高等代数教学辅导

子节 7.6.1 主要知识点

• 设\(\varphi\) 是\(\mathbb{C}\)上\(n\)维线性空间\(V\)的线性变换， 其初等因子组为:

  \begin{equation*} (\lambda- \lambda_1)^{e_1},(\lambda- \lambda_2)^{e_2},\ldots, (\lambda - \lambda_m)^{e_m}, \end{equation*}

  则存在\(V\)的一个基\(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n\)，使得

  \begin{equation*} \varphi(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n)=(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n) \begin{pmatrix} J(\lambda_1,e_1) & & \\ & \ddots& \\ & & J(\lambda_m,e_m) \end{pmatrix} \end{equation*}

  其中\(e_1+\cdots+e_m=n\)。
• 令

  \begin{equation*} V(\lambda_1,e_1)= \langle \epsilon_1,\epsilon_2,\ldots ,\epsilon_{e_1}\rangle, \end{equation*}

  则

  \begin{align*} \varphi(\epsilon_1)& = & \lambda_1 \epsilon_1 + \epsilon_2,\\ \varphi(\epsilon_2)& = & \lambda_1 \epsilon_2 + \epsilon_3,\\ & \cdots &\\ \varphi(\epsilon_{e_1-1})& = & \lambda_1 \epsilon_{e_1-1} + \epsilon_{e_1},\\ \varphi(\epsilon_{e_1})& = & \lambda_1 \epsilon_{e_1}. \end{align*}

  故\(\varphi\left(V(\lambda_1,e_1)\right)\subset V(\lambda_1,e_1)\)，即\(V(\lambda_1,e_1)\)是\(\varphi\)-子空间。
• 同理，令

  \begin{equation*} V(\lambda_j,e_j) = \langle \epsilon_{t_j+1},\ldots,\epsilon_{t_j+e_j}\rangle, \end{equation*}

  其中\(t_j=e_1+e_2+\cdots+e_{j-1}\)，即\(V(\lambda_j, e_j)\)对应Jordan块\(J(\lambda_j, e_j)\)，对应初等因子\((\lambda- \lambda_j)^{e_j}\)，则\(V(\lambda_j,e_j)\)也是\(\varphi\)-子空间，故有\(\varphi\)-子空间的直和分解

  \begin{equation*} V = V(\lambda_1,e_1)\oplus V(\lambda_2, e_2)\oplus\cdots\oplus V(\lambda_k,e_k). \end{equation*}
• \begin{align*} (\varphi- \lambda_1 {\rm id}_V)\epsilon_1& = & \epsilon_2,\\ (\varphi- \lambda_1 {\rm id}_V)\epsilon_2& = & \epsilon_3,\\ & \cdots &\\ (\varphi- \lambda_1 {\rm id}_V)\epsilon_{e_1-1}& = & \epsilon_{e_1},\\ (\varphi- \lambda_1 {\rm id}_V)\epsilon_{e_1}& = & 0. \end{align*}