)是线性空间\(V\)的基，\(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_m\)是线性空间\(U\)的基。若\(\phi\)在\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n\)与 \(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_m\)下的矩阵为\(A\)，则
像空间\({\rm Im}\phi\)是由基像组生成的子空间，即
\begin{equation*}
{\rm Im}\phi=\langle\phi(\varepsilon_1),\phi(\varepsilon_2),\ldots,\phi(\varepsilon_n)\rangle ;
\end{equation*}
\(\phi\)的秩\(=A\)的秩。
定理 4.4.5. 维数公式.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)，\(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)。则
\begin{equation*}
\dim {\rm Im}\phi+\dim {\rm Ker}\phi=n.
\end{equation*}
推论 4.4.7.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)，\(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)。则
\begin{equation*}
{\rm Ker}\phi=V \Leftrightarrow \phi=0\Leftrightarrow {\rm Im}\phi=0.
\end{equation*}
推论 4.4.8.
设\(\phi\in \mathcal{L}(V,U)\)，\(\phi\)在\(V\)的基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n\)与\(U\)的基\(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_m\)下的矩阵为\(A\)。则
\begin{equation*}
{\rm Ker}\phi=0 \Leftrightarrow \phi\mbox{是单射}\Leftrightarrow A\mbox{列满秩；}
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\rm Im}\phi=U \Leftrightarrow \phi\mbox{是满射}\Leftrightarrow A\mbox{行满秩。}
\end{equation*}
练习 4.4.2 练习
1.
设\(V\)是\(\mathbb{R}\)上全体实函数构成线性空间，
\begin{equation*}
\varphi:V\to V,\ f(x)\mapsto \frac{1}{2}(f(x)+f(-x)),
\end{equation*}
求\(\rm{Ker }\varphi,\rm{Im}\varphi\)。
2.
设\(\varphi:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F}, A\mapsto tr(A)\)是线性映射。求\(\rm{Ker}\varphi, \rm{Im} \varphi\)，并分别求它们的一个基和维数。
3.
设\(A=\begin{pmatrix}
1&2\\2&4
\end{pmatrix}\)，定义线性映射\(\varphi_A:\mathbb{F}^{2\times 2}\to \mathbb{F}^{2\times 2},\ B\mapsto AB\)，求\({\rm Ker}\varphi_A,{\rm Im}\varphi_A\)，并分别求它们的一个基和维数。
4.
设\(\varphi\)是线性空间\(V\)上的线性变换，证明：
\begin{equation*}
{\rm Ker}\varphi\subseteq{\rm Im} ({\rm id}_V-\varphi),\ {\rm Ker} ({\rm id}_V-\varphi)\subseteq {\rm Im}\varphi.
\end{equation*}
5.
设\(\varphi,\psi\)是线性空间\(V\)上的两个线性变换，且\(\varphi^2=\varphi,\psi^2=\psi\)，证明：
\({\rm Im}\varphi={\rm Im}\psi\)的充分必要条件是\(\varphi\psi=\psi,\psi\varphi=\varphi\)；
\({\rm Ker}\varphi={\rm Ker}\psi\)的充分必要条件是\(\varphi\psi=\varphi,\psi\varphi=\psi\)。
6.
证明：有限维线性空间\(V\)的任意子空间\(U\)都是\(V\)上某个线性变换的核；有限维线性空间\(V\)的任意子空间\(U\)都是\(V\)上某个线性变换的像。证明：有限维线性空间\(V\)的任意子空间\(U\)都是\(V\)上某个线性变换的核；有限维线性空间\(V\)的任意子空间\(U\)都是\(V\)上某个线性变换的像。
7.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\varphi_1,\varphi_2,\cdots ,\varphi_s\)是\(V\)上的非零线性变换，证明：存在\(\alpha\in V\)，使得\(\varphi_i(\alpha)\neq 0,\ i=1,2,\cdots ,s\)。
8.
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维线性空间，\(\varphi_1,\varphi_2,\cdots ,\varphi_s\)是\(V\)上两两不同的线性变换，证明：存在\(\alpha\in V\)，使得\(\varphi_1(\alpha),\varphi_2(\alpha),\cdots ,\varphi_s(\alpha)\)两两不同。
9.
设\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)是线性空间\(V\)的一个基，\(\eta_1,\eta_2,\eta_3\)是线性空间\(U\)的一个基，\(\varphi\in\mathcal{L} (V,U)\)，且
\begin{equation*}
\varphi (\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)\begin{pmatrix}
1&-1&5&-1\\1&1&-2&3\\3&1&1&5
\end{pmatrix},
\end{equation*}
求\({\rm Ker}\varphi,{\rm Im}\varphi\)；
在\({\rm Ker}\varphi\)中选一个基，把它扩充为\(V\)的一个基，并求\(\varphi\)在这个基与\(\eta_1,\eta_2,\eta_3\)下的矩阵；
在\({\rm Im}\varphi\)中选一个基，把它扩充为\(U\)的一个基，并求\(\varphi\)在\(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\)与这个基下的矩阵。
10.
设\(\varphi\in \mathcal{L}(V,U)\)，\(U'\)是\(U\)的子空间，证明：
\begin{equation*}
\dim({\rm Im}\varphi\cap U')+\dim({\rm Ker}\varphi)=\dim \varphi^{-1}(U'),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dim \varphi^{-1}(U')\leq\dim U'+\dim {\rm Ker}\varphi.
\end{equation*}
11.
证明：任何一个线性映射都能表示成一个满线性映射和一个单线性映射的合成。
12.
设\(V\)是\(n\)维线性空间，\(U\)是\(m\)维线性空间，\(\varphi,\psi:V\to U\)是线性映射。求证：\({\rm Ker}\varphi={\rm Ker}\psi\)的充分必要条件是存在\(U\)上可逆线性变换\(\theta\)，使得\(\varphi=\theta\psi\)。
13.
设\(V\)、\(U\)分别是数域\(\mathbb{F}\)上\(n\)维、\(m\)维线性空间，证明：\(V\)到\(U\)的每一个秩为\(r\)的线性映射\(\varphi\)可表成\(r\)个秩为1的线性映射的和。
14.
用线性映射的观点证明：\(r(A+B)\leq r(A)+r(B)\)。
